7.2 Faisceau d’´electrons semi-gaussien
7.2.3 Complexit´e optimale des maillages adaptatifs
Pour valider la discussion qu’on a men´ee dans la section 6.3.2, et en particulier pour ´eprouver notre conjecture (6.36), on a repr´esent´e sur les figures 7.8 et 7.9 les erreurs
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-4.4
-4.2
-4
-3.8
-3.6
-3.4
-3.2
-3
-2.8
erreur L
1, T = 4.5
T=1.5
erreur L
2, T = 4.5
T=1.5
Fig. 7.7 – vitesses de convergence. Erreurs num´eriques mesur´ees dans L1 et L2 en
fonction de ∆t en ´echelle log-log, aux instants T = 1.5 et T = 4.5 (les pentes sont de l’ordre de 2.5).
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
10
11
12
13
14
15
sol. uniforme (corrigee)
sol. adaptative corrigee
sol. adaptative
Fig. 7.8 – erreurs simples et corrig´ees mesur´ees dans L∞ en fonction de la taille des
7.2. Faisceau d’´electrons semi-gaussien
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
sol. uniforme (corrigee)
sol. adaptative corrigee
sol. adaptative
Fig.7.9 – erreurs simples et corrig´ees mesur´ees dans L∞en fonction du temps cpu (en
minutes) en ´echelle log-log pour des solutions adaptives et uniformes (`a T = 4.5). num´eriques L∞ r´ealis´ees par les solutions uniformes fhN et adaptatives fN pour diff´e- rentes valeurs des param`etres h, ∆t ∼ h−2/3 et ε∼ ∆t3. Sur la figure 7.8, ces erreurs sont trac´ees en fonction de la taille (6.35) des maillages, et en fonction du temps de calcul sur la figure 7.9.
Ici, toutefois, on ne peut plus se contenter d’´evaluer l’erreur num´erique en prenant comme r´ef´erence la solution uniforme fN
L calcul´ee au niveau le plus fin, car on sur-
estime de cette fa¸con la qualit´e des solutions adaptatives fN proches de fLN. Pour corriger ces courbes, on a ajout´e aux erreurs approch´ees
˜
eN =kfN− fLNkL∞ (7.1)
(repr´esent´ees par les carr´es noirs) une estimation de l’erreur associ´ee `a la solution de r´ef´erence
˜
eL≈ kfLN − f(T )kL∞ (7.2)
qu’on a ´evalu´ee de la fa¸con suivante : ayant observ´e que les premiers termes de la suite ˜
e`:=kfh(`)N − fLNkL∞, ` = `0, . . . , L− 1
avaient une d´ecroissance quasi-g´eom´etrique, on a suppos´e qu’il en ´etait de mˆeme pour la suite des erreurs “exactes”kfN
h(`)− f(T )kL∞, et on en a d´eduit ˜eLpar extrapolation.
A cot´e de la courbe en carr´es noirs repr´esentant les pseudo-erreurs (optimistes) ˜eN r´ealis´ees par les solutions adaptatives, on a donc repr´esent´e par des carr´es blancs les erreurs “corrig´ees” ˜eN+ ˜e
L. Cette fois, les courbes obtenues sont clairement pessimistes,
car elles empˆechent les solutions adaptatives d’ˆetre plus pr´ecises que la solution uni- forme de niveau L. Les performances r´eelles de notre sch´ema sont donc `a chercher dans la zone comprise entre les courbes blanches et noires.
Fig. 7.10 – comparaison des maillages produits par le sch´ema adaptatif (en haut), et par l’algorithme de compression Aε appliqu´e `a la solution uniforme la plus fine (en
bas), aux instants T = 0.05 (`a gauche) et T = 10.05 (`a droite).
On peut n´eanmoins mesurer la pente moyenne des courbes corrig´ees sur la figure 7.8, et observer qu’elle est proche de−0.7, aussi bien pour les solutions adaptatives que pour les solutions uniformes, ce qui valide l’estimation d’erreur uniforme (6.38) comme notre conjecture (6.36). En ce qui concerne le gain d’efficacit´e, on peut alors observer que pour une pr´ecision donn´ee, les maillages uniformes sont environ 100 fois plus gros que les maillages adaptatifs. Dans les estimations (6.38) et (6.36), ce rapport correspond `
a la diff´erence entre les “constantes”, et en particulier au fait que la courbure totale qui est pr´esente derri`ere la constante de l’estimation (6.36) est bien plus petite que la semi-norme W2,∞ qui r´egit l’estimation (6.38)). Malheureusement, on ne retrouve pas un rapport aussi avantageux sur la figure 7.9 qui repr´esente les erreurs en fonction du temps de calcul, ce qui est principalement dˆu au fait que le sch´ema adaptatif g`ere une structure de donn´ees complexe, et d´epense un temps sup´erieur au traitement de chaque maille qu’un sch´ema uniforme. Ainsi, le rapport des temps cpu correspondant
7.2. Faisceau d’´electrons semi-gaussien `
a une erreur corrig´ee de 0.084' e−2.47 n’est que de 4.5. Ce constat, bien que d´ecevant, pourra toutefois ˆetre nuanc´e par le fait que nous n’avons pour l’instant pas cherch´e `a optimiser notre code informatique lui mˆeme, et par le fait que la contrainte impos´ee sur le niveau maximal des cellules ne nous permet pas de bien mettre en valeur la sup´eriorit´e relative de l’approche adaptative.
Enfin, on a voulu comparer l’allure du maillage “transport´e” par notre sch´ema avec celui qu’on obtiendrait `a partir de la solution de r´ef´erence calcul´ee dans des conditions tr`es proches. Pour r´ealiser cette mesure, on a commenc´e par choisir une valeur de ∆t (et donc de ε) pour laquelle l’erreur adaptative (7.1) ´etait du mˆeme ordre que l’erreur (extrapol´ee) (7.2), autrement dit pour laquelle les solutions fN et fN
L ´etaient de pr´eci-
sions comparables. On a alors repr´esent´e cˆote `a cˆote sur la figure 7.10 les maillages M1 et M200 produits par notre sch´ema (6.17) et les maillages Aε(fL1) et Aε(fL200) obtenus
en appliquant `a la solution de r´ef´erence l’algorithme (6.3) qui d´etermine le plus petit maillage dyadique en ε-ad´equation avec fN
L.
Le fait que les maillages M200 et Aε(fL200) soient de tailles comparables sur la fi-
gure 7.10 est donc un signe d’optimalit´e pratique de notre m´ethode. En particulier, ceci signifie que l’´economie r´ealis´ee par l’utilisation d’un nombre r´eduit de mailles dans le transport n’a que tr`es faiblement modifi´e la structure de la solution, et surtout que la strat´egie qu’on a mise au point pour faire ´evoluer ces maillages adaptatifs d’un pas de temps `a l’autre a permis de suivre le maillage optimal associ´e `a une solution de r´ef´erence, et ceci sans avoir eu recours `a une technique de raffinement excessif.
Troisi`eme partie
Analyse des lois de conservation
scalaires en distance de Hausdorff
Chapitre 8
Ce qu’il convient de savoir sur
les lois de conservation scalaires
On donne dans ce chapitre une pr´esentation rapide des lois de conservation scalaires et de leurs solutions faibles entropiques, en montrant de quelle fa¸con une solution initiale arbitrairement r´eguli`ere peut devenir discontinue au bout d’un temps fini. En dimension 1, et pour des flux convexes, on rappelle la description lagrangienne propos´ee par Lax des solutions faibles entropiques, dans laquelle les trajectoires caract´eristiques sont d´etermin´ees par une formule semi-explicite de minimisation.