Caract´erisation de l’approximabilit´e dans L ∞

On consid`ere maintenant l’approximation dans L∞ des fonctions continues sur l’intervalle [0, 1], et pour des raisons qui apparaˆıtront clairement dans quelques lignes, on commence par red´efinir Σn = Σn,r comme l’ensemble des fonctions continues qui

sont polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal `a r sur moins de 2n intervalles. Ce type d’approximation a ´egalement ´et´e ´etudi´ee par Petrushev dans [54], o`u les estimations de Jackson et de Bernstein σn(f )∞≤ C2−snkf0kBqs−1,q (1.73) et S_{∈ Σ}n =⇒ kS0k_Bs−1,q q ≤ C2 sn_kSk L∞, (1.74)

sont ´etablies pour 1 < s < r + 1 et q = 1/s. A partir des ces in´egalit´es, il est alors possible d’identifier les espaces As

q(L∞) avec ˜ Bs:=_{{f ∈ W}1,1(R) : f0 _{∈ Bq}s−1,q, q = 1/s_} (1.75) muni de la norme kfk_B˜s :=kfkL∞+kf0k Bqs−1,q. (1.76)

Cet espace ressemble `a l’espace de Besov Bqs,q, mais on observera qu’il est sensiblement

plus petit que ce dernier, qui contient des fonctions discontinues lorsque q < 1. Th´eor`eme 1.2 Les espaces As

q(L∞) associ´es `a l’approximation polynomiale par mor-

ceaux de degr´e r sont caract´eris´es par

Asq(L∞) = ˜Bs avec 1/q = s (1.77)

1.3. Approximation polynomiale par morceaux Preuve. On peut ´etablir ce r´esultat de fa¸con directe `a partir du th´eor`eme 1.1. Pour une fonction f de_As

q(L∞), on d´esigne par Sn∈ Σn, n = 0, 1, . . . une suite approchant f de

fa¸con quasi-optimale. On consid`ere alors les fonctions discontinues Tn := Sn0 polyno-

miales de degr´e inf´erieur ou ´egal `a r− 1 sur 2n _{morceaux, comme des approximations}

de f0_{. Observons qu’un polynˆome S de degr´e r v´erifie toujours}

kS0kL1_([a,b])≤ CkSk_L∞_([a,b]) (1.78)

avec une constante C pouvant d´ependre de r mais pas de l’intervalle [a, b] par un argument de changement d’´echelle. Comme Tn− Tn−1 est une fonction polynomiale

sur moins de 3₂2n intervalles Ik, on a

kTn− Tn−1kL1 ≤ X k kTn− Tn−1kL1_(I k)≤ C2 n_kS n− Sn−1kL∞. (1.79)

En utilisant la remarque 1.8 (et en rappelant que la norme _{k · kA}s

q(L∞) est d´efinie en

(1.54)), ceci entraˆıne que

∞ X n=−1 [2n(s−1)_kTn− Tn−1kL1]q≤ Ckfkq As q(L∞), (1.80)

d’o`u l’on d´eduit que la suite Tn converge dans L1 vers une fonction qui est forc´ement

f0. Il s’ensuit que

kf0k_As−1

q (L1)≤ CkfkAsq(L∞), (1.81)

et d’apr`es le th´eor`eme 1.1 avec p = 1, kf0k_Bs−1,q

q ≤ CkfkAsq(L∞). (1.82)

Comme il est clair que_kfkL∞ ≤ kfk_As

q(L∞), on en d´eduit que

kfk_B˜s ≤ Ckfk_As

q(L∞). (1.83)

Dans l’autre sens, consid´erons que f appartient `a ˜Bs. f0 appartient donc `a Bqs−1,q avec

1/q = 1 + (s_{− 1), ce qui entraˆıne d’apr`es le th´eor`eme 1.1 que f}0 _{est dans A}s−1 q (L1)

aveckf0_k

As−1q (L1)≤ Ckf

0_k

Bs−1,qq . Il existe alors une suite de fonctions discontinues Tn,

n = _{−1, 0, . . . avec T−1} = 0, qui sont polynomiales de degr´e au plus r_{− 1 sur 2}n

morceaux et approchent f0 de fa¸con quasi-optimale dans L1, de sorte que

∞ X n=−1 kf0− Tnkq_L1 ≤ Ckf0k q Bs−1,qq . (1.84)

Comme il existe pour chaque n une partition de I en 2n _{intervalles J}

k tels que

kf0 _{− Tnk} L1_(J

k) ≤ 2−nkf0 − TnkL1, et que chaque Tn est constitu´e de 2

n _morceaux

polynomiaux, il est toujours possible de construire une partition de I en 2n+1 inter- valles Ik sur lesquels Tnest un polynˆome et tels que

kf0− TnkL1_(I k)≤ 2

−n_kf0_{− T}

nkL1. (1.85)

Sur chacun de ces intervalles Ik = [ak, bk], on pose

Pn+1(x) := f (ak) +

Z x

ak

qu’on modifie ensuite en

Sn+1(x) := Pn+1(x) + (f (bk)− Pn+1(bk))

x− ak

bk− ak

. (1.87)

On peut v´erifier que la fonction Sn+1 ainsi obtenue appartient `a Σn+1 : elle est bien

polynomiale de degr´e au plus r sur les intervalles Ik qui sont au nombre de 2n+1, et

elle est continue. Sur chaque Ik, on a clairement

|f(x) − Pn+1(x)| ≤ kf0− TnkL1_(I k)≤ 2 −n_kf0_{− T} nkL1 (1.88) d’apr`es (1.85), et de mˆeme |f(x) − Pn+1(x)| x_{− b}k ak− bk ≤ 2 −n_kf0_{− T} nkL1. (1.89) On en d´eduit que ku − Sn+1kL∞ ≤ 2−n+1kf0− T_nk_L1, (1.90) ce qui entraˆıne kfkq_As q(L∞)≤ C(kfk q L∞+kf0kq As−1q (L1)). (1.91)

En utilisant `a nouveau le th´eor`eme 1.1 pour p = 1, on trouve alors finalement kfkq_As

q(L∞)≤ CkfkB˜s, (1.92)

ce qui termine cette preuve. 

A nouveau, on pourra signaler que ce th´eor`eme entraˆıne les inclusions suivantes As2

Chapitre 2

Discr´etisations adaptatives

multi-´echelles de type

_P

1

On introduit dans ce chapitre une classe _M(Rd_{) de maillages dyadiques multi-}

´echelles de Rd, auxquels on associe en dimension 2 des ´el´ements finis conformes de type_P1, autrement dit affines par morceaux. La raison pour laquelle on introduit ces discr´etisations adaptatives est que la structure g´eom´etrique des mailles dyadiques nous permettra de proposer dans la deuxi`eme partie un sch´ema alliant une gestion algorith- mique tr`es simple des maillages de calcul `a une analyse accessible de leurs propri´et´es, notamment en ce qui concerne leur caract`ere optimal dans l’approximation adaptative des solutions.

En pr´evision de cette analyse, on montrera que la semi-norme _{| · |W}2,1 constitue un

bon indicateur a priori de l’erreur d’interpolation locale mesur´ee dans L∞, au sens o`u 1. pour toute fonction f appartenant `a W2,1(R2), on indiquera comment construire un maillage dyadique M par un algorithme de d´ecoupage r´ecursif guid´e par les semi-normes locales _|f|W2,1_(α).

2. le maillage ainsi obtenu permettra (via son espace d’´el´ements finis associ´e) d’ap- procher f dans L∞ avec une pr´ecision ε fix´ee `a l’avance

3. la complexit´e de ce maillage sera de l’ordre de ε−1 d`es que f appartient `a W2,p avec p > 1.

En particulier, cet indicateur nous donnera un moyen pratique d’approcher une fonc- tion f de fa¸con adaptative par des approximants fM affines par morceaux, avec une

vitesse de convergence en kf − fMkL∞_(R2₎ ≤ C#(M)−1. Au regard des r´esultats de

caract´erisation donn´es par la th´eorie de l’approximation non-lin´eaire, cette vitesse peut ˆetre consid´er´ee comme quasiment optimale lorsque f est dans un espace W2,p_(R2_{) avec}

p proche de 1. En comparaison, l’interpolation affine par morceaux sur un maillage uni- forme n’atteint cette vitesse que lorsque f appartient `a l’espace W2,∞(R2).

2.1

Partitions adaptatives dyadiques

D´efinition 2.1 (partitions dyadiques) On dira qu’une partition M de Rd _{est dya-}

dique si elle ne contient que des cellules de la forme

L’entier ` est appel´e le niveau de la cellule α`,k, et on ne consid´erera dans la suite que

des niveaux sup´erieurs `a un `0 > 0 fix´e.

Pour `<sub>≥ `</sub>0, on peut donc d´efinir la partition dyadique uniforme de niveau ` par

D`(Rd) :={α`,k = Π1≤i≤d[2−`ki, 2−`(ki+ 1)[: k∈ Zd}, (2.2)

et poser D`(Rd) =∅ lorsque ` < `0. Avec cette convention, on ´ecrira D(Rd) :=∪`D`(Rd)

l’ensemble de toutes les cellules dyadiques, et on d´esignera `(α) <sub>≥ `</sub>0 le niveau d’une

cellule dyadique donn´ee.