8.2 Une formule semi-explicite pour les lois uni-dimensionnelles ` a flu
8.2.2 Un petit calcul instructif
On peut conclure cette pr´esentation par une observation int´eressante, qui nous don- nera un avant-goˆut du genre de calculs qu’on sera amen´e `a faire dans la suite. Cette observation concerne un principe g´en´eral v´erifi´e par les solutions entropiques, selon lequel il est toujours possible de prolonger les trajectoires caract´eristiques dans le pass´e (ce qui souligne au passage le caract`ere irr´eversible des solutions entropiques). On a pu ainsi observer que certaines trajectoires pouvaient entrer dans l’onde de choc trac´ee en pointill´es sur la figure 8.4, mais qu’aucune n’en sortait. D’apr`es ce principe, on voit facilement que pour t fix´e, deux trajectoires passant par (t, x) et (t, x0) avec x ≤ x0
sont respectivement parties de (0, y) et (0, y0) avec y ≤ y0. Autrement dit, l’application
x→ y(t, x) est croissante.
En montrant que les minimiseurs de L(·, t, x0) sont toujours sup´erieurs `a ceux de
L(·, t, x) lorsque x > x0 (propri´et´e que tente d’illustrer la figure 8.5), il est possible de retrouver cette propri´et´e importante `a partir de la formule de Lax. Plus pr´ecis´e- ment, on peut ´etablir que si y minimiseL(·, t, x), la quantit´e
8.2. Une formule semi-explicite pour les lois uni-dimensionnelles `a flux convexes x z y f0(u0) x−z t y0 ? ? x0
Fig. 8.5 – illustration du fait que l’application x → y(t, x) d´efinie par la formule de Lax est croissante.
est strictement positive pour tout z < y. On a en effet pour tout z K(z)≥ L(z, t, x0)− L(z, t, x) − L(y, t, x0) +L(y, t, x) = tf∗ x0− z t − f∗ x − zt − f∗ x0− yt + f∗ x − y t = Z x0 x (f∗)0 u − z t − (f∗)0 u − y t du. (8.30)
Lorsque z < y et x < x0, ceci se minore par
K(z)≥ Z x0 x Z y z 1 t(f ∗)00 u − v t dv du≥ (x0− x)(y − z) t inf(f ∗)00. (8.31)
Comme on s’est plac´e dans le cas o`u f ´etait strictement convexe (8.21), on peut ensuite utiliser (8.24) pour voir que (f∗)00(w) = 1/f00 (f0)−1(w). On en d´eduit que
inf(f∗)00= 1
sup f00, (8.32)
et quitte `a supposer que f00 est major´ee par une constante, on voit la borne inf´erieure
de (f∗)00 est strictement positive, et finalement que K(z) est bien strictement positive pour tout z < y.
Chapitre 9
Stabilit´e des solutions en
distance de Hausdorff
On introduit `a pr´esent une distance d´efinie entre deux fonctions `a partir de la dis- tance ensembliste de Hausdorff. L’int´erˆet principal de cette “nouvelle” distance (qui a notamment ´et´e ´etudi´ee par Sendov [56]) est qu’elle permet de consid´erer comme un pro- bl`eme bien pos´e l’approximation uniforme, c’est-`a-dire sans oscillations, d’une fonction discontinue. D’une certaine fa¸con, les r´esultats que nous avons obtenus (lors d’un tra- vail effectu´e en collaboration avec Albert Cohen, Wolfgang Dahmen et Ronald DeVore) garantissent que dans cette distance, l’approximation des solutions de lois de conser- vations scalaires est elle-mˆeme un probl`eme bien pos´e. Plus pr´ecis´ement, on montre que sous certaines hypoth`eses, les lois de conservation scalaires uni-dimensionnelles `a flux convexes sont stables en distance de Hausdorff, au sens o`u les graphes des solu- tions s’´ecartent avec une vitesse au plus lin´eaire. La preuve de ce r´esultat exploite de fa¸con importante la description semi-explicite donn´ee par Lax des trajectoires carac- t´eristiques pour des flux convexes, et suppose d’autre part que les solutions initiales poss`edent une r´egularit´e “semi-lipschitzienne”, hypoth`ese n´ecessaire et ´egalement consi- d´er´ee par Tadmor et Tang dans [61], [62] et [63]. Par des raisonnements proches, on ´etablit un r´esultat de stabilit´e des solutions vis-`a-vis de perturbations lipschitziennes de la fonction de flux. Dans les cas que ces r´esultats ne couvrent pas, notamment lorsque le flux est non convexe ou dans le cas de probl`emes multi-dimensionnels ne pouvant pas se ramener `a un probl`eme uni-dimensionnel, on construit des exemples de solutions pour lesquelles la stabilit´e n’est pas v´erifi´ee.
9.1
Distance de Hausdorff entre deux fonctions
La raison principale pour laquelle on introduit cette nouvelle distance, qui ne cor- respond `a aucune norme, est donc l’insuffisance notoire de la distance L∞pour mesurer la qualit´e des approximations lorsque la fonction u qu’on souhaite approcher est dis- continue. De fa¸con ´evidente, une m´ethode qui utilise des approximants continus ne pourra jamais converger vers u dans L∞. Et mˆeme pour des approximants discontinus, la distance L∞ est en g´en´eral trop “rigide” pour que l’on puisse obtenir des propri´et´es
int´eressantes. On peut penser par exemple `a la situation o`u l’on approche u par des approximants uM =Pα∈Mcαχα constants sur une partition dyadique arbitraire M de
n’est une fraction dyadique 2kj, on peut observer que l’erreur d’approximation dans L∞
sera toujours sup´erieure au demi-saut de u en ce point, i.e. ku − uMkL∞ ≥ 1
2(u− u)(m) (9.1)
o`u les fonctions u et u d´efinies en (9.9) d´esignent respectivement la plus grande et la plus petite valeur d’adh´erence de u en m, et ceci quelle que soit M !
u v
Fig. 9.1 – exemple de “mauvaise” approximation de u dans L∞.
Pour approcher des fonctions discontinues, on utilise donc en g´en´eral des normes Lp
d’exposant p fini, qui sont moins s´ev`eres car elles mesurent des erreurs moyennes. En contrepartie, la qualit´e des approximations obtenues de cette fa¸con n’est pas uniforme, et il est tout `a fait possible que v soit tr`es proche de u dans Lp tout en oscillant forte-
ment comme cela se produit sur la figure 9.2.
u v
Fig. 9.2 – exemple de “bonne” approximation de u dans Lp lorsque p <∞.
Dans ces conditions, la distance fonctionnelle de Hausdorff offre une alternative id´eale aux distances Lp :
– d’une part, c’est une distance uniforme, qui est autant sensible aux oscillations que peut l’ˆetre la distance L∞, en particulier elle p´enalisera un ph´enom`ene de
Gibbs tout autant que la distance L∞.
– d’autre part, et c’est une diff´erence essentielle avec la distance L∞, elle est souple, au sens o`u elle permet que de bonnes approximations de u n’aient pas leurs discontinuit´es qui co¨ıncident avec celles de u.
A ces deux qualit´es, on peut en ajouter une troisi`eme, qui rend bien compte du caract`ere “visuellement satisfaisant” de la distance fonctionnelle de Hausdorff. Lorsque u est une
9.1. Distance de Hausdorff entre deux fonctions fonction tr`es oscillante comme sin(xε) avec ε 1, on aurait tendance `a dire que u ressemble beaucoup `a−u, et en tout cas, qu’elle est bien plus proche de −u que de la fonction nulle (voir figure 9.3). Dans la mesure o`uku−0k ≤ ku−(−u)k pour n’importe quelle norme, on voit qu’une distance associ´ee `a une norme fonctionnelle est incapable de traduire cette propri´et´e. En revanche, on aura
dH(u,−u) ≤ πε 1 = dH(u, 0) (9.2)
avec la distance de Hausdorff dH.
0
u −u
Fig. 9.3 – en distance de Hausdorff, u est bien plus proche de−u que de la fonction nulle. Avec une distance associ´ee `a une norme, c’est toujours le contraire.
Commen¸cons par rappeler ce qu’est la distance de Hausdorff entre deux ensembles.