Stabilit´ e de l’estimation et biais

Nous cherchons `a comparer la qualit´e des estimations du filtre de Kalman sans parfum, du filtre particulaire et du filtre particulaire convol´e pour le cas-test simple. Les estimations sont obtenues apr`es convergence des algorithmes selon le crit`ere d´efini dans la section 7.2.3. Auparavant, il faut s’assurer de la stabilit´e des estimations fournies par les diff´erents algorithmes. Comme l’algorithme du filtre de Kalman sans parfum est d´eterministe, celui-ci fournit donc toujours la mˆeme estimation des param`etres pour un mˆeme jeu de donn´ees y_0:Tobs. En revanche, ce n’est pas le cas pour les deux autres

Param`etres Description Valeur Nature Unit´e

E(n) Facteur environnement au

cycle n

2000 Mesur´e J.m⁻²

K_n Variance du bruit de mod´ elisa-tion

6.25 × 10⁻⁴ Fix´e Sans Unit´e

σo Ecart type du bruit de mesure 2.5 × 10⁻² Fix´e g

µ Water use efficiency 0.095 Estim´e g.J⁻¹

S_p Surface foliaire sp´ecifique 2.5 Estim´e m2

kb Coefficient d’extinction de la loi de Beer-Lambert

2.5 × 10⁻² Fix´e Sans Unit´e

P_l Force de puits d’un limbe 1 Fix´e Sans Unit´e

Pp Force de puits d’un p´etiole 0.3 Estim´e Sans Unit´e P_e1 Force de puits d’un entrenœud

de classe physiologique 1

3 Estim´e Sans Unit´e P_e2 Force de puits d’un entrenœud

de classe physiologique 2

2 Estim´e Sans Unit´e

e Masse surfacique d’une feuille 10 Mesur´e g.m⁻²

Q₀ Biomasse contenue dans la

graine

10 Mesur´e g

Tab. 7.1 – Valeurs des param`etres utilis´es pour g´en´erer les donn´ees. Le param`etre S_p rend compte de l’effet comp´etition. « Mesur´e » signifie que le param`etre est mesur´e di-rectement `a partir de donn´ees botaniques. « Fix´e » signifie que la valeur des param`etres a ´et´e fix´ee pour des raisons d’identifiabilit´e. Enfin, « Estim´e » signifie qu’il s’agit d’un param`etre `a estimer `a partir des donn´ees. Dans ce cas, le chiffre indiqu´e dans la case valeur correspond `a la vraie valeur du param`etre (c’est celle qui a servi `a cr´eer le jeu d’observations simul´e). Nous avons donc Θvrai

f onc= (0.095, 2.5, 0.3, 3, 2).

m´ethodes particulaires. Pour chacune d’entre elles, une estimation diff´erente de Θ_{f onc}est obtenue apr`es chaque ex´ecution de l’algorithme. Pour tester la variabilit´e des estimations avec un jeu d’observations y<sub>0:Tobs</sub> donn´e, les algorithmes de filtrage particulaire simple et convol´e ont ´et´e ex´ecut´es 200 fois. Ainsi, 200 vecteurs de param`etres estim´es ont ´et´e obtenus pour les deux m´ethodes. Leur distribution est repr´esent´ee par la figure 7.3.

Globalement, les distributions sont centr´ees autour des mˆemes valeurs pour chacun des param`etres. En revanche, il apparaˆıt clairement que la variabilit´e des estimation est plus importante pour le filtrage particulaire simple que pour le convol´e. Ce dernier est mˆeme relativement pr´ecis dans ces estimations. Le tableau 7.2 propose de comparer les valeurs moyennes obtenues par les trois algorithmes pour le mˆeme jeu de donn´ees y_0:Tobs.

Les trois m´ethodes proposent des estimations tr`es proches l’une de l’autre. Notons tout de mˆeme la pr´esence d’un biais concernant l’estimation de µ et de Sp qui est dˆu au peu de donn´ees disponibles (29 vecteurs d’observation uniquement). Les estimations des puits des organes sont tr`es bonnes (particuli`erement celles du filtre de Kalman). Ce tableau confirme `a nouveau que la variance des estimations est plus importante pour le filtre particulaire simple que pour le convol´e.

7.3. Analyse et comparaison des m´ethodes 153

Fig. 7.2 – Biomasse cr´e´ee par photosynth`ese `a chaque cycle de d´eveloppement `a partir du vrai vecteur de param`etres Θvrai

f onc : la courbe en trait plein repr´esente la vraie valeur de la biomasse cr´e´ee pour une r´ealisation du syst`eme dynamique (incluant le bruit de mod´elisation). Celle en traits pointill´es repr´esente la biomasse obtenue par une ´equation de photosynth`ese sans bruit.

Param`etres Vraie valeur Est. FK Est. FP Est. FPC Std FP Std FPC

µ 9.5 × 10⁻² 9.230 × 10⁻² 9.257 × 10⁻² 9.285 × 10⁻² 2.64 × 10⁻³ 2.14 × 10⁻³

S_p 2.5 2.5974 2.5921 2.5834 8.56 × 10⁻² 7.08 × 10⁻²

Pp 0.3 0.3000 0.2987 0.2992 6.51 × 10⁻³ 4.03 × 10⁻³

P_e1 3 3.0006 2.9949 2.9967 1.59 × 10⁻² 1.18 × 10⁻²

P_e2 2 1.9923 2.0092 1.9974 1.06 × 10⁻² 7.62 × 10⁻³

Tab. 7.2 – Estimation des param`etres et ´ecart-type des estimations. Est. = Estimation. Std = ´ecart-type. FK = Filtre de Kalman sans parfum. FP = Filtre Particulaire. FPC = Filtre Particulaire Convol´e.

Pour comparer la qualit´e des estimations des diff´erentes m´ethodes, nous avons g´en´er´e 200 jeux de donn´ees y_0:T⁽ⁱ⁾

obs, i ∈ {1, . . . , 200}, `a partir du mˆeme vecteur de param`etres Θvrai

f onc(voir le tableau 7.1). Pour chacun de ces jeux, les trois algorithmes ont ´et´e ex´ecut´es une seule fois et les vecteurs de param`etres estim´es recueillis. La valeur moyenne de chacun des param`etres estim´es ainsi que leur ´ecart-type est regroup´e dans le tableau 7.3.

Les estimations sont globalement tr`es bonnes. Notons tout de mˆeme la pr´esence d’un biais sur les param`etres de l’´equation de production µ et S_p. Le filtre particulaire propose

Fig. 7.3 – Comparaison des distributions des param`etres pour les m´ethodes de filtrage particulaire (= FP) et filtrage particulaire convol´e (= FPC). Le trait rouge indique la m´ediane, les bleus indiquent les quartiles et les noirs les valeurs extr`emes. Les croix cor-respondent aux mesures ab´erantes (outliers). On consid`ere qu’une mesure est ab´erante si elle est situ´ee `a plus de 1.5 fois l’´ecart interquartile `a partir des limites de la boˆıte.

Param`etres Vraie valeur Est. FK Est. FP Est. FPC Std FK Std FP Std FPC

µ 9.5 × 10⁻² 9.436 × 10⁻² 9.456 × 10⁻² 9.434 × 10⁻² 3.59 × 10⁻³ 4.39 × 10⁻³ 2.96 × 10⁻³

Sp 2.5 2.5292 2.5158 2.5230 1.26 × 10⁻¹ 1.49 × 10⁻¹ 9.71 × 10⁻²

P_p 0.3 0.3000 0.2994 0.2997 4.50 × 10⁻⁴ 8.59 × 10⁻³ 6.08 × 10⁻³

Pe1 3 3.0003 2.9982 2.9984 2.4 × 10⁻³ 2.21 × 10⁻² 1.58 × 10⁻²

Pe2 2 2.0002 1.9983 1.9985 1.35 × 10⁻³ 1.49 × 10⁻² 1.09 × 10⁻²

Tab. 7.3 – Estimation moyenne des param`etres et ´ecart-type des estimations pour 200 jeux de donn´ees g´en´er´es avec le mˆeme vecteur de param`etres Θvrai

f onc. Est. = Estimation. Std = ´ecart-type. FK = Filtre de Kalman sans parfum. FP = Filtre Particulaire. FPC = Filtre Particulaire Convol´e.

les meilleures estimations de µ et S_p avec le plus petit ´ecart-type. Le filtre de Kalman propose d’excellentes estimations pour les puits avec un ´ecart-type tr`es faible. Le filtre particulaire reste le moins performant des trois sur tous les param`etres que ce soit au niveau de l’estimation ou de son ´ecart-type. Il est raisonnable d’appliquer une seule fois les algorithmes pour le FPC `a cause de la faible variabilit´e des estimations ce qui est moins le cas pour le filtre particulaire. Notons ´egalement que les m´ethodes sont toutes tr`es robustes (pour chaque jeu de donn´ees y⁽ⁱ⁾_0:T

obs, i ∈ {1, . . . , 200}, les estimations du vecteur de param`etres restent tr`es proches de Θvrai

f onc avec un faible ´ecart-type).

Nous pouvons ´egalement d´efinir un crit`ere de performance pour comparer les m´ e-thodes (`a premi`ere vue, il n’est pas facile de comparer le filtre de Kalman et le filtre particulaire convol´e). Un choix possible est l’´ecart moyen `a la vraie valeur des

para-7.3. Analyse et comparaison des m´ethodes 155

m`etres. Pour i ∈ {1, . . . , 200}, notons provisoirement ˆΘ<sup>(i)</sup>m l’estimation obtenue par la m´ethode m `a partir du jeu de donn´ees y_0:T⁽ⁱ⁾

obs. Le crit`ere de performance Cm associ´e `a cette m´ethode m vaut :

Cm = ¹ 200 200 X i=1 || ˆΘ⁽ⁱ⁾_m − Θvrai f onc||2 (7.15)

avec ||.|| la norme euclidienne sur R^dΘfonc. La meilleure m´ethode est donc celle qui pr´esente le plus petit Cm. Dans le cas o`u les param`etres ont des ordres de grandeur diff´erents, il est pr´ef´erable de travailler avec des donn´ees centr´ees-r´eduites (nous divisons alors chaque composante du vecteur ˆΘ⁽ⁱ⁾m−Θvrai

f oncdans l’´equation (7.15) par la composante de Θvrai

f onc correspondante). Le crit`ere ainsi calcul´e est nomm´e crit`ere r´eduit et se note Cr

m. Le tableau 7.4 donne les crit`eres de performance simples et r´eduits pour chacune des m´ethodes.

Filtre Kalman Filtre Particulaire Filtre Particulaire Convol´e

Crit`ere Cm 1.66 × 10⁻² 4.63 × 10⁻² 1.03 × 10⁻²

Crit`ere r´eduit Cr

m 8.515 8.540 8.525

Tab. 7.4 – Crit`ere de performance standard et r´eduit pour chacune des m´ethodes.

Le filtre de Kalman apparaˆıt comme le plus performant des trois algorithmes avec le crit`ere r´eduit mais pas avec le crit`ere standard, le meilleur ´etant dans ce cas le filtre particulaire convol´e. Les diff´erences sont cependant minimes. Il est tout de mˆeme pr´ef´ e-rable de travailler avec le crit`ere r´eduit afin de donner un poids ´equivalent `a chacune des composantes du vecteur de param`etres (et ne pas privil´egier les composantes `a valeurs importantes). Le tableau confirme ´egalement les moins bonnes performances du filtre particulaire simple.

Les trois m´ethodes donnent ´egalement des r´esultats tr`es bons concernant l’estimation des ´etats cach´es du syst`eme dynamique (c’est-`a-dire la biomasse cr´e´ee `a chaque cycle de croissance dont la valeur est donn´ee par l’´equation de photosynth`ese bruit´ee (7.7)). Ceci est bien mis en ´evidence par la figure 7.4. Il est `a noter que le filtre de Kalman sans parfum propose une estimation tr`es pr´ecise de ces ´etats cach´es (voir la figure 7.5).

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