Exemple complexe

Soit V = {s, m, d} un alphabet. Soit L = hW+, πi un F0L-syst`eme stochastique dont les composantes de la matrice de transition π sont toutes ´egales `a 0 `a l’exception de :

π_s,mssd= p π_s,= 1 − p π_m,m = 1 π_d,d= 1

avec p ∈]0, 1[. Le noyau de transition correspondant est not´e P . Nous souhaitons calcu-ler la distribution associ´ee au nombre d’occurrences du mot dm dans un texte g´en´er´e al´eatoirement par le syst`eme composant L[s] apr`es N ´etapes de production. Afin de r´esoudre ce probl`eme, nous voulons d´eterminer la fonction g´en´eratrice de W<sub>N</sub><sup>L[s]</sup>associ´ee ` a dm : Ψ^[s]_N(z) = ^X w∈W (P^N)_s,w z^c(w,dm) =^X k∈N P^c(w^L[s]_N , dm) = k^ z^k avec^wn^L[s]  n≥0

la chaˆıne de Markov engendr´ee par L[s]. Trouvons maintenant une sp´ e-cification it´erative appropri´ee pour {Wn^L[s] | n ∈ {0, . . . , N }}. Une premi`ere id´ee est d’utiliser la mˆeme approche que dans l’exemple pr´ec´edent (on utilise d’abord le th´ eo-r`eme de d´ecomposition g´en´erale 4.3.2 et ensuite on applique le th´eor`eme d’ind´ependance d’´evolution 4.3.3). On obtient alors :

∀n ∈ {0, . . . , N − 1}, W_n+1^L[s] = {(, 1 − p)} + {(, p)}.W_n^L[m].W_n^L[s].W_n^L[s].W_n^L[d].

Etant donn´e que π_m,m= 1 et π_d,d= 1, nous avons :

∀n ∈ N, W_n^L[m]= {(m, 1)} W_n^L[d] = {(d, 1)}. (4.10)

Ainsi :

∀n ∈ {0, . . . , N − 1}, W_n+1^L[s]= {(, 1 − p)} + {(, p)}.{(m, 1)}.W_n^L[s].W_n^L[s].{(d, 1)}. (4.11) Cependant, cette derni`ere ´equation ne repose pas sur des constructions admissibles puisque la concat´enation de Wn<sup>L[s]</sup> et de Wn<sup>L[s]</sup> est g´en´eratrice par rapport `a dm (voir la d´efinition 4.3.3). En effet, comme le mot mssd peut ˆetre obtenu apr`es une ´etape de production de L[s], la concat´enation mssd.mssd = mssdmssd est alors un mot pond´er´e de W<sub>1</sub><sup>L[s]</sup>.W<sub>1</sub><sup>L[s]</sup>avec un poids p2 strictement positif. Or, nous avons c(mssdmssd, dm) 6= c(mssd, dm) + c(mssd, dm). Par cons´equent, il est n´ecessaire de trouver une autre d´ e-composition afin de pouvoir utiliser les r`egles de transformation du th´eor`eme 4.3.1. Etant donn´e que le mot dm ne peut ˆetre cr´e´e que par la concat´enation de deux lettres s (voir les r`egles de production du L-syst`eme), l’id´ee est d’´ecrire une d´ecomposition impliquant Wn<sup>L[ss]</sup>. Nous pouvons l’obtenir `a partir de l’´equation (4.11) et du th´eor`eme 4.3.3 :

∀n ∈ {0, . . . , N − 1}, W_n+1^L[s]= {(, 1 − p)} + {(, p)}.{(m, 1)}.W_n^L[ss].{(d, 1)}. (4.12)

Cependant, l’´equation (4.12) n’est pas suffisante pour avoir une sp´ecification. Il faut alors une ´equation r´ecurrente pour Wn^L[ss] mettant en ´evidence le mot dm dans la d´

e-composition : W_n+1^L[ss]=W_n+1^L[s].W_n+1^L[s] = h {(, 1 − p)} + {(, p)}.{(m, 1)}.W_n^L[ss].{(d, 1)} i . h {(, 1 − p)} + {(, p)}.{(m, 1)}.W_n^L[ss].{(d, 1)} i ={(, (1 − p)²)} + {(m, 2p(1 − p))}.W_n^L[ss].{(d, 1)} + {(m, p²)}.W_n^L[ss].{(dm, 1)}.W_n^L[ss].{(d, 1)}. (4.13)

Les ´equations (4.12) et (4.13) forment bien cette fois une sp´ecification it´erative appro-pri´ee pour {Wn^L[s] | n ∈ {0, . . . , N }}. En effet, il est facile de prouver par une r´ecurrence imm´ediate sur n que tous les mots de Wn^L[ss] commencent soit par s ou m et se finissent soit par s ou d. Ainsi, dans les ´equations (4.12) et (4.13), la concat´enation de deux ensembles cons´ecutifs de mots pond´er´es est toujours non g´en´eratrice par rapport au mot dm. Nous avons donc des constructions admissibles. En appliquant les r`egles de transformation, nous obtenons alors :

∀n ∈ {0, . . . , N − 1},    Ψ^L[s]_n+1(z) = 1 − p + pΨ^L[ss]n (z) Ψ^L[ss]_n+1(z) = (1 − p)2+ 2p(1 − p)Ψ^L[ss]n (z) + p2z^Ψ^L[ss]n (z)^2 (4.14) avec Ψ^L[s]₀ (z) = 1 et Ψ^L[ss]₀ (z) = 1. Tout comme pour l’exemple de la section pr´ec´edente, les coefficients de Ψ^L[s]_N (z) peuvent facilement ˆetre extrait du syst`eme d’´equations (4.14) en identifiant les coefficients des s´eries enti`eres correspondantes. En faisant ainsi, ces coefficients peuvent ˆetre calcul´es r´ecursivement. Il est ´egalement possible de calculer de fa¸con r´ecursive l’esp´erance et la variance du nombre de mots dm dans un texte g´en´er´e al´eatoirement par L[s] apr`es N ´etapes de production en utilisant le corollaire A.1.2 de l’annexe A.1.

Chapitre 5

´

Etude combinatoire des structures

de plante

Dans le chapitre 3, nous avons pr´esent´e un mod`ele de d´eveloppement stochastique (not´e S) pour la croissance des plantes. Ce mod`ele a fait l’objet d’une ´etude probabiliste : mise en ´evidence des diff´erents processus stochastiques et leur mod´elisation, ´ecriture des fonctions g´en´eratrices, ´etude de la finitude de la croissance. Dans ce chapitre, nous introduisons un cadre combinatoire pour ce mod`ele permettant d’approfondir l’´etude probabiliste. La structure d’une plante est cod´ee par un mot de Dyck. Le d´eveloppement de la plante est repr´esent´e par un 0L-syst`eme stochastique (voir la section 5.1.3).

L’utilisation de grammaires formelles pour cr´eer des structures de plante n’est pas une id´ee nouvelle (voir Smith (1984), Prusinkiewicz and Lindenmayer (1990), Fran¸con (1990), Kurth and Sloboda (1997), Kang and de Reffye (2007) entre autres). Elles ont surtout ´et´e employ´ees pour des besoins graphiques (Prusinkiewicz and Lindenmayer (1990), Kruszewski and Whitesides (1998) . . . ). Plus r´ecemment, (Kang et al. (2007)) les ont utilis´ees pour fournir un cadre math´ematique propice `a l’´etude de l’organogen`ese stochastique du mod`ele de croissance GreenLab 2. Dans un tel contexte, la composition de la plante `a un cycle donn´e est cod´ee par un mot construit `a partir d’un alphabet de symboles repr´esentant les bourgeons et les phytom`eres de tout ˆage physiologique. L’introduction des fonctions g´en´eratrices associ´ees au nombre de lettres permettent de calculer de fa¸con r´ecursive les moments `a tout ordre de n’importe quel type d’organe dans la plante `a un cycle donn´e. Dans ce chapitre, nous utilisons un codage par mot de Dyck pour repr´esenter la structure d’une plante (voir Loi et al. (2009, 2010)). Ce codage pr´esente l’avantage de conserver la topologie de la plante (contrairement au codage de Kang et al. (2007)). Il est alors possible d’´etendre l’´etude de la composition `a celle de motifs (un enchaˆınement particulier d’organes, des organes plac´es `a des positions particuli`eres . . . ). Pour cela, nous utiliserons les r´esultats du chapitre pr´ec´edent et en particulier la m´ethode symbolique ´etablie pour des textes g´en´er´es al´eatoirement par des 0L-syst`emes stochastiques.

Nous commen¸cons le chapitre en introduisant le cadre combinatoire associ´e au mo-d`ele de d´eveloppement stochastique S, section 5.1. Ensuite, la section 5.2 traite de l’occurrence de motifs dans des structures de plante g´en´er´ees par S et montre comment

appliquer la m´ethode symbolique ´ecrite dans le chapitre pr´ec´edent dans un tel contexte. Le chapitre se termine par l’application des r´esultats obtenus `a l’estimation des vecteurs de param`etres Θ_org et Θ_dif du mod`ele S `a partir de donn´ees botaniques, voir section 5.3.

5.1 Cadre combinatoire

Cette section commence par quelques rappels de combinatoire. Nous montrons en-suite comment la structure d’une plante peut ˆetre cod´ee par un mot de Dyck et comment le mod`ele de d´eveloppement S peut ˆetre repr´esent´e par un 0L-syst`eme stochastique.