Mise en place d’une m´ ethode symbolique

L’objectif de cette section est de mettre en place une m´ethode symbolique permettant de calculer la distribution associ´ee au nombre d’occurrences d’une famille de mots dans un texte g´en´er´e al´eatoirement par un 0L-syst`eme stochastique L = ha, πi apr`es N ´etapes de production.

N.B. 4.9 Afin de simplifier l’´ecriture des ´equations qui suivent, nous ne consid´erons que des familles r´eduites `a un seul mot u ∈ W<sup>+</sup> (c’est-`a-dire U = {u}). L’extension `a des familles de plusieurs mots ne pose pas de probl`eme particulier.

Pour r´esoudre ce probl`eme, on se propose de d´eterminer ΨL

N la fonction g´en´eratrice de LN associ´ee `a U = {u} avec LN le 0L-syst`eme correspondant `a la N -i`eme ´etape de production. En effet, nous avons vu dans la section 4.2.2 que cette fonction g´en´eratrice peut se mettre sous la forme d’une s´erie enti`ere :

Ψ^L_N(z) = ^X w∈W (P^N)_a,wz^c(w,u) =^X k∈N P c(wN^L, u) = k
zk avec wL n

n≥0la chaˆıne de Markov g´en´er´ee par L. La suite des coefficients P c(w_N^L, u) = k

k≥0

correspond `a la distribution qui nous int´eresse. Le probl`eme est que, la plupart du temps, ΨL

N ne peut pas ˆetre calcul´ee directement `a cause de la complexit´e des structures engen-dr´ees par L. Nous mettons en place une m´ethode symbolique permettant alors d’obtenir Ψ^L_N de fa¸con r´ecursive.

Nous commen¸cons cette section par quelques rappels de combinatoire et nous pr´ e-sentons ensuite les fondements de la m´ethode symbolique.

4.3.1 Rappels de combinatoire

Tous les concepts mentionn´es dans cette annexe sont d´etaill´es dans Flajolet and Sedgewick (2009). Soit A une classe combinatoire et |.| une fonction taille. Soit A la fonction g´en´eratrice de A munie de s :

A(z) =^X

t∈A

z^|t| =^X

n∈N

A_nzⁿ

avec A_n le nombre d’´el´ements de A ayant une taille n. La suite (A_n)_n∈N est appel´ee suite de comptage de A (counting sequence en anglais).

D´efinition 4.3.1 (Construction admissible) Soit B(1), . . . , B(m) une collection de classes combinatoires munies d’une fonction taille |.| et B(1), . . . , B(m) les fonctions g´en´eratrices correspondantes. Soient (Bn⁽¹⁾)_n∈N, . . . , (Bn^(m))_n∈N les suites de comptage associ´ees. Soit Φ une construction qui, pour toute collection de classes B(1), . . . , B(m), associe une nou-velle classe

4.3. Mise en place d’une m´ethode symbolique 77

La construction Φ est admissible si la suite de comptage (A_n)_n∈N de A ne d´epend que des suites de comptage (Bn⁽¹⁾)_n∈N,. . .,(Bn^(m))_n∈N de B(1), . . . , B(m). Pour une telle construc-tion admissible, il existe un op´erateur Ψ bien d´efini agissant sur les fonctions g´en´ era-trices correspondantes B(1)(z), . . . , B(m)(z) :

A(z) = Ψ[B⁽¹⁾(z), . . . , B^(m)(z)].

D´efinition 4.3.2 (Sp´ecification) Une sp´ecification pour un r-uplet (A(1), . . . , A(r)) de classes combinatoires est une collection de r ´equations,

       A(1) = Φ₁(A(1), . . . , A(r)) A(2) = Φ₂(A(1), . . . , A(r)) · · · A(r) = Φ_r(A⁽¹⁾, . . . , A^(r)) (4.3)

o`u Φ1, Φ2, . . ., Φr sont des constructions admissibles.

Formellement, le syst`eme (4.3) est une sp´ecification it´erative si celui-ci est strictement triangulaire inf´erieur, c’est-`a-dire que A(1) peut ˆetre exprim´ee uniquement `a partir de classes combinatoires de bases et, pour tout k ∈ {1, . . . , r − 1}, la construction de A^(k+1) ne d´epend que de A(1), . . ., A(k) et de classes combinatoires de base.

4.3.2 Principe, constructions admissibles et th´eor`emes de d´

e-composition

La m´ethode symbolique est tr`es utilis´ee en analyse combinatoire, voir Flajolet and Sedgewick (2009). Elle permet de calculer des fonctions g´en´eratrices associ´ees `a des classes d’int´erˆet. Le principe de base consiste `a transformer un syst`eme d’´equations combinatoires faisant intervenir les classes d’int´erˆet en un syst`eme d’´equations fonction-nelles impliquant les fonctions g´en´eratrices correspondantes.

Nous pr´esentons ici cette m´ethode dans le cadre des textes g´en´er´es al´eatoirement par des 0L-syst`emes stochastiques. La premi`ere ´etape de la m´ethode consiste `a ´ecrire une sp´ecification it´erative appropri´ee pour l’ensemble des classes combinatoires stochastiques

{WL

n | n ∈ {0, . . . , N }} sous la forme d’un syst`eme d’´equations combinatoires reposant sur des constructions admissibles. Ensuite, en utilisant des r`egles de transformation, ces ´equations combinatoires sont transform´ees en ´equations fonctionnelles faisant intervenir ΨL

n pour n ∈ {0, . . . , N }. Finalement, les coefficients de ΨL

N sont extraits `a partir de ces ´equations fonctionnelles.

Le point crucial de la m´ethode symbolique est l’´ecriture de la sp´ecification. Dans cette optique, les classes WL

n sont d´ecompos´ees alg´ebriquement en faisant intervenir les classes W_k^L avec k ≤ n mais aussi des classes de structure combinatoire simple. Cette d´ecomposition doit reposer sur des constructions admissibles. Pour ce faire, nous allons utiliser la structure de semi-anneau ´etablie dans la section 4.1.2 pour l’ensemble W des ensembles de mots pond´er´es contruits sur W . En effet, sous certaines conditions, les op´erateurs union et concat´enation sont des constructions admissibles :

D´efinition 4.3.3 (Concat´enation non g´en´eratrice) Soit u ∈ W+ et G et H deux sous-ensembles de W . La concat´enation de G et de H est dite non g´en´eratrice par rapport `a u si la condition suivante est v´erifi´ee :

∀(w, v) ∈ G × H, c(w.v, u) = c(w, u) + c(v, u).

Dans le cas contraire, la concat´enation de G et de H est dite g´en´eratrice par rapport `a u.

Par d´efinition, la concat´enation de G = {(w, p_w) | w ∈ G} et de H = {(v, q_v) | v ∈ H} est dite non g´en´eratrice par rapport `a u si la concat´enation de G et de H l’est. Dans ce cas :

Th´eor`eme 4.3.1 (Constructions admissibles) Soient G, H et I trois ´el´ements de W. Soit u ∈ W+ et α,β et γ les fonctions g´en´eratrices respectives de G, H et I associ´ees `

a U = {u}. Alors, l’op´erateur union ‘ + ’ est une construction admissible avec la r`egle de transformation suivante :

I = G + H =⇒ γ(z) = α(z) + β(z).

Supposons de plus que la concat´enation de G et H est non g´en´eratrice par rapport `a u. Dans ce cas, l’op´erateur concat´enation ‘ . ’ est aussi une construction admissible avec la r`egle de transformation suivante :

I = G.H =⇒ γ(z) = α(z)β(z).

Preuve Supposons que G = {(w, p_w) | w ∈ G} et que H = {(v, q_v) | v ∈ H}. 1) Si I = G + H. Alors, `a partir des d´efinitions 4.1.8 et 4.1.9 :

γ(z) = ^X x∈G\H p_xz^c(x,u)+ ^X x∈H\G q_xz^c(x,u)+ ^X x∈G∩H (p_x+ q_x)z^c(x,u) = ^X w∈G p_wz^c(w,u)+^X v∈H q_vz^c(v,u) = α(z) + β(z).

2) Si I = G.H. Alors, `a partir des d´efinitions 4.1.8 et 4.1.10 :

γ(z) = ^X

(w,v)∈G×H

(p_wq_v)z^c(w.v,u).

Etant donn´e que la concat´enation de G et H est non g´en´eratrice par rapport `a u, alors, pour (w, v) ∈ G × H, c(w.v, u) = c(w, u) + c(v, u). Ainsi,

γ(z) = ^X (w,v)∈G×H  pwz^c(w,u)  qvz^c(v,u)  = ^X w∈G pwz^c(w,u) ! X v∈H qvz^c(v,u) ! = α(z).β(z).  N.B. 4.10 Contrairement `a l’op´erateur union classique ∪, il n’y a pas besoin d’imposer que G ∩ H = {} pour faire de l’op´erateur ‘ + ’ une construction admissible.

4.3. Mise en place d’une m´ethode symbolique 79

Bien que la structure de semi-anneau donne un cadre alg´ebrique pour l’´ecriture de la sp´ecification, elle ne fournit pas de m´ethode de d´ecomposition pour W_n^L avec n ∈ {0, . . . , N }. Pour obtenir une telle d´ecomposition, nous pouvons utiliser les th´eor`emes 4.3.2 et 4.3.3 suivants :

Th´eor`eme 4.3.2 (D´ecomposition g´en´erale) Soit L = hW<sup>+</sup>, πi un F0L-syst`eme sto-chastique. Alors :

∀a ∈ W+

, ∀n ∈ N, W_n+1^L[a] = ^X

w∈W

{(, π_a,w)}.W_n^L[w].

Preuve Soit P le noyau de transition associ´e `a L. Soit x ∈ W<sub>n+1</sub><sup>L[a]</sup>. Alors, il existe s ∈ W tel que x = (s, (P<sup>n+1</sup>)a,s). En utilisant le th´eor`eme de Chapman-Kolmogorov, nous avons : (Pⁿ⁺¹)_a,s = ^X w∈W P_a,w(Pⁿ)_w,s = ^X w∈W π_a,w(Pⁿ)_w,s. (4.4) Ainsi : {x} = {(s, ^X w∈W π_a,w(Pⁿ)_w,s)} = ^X w∈W {(s, π_a,w(Pⁿ)_w,s)} = ^X w∈W {(, π_a,w)}.{(s, (Pⁿ)_w,s)}.

Or (s, (Pⁿ)_w,s) ∈ Wn^L[w] pour tout w ∈ W . Nous en d´eduisons que, pour tout x ∈ W_n+1^L[a],

x ∈ ^X w∈W {(, π_a,w)}.W_n^L[w] et donc : W_n+1^L[a] ⊂ ^X w∈W {(, π_a,w)}.W_n^L[w]. R´eciproquement, soit x = (s, p_s) ∈ ^X w∈W

{(, π_a,w)}.W_n^L[w]. Alors, il existe une suite

{(r_w, (Pn)_w,rw)}_w∈W de Wn^L[w] telle que : {x} = {(s, p_s)} = ^X w∈W {(, π_a,w)}.{(r_w, (Pⁿ)_w,rw)} = ^X w∈W {(r_w, π_a,w(Pⁿ)_w,rw)}.

Cette derni`ere ´equation impose s = r_w pour tout w ∈ W . Ainsi, en utilisant l’´equation de Chapman-Kolmogorov (4.4), nous obtenons :

{x} = ^X

w∈W

{(s, π_a,w(Pⁿ)_w,s)} = {(s, ^X

w∈W

π_a,w(Pⁿ)_w,s)} = {(s, (Pⁿ⁺¹)_a,s)}.

Nous en d´eduisons que, pour tout x ∈ ^X

w∈W

{(, π_a,w)}.W_n^L[w], x ∈ W_n+1^L[a] et donc :

X w∈W {(, π_a,w)}.W_n^L[w] ⊂ W_n+1^L[a]. Finalement : W_n+1^L[a] = ^X w∈W {(, πa,w)}.W_n^L[w].

 Th´eor`eme 4.3.3 (Ind´ependance d’´evolution) Soit L = hW+, πi un F0L-syst`eme stochastique. Soient w₁, w₂,. . ., w_k, k mots de W+. Alors :

∀n ∈ N, W^L[w1.w2.··· .wk]

n = W^L[w1]

n .W^L[w2]

n . · · · .W^L[wk] n .

Preuve Soit k = 2. Soient m₁ et m₂ le nombre de lettres de w₁ et de w₂ respec-tivement. Dans ce cas, il existe (v1

1, . . . , v1 m1) ∈ Vm1 et (v2 1, . . . , v2 m2) ∈ Vm2 tels que w₁ = v1 1. · · · .v1 m1 et w₂ = v2 1. · · · .v2

m2. Etant donn´e que les lettres d’un mot ´evoluent de fa¸con ind´ependante, nous avons :

W^L[w1.w2] n = W^L[v 1 1.··· .v1 m1^.v1².··· .v2 m2^] n = W^L[v11] n . · · · .W^L[v 1 m1^] n .W^L[v21] n . · · · .W^L[v 2 m2^] n . De la mˆeme fa¸con, pour j ∈ {1, 2} :

W^L[wj] n = W^L[v j 1.··· .v^j_mj] n = W^L[v1^j] n . · · · .W^L[v j mj^] n . Ainsi, W^L[w1.w2] n = W^L[w1] n .W^L[w2] n .

Le r´esultat du th´eor`eme se d´emontre par une r´ecurrence imm´ediate sur k ≥ 2.

 Les th´eor`emes 4.3.2 et 4.3.3 procurent des ´equations combinatoires qui apparaissent comme des d´ecompositions naturelles des classes W_n^L. Cependant, leur utilisation n’abou-tit pas toujours sur des constructions admissibles (voir l’exemple 4.4.2). Dans ce cas, d’autres m´ethodes moins syst´ematiques doivent ˆetre employ´ees pour obtenir une sp´ eci-fication appropri´ee.

4.3.3 Enonc´e de la m´ethode

Soit L = hA, πi un F0L-syst`eme stochastique. La m´ethode symbolique peut ˆetre r´esum´ee par les points suivants :

• D´eterminer l’objectif : calculer la distribution associ´ee au nombre d’occurrences d’un mot u ∈ W⁺ dans un texte g´en´er´e al´eatoirement par le syst`eme composant L[a] apr`es N ´etapes de production et a ∈ A.

• Ecrire la fonction g´en´eratrice de W_N^L[a] associ´ee `a U = {u} : Ψ<sup>L[a]</sup><sub>N</sub> . Les coefficients de Ψ<sup>L[a]</sup><sub>N</sub> (´ecrite sous la forme d’une s´erie enti`ere) donnent la distribution d’int´erˆet. • Ecrire une sp´ecification it´erative pour les ensembles de mots pond´er´es {Wn^L[a] | n ∈ {0, . . . , N }} en utilisant des constructions admissibles obtenues `a partir des op´ e-rateurs union ‘ + ’ et concat´enation ‘ . ’. Les th´eor`emes 4.3.2 et 4.3.3 permettent en g´en´eral d’aboutir au r´esultat.

• Utiliser les r`egles de transformation du th´eor`eme 4.3.1 et ´ecrire un syst`eme ferm´e d’´equations fonctionnelles impliquant Ψ^L[a]_N pour n ∈ {0, . . . , N }.

• R´esoudre directement le syst`eme pr´ec´edent ou bien trouver un ensemble d’´equa-tions r´ecursives v´erifi´ees par les coefficients de Ψ^L[a]_N pour n ∈ {0, . . . , N }.