B.9 Squelettisation
B.9.3 Squelettes connexes
Une technique pour la détermination de squelettes connexes repose sur la notion de distance. Nous avons vu que le
SBM
(X
) est constitué de points de distance maximale aux bords. Une première technique consiste à connecter ces points de façon à obtenir une ligne de crête connexe de la transformée distance. Un des intérêts de cette méthode est de conduire à un squelette pon-déré réversible, en étiquetant les points du squelette à partir de la distance aux bords (Arcelliet Frucci, 1992; Sanniti di Baja, 1993). On trouve une importante littérature dans ce do-maine et toutes sortes de cartes de distances ont été utilisées (Rosenfeld et Pfaltz, 1966;
Danielson, 1980; Arcelli et Sanniti di Baja, 1985; Arcelli et Frucci, 1992) avec des algorithmes particulièrement rapides lorsque la carte choisie est simple (ArcellietSanniti di Baja, 1989). (Thiel, 1993) propose une approche uni ée quelle que soit la carte de distance choisie. Il commence par une détection des points selles de la transformée distance puis eec-tue une remontée vers l'amont pour extraire l'ensemble des points de l'axe médian. En trame digitale, cet axe médian peut être épais et on doit procéder à un traitement nal pour obtenir 1. On parle ici d'objet au sens propre et non dans le sens connexioniste que nous avons utilisé dans l'annexe A.
B.9. Squelettisation 183 un squelette d'épaisseur 1. Les erreurs induites par ce type de méthode dépendent essentielle-ment du choix de la métrique utilisée. En ce qui concerne la robustesse vis-à-vis de la rotation en particulier, il est important de prendre une carte aussi proche que possible de la distance euclidienne (Danielson, 1980;Ge etFitzpatrick, 1996) (cf. annexe A).
Amincissements homotopiques
Les amincissements notés}sont une application directe de la transformation tout ou rien.
X
}B
=X=X
~B
(B.37)Le squelette homotopique peut être obtenu par amincissements récursifs de
X
, en analysant localement les con gurations de voisinage. On détermine les pixels qui peuvent être supprimés du bord deX
sans changer l'homotopie deX
en comparant chaque voisinage à des con gura-tions homotopiques caractéristiques. (Golay, 1969) propose un alphabet de voisinages en trame hexagonale qui permet ce type d'opération. En particulier, l'élément structurantL
est utilisé pour le calcul de l'amincissement homotopique (cf. gure B.9).Fig.B.9 Élément structurant L pour amincissements homotopiques en trame hexagonale. Les éléments structurants présentés par la gure B.10 en découlent dans le cas de la trame carrée (Serra, 1982).
L
0L
04
L
08
Fig.B.10 Éléments structurants biphasés pour amincissements homotopiques en trame carrée. Pour chaque point
p
, on regarde la correspondance entre N(p
) et toutes les rotations deL
0pour les passes impairs de la séquence, et celles de
L
04 (resp.
L
08) pour les itérations paires de la séquence selon que l'on travaille respectivement en c-4 ou c-8. Cette technique est très lente sur machine conventionnelle. Le résultat dépend de l'ordre de succession des éléments structurants. De plus, le recours à des éléments structurants de petite taille donne des résultats peu conformes à la distance euclidienne aux bords.
Squelettisation contrôlée par points d'ancrage
Une méthode particulièrement intéressante, tant du point de vue du résultat que du temps de calcul, est dûe à L.Vincent(Vincent, 1990) et repose sur l'utilisation de points d'ancrage pendant la phase d'amincissements homotopiques. On commence par dé nir les points d'ancrage qui sont ceux qui doivent gurer dans le squelette nal. Il peut s'agir par exemple de
SBM
(X
).On eectue ensuite un parcours en largeur d'abord à partir des bords de
X
. On amincit de cette façonX
couche par couche de manière homotopique en prenant soin de ne pas éliminer de points d'ancrage. Le feu de prairie (ou snake) va alors s'ancrer sur les points d'ancrage en ajoutant des arcs d'épaisseur 1 entre ces points. L'intérêt de cette technique réside dans le fait qu'elle permet, par un choix judicieux des points d'ancrage, de déterminer a priori le type de squelette que l'on souhaite obtenir (cf. tableau B.1).Tab. B.1 Squelettes et points d'ancrage.
Points d'ancrage Type de squelette
Aucun
Marquage homotopique
plus petite composante connexe préservant l'homotopie de X
Boules maximales
Squelette minimal
préserve l'homotopie de X, contient le squelette par boules maximales
Liste des dé nitions
1 Distance . . . 12
2 Chemin géodésique . . . 12
3 Distance géodésique . . . 12
4 Boule géodésique . . . 13
5 Dilatation géodésique binaire . . . 14
6 Érosion géodésique binaire . . . 14
7 Reconstruction binaire . . . 15
8 Maximum régional . . . 20
9 Minimum régional . . . 21
10 Zone d'in uence . . . 22
11 Dynamique d'un chemin . . . 34
12 Dynamique d'un minimum . . . 34
13 Seuillage par dynamique . . . 34
14 Zone d'In uence Géodésique . . . 57
15 Automate ni . . . 75
16 Clique . . . 104
17 Coloration . . . 104
18 Nombre chromatique . . . 105
19 Degré d'un noeud . . . 105
20 Image 1 . . . 160
21 Complémentaire . . . 160
22 Graphe orienté . . . 160
23 Graphe non orienté . . . 161
24 Ordre d'un graphe . . . 161
25 Graphe complet . . . 161 26 Trame digitale . . . 161 27 Image 2 . . . 161 28 Voisin . . . 162 29 Voisinage . . . 162 30 K-voisinage . . . 163 31 Chemin . . . 163 32 Lacet . . . 163 33 Connection . . . 163
34 K-connexité entre points . . . 163
35 K-connexité d'une trame . . . 163
36 Ensemble connexe . . . 163
37 Composante connexe . . . 164
38 Ordre de connexité . . . 164 185
39 Chemins homotopiques . . . 164 40 Transformation homotopique . . . 166 41 Distance city-block . . . 166 42 Distance chessboard . . . 166 43 Boule . . . 166 44 Transformée Distance (TD) . . . 167 45 Diérence d'ensembles . . . 170 46 Extensivité . . . 171 47 Croissance . . . 171 48 Idempotence . . . 171 49 Dualité . . . 171
50 Transformation tout ou rien . . . 172
51 Érosion binaire . . . 172 52 Dilatation binaire . . . 173 53 Érosion numérique . . . 174 54 Dilatation numérique . . . 174 55 Ouverture 1 . . . 175 56 Fermeture 1 . . . 175 57 Ouverture 2 . . . 176 58 Fermeture 2 . . . 176 59 Chapeau haut-de-forme . . . 177 60 Filtre morphologique . . . 177 61 Filtre alterné . . . 177 62 Gradient morphologique . . . 178 63 Boule maximale . . . 180
64 Squelette par boules maximales . . . 181
Liste des algorithmes
1 TD parallèle . . . 49
2 Algorithme deBerge pour le calcul des chemins minimaux . . . 50
3 TD séquentielle . . . 51
4 Algorithme deMoore-Dijskra pour le calcul des chemins minimaux . . . 53
5 TD par le d'attente . . . 54
6 Calcul de la LPE par FAH . . . 65
7 Initialisation de l'automate . . . 77
8 Propagation dans l'automate . . . 78
9 Reconstruction numérique séquentielle . . . 94
10 Reconstruction positive par méthode hybride . . . 95
11 Algorithme générique à propagation séparée . . . 96
12 Phase de recherche de marqueur avec propagation séquentielle . . . 96
13 Marquage manuel . . . 97
14 Étiquetage de régions . . . 98
15 Extraction des maxima régionaux . . . 99
16 Algorithme générique à propagation imbriquée . . . 100