1.3 Famille d'opérateurs basés sur la géodésie et l'idempotence
1.3.6 Ligne de partage des eaux
i=0
M
i (1.34)On appelle zone d'in uence de
M
i et on noteIZ
(M
i) l'ensemble des pixels de D plus proches deM
i que de n'importe quelle autre composante connexe:IZ
(M
i) =fp
2D;
8(i;j
)2[0;::: ;k
[2;
(j
6=i
);d
(p;M
i)< d
(p;M
j)g (1.35) oùd
(p;M
i) est la distance du pixelp
à l'ensembleM
i.Le concept de zone d'in uence vient de la théorie des graphes. Il est parfois appelé par-titionement de Voronoï dans ce contexte. L'ensemble des zones d'in uence des composantes connexes d'une image constitue un pavage de cette image. Il donne une indication pertinente sur la répartition de ces composantes dans l'image (Lantuejoul, 1978). Les zones d'in uence ont également été utilisées dans le domaine de la compression d'images (Ahuja et al., 1985).
Les zones d'in uence sont séparées par une ligne dont les points véri ent
d
(p;M
i) =d
(p;M
j). Cette ligne est appelée Skeleton by In uence Zones (SKIZ). Elle est dé nie par:SKIZ
(M
) =D=IZ
(M
) (1.36)Les points appartenant au SKIZ sont situés sur la ligne de crête de la fonction distance. L'analogie avec la squelettisation (cf. annexe B) lui vaut la dénomination d'exosquelette puisqu'il forme un squelette du fond (cf. gure 1.10). On notera que les zones d'in uence ne préservent pas l'homotopie de l'ensemble initial. De même, le SKIZ ne préserve pas l'homotopie du fond.
Fig.1.10 Exosquelette.
1.3.6 Ligne de partage des eaux
La notion de LPE nous vient de l'hydrologie. C'est un concept très intuitif. Considérons un relief topographique. Supposons qu'une goutte d'eau tombe en un point de ce relief. Cette
1.3. Famille d opérateurs basés sur la géodésie et l idempotence 23 goutte coule le long de la ligne de plus forte pente jusqu'à un minimum régional (attracteur). Les points pour lesquels la goutte coule vers le minimum
M
i sont appelés Bassins Versants (BV) associés àM
i (notésBV
(M
i)). Ces Bassins Versants (BV) sont séparés par une ligne appelée LPE. Les points de la LPE sont ceux ayant plus d'un attracteur. Du point de vue topographique, ils sont situés sur la ligne de crête séparant les bassins versants. La LPE a fait couler beaucoup d'encre ces dernières années. Les premiers algorithmes sont tout naturellement apparus dans le domaine de la topographie (Collins, 1975;Peucker et Douglas, 1975) et ont continué à s'y développer (Marks et al., 1984). Mais c'est essentiellement à son introduction dans la seg-mentation d'images que nous allons nous intéresser. Lantuejoul (Digabel et Lantuejoul, 1977;Beucher et Lantuejoul, 1979) est le premier à évoquer la LPE en tant qu'outil mor-phologique dans un problème traitant de piles d'images binaires. (Beucher, 1982) introduit la LPE d'une manière plus générale dans le cadre de la segmentation d'images numériques. La technique employée est automatique, il n'est plus nécessaire de xer de paramètres. La dé ni-tion de la LPE a reposé longtemps sur l'idée intuitive apparentée à la topographie d'une part et à des descriptions algorithmiques de l'autre. Ce n'est que bien après son introduction sous une forme technique que la LPE a été dé nie mathématiquement dans le domaine continu par (PreteuxetMerlet, 1991) en terme de distance diérentielle, elle-même basée sur la distance topographique (PreteuxetMerlet, 1990;Preteux etMerlet, 1992).Bien que l'idée de LPE soit intuitive, sa formalisation mathématique est délicate. Nous proposons de dresser les étapes importantes de cette approche. La maitrise de ce formalisme n'est pas indispensable à la compréhension du reste du document. Nous reviendrons sur une dé nition plus directe dans le chapitre 2. La dé nition proposée par (Preteux et Merlet, 1991) revient à dé nir une nouvelle métrique dans l'image
f
appelée distance diérentielle, notéeD
f, qui permet d'introduire une relation du type:
SKIZ
Df(
M
) =LPE
(f
) (1.37)où
SKIZ
Df(
M
) est le squelette par zones d'in uence des minimaM
=Si
M
i relatif à la mé-triqueD
f. Tout le travail consiste en une transformation topologique de l'image conduisant à la carte de distance qui permet d'établir l'équation 1.37. Commençons par décrire une mé-trique liée à la notion de plus forte pente. Rappelons que la ligne de plus grande pente d'une fonction continue diérentiable et semi-complète inférieurement1 est donnée en tout point par l'opposé de l'azimut de son gradient. Soit ,p;q l'ensemble des chemins monotones montants (up) et descendants (down) reliant
p
àq
, c'est-à-dire ,p;q= ,up;q[,dp;q avec:8
p;q2,p;q
;
p;qDp;q2,up;q ssi 8(1
;
2)2[0;
1]2;
1<
2)
f
(p;q(1))
f
(p;q(2))
p;q2,dp;q ssi 8(1
;
2)2[0;
1]2;
1<
2)
f
(p;q(1))
f
(p;q(2)) (1.38) lorsqu'un chemin entre
p
etq
existe, c'est-à-dire ,p;q 6= ;. (Preteux et Merlet, 1990) dé -nissent le coût de déviationdev
f(p;q
) par:8(
p;q
) 2 D 2;
p
=q
)dev
f(p;q
) = ,ln2p
6=q
)dev
f(p;q
) = ^ p;q Z p;q(f
0 m(h
),f
0 p;q(h
))dh;
p;q2,p;q (1.39) oùf
0m(
h
) est la dérivée selon la tangente au chemin de plus forte pentem et
f
0p;q(
h
) la dérivée selon la tangente au cheminp;q.
γm γ2 γ1 p q1 q2 q0
Fig. 1.11 Exemples de chemins dans un relief.
La gure 1.11 illustre la notion de pente maximale. Le chemin
m est le chemin de pente maximale issu de
p
. Les chemins1 et
2 sont respectivement les chemins de ,p;q1 et ,p;q2 mini-misant l'intégrale de l'équation 1.39. On aura
dev
f(p;q
0) = 0 alors quedev
f(p;q
1) etdev
f(p;q
2) seront non nuls. Il est plus pénalisant de partir dans la direction deq
1 ouq
2 que dans celle deq
0. Plus les cheminsp;qsont loin de
m, en terme de pente, plus grand est le coût de déviation. (PreteuxetMerlet, 1990) montrent que le coût de déviation n'est pas une distance car il ne véri e pas l'inégalité triangulaire et propose la distance
D
f(p;q
) appelée distance diérentielle:8(
x;y
)2D2
;D
f(p;q
) = 2,exp(,dev
f(p;q
)). On a alors:D
f(p;q
) = 0 ,p
=q
D
f(p;q
) = 1 , p et q appartiennent à un chemin de plus forte pente 1D
f(p;q
)<
2 , 9p;q2,p;q :
p;q monotone
D
f(p;q
) = 2 , 8p;q2,p;q
;
p;qn'est pas monotone (1.40) Remarquons que la distance diérentielle est constante dans les plateaux. Il y a ainsi une indétermination sur la position de la LPE dans les plateaux, ce qui conduit à la notion de LPE épaisse, encore appelée Zone de Partage des Eaux (ZPE) (Friedlander, 1989).Si la ligne de crête du relief est formée d'un plateau, celui-ci sera entièrement contenu dans la ZPE, comme le montre la gure 1.12. Voici un premier résultat issu de la notion de distance diérentielle:
SKIZ
Df(M
) =ZPE
(f
) (1.41)En traitement d'images, la LPE est souvent utilisée pour la segmentation en contours. La ZPE n'y est pas bien adaptée puisque les contours sont supposés être ns. C'est pourquoi (Preteuxet
Merlet, 1991) introduit un deuxième terme correspondant à la distance aux bords descendants1
1. On remarquera que (Beucher, 1982) avait déjà décomposé le calcul de la LPE en deux étapes : chemins de plus forte pente et distance aux bords. Nous reviendrons sur ce point au chapitre 2.
1.3. Famille d opérateurs basés sur la géodésie et l idempotence 25
ZPE
BV2
BV1 BV3 BV4
M2 M3
Fig.1.12 Zone de partage des eaux monodimensionnelle.
dans le calcul de la distance conduisant à la LPE. Identi ons d'abord l'ensemble des points de
p;q situés sur un plateau:
p;q =f
p
02
p;q:8
h
2p;p0
;f
(h
) =f
(p
)g (1.42) La gure 1.13 illustre les cas d'un cheminp;q ascendant ou descendant.
p p q q ψq,p(γp,q) ψp,q(γp,q) Λq,p Λp,q
Fig. 1.13 Chemins monotones.
Recherchons ensuite les bords descendants aux plateaux dans ces deux cas. Introduisons pour cela p;q de ,p;q vers D:
f
(p
)> f
(q
) ) p;q(p;q)2p;q et8
p
0 2p;q( p;q);q
; p
02=
p;q (1.43)f
(p
)< f
(q
) ) p;q(p;q)2q;p et8
p
0 2p; p;q( p;q)
; p
02=
q;p (1.44)f
(p
) =f
(q
) ) p;q(p;q) =
p
(1.45)p;qa donc comme rôle de déterminer les bords descendants aux plateaux dans le cas des chemins décroissants 1.43 et croissants 1.44. La profondeur du plateau notée f(
p;q
), en supposant que ,p;q 6=;, est:f
(p
)> f
(q
) ) f(p;q
) = ^ p;qd
g(Tf(p) (f))(p;
p;q(p;q)) (1.46)
f
(p
)< f
(q
) ) f(p;q
) = ^ p;qd
g(Tf(p) (f))(q;
p;q(p;q)) (1.47)
f
(p
) =f
(q
) ) f(p;q
) =d
g(Tf(p) (f))(p;q
) (1.48)Notons que la profondeur du plateau n'a d'intérêt que lorsque ce plateau est au bord d'un BV et que
p
etq
sont sur un chemin de plus forte pente, autrement dit quandD
f(p;q
) = 1. Aussi combinerons-nous f etD
f de la manière suivante:D
f(p;q
) = 0 )D
f(p;q
) = 0D
f(p;q
) = 1 )D
f(p;q
) =D
f(p;q
) + 2,exp(,f(p;q
)) (1.49)D
f(p;q
)>
1 )D
f(p;q
) =D
f(p;q
) + 2D
f est une distance et véri e pour toute fonction continue dérivable (
f
2F 1c(D
;IR
)):SKIZ
Df(
M
) =LPE
(f
) (1.50)L'équation 1.50 donne une dé nition de la LPE illustrée par la gure 1.14.
LPE
BV2
BV1 BV3 BV4
M2 M3
Fig. 1.14 Ligne de partage des eaux monodimensionnelle.
Remarque
En remarquant que la fonction distance euclidienned
E d'une image binaire est une fonction de F1
c(D
;IR
), on pourra appliquer l'équation 1.50 pour la construction du SKIZ d'un ensemble binaireX
de la manière suivante:SKIZ
(X
) =SKIZ
DdE(X)(
M
) (1.51)où
M
représente les minima de la fonctiond
E(X
).Intégration d'une image et ligne de partage des eaux
(Meyer, 1992) introduit le lien entre la LPE et l'intégrale d'une image. L'opérateur d'inté-gration
est la transformation inverse du semi-gradient interneg
, (cf. annexe B). Il est donc possible de reconstruire une image par intégration deg
,(f
) en prenant comme condition aux limites un point de chaque minimum régional (Meyer, 1992): (g
,(f
)) =f
(1.52)Ceci signi e que deux fonctions ayant mêmes minima et mêmes semi-gradients internes sont identiques. Lors de la reconstruction de
f
à partir deg
,(f
), chaque point est reconstruit à partir d'un prédécesseur: on peut établir un graphe de connection dans lequel sur chaque sommet n'arrive qu'un arc. Tous les points ayant un prédécesseur dans un même minimum régional1.3. Famille d opérateurs basés sur la géodésie et l idempotence 27 sont dotés, au cours du parcours du graphe, d'une étiquette commune. On construit une image étiquetée des bassins versants au fur et à mesure du processus d'intégration. Nous verrons cela plus en détail au chapitre 2. La LPE est la ligne séparant ces bassins.
Il s'agit donc de trouver
f
solution de l'équation:k ,!
r
f
k=g
(1.53)La résolution de cette équation a été proposée par (Verbeek etVerwer, 1990) pour le shape from shading et appliquée à la LPE digitale. (Verwer et al., 1993) explique que ce problème se ramène à la recherche d'un chemin minimum dans un graphe orienté et valué selon la norme du gradient ,!
r
f
le long d'un chemin donné.Dans le cas des fonctions semi-complètes inférieurement1, la métrique utilisée pour le calcul du coût des arcs est la distance image
d
f(p;q
) (Najman, 1994;NajmanetSchmitt, 1994) et (Meyer, 1994) donnée par:d
f(p;q
) = ^ 2,p;q Z k ,! rf
((
h
))kdh
(1.54)Nous verrons comment chercher le plus court chemin au sens de
d
f au chapitre 2. Remarquons aussi qued
f n'est plus une distance lorsquef
possède des plateaux, en eet8(p;q
)2D2:
f
(p
) =f
(q
); d
f(p;q
) = 0. La séparabilité n'est donc plus véri ée. Pour les fonctions ayant des plateaux, il faut faire intervenir la notion de distance au bord comme vu plus haut. Dans (Vincent, 1990;Meyer, 1994), les auteurs présentent des solutions algorithmiques à ce problème dans le cas des images discrétisées (cf. chapitre 2).
Remarquons que l'équation 1.54 s'adapte au cas des images binaires (Meyer, 1994). Le gradient constant est alors égal à 1. Sur une fonction distance, l'équation 1.54 devient:
d
f(p;q
) = ^2,p;q
Z
dh
(1.55)qui n'est autre que l'expression de la distance géodésique de la dé nition 1.
La LPE sépare les BV relatifs aux minima de l'image. La LPE construite à partir de l'en-semble des minima conduit au phénomène de sur-segmentation. Nous présenterons plus loin des techniques de marquage, qui permettront la sélection de nouveaux attracteurs, dans le but de contrôler la LPE nale. Or, on conçoit mal, tant du point de vue intuitif que théorique, com-ment on pourrait aboutir à une LPE si les attracteurs n'étaient les minima du relief. (Meyeret
Beucher, 1990) et (Beucher, 1990a) proposent une modi cation préalable du relief initial de telle sorte que les minima du nouveau relief correspondent aux marqueurs choisis et que tous les creux non marqués du relief soient remplis. On peut voir l'eet de cette transformation, appelée changement d'homotopie, sur l'exemple de la gure 1.15.
Le changement d'homotopie du relief (cf. annexe A) résulte d'une reconstruction négative de la fonction
f
par le reliefgf(
m
), où la fonctionm
est dé nie par:m
:
m
(p
) = 0 si p marqueurm
(p
) = +1 sinon (1.56)Dans l'image obtenue par changement d'homotopie, chaque minimum est un attracteur et il n'y a pas d'attracteur hors de ces minima. Le reste du relief est inchangé. On est donc à nouveau dans une situation qui correspond à la fois à la présentation intuitive et formelle de la LPE.
1. Plus exactement : des fonctions ayant un gradient non nul sauf en des points isolés, c'est-à-dire les fonctions de Morse.
M1 M2 M3 f
m
M1 M2 M3
Fig. 1.15 Changement d'homotopie.
1.3.7 Conclusion
Les opérateurs mettant à pro t la géodésie dans les images binaires ou numériques sont nombreux. Nous en avons donné un tour d'horizon rapide en nous focalisant sur ceux qui interviennent le plus couramment dans les chaînes de segmentation des images. En fait, ces traitements sont issus de l'utilisation de nouvelles métriques, que ce soit de manière explicite ou implicite. On propage des données dont la nature dépend du traitement en minimisant un coût lié à la métrique, à partir d'ensembles de points, dé nis explicitement par l'utilisateur, qui servent de conditions initiales. Les conditions nales aux limites sont données implicitement par la notion d'idempotence. Cette observation laisse un large champ à d'autres traitements ayant les mêmes fondements. Penchons-nous à présent sur quelques applications des traitements géodésiques.