Connexité et distance

La distance entre points dans une image est une notion fondamentale. Elle permet une analyse quantitative des objets et est largement utilisée en morphologie mathématique. Remarquons que les notions de connexité et de voisinage sont très liées à celle de métrique dans les images. Lorsque les arcs de

G

ont une longueur 1, la trame carrée se dénit par

p

(

x

p

;y

p)

;q

(

x

q

;y

q) voisins ssi:

j

x

p,

x

qj+j

y

p,

y

qj = 1 pour la trame c-4 (A.11)

max

(j

x

p,

x

qj

;

j

y

p,

y

qj) = 1 pour la trame c-8 (A.12)

Dénition 41 (Distance city-block)

Nous pouvons alors dénir la distance sous-jacente à la trame 4-connexe appelée distance city-block et notée

d

c,4 par:

8(

p

(

x

p

;y

p)

;q

(

x

q

;y

q))2D

; d

c,4(

p;q

) =j

x

p,

x

qj+j

y

p,

y

qj (A.13) Elle correspond à la longueur du chemin le plus court reliant

p

à

q

en c-4 en supposant que la longueur des arêtes de graphe vaut 1.

Dénition 42 (Distance chessboard)

Nous pouvons aussi dénir la distance sous-jacente à la trame 8-connexe nommée distance chess-board et notée

d

c,8:

8(

p

(

x

p

;y

p)

;q

(

x

q

;y

q))2D

; d

c,8(

p;q

) =

max

(j

x

p,

x

qj

;

j

y

p,

y

qj) (A.14) qui correspond à la longueur du chemin le plus court reliant

p

à

q

en c-8 en supposant que la longueur des arêtes de graphe vaut 1.

Dénition 43 (Boule)

On appelle boule de rayon



et on note

B

(

p

), l'ensemble des points

q

dont la distance (dans la métrique utilisée) à

p

est inférieure à



. Le point

p

est le centre de la boule:

A.6. Connexité et distance 167

Dénition 44 (Transformée Distance (TD))

La transformée distance convertit une image binaire en une image à niveau de gris dans laquelle on attribue à tous les points du fond la valeur correspondant à la distance à l'objet le plus proche (Borgefors, 1986). Soit

S

=S

i

S

i l'ensemble des objets de l'image.

8

p

2

S

c

; TD

(

p

) = ^

q2S

d

(

p;q

) (A.16)

Dans le domaine continu, nous savons que la longueur d'un chemin est donnée par la somme des longueurs innitésimales sur ce chemin. La distance entre deux points est donnée par la longueur du plus court des chemins reliant ces deux points.

Dans le but de calculer rapidement la TD dans le domaine discret, nous utilisons de la même manière le cumul de distances locales entre points pour calculer les distances globales (RosenfeldetPfaltz, 1968). La TD en

p

(

x;y

) est alors approchée itérativement par l'expres-sion:

d

n(

x;y

) = ^ (i;j)2

(

d

n,1

(

x

+

i;y

+

j

) +

c

(

i;j

)) (A.17) où

c

(

i;j

) est une fonction centrée sur l'origine et de support
. On peut montrer que cette expression converge si on prend comme valeurs initiales 0 pour les objets et +1 pour le fond. Nous verrons les algorithmes pour le calcul de la distance au chapitre 2.

Les supports
les plus souvent utilisés sont de taille 33 (gure A.5) avec



= 1,



= +1

(city-block) ou



= 1,



= 1 (chessboard). Dans ces deux cas, la distance correspond aux nombres minimum d'arêtes qu'il faut traverser pour aller de

p

à

b

(gure A.5a) selon que l'on travaille en c-4 ou en c-8 respectivement . Il est clair que

d

E(

a;b

) =p

2. La distance

d

c,4 donne donc lieu à une distance trop faible alors que

d

c,8 conduit à des valeurs trop grandes.

b a b a p a b a b a

  



0



  

b

Fig. A.5  Voisinage 33 dans l'image (a), et coecients du masque associé (b). Nous souhaitons que les mesures sur les objets soient invariantes par rapport à la rotation, ce qui impose à la métrique d'être aussi isotrope que possible. Le problème du calcul de la TD réside dans le choix des coecients de la fonction

c

et de la taille de
qui permettront la meilleure approximation de la distance euclidienne. Plus le support de
sera grand, plus on pourra jouer sur les coecients respectifs de

c

pour parfaire cette approximation. Par contre, la complexité du calcul croissant également avec la taille de
, il faut trouver un compromis. De plus, on cherche généralement à utiliser des coecients entiers, d'une part pour simplier les calculs, et d'autre part parce que les images de distance sont souvent utilisées en entrée de traitements travaillant sur des entiers. La taille des données à stocker en mémoire est également plus faible dans ce cas. (Borgefors, 1986) cherche à minimiser l'erreur maximale; elle aboutit aux conclusions suivantes: si on utilise un support
de taille 33 (gure A.5b), les meilleurs résultats sont obtenus avec



= 3 et



= 4. On parle de distance chanfrein

d

3,4. Le masque 55 de la gure A.6 sera utilisé avec



= 5,



= 7,

= 11. Elle indique aussi que le passage à un voisinage de taille supérieure n'est pas justié par un gain en précision si on travaille en entiers.

  



0



  

Fig. A.6  Coecients associés à un voisinage 55.

La distance à un point selon les approximations que nous venons d'évoquer sont représentées par la gure A.7.

En réécrivant l'équation A.17 et en posant 8(

i;j

)2
,

v

(

i;j

) =,

c

(

i;j

), on a:

d

n(

x;y

) = ^ (i;j)2

(

d

n,1

(

x

+

i;y

+

j

),

v

(

i;j

)) (A.18) Nous verrons dans l'annexe B que cette expression est celle d'une transformation morphologique de base appelée érosion. Dans ce contexte,

v

est appelé élément structurant. Nous décrirons des propriétés de décomposition d'éléments structurants de grande taille à l'aide d'éléments structurants plus petits. Ces propriétés sont particulièrement intéressantes ici puisque nous allons pouvoir accroître la précision de nos calculs tout en utilisant des supports de petite taille à l'aide de ces lois de décomposition. C'est ce que propose (ShihetMitchell, 1992) en calculant

d

E à partir d'opérateurs morphologiques. (Huang et Mitchell, 1994) propose une méthode analogue: il réduit le nombre de masques utilisés en calculant

d

2

E au lieu de

d

E.

city-block chessboard chanfrein 3-4 chanfrein 5-7-11

Notions de morphologie

mathématique

Notre science tend toujours aux ma-thématiques comme à un idéal.

Henri Bergson

Nous commencerons par évoquer rapidement des notions théoriques sur lesquelles repose la morphologie mathématique. Nous étudierons en particulier les propriétés permettant de qualier les opérateurs qui seront décrits plus loin. Les opérateurs de base sont dénis dans le cadre des images binaires et numériques. On s'intéressera aux lois de composition de ces opérateurs qui donnent lieu à de nouvelles transformations. Les ltres, les gradients et les squelettes en sont des exemples. Le problème de la squelettisation sera détaillé parce qu'une fois de plus, il illustre les dicultés à travailler sur des images discrétisées.

Cette annexe a pour but de présenter les notions de morphologie mathématique nécessaires à la compréhension du reste du rapport. Elle ne constitue nullement une description exhaus-tive de la théorie de la morphologie mathématique, ni des techniques morphologiques. Aussi recommandons-nous au lecteur intéressé par ce domaine les ouvrages suivants: (Matheron, 1967;Matheron, 1975;Serra, 1982;Serra, 1986;Sternberg, 1986;MaragosetSchafer, 1987a; Maragos etSchafer, 1987b; Beucher, 1990a;Vincent, 1990;Serra etVincent, 1992;DoughertyetAstola, 1994;Heijmans, 1996).

B.1 Un cadre théorique pour la morphologie mathématique

La morphologie mathématique est une branche du traitement du signal et des images qui vise à étudier des phénomènes par leur répartition dans l'espace. Cette approche conduit aux notions d'objet et de comparaison d'objets. L'apport fondamental de la morphologie mathéma-tique réside en une théorie utilisant ces notions: elle s'intéresse à la comparaison de signaux plutôt qu'à leur combinaison. Dans le domaine du traitement d'images, en particulier, les objets peuvent s'occulter les uns les autres. Ce type de phénomènes n'est pas représentable au moyen d'opérateurs linéaires classiques. La morphologie mathématique, quant à elle, les décrit très bien. L'outil d'analyse de base en morphologie mathématique est la relation d'inclusion. La mor-phologie mathématique s'intéresse particulièrement aux relations qui existent entre les objets

à analyser et leur environnement en utilisant les éléments géométriques de référence appelés éléments structurants.

Commençons par décrire l'espace de travail qu'utilise la morphologie mathématique (Matheron, 1975;Serra, 1982). Les objets

X

sont des sous-ensembles d'un espace arbitraire

E

:

X



E

.

p(

E

) représente la famille de tous les sous-ensembles

X

de

E

. Nous pouvons décrire une algèbre booléenne surp(

E

).

Propriété 1 (Treillis complet)

p(

E

) est un treillis complet, c'est-à-dire quep(

E

) est doté d'une relation d'ordre notée . De plus, pour toute famille d'objets

X

i 2p(

E

), il existe un plus petit majorant _ et un plus grand

minorant ^. |

On a appliqué la morphologie mathématique aux ensembles binaires (Matheron, 1967;

Matheron, 1975) en premier lieu. Dans ce cadre, la relation d'ordreest l'inclusion ensembliste

. Le plus petit majorant (

sup

) de la famille

X

i est la réunion: S

i

X

i. Le plus grand minorant (

inf

) est l'intersection: T

i

X

i.

La morphologie mathématique voit ensuite son champ d'étude s'étendre aux fonctions à valeurs réelles de

E

=

IR

n vers

IR

à la n des années 70, par F.Meyer et S.R. Sternberg

en particulier (Sternberg, 1986). La relation d'ordre est alors donnée par

f



g

si8

p

2

IR

n,

f

(

p

)

g

(

p

). Le

sup

et le

inf

sont donnés par:

f

=_

f

i ,

f

(

p

) = sup_i

f

i(

p

)

g

=^

g

i ,

g

(

p

) = inf_i

g

i(

p

)

Propriété 2 (Distributivité)

8(

X; Y; Z

)2[p(

E

)]3

X

_(

Y

^

Z

) = (

X

_

Y

)^(

X

_

Z

) (B.1)

|

Dénition 45 (Diérence d'ensembles)

Soient deux ensembles binaires

X

et

Y

dep(

E

). La diérence d'ensembles notée

X=Y

est donnée par:

X=Y

=

X

\

Y

c (B.2)

X=Y

correspond donc à la partie de

X

ne gurant pas dans

Y

.

Dans le document Architectures parallèles pour la morphologie mathématique géodésique (Page 179-183)