L’´equation maˆıtresse (5.67) d´ecrit un spin dans un champ magn´etique oscillant per-pendiculaire `a un champ magn´etique constant. On retrouve donc la solution donn´ee par Bloch [161] pour les valeurs moyennes des op´erateurs de Pauli. Dans la notation utilis´ee dans cette th`ese, on obtient, pour la valeur moyenne de σz correspondant `a l’´etat du qubit,
§5.8. Spectre analytique du qubit 119 est le d´ephasage total. Dans le langage de Bloch, le coefficient (˜γ↓−γ˜↑)/(˜γ↓+˜γ↑) correspon-drait `a l’aimantation moyenne `a l’´equilibre sans champ oscillant, |g0αs,0|2 correspondrait
`a l’amplitude du champ magn´etique oscillant perpendiculairement au champ magn´etique statique et ˜δ serait le d´ecalage entre la fr´equence Zeeman du spin et la fr´equence du champ oscillant.
Si l’on tracehσzien fonction de la fr´equence de spectroscopieωs et de l’amplitude de pompep par exemple, on obtient ce que j’appelle le spectre du qubit, que je comparerai
`a des r´esultats num´eriques et exp´erimentaux au chapitre 6. En pratique, on tracera plutˆot P(|1i) = hΠ1,1i = (1 +hσzi)/2, la probabilit´e que le qubit soit dans l’´etat excit´e. Cette
est la probabilit´e que le qubit soit excit´e `a l’´equilibre thermique, la«temp´erature effec-tive»´etant ici repr´esent´ee par le taux d’excitation ˜γ↑.
On peut interpr´eter le mod`ele d´evelopp´e dans ce chapitre selon deux points de vue.
Tout d’abord, les ´equations ci-dessus pour le spectre fixent certaines attentes par rapport
`a la r´etroaction du champ ´electromagn´etique sur le qubit. Par exemple, sachant que γϕ000 ∝ κ|α1 −α0|2, on s’attend `a ce que la largeur de la transition du qubit augmente lorsque la distinguabilit´e D = |α1 −α0| entre les deux ´etats pointeurs augmente. De mˆeme, comme les taux de relaxation et de chauffage effectifs ˜γ↓ et ˜γ↑ sont piqu´es lorsque le d´ecalage de fr´equence qubit-spectroscopie est ´egal — en valeur absolue — au d´ecalage r´esonateur-pompe. On s’attend donc `a observer des pics (des bandes lat´erales) dans le spectre du qubit `a ces fr´equences de spectroscopie. Ce sont ces effets que j’analyserai plus en d´etails au chapitre 6, en comparant le spectre analytique `a des simulations num´eriques et `a des r´esultats exp´erimentaux.
D’un autre cˆot´e, le mod`ele nous donne aussi certains indicateurs pour am´eliorer la mesure du qubit. En effet, on s’attend `a ce que la mesure s’am´eliore lorsque la distin-guabilit´e des ´etats pointeurs augmente. Cette mˆeme distindistin-guabilit´e peut ˆetre calcul´ee grˆace aux ´equations (5.30) pour αi,d. En particulier, on s’attend `a ce que D augmente si la diff´erence entre les fr´equences effectives du r´esonateur pour les ´etats |0i et |1i du
120 Chapitre 5 : Mod`ele r´eduit qubit augmente. En analysant le comportement de Sdi et Kdi en fonction de diff´erents param`etres, il est ainsi possible d’identifier ces r´egimes plus favorables `a la mesure. C’est
`a cette question que je m’int´eresserai dans le chapitre 7.
Chapitre 6
Sonde du r´ esonateur par le qubit
Pure logical thinking can give us no knowledge whatsoever of the world of experience ; all knowledge about reality begins with experience and terminates in it.
— Albert Einstein [125]
Cette citation d’Einstein illustre bien le chemin que j’ai suivi dans le cadre de cette th`ese. Ainsi, c’est une exp´erience r´ealis´ee au CEA-Saclay par le groupe de quantronique qui a motiv´e le d´eveloppement du mod`ele que j’ai pr´esent´e au chapitre 5. C’est `a leurs r´esultats exp´erimentaux que je comparerai le mod`ele r´eduit ainsi que les r´esultats de simulations num´eriques bas´ees sur le mod`ele initial complet ´enonc´e `a la section 5.1.
Je d´ebute ce chapitre en d´ecrivant, `a la section 6.1, l’exp´erience r´ealis´ee `a Saclay. Je compare ensuite les r´esultats exp´erimentaux `a des r´esultats de simulations num´eriques et au mod`ele analytique dans un r´egime de faible et de forte amplitude de spectroscopie, aux sections 6.2 et 6.3 respectivement.
6.1 Description de l’exp´ erience de Saclay
Le montage exp´erimental du groupe de Saclay est sch´ematis´e `a la figure 6.1, et les param`etres sont donn´es dans la l´egende de la figure. L’exp´erience se d´eroule de la fa¸con suivante. Le r´esonateur est rempli de photons par un signal de pompe de fr´equence ωp ∼ ωr et d’amplitude p. Ce signal d’amplitude constante est envoy´e pendant une
121
122 Chapitre 6 : Sonde du r´esonateur par le qubit
RF LO
I(t) Q(t)
ǫ
pǫ
sǫ
mωp ωs ωm
0 1 2 3 µs
Figure 6.1 – Repr´esentation sch´ematique de l’exp´erience du groupe de Saclay [75]. Les pa-ram`etres du r´esonateur sont (ωr, K, K0, κ, κNL)/2π = (6453.5,−0.625,−0.00125,9.6,0) MHz.
Les param`etres du transmon sont (ω1,0, ω2,1, γ, γϕ)/2π = (5720,5421.6,0.22,0.25) MHz. Les constantes de couplage entre le transmon et le r´esonateur au point d’op´eration du transmon sont (g0, g1)/2π = (42.4,58.4). Les autres couplages et fr´equences du transmon peuvent ˆetre calcul´es tel que d´ecrit `a la section 2.3. Les d´efinitions de ces param`etres sont donn´ees `a la section 5.1. L’encart en haut `a gauche pr´esente la s´equence de pulses.
dur´ee suffisamment longue (>1/κ) pour que le r´esonateur atteigne un ´etat stationnaire.
Un signal de spectroscopie de fr´equence ωs ∼ω1,0 et d’amplitude s est ensuite appliqu´e pour tenter d’induire une transition vers l’´etat |1i du qubit. Les signaux de pompe et de spectroscopie sont ensuite arrˆet´es et, apr`es un temps d’attente, l’´etat du qubit est lu avec une mesure par bifurcation. Le temps d’attentet est tel que 1/γ > t > 1/κ de sorte que le r´esonateur ait le temps de relaxer vers son fondamental, mais que l’´etat du qubit change peu. L’exp´erience est r´ep´et´ee en variant l’amplitude et la fr´equence des signaux de pompe et de spectroscopie afin d’accumuler des statistiques et de calculer la probabilit´e que le signal de spectroscopie ait r´eussi `a exciter le qubit vers l’´etat |1i.
Les r´esultats qui sont pr´esent´es aux sections suivantes sont des spectres montrant la probabilit´e que le qubit soit dans l’´etat|1i en fonction de l’amplitude de pompep et de la fr´equence de spectroscopie ωs, pour diff´erentes fr´equences de pompe ωp et amplitudes de spectroscopies. De ces spectres, on peut extraire la fr´equence et le taux de d´ephasage effectifs du qubit, correspondant respectivement `a la position et `a la largeur `a mi-hauteur de la raie de spectroscopie. Tel que montr´e th´eoriquement au chapitre 5, la fr´equence effective et le taux de d´ephasage du qubit d´ependent du champ intra-r´esonateur. Ceci permet d’utiliser le qubit comme une sonde pour ce champ.