Dans cette section, je pr´esente une m´ethode pour ´eliminer adiabatiquement les degr´es de libert´e d’un syst`eme dont la dynamique est beaucoup plus rapide — c’est-`a-dire que le taux de relaxation est plus important — qu’un autre. Le syst`eme `a dynamique rapide sera dans notre cas le r´esonateur alors que le qubit aura une dynamique lente. L’approche pr´esent´ee utilise le formalisme des projecteurs de Zwanzig [132,133] utilis´e en thermo-dynamique pour ´eliminer les degr´es de libert´e d’un syst`eme «non pertinent » et garder seulement ceux du syst`eme d’int´erˆet. Ce formalisme a ensuite ´et´e d´evelopp´e par Gardiner et Zoller [134,135] entre autres pour ´eliminer les degr´es de libert´e de l’environnement afin d’obtenir l’´equation maˆıtresse de l’optique quantique. L’approche est similaire en esprit
`a celle que j’utilise `a l’annexe B pour obtenir l’´equation maˆıtresse, malgr´e que je n’utilise pas explicitement les projecteurs dans l’annexe. Cette section est reprise de notes
ma-§3.2. ´Elimination adiabatique 67 nuscrites d’Andrew C. Doherty sur le sujet [136], mais j’ai adapt´e la notation pour ˆetre coh´erente avec celle utilis´ee dans cette th`ese et d´etaill´e certaines ´etapes.
On consid`ere un syst`eme compos´e de deux sous-syst`emes, le qubit (q) et le r´esonateur (r). On d´ecrit l’´evolution des deux syst`emes par trois Lindbladiens nomm´esLr d´ecrivant l’´evolution de l’´etat du r´esonateur, Lq d´ecrivant celle du qubit et Lc(t) d´ecrivant le cou-plage entre les deux sous-syst`emes. Ainsi, on peut ´ecrire l’´evolution totale du syst`eme coupl´e par l’´equation maˆıtresse
˙
ρ=Lrρ+Lc(t)ρ+Lqρ, (3.40)
o`uLr et Lq agissent respectivement dans le sous-espace du r´esonateur et du qubit et o`u Lc(t) agit dans les deux sous-espaces. On consid`ere aussi que la dynamique du r´esonateur est plus rapide que celle du qubit. Ainsi, on suppose que Lr ∼ O(1/τr) et Lc,Lq ∼ O(1/τc)∼ O(1/τq), o`uτrτc, τqsont les temps caract´eristiques des Lindbladiens. Cette hypoth`ese est correcte dans la limite o`u le taux de relaxation du r´esonateur κ∼1/τr est bien sup´erieur `a celui du qubit γ ∼ 1/τq, ce qui sera respect´e approximativement dans les r´esultats pr´esent´es dans cette th`ese.
Comme la dynamique du r´esonateur est plus rapide que celle du qubit, on supposera que celui-ci relaxe rapidement vers un ´etat stationnaire ρsr respectant
˙
ρsr=Lrρsr = 0. (3.41)
On supposera ainsi que l’´etat total du syst`eme `a un temps t peut ˆetre ´ecrit comme ρ(t) = ρsr⊗ρq(t), (3.42) et on cherchera l’´equation d’´evolution deρq(t). Pour ce faire, on d´efinit un super-op´erateur de projection Qsur le sous-espace du qubit tel que
Qρ≡ρsr⊗Trr{ρ}, (3.43)
o`u Trr{ρ} correspond `a la trace sur les ´etats du r´esonateur de la matrice densit´e totale.
Ce projecteur ob´eit `a la relation habituelleQ2 =Q, et on peut d´efinir un projecteur dual R = I − Q, o`u I est l’identit´e, et o`u l’on a R2 = R et QR =RQ = 0. On peut alors montrer quelques propri´et´es de la dynamique de ces op´erateurs de projection. On peut
68 Chapitre 3 : M´ethodes analytiques montrer que
LrQρ=Lrρsr⊗Trr{ρ}= 0, (3.44) puisque ρsr est un ´etat stationnaire deLr et donc Lrρsr = 0. De mˆeme,
QLrρ=ρsr⊗Trr{Lrρ}= 0, (3.45) o`u la derni`ere ´egalit´e est respect´ee parce que Lr g´en`ere une ´evolution qui conserve la trace. En effet, pour tout Lindbladien L, on a Tr{Lρ} = Tr{ρ˙} = 0. Ainsi, on peut
´ecrire
LrQ=QLr= 0. (3.46)
De mˆeme, puisque Lq agit uniquement sur le sous-espace du qubit et que le projecteur Qprojette sur ce sous-espace, on a
LqQ=QLq. (3.47)
Finalement, on suppose que le couplage est tel que
QLc(t)Q= 0. (3.48)
Cette supposition est sans perte de g´en´eralit´e, car on pourrait toujours red´efinir L0q → Lq+QLc(t)Q et Lc(t)0 → Lc(t)− QLc(t)Q de fa¸con `a inclure les termes qui ne respec-teraient pas cette supposition dans le Lindbladien du qubit. Cette supposition implique donc que tous les termes diagonaux dans l’´evolution du qubit sont compris dansLq et non Lc(t). Des r´esultats ci-dessus d´ecoulent facilement trois autres r´esultats pour le projecteur R
RLr =LrR,
RLc(t) =RLc(t)R+RLc(t)Q, RLq =LqR.
(3.49)
Par les op´erateurs de projection Q et R, on a ainsi divis´e l’espace d’Hilbert en deux parties, l’une correspondant au qubit et l’autre au r´esonateur, sans pour autant les d´ecoupler compl`etement. On s’int´eresse maintenant `a l’´evolution des deux matrices
§3.2. ´Elimination adiabatique 69
o`u l’on a utilis´e les r´esultats ci-dessus ainsi que les d´efinitions dev et w. De mˆeme, on a
˙
w(t) = Rρ(t) =˙ RLrρ+RLc(t)ρ+RLqρ,
=LrRρ+RLc(t)Rρ+RLc(t)Qρ+LqRρ,
= (Lr+RLc(t) +Lq)w+RLc(t)v.
(3.51)
On ´ecrit maintenant une solution approximative pour w(t) en supposant que v(t) varie lentement et que Lr est plus important que RLc(t) et Lq (car 1/τr 1/τc,1/τq).
On obtient ainsi en int´egrant l’´equation diff´erentielle w(t)≈exp [Lr(t−t0)]w(t0) + exp [Lrt]
A la deuxi`eme ligne, on a suppos´e que le temps d’int´egration est long devant` τr de sorte `a pouvoir laisser tomber le premier terme et on a fait un changement de variable
¯t=t−t0pour le deuxi`eme terme. `A la troisi`eme ligne, on fait l’approximation adiabatique et suppos´e que le temps d’int´egration est court par rapport `a τc etτq de telle fa¸con que v(t) varie lentement sur le temps d’int´egration et v(t −¯t) ≈ v(t), mais que le temps d’int´egration est tout de mˆeme long par rapport `a τr. On peut alors substituer cette solution approximative dans l’´equation d’´evolution pour v et obtenir
˙
70 Chapitre 3 : M´ethodes analytiques On peut alors appliquer la d´efinition de Q
ρsr⊗Trr{ρ˙}=ρsr⊗Trr{Lqρ(t)}+ρsr⊗Trr
´eliminerρsr, et obtenir l’´equation du mouvement pour la matrice densit´e r´eduite du qubit ρq = Trr{ρ} Comme on le verra par l’exemple ci-dessous, cette ´equation nous permet de trouver l’´evolution de l’´etat du qubit ρq `a partir des fonctions de corr´elation `a deux temps du r´esonateur.
3.2.1 Exemple : couplage d´ ependant du temps
Il est utile d’illustrer cette m´ethode g´en´erale `a l’aide d’un exemple concret. Je suppose un hamiltonien de couplage de la forme
Hc=F Q†eiδt+F†Qe−iδt, (3.58) o`u F est un op´erateur du r´esonateur qui agit comme une force sur le qubit, δ est une fr´equence qui r´esulte par exemple du passage dans un r´ef´erentiel d’interaction permettant d’´eliminerHr etHq. Finalement,Qest un op´erateur agissant sur le qubit. Le lindbladien de couplage est alors
Lcρ=−i[Hc(t), ρ]. (3.59)
§3.2. ´Elimination adiabatique 71 Selon l’´equation (3.57), on a alors
˙
En pratique, je supposerai que l’on peut n´egliger la derni`ere ligne de l’´equation (3.60b).
Cette approximation est valide si F†F†
F†F
ou si l’on s’int´eresse `a des temps t longs comparativement `a 1/δ, de sorte que les termes proportionnels `a ei2δt peuvent ˆetre n´eglig´es sous une approximation s´eculaire. Cette approximation correspondra au chapitre 5 `a l’approximation des bandes lat´erales r´esolues.
On peut simplifier cette ´equation en d´efinissant deux spectres de fluctuation de la forceF
On peut alors r´e´ecrire l’´equation du mouvement ci-dessus sous la forme
˙
ρq =Lqρq−i[δH, ρq] + Re[S↑(−δ)]D[Q†]ρq+ Re[S↓(δ)]D[Q]ρq, (3.63) o`u
δH = Im[S↑(−δ)]QQ†+ Im[S↓(δ)]Q†Q, (3.64)
72 Chapitre 3 : M´ethodes analytiques est une modification `a l’hamiltonien du qubit. Ainsi, les fluctuations de l’´etat du r´eso-nateur m`enent `a des termes dissipatifs sur le qubit ainsi qu’`a une modification de son hamiltonien de fa¸con analogue `a lorsque l’on ´elimine les degr´es de libert´e de l’environne-ment.