7.4 Mesure par bifurcation dans le r´egime de chevauchement
7.4.1 R´egime de chevauchement
Figure 7.7 –Energies de transition du qubit (a) et leurs positions relatives `´ a la fr´equence du r´esonateur hors (b) et `a l’int´erieur (c) du r´egime de chevauchement. Figure adapt´ee de [176].
lin´eaire, on peut r´ealiser une mesure aussi — sinon plus — efficace avec un couplage beaucoup plus faible, de l’ordre de g/2π ∼10 MHz. Je pr´esente tout d’abord le r´egime de chevauchement dans lequel cette mesure est possible `a la section 7.4.1. J’analyse ensuite la performance d’une mesure par bifurcation dans ce r´egime en la comparant avec une mesure en dehors de ce r´egime `a la section 7.4.2, puis je pr´esente quelques autres avantages d’op´erer dans ce r´egime `a la section 7.4.3. Les r´esultats de cette section sont repris de la r´ef´erence [176].
7.4.1 R´ egime de chevauchement
Un r´egime de chevauchement (straddling regime en anglais [89]) ne peut exister que pour un qubit `a plus de deux niveaux. Dans un tel r´egime, la fr´equence du r´esonateur est situ´ee entre deux fr´equences de transition du qubit. On peut alors imaginer les deux fr´equences de transition comme chevauchant celle du r´esonateur, d’o`u le nom du r´egime.
Ainsi, si l’on repr´esente les fr´equences du qubit tel qu’`a la figure 7.7 (a), les positionne-ments de ωr1 illustr´es `a la figure 7.7 (b) seraient consid´er´es comme en dehors du r´egime de chevauchement, alors que la situation illustr´ee `a la figure 7.7 (c) serait `a l’int´erieur du r´egime de chevauchement. ainsi possible d’obtenir des d´ecalages dispersifs beaucoup plus grands `a l’int´erieur qu’`a
1On note que c’est plutˆot la fr´equence du signal de mesure qui entre dans les coefficients du d´ecalage dispersif Sdi et Kdi. Cependant, le r´egime de chevauchement est g´en´eralement consid´er´e en fonction de la fr´equence du r´esonateur [89]. Ceci n’affecte pas qualitativement les r´esultats, puisque la fr´equence du signal de mesure est relativement proche de celle du r´esonateur.
164 Chapitre 7 : Lecture de l’´etat du qubit par le r´esonateur
l’ext´erieur du r´egime de chevauchement, pour des couplages et d´ecalages qubit-r´esonateur similaires. Afin de b´en´eficier de l’augmentation du d´ecalage dispersif, il faut en pratique que les d´ecalages qubit-r´esonateur pour les deux transitions concern´ees soient du mˆeme ordre. Ainsi, mˆeme si la boˆıte de Cooper n’est pas strictement un syst`eme `a deux niveaux, la fr´equence de transition ω2,1 est beaucoup trop grande pour que l’augmentation du d´ecalage dispersif due au r´egime de chevauchement soit significatif. C’est un r´egime qui s’applique donc bien `a des qubits qui ont une faible anharmonicit´e, tels le transmon [89]
ou le qubit de flux `a faible imp´edance [93]. Finalement, le comportement deKdi en fonction de la fr´equence ωd, donn´e `a l’´equation (5.25) est aussi beaucoup plus riche `a l’int´erieur qu’`a l’ext´erieur du r´egime de chevauchement.
Les coefficientsSdi etKdi sont trac´es `a la figure 7.8 pour i= 0 (lignes continues noires) et i= 1 (lignes tiret´ees vertes), pour des fr´equencesωd ∼ωr `a l’int´erieur et `a l’ext´erieur du r´egime de chevauchement2. Puisque le mod`ele du chapitre 5 est obtenu dans la limite dispersive, les couplages doivent ˆetre faibles comparativement aux d´ecalages entre les transitions du qubit et la fr´equence du r´esonateur. Comme l’anharmonicit´e typique d’un transmon n’est que de quelques centaines de m´egahertz, les constantes de couplages ne peuvent ˆetre beaucoup plus grandes que 10 MHz. Afin de m’assurer de la validit´e de l’approximation dispersive dans le r´egime de chevauchement, je compare `a la figure 7.8 les
´equations analytiques pourSdi etKdi `a des valeurs num´eriques. Ces valeurs sont extraites de la diagonalisation num´erique de l’hamiltonien Jaynes-Cummings `a plusieurs niveaux et d’un lissage quadratique des diff´erences d’´energie en fonction du nombre de photons.
On constate, en comparant les panneaux (a) et (b), de mˆeme que (c) et (d) que, loin des r´esonances identifi´ees par les lignes pointill´ees verticales grises, rouges et bleues, le comportement des ´equations analytiques concorde quasi-quantitativement aux lissages num´eriques.
De cette figure, j’ai choisi deux points d’op´eration, identifi´es par A (ligne continue noire verticale) — `a l’int´erieur du r´egime de chevauchement — et B (ligne tiret´ee grise verticale) — `a l’ext´erieur du r´egime de chevauchement. Ces deux points ont ´et´e choisis pour que|Sd1−Sd0|ait la mˆeme valeur. On peut cependant voir aux panneaux (c) et (d) que la mˆeme chose n’est pas vraie pour |Kd1−Kd0|. Ainsi, alors que Kdi est de signe contraire
`a Sdi au point B, seul Kd1 est de signe contraire `a Sd1 au point A. De mˆeme, la diff´erence
2On peut consid´erer qu’il y a plusieurs r´egimes de chevauchement, correspondant aux diff´erentes paires de transitions {0 ↔1,1↔2}, {1 ↔2,2↔3}, etc. En pratique, le seul de ces r´egimes qui sera important pour nous est le premier.
§7.4. Mesure par bifurcation dans le r´egime de chevauchement 165
-0.5 0.0 0.5
Ki/2π[MHz]
(c)
-0.5 0.0 0.5 (d)
Analytiques
Numeriques´
5500ω 6000 6500
d/2π [MHz]
5000 -10
0 10
Si/2π[MHz]
(a) A B Analytiques
-10 0
10 (b) Numeriques´
Figure 7.8 –D´ecalages dispersifs dans le r´egime de chevauchement. Les courbes noires conti-nues (vertes tiret´ees) sont pour l’´etat fondamental (excit´e) d’un transmon. L’´energie de charge EC et l’´energie Josephson EJ du transmon sontEC = 300 MHz etEJ = 25 GHz. Le transmon est biais´e en flux pour avoirω10/2π = 6 GHz, et le couplage `a flux nul estg10/2π = 15 MHz. Les param`etres au point d’op´eration en flux sont alors (ω1, ω2, ω3, ω4)/2π ≈(6,11.7,16.9,21.8) GHz, et (g0, g1, g2, g3)/2π = (13.5,18.5,21.8,24.1) MHz. Les panneaux (a) et (c) sont les r´esultats analytiques des ´equations (5.21) et (5.25). Les lignes verticales pointill´ees sont les fr´equences de transitions ω10 (bleues), ω21 (rouges) et ω32 (grises). Les lignes verticales continue noire et tiret´ee grise sont les points d’op´eration A (ωm/2π = 5720 MHz) et B (ωm/2π = 6044 MHz) compar´es dans cette section. Figure adapt´ee de [176].
|Kd1 −K0| est environ deux fois plus grande au point B qu’au point A. Comme on l’a vu `a la section 7.2, les fr´equences effectives du r´esonateur ωri(n) d´ependent du nombre de photon et des coefficients Sdi et Kdi. ´Etant donn´e le comportement de ces coefficients dans le r´egime de chevauchement, la s´eparation entre ces fr´equences effectives devrait demeurer plus grande au point A qu’au point B lorsque le nombre de photons augmente.
L’id´ee est alors d’utiliser ceci pour optimiser une mesure par bifurcation.
166 Chapitre 7 : Lecture de l’´etat du qubit par le r´esonateur