Analyse des bandes lat´erales

L’´equation permettant le calcul analytique du spectre du qubit a ´et´e donn´ee `a l’´equa-tion (5.72), reproduite ci-dessous

P(|1i) = hΠ1,1i_eq

˜

γ₂²+ ˜δ²

+ 2˜γ2|g0αs,0|²/(˜γ↑+ ˜γ↓) h γ˜₂²+ 4˜γ2|g0αs,0|²/(˜γ↑+ ˜γ↓)

+ ˜δ²i . (6.10)

§6.3. Forte amplitude de spectroscopie 141 Bien que cette ´equation n’ait pas la forme de fonctions lorentzienne, il s’av`ere qu’un lissage avec la fonction o`uA_i,w_i et f_i sont respectivement l’amplitude, la largeur et la fr´equence des trois raies [rouge (r), centrale (c) et bleue (b)], permet de bien caract´eriser les spectres. Un tel lissage a ´et´e r´ealis´e `a la fois sur les donn´ees exp´erimentales et sur les points issus du mod`ele analytiques. Je trace les r´esultats `a la figure 6.10.

Tout d’abord, on constate au panneau (a) que les positions des raies lat´erales extraites des r´esultats exp´erimentaux (points) est bien reproduite par le mod`ele (lignes), sauf `a faible puissance de pompe, pr`es de la bifurcation. On peut ainsi analyser l’´equation pour P(|1i) dans notre mod`ele afin de comprendre l’origine de ces raies. Dans l’´equation (6.10), δ˜est le d´ecalage entre la fr´equence de spectroscopieωset la fr´equence effective du qubit. Si l’on consid`ere que la valeur moyenne dehΠ<sub>1,1</sub>i<sub>eq</sub> = 0 en l’absence de signal de spectrosco-pie, alors cette ´equation a la forme d’une lorentzienne dont la largeur augmente avec l’am-plitude du champ de spectroscopieαs,0. Cette contribution correspond `a la raie centrale.

A l’oppos´e, si l’on consid`ere que` hΠ1,1ieq 6= 0 — ce qui se produit lorsque le spectre des fluctuations du r´esonateur S↑/↓(ω) est significatif — et que le d´ecalage ˜δ² γ˜₂²,|g0αs,0|², la contribution dominante est directement donn´ee par P(|1i) ≈ hΠ1,1i_eq. Il s’agit alors du r´egime dans lequel les bandes lat´erales sont r´esolues.

Selon le mod`ele, on a

o`u L(δ) est donn´ee `a l’´equation (5.66) et est une fonction lorentzienne centr´ee `a ˜∆r = (ω<sup>0</sup><sub>r</sub>(α) +S0(α)−ωp)/cosh(2r). Ainsi, selon ces ´equations, hΠ1,1ieq pr´esente deux pics, situ´es `a δ=ω⁰⁰⁰_1,0(α)−ωs =±∆˜r. La d´ependance de l’espacement des bandes lat´erales en fonction de la puissance de pompe est donc caus´ee par le d´ecalage de Stark de la fr´equence du qubit et le d´ecalage Kerr de la fr´equence de r´esonateur non lin´eaire. En fait, ˜∆r est

142 Chapitre 6 : Sonde du r´esonateur par le qubit

Figure6.10 –Espacement (a), amplitude (b) et largeur (c) des pics du triplet de spectroscopie.

Les carr´es noirs (lignes tiret´ee noire), cercles rouges (lignes pleines rouges) et X bleus (lignes pointill´ees bleues) correspondent respectivement `a la raie centrale, la raie `a plus basse fr´equence et la raie `a plus haute fr´equence. En (a), l’espacement estfi−fc, o`ui=r, b. En (b), l’amplitude correspond aux coefficientsA_i de l’´equation (6.11), et en (c), la largeur correspond aux w_i.

la fr´equence des oscillations du champ ´electromagn´etique autour de sa valeur d’´equilibre.

Cette fr´equence est appel´ee quasi-´energie du r´esonateur par certains auteurs [166,167].

Dans un parall`ele avec la spectroscopie Raman, ces quasi-´energies correspondraient aux ´energies des phonons qui peuvent ˆetre absorb´es ou ´emis. On s’attend cependant typi-quement `a ce que la bande bleue (fr´equences plus hautes que la fr´equence du qubit), qui correspond `a l’´emission d’un «phonon» lors de l’excitation du qubit, soit plus intense que la bande rouge (fr´equences plus basses que la fr´equence du qubit) qui correspond

`a l’absorption d’un «phonon». En effet, alors qu’il est toujours possible d’´emettre un quanta, il est n´ecessaire que le mode de «phonon» soit peupl´e pour que l’absorption soit possible. Or, c’est l’inverse qui se produit ici. Cette inversion se produit parce que, contrairement aux ´energies de vrais phonons, qui sont toujours positives, ˜∆r peut ˆetre aussi bien n´egatif que positif. En fait, ˜∆r est positif `a faible puissance (avant la bifur-cation), diminue en augmentant la puissance (car ωr(α) diminue), puis devient n´egatif apr`es la bifurcation. Cette augmentation de |∆˜r| avec p apr`es la bifurcation est ce qui explique que les raies lat´erales s’´eloignent de la raie du qubit lorsque la puissance aug-mente. L’inversion de l’intensit´e des deux bandes lat´erales lorsquep traverse l’amplitude critique de bifurcation a ´et´e observ´ee exp´erimentalement [165], et on peut en avoir un aper¸cu dans le spectre du mod`ele th´eorique `a la figure 6.8, o`u l’on voit une raie intense

§6.3. Forte amplitude de spectroscopie 143 au-dessus de la raie principale avant la bifurcation.

L’amplitude et la largeur des trois raies sont trac´ees aux figures 6.10 (b) et (c) respec-tivement. L’amplitude et la largeur de la raie principale (carr´es noirs, lignes pointill´ees noires) sont toutes les deux domin´ees par la forte amplitude du signal de spectroscopie.

Ainsi, son amplitude est `a peu pr`es constante et correspond `a une saturation du qubit (probabilit´es ´egales d’ˆetre dans les ´etats |0i et |1i). Sa largeur est domin´ee par l’´elar-gissement radiatif, et on peut associer la faible d´ecroissance avec l’augmentation de la puissance de pompe `a la diminution du d´ephasage induit par la mesure dˆu au rapproche-ment des ´etats pointeurs α1 etα0.

Pour les raies lat´erales, l’amplitude est fix´ee par la force F⁽⁴⁾, et en particulier le coefficient c = βcosh(r) + β^∗e^i2θsinh(r), o`u r et θ sont le coefficient de compression et l’angle de l’axe de compression, et β = α1 −α0. Tel que mentionn´e pr´ec´edemment, j’ai ajout´e un facteur multiplicatif au coefficient c, et il ne faut donc pas accorder trop d’importance `a l’amplitude absolue des bandes lat´erales. N´eanmoins, la diminution de leur amplitude lorsquep augmente est une combinaison de deux facteurs. Tout d’abord, dans ce r´egime,|β|diminue lorsquep augmente. Ensuite,r, qui est donn´e par la solution de l’´equation (5.52) diminue aussi lorsque p augmente.

Dans la limite des bandes lat´erales r´esolue, la largeur de ces bandes est donn´ee selon le mod`ele par la largeur de la lorentzienneL(δ), qui estκ/2π ≈9.6 MHz. Les bandes n’´etant pas tr`es bien r´esolues, les largeurs s’en trouvent cependant modifi´ees. Bien que le mod`ele pr´edise correctement la largeur de la bande rouge, la largeur pr´edite pour la bande bleue est environ deux fois plus grande que celle extraite des r´esultats exp´erimentaux. Bien que le mod`ele semble ´echouer pour cet aspect, il est important de consid´erer que la bande lat´erale bleue est tr`es faible, d’amplitude comparable au bruit exp´erimental, et donc que l’erreur `a la fois sur l’amplitude et sur la largeur est importante. En fait, sans mˆeme consid´erer d’erreur syst´ematique sur l’´evaluation de P(|1i) `a partir de la probabilit´e de bifurcation du r´esonateur, l’erreur statistique sur le lissage lorentzien est d’environ 30%

pour l’amplitude et la largeur de la bande bleue.

Bien que l’on ne puisse pas comparer quantitativement l’amplitude absolue des bandes lat´erales `a cause du facteur d’´echelle du coefficient c, il est possible de comparer le ratio de leur amplitude. `A partir de l’´equation (6.10) pour P(|1i), on peut faire quelques approximations afin de calculer le ratio de ces amplitudes. Si l’on suppose que, pour les bandes lat´erales, le terme dominant est hΠ1,1i_eq, alors le ratio des bandes lat´erales est

144 Chapitre 6 : Sonde du r´esonateur par le qubit

donn´e par

R= Ableue

Arouge ×wrouge

wbleue ≈ γ˜↑(ω =ωbleue)

˜

γ↑(ω=ωrouge), (6.14)

o`u ω =ωbleue implique δ = ˜∆r, et ω =ωrouge implique δ =−∆˜r. En supposant que γ<sub>↑</sub><sup>000</sup>, donn´e `a l’´equation (5.42), est n´egligeable, on obtient alors

R≈

hL(−∆˜r) +L( ˜∆r)i

sinh²r+L( ˜∆r) hL(−∆˜r) +L( ˜∆r)i

sinh²r+L(−∆˜r). (6.15) De mˆeme, si les bandes lat´erales sont vraiment tr`es bien s´epar´ees, alorsL(−∆˜r)L( ˜∆r), et on peut simplifier pour obtenir

R ≈ sinh²r

sinh²r+ 1. (6.16)

Je rappelle qu’`a la section 5.6, j’avais identifi´e sinh²r au nombre moyen de photons thermiques dans le r´ef´erentiel de polaron. Ces photons thermiques ´etaient cr´e´es par la non-lin´earit´e du r´esonateur et par le coefficient de compression. Plutˆot qu’une temp´e-rature r´eelle comme pour l’effet Raman, c’est donc une temp´etemp´e-rature effective cr´e´ee par la pr´esence d’´etats comprim´es dans le r´esonateur qui contrˆole le ratio d’amplitude des bandes lat´erales.

Notons que ces «quasi-photons thermiques»ont ´et´e ´etudi´es par Dykman et al.pour un r´esonateur non lin´eaire sans qubit [168]. Ils ont montr´e que ce ph´enom`ene, qu’ils nomment chauffage quantique (quantum heating), devrait se traduire par une structure en double pics — correspondant aux deux bandes lat´erales — dans le spectre du bruit du r´esonateur. Serbanet al.ont aussi ´etudi´e l’effet de ces photons sur la relaxation d’un qubit coupl´e `a un r´esonateur [162]. Leur calcul est cependant limit´e `a un qubit `a deux niveaux en r´eponse lin´eaire et avec un seul signal. De mˆeme, leurs principaux r´esultats sont dans un r´egime de param`etres non pertinent pour l’exp´erience de Saclay, soitω_d≈ω_r ∼ω_1,0/2.

Je pr´esente `a la figure 6.11 le ratio R [voir ´equation (6.14)] calcul´e `a partir des para-m`etres des lissages sur les donn´ees exp´erimentales (cercles noirs), sur le spectre analytique (triangles verts), ainsi que les expressions (6.15) et (6.16). Plusieurs approximations du mod`ele sont mises `a rude ´epreuve dans le r´egime ´etudi´e ici . Tout d’abord, la diff´erence entre les courbes pour les expressions (6.15) (courbe pointill´ee bleue) et (6.16) (courbe