Champ ´electromagn´etique

On consid`ere le champ ´electromagn´etique (EM) dans une cavit´e (aussi appel´ee r´eso-nateur) telle que repr´esent´ee `a la figure 1.3. On sait que l’hamiltonien classique du champ

´electromagn´etique `a l’int´erieur de la cavit´e est donn´e par [49]

Hr= 1 2

Z

V

0E²+ 1 µ0

B²

dV, (1.7)

18 Chapitre 1 : Information et ´electrodynamique quantiques en cavit´e o`u V est le volume de la cavit´e, E et B sont les amplitudes des champs ´electrique et magn´etique respectivement, et ₀ et µ₀ sont la permittivit´e et la perm´eabilit´e du vide.

On sait de plus que, les modes ´electriques et magn´etiques ´etant discrets `a cause des conditions fronti`eres, les amplitudes E et B peuvent se d´ecomposer en modes propres orthogonaux qn et pn, o`u pn = ˙qn est la quantit´e de mouvement g´en´eralis´ee conjugu´ee `a qn. On a ainsi les d´ecomposition

Ex(z, t) = de proportionnalit´e, etωn=ckn=nπc/L est la fr´equence du moden,kn est son vecteur d’onde, cest la vitesse de la lumi`ere et L est la longueur de la cavit´e. Pour simplifier la notation, j’ai suppos´e une polarisation selon x du champ ´electrique et obtenuB avec les

´equations de Maxwell.

En passant de l’int´egrale continue `a une somme discr`ete, l’hamiltonien ci-dessus peut alors se r´e´ecrire

Cet hamiltonien ´etant celui d’un bain d’oscillateurs harmoniques, on peut alors introduire les op´erateurs d’´echellea^(†)n pour ´ecrirepn =ip

ωn/2(a^†n−an) et qn=p

1/2ωn(a^†n+an) en deuxi`eme quantification. On obtient alors (~= 1 tout au long de cette th`ese)

Hr =X

Dans le cadre de cette th`ese, on s’int´eressera au cas o`u un atome est coupl´e au champ EM

`a l’int´erieur de la cavit´e. Afin de simplifier le probl`eme, on suppose que l’atome poss`ede une fr´equence de transition pr`es de l’un de ces modes. On laisse alors tomber la somme et on ne consid`ere qu’un seul mode n de la cavit´e.

Dans les trois sous-sections suivantes, j’introduis d’abord le concept de signal d’excita-tion, puis trois types d’´etats ainsi que deux repr´esentations du champ ´electromagn´etique pertinents pour cette th`ese.

§1.2. ´Electrodynamique quantique en cavit´e 19 Excitation du champ ´electromagn´etique

Le champ ´electromagn´etique `a l’int´erieur de la cavit´e peut ˆetre excit´e en y envoyant un laser par exemple. Dans une notation hamiltonienne, cela peut ˆetre repr´esent´e, de fa¸con ´equivalente, par une position ou une quantit´e de mouvement oscillante [50]

H ∝qcos(ωt), (1.11)

o`u q est la position et la constante de proportionnalit´e d´ependra des coefficients de transmission et de r´eflexion des miroirs. Lorsque l’on passe en deuxi`eme quantification, on a q→(a^†+a), et on obtient

Hd =(a^†+a) cos(ωt). (1.12) En g´en´eral, on supposera que l’on peut laisser tomber les termes contre-rotatifs sous une approximation s´eculaire (voir l’annexe A), r´esultant en l’hamiltonien

Hd=a^†e^−iωt+^∗ae^iωt, (1.13)

avec l’amplitude du signal d’excitation. On note que la phase entre a et a^† peut ˆetre vari´ee arbitrairement en ajustant la phase de l’excitation coh´erente.

Etats du champ ´´ electromagn´etique

Trois types d’´etats du champ ´electromagn´etique seront pertinents dans le cadre de cette th`ese. Tout d’abord, il y a les ´etats de Fock.

D´efinition 12 (´etat de Fock)

Un´etat de Fockest un ´etat du champ ´electromagn´etique dans lequel le nombre de photons est d´etermin´e de fa¸con unique. On le note |ni. Les op´erateurs de cr´eation et de destruction agissent sur un ´etat de Fock tels que a^†|ni = √

n+ 1|n+ 1i et a|ni=√

n|n−1i.

Sauf pour l’´etat fondamental n = 0, ce sont des ´etats qui ne minimisent pas le prin-cipe d’incertitude d’Heisenberg, i.e. hn|∆q∆p|ni ∝ n > ¹₂ (on prend ici ~ = 1). Dans le domaine des micro-ondes, ces ´etats sont non-triviaux `a g´en´erer puisque les sources classiques g´en`erent plutˆot des ´etats coh´erents. `A cause du caract`ere discret du nombre

20 Chapitre 1 : Information et ´electrodynamique quantiques en cavit´e quantique n et de la facilit´e `a exprimer les op´erateurs d’´echelle dans cette base, c’est cependant dans la base de Fock que tous les calculs num´eriques ont ´et´e effectu´es. Exp´e-rimentalement, diff´erentes m´ethodes ont ´et´e utilis´ees pour g´en´erer ces ´etats. L’une d’elle utilise le couplage `a des syst`emes `a deux niveaux pour transf´erer les quanta un `a la fois dans le champ ´electromagn´etique. Cette technique a ´et´e utilis´ee `a la fois en cavit´e tridi-mensionnelle [45,51] et en circuit [52,53]. Le groupe d’Haroche a aussi r´eussi `a implanter une boucle de r´etroaction afin de stabiliser ces ´etats autrement tr`es fragiles [54].

Les ´etats g´en´er´es par les sources classiques sont plutˆot des ´etats coh´erents.

D´efinition 13 (´etat coh´erent)

Un´etat coh´erentest un ´etat classique du champ ´electromagn´etique d´efini par l’ac-tion de l’op´erateur unitaire de d´eplacementD(α)≡e^{αa†−α∗a} =e^−|α|2/2e^αa†e^−α∗a[50]

sur l’´etat fondamental|0i. On le note |αi ≡D(α)|0i, avec α un nombre complexe.

Les ´etats coh´erents peuvent se d´ecomposer sur la base des ´etats de Fock de la fa¸con suivante [50]

L’une des propri´et´es int´eressantes des ´etats coh´erents est qu’ils sont des ´etats propres de l’op´erateur de destruction a. On a ainsi a|αi =α|αi. Avec cette propri´et´e, on peut montrer qu’ils minimisent le principe d’incertitude d’Heisenberg avec hα|∆q∆p|αi = ¹₂ pour tout α. Comme les ´etats de Fock, ils forment une base, mais, contrairement aux

´etats de Fock, celle-ci n’est pas orthogonale. Elle est plutˆot sur-compl`ete avec comme relation de fermeture

et ils s’approchent donc de l’orthogonalit´e lorsque |α−α⁰| est suffisamment grand. Ces

´etats sont naturellement g´en´er´es par une source classique de lumi`ere coh´erente tel un laser. On peut aussi caract´eriser un ´etat coh´erent α = √

ne^iφ par une amplitude √ n correspondant `a la racine du nombre de photons, et une phase φ.

Finalement, un dernier type d’´etat qu’il est utile d’introduire est l’´etat comprim´e.

§1.2. ´Electrodynamique quantique en cavit´e 21 D´efinition 14 (´etat comprim´e)

Un´etat comprim´e est un ´etat coh´erent dont l’incertitude a ´et´e comprim´ee dans l’une des quadratures et amplifi´ee dans l’autre. De tels ´etats peuvent ˆetre produits en utilisant des mat´eriaux non lin´eaires `a l’int´erieur de la cavit´e.

Scully et Zubairy [50], de mˆeme que beaucoup d’autres r´ef´erences d’optique quantique, d´efinissent l’´etat comprim´e strictement comme le r´esultat de l’action de l’op´erateur uni-taire de compression

S(r) =e^{12r∗a2−12ra†2}, (1.17) sur un ´etat coh´erent |αi. Dans cette expression, on a r =|r|e^iθ, o`u |r| est le coefficient de compression et θ est l’angle de l’axe de compression. Un tel ´etat|α, ri=S(r)D(α)|0i a ucne incertitude r´eduite dans la quadrature parall`ele `a l’axe formant un angle de θ/2 avec l’axe des abscisses et augment´ee dans la quadrature perpendiculaire `a cet axe. Ces

´etats correspondent donc `a la d´efinition 14. Ces ´etats sont g´en´er´es par exemple lorsqu’un

´etat coh´erent passe `a travers un mat´eriau non lin´eaire. Comme l’incertitude dans une quadrature est augment´ee du mˆeme facteur qu’elle est r´eduite dans l’autre, ces ´etats minimisent aussi la relation d’incertitude. Dans le cadre de cette th`ese, j’appellerai aussi

´

etat comprim´e un ´etat qui pr´esenterait une incertitude r´eduite dans une direction par rapport `a une autre, mais sans imposer que les deux directions soient en quadrature. On pourrait ainsi avoir un ´etat qui aurait une incertitude r´eduite en nombre de photons mais augment´ee en phase.

Repr´esentations du champ ´electromagn´etique

Il est bien sˆur possible de repr´esenter l’´etat du champ EM par un ket et sa d´ecompo-sition sur une base telle la base de Fock

|ψi=X

n

ψn|ni, (1.18)

o`u les coefficientsψn =hn|ψi. Ceci n’est cependant pas suffisant pour d´ecrire une incerti-tude statistique (classique). Pour ce faire, on doit introduire la notion de matrice densit´e ρ. Pour un ´etat |ψi, la matrice densit´e peut s’´ecrire ρ=|ψi hψ|, de sorte que

ρ=X

n,m

ψnψ_m^∗ |ni hm|. (1.19)

22 Chapitre 1 : Information et ´electrodynamique quantiques en cavit´e

La notation de matrice densit´e permet cependant de repr´esenter des ´etats plus g´en´eraux du type

ρ=X

n,m

ρn,m|ni hm|, (1.20)

o`u les composantes ρn,m sont des nombres complexes arbitraires qui permettent de res-pecter que ρ soit d´efinie positive et Tr{ρ}= 1.

On peut aussi repr´esenter le champ ´electromagn´etique de fa¸con plus visuelle en utili-sant des repr´esentations d’espace de phase [50]. Il en existe plusieurs (fonctionP, fonction de Wigner, etc.) [55] et chacune a diff´erentes propri´et´es et correspond `a diff´erentes valeurs moyennes d’op´erateurs d’´echelle. On se concentrera ici sur la fonction Q qui est la plus simple `a calculer `a partir de la matrice densit´e. La fonction Qest d´efinie comme

Q(α) = 1

π hα|ρ|αi, (1.21)

et poss`ede toutes les propri´et´es d’une distribution de probabilit´e, i.e. Q(α) ≥ 0 et R Q(α)d<sup>2</sup>α = 1. La fonction Q(α) correspond ainsi `a la probabilit´e que le syst`eme soit dans l’´etat coh´erent|αi, avec un nombre de photonsn =|α|² et une phaseφ=−iarg(α).

On peut montrer que cette fonction est reli´ee `a la mesure simultan´ee, en s´eparant le signal en deux, des deux quadratures du champ ´electromagn´etique [55].

A la figure 1.4, je trace les fonctions` Q(a) du vide|0i, (b) de l’´etat de Fock|4i, (c) de l’´etat coh´erent |αi(α=√

2 +√

2i), (d) de l’´etat comprim´eS 0.5e^iπ/2

|αi, (e) d’un ´etat comprim´e en nombre e^i0.1(a†a)2|αiet (f) d’un ´etat chat de Schr¨odinger (|αi+|−αi)/√

2.

On peut ainsi constater visuellement sur ces figures qu’un ´etat coh´erent|αiest ´equivalent

`a un vide d´eplac´e, puisque la forme est conserv´ee. La mˆeme chose n’est pas vraie pour un

´etat de Fock qui, comme on le voit sur le panneau (b), a une distance de l’origine d´efinie avec tr`es peu d’incertitude, mais une phase compl`etement incertaine. On voit aussi que l’´etat comprim´e en (d) a une incertitude r´eduite selon l’axe formant un angle deπ/4 avec l’axe des X et une incertitude augment´ee selon l’axe perpendiculaire. Bien que l’´etat comprim´e en nombre (e) ressemble `a l’´etat comprim´e en (d), on peut constater qu’il a davantage la forme d’une banane et pr´esente une incertitude r´eduite en nombre, mais augment´ee en phase. Finalement, on peut voir que l’´etat chat de Schr¨odinger (f) (appel´e ainsi car il s’agit d’une superposition d’´etats classiques potentiellement macroscopiques si |α| est grand) poss`ede une petite probabilit´e d’occupation entre les deux bosses t´e-moignant de la superposition quantique. D’autres fonctions d’espace de phase, comme

§1.2. ´Electrodynamique quantique en cavit´e 23

la fonction de Wigner ou la distribution P [55] montrent des caract´eristiques beaucoup moins ambigu¨es telles que des valeurs n´egatives ou des singularit´es pour des ´etats quan-tiques. Dans cette th`ese, je me limiterai n´eanmoins `a l’utilisation de fonctions Q pour des raisons de simplicit´e et de rapidit´e des calculs.