Sous-formules (suite)

On reprend lesnotations introduitesau paragraphe 4.2.

Il est bien onnuque lalturepar leonneteur

→

^{d'unensemble ni de formules}

n'est pas en général ni même à équivalene près. On est amené à poser la dénition

suivante.

Dénition 5.2.1 L'ensemble des sous-séquents d'une formule A, noté

S (A)

^{, est}

l'en-semble des séquents dont lapartiegauhe neontient quedes sous-formules négativesde

A

^{, et dont la onlusion est une} sous-formule positive de

A

^.

L'ensemble des sous-formules d'ordre1 de

A

^{, noté}

F ^→ (A)

^{, est l'ensemble des formules}

assoiées aux sous-séquents de

A

^.

Onnote

F ^→,∧,∨

^{,l'ensembleobtenu enprenantdes}disjontionsdeonjontionsdistintes desous-formulesd'ordre1de

A

^{ellesmêmesdistintesà}l'intérieurd'unemême onjon-tion ('est à dire une représentation nie de la lture par onjontions et disjontions

de

F ^→ (A)

^{, quotientée par la relation d'équivalene}

≡

^).

On étend es dénitionsà un ensemble de formules par réunion.

Lemme 5.2.2

(i) Les ensembles

S (A)

^des sous-séquents de

A

^,

F ^→ (A)

^des sous-formules d'ordre 1 de

A

^,

F ^→,∧,∨ (A)

^{, sont nis.}

(ii) Si

B ∈ F ^→ (A)

^{, alors toute formule de}

F ^→ (B )

^est équivalente à une formule de

F ^→ (B) ∩ F ^→ (A)

(Autrement dit

F ^→ ( F ^→ (Γ))/ _≡ = F ^→ (Γ)/ _≡

^).

Preuve (i): l'ensemble

F (A)

^{est ni, les ensembles}

F ⁻ (A)

^et

F ⁺ (A)

^{sontdon nis,}

et don l'ensemble des parties de

F ⁻ (A)

^{également, e qui assure que}

S (A)

^{est ni}

(on rappelle que la partie gauhe d'un séquent est un ensemble de formules). Il suit

immédiatementque

F ^→ (A)

^{est ni,etdonquel'ensembledes partiesdel'ensembledes}

parties de

F ^→ (A)

^{est ni e qui assure que}

F ^→,∧,∨ (A)

^{est ni.}

Preuve (ii): soit

B = A 1 , . . . , A n , → C

^,où

A 1 , . . . , A n

^sontdessous-formulesnégatives de

A

^{, et}

C

^une sous-formule positive de

A

^{. Les} sous-formules négatives de

B

^{sont les}

sous-formules positives de

A 1 , . . . , A n

^{et négatives de}

C

^{, 'est à dire des} sous-formules négatives de

A

^{. Les} sous-formules positives de

B

^{sont les} sous-formules négatives de

A 1 , . . . , A n

^{, positives de}

C

^{(dans es deux as e sont des} sous-formules positivesde

A

^),

plus les formules :

A i , . . . , A n , → C avec i ∈ {1, . . . , n} .

Un sous-séquent de

B

^{, soit}

S

^{, a don pour partie gauhe un ensemble de} sous-formules négativesde

A

^{. Deuxas se}présentent.Soit la formuledroitede

S

^{est une} sous-formule de

A

^etalors

S

^estunsous-séquentde

A

^{.Soitlaformuledroitede}

S

^{estl'unedesformules}

A i , . . . , A n , → C

^{, soit}

S = Γ ⊢ A i , . . . , A n , → C

^{. Dans e as}

S

^{a même formuleassoiée}

que lesous-séquent de

A

^,

Γ, A i , . . . , A n , ⊢ C

^.

Remarque : sans la restrition sur la position des sous-formules dans

A

^{(signe) dans la}

dénitionde

F ^→ (A)

^{,onperdraitle(ii)dulemme,qui assureuneertaine stabilitépour}

ette extension de lanotion de sous-formule.

Les dénitions préédentes ont été introduites à ause du lemme suivant qui est un

avatar de lapropriété de la sous-formule.

Lemme 5.2.3 Tout séquent apparaissant dans une rétro-dérivation de

⊢ A

^{est un}

sous-séquent de

A

^{. On en déduit que, si}

A rd B

^{, alors}

B

^{appartient à la lture par}

onjontions et disjontions de

F ^→ (A)

^{, et don, à équivalene près,}

B ∈ F ^→,∧,∨ (A)

^.

Preuve : indution évidentesur lahauteur de larétro-dérivation.

Dénition 5.3.1 Soit

Θ

^{un ensemble de formules. Nous dirons qu'un ensemble ni}

Γ

Lemme 5.3.3 Pourtoute proposition

A

^{, ilexisteune formule}

A ^h

^{, quiest, soit}

⊢ ⊥

^{, soit}

unedisjontiondeonjontionsdeformulesdeHarropsimplesetanti-Harropprimitives,

toutes dans

F ^→ (A)

^{, et qui vérie}

A rd A ^h

^.

Preuve : si

S

^{estunséquentmaximal,}

S ^→

^{estsoitprouvable,soit}

⊢ ⊥

^{,soituneformule}

de Harrop simple, soit une formule anti-Harrop primitive. On déduit le résultat des

lemme 4.4.12et lemme5.2.3.

On remarque que, si

∧Γ

^{a la propriété de disjontion pour} l'admissibilité,

Γ

^est

saturé (la réiproque sera une onséquene de e qui suit). On adon omme exemples

d'ensembles saturés,lessous-ensembles de H(formulesde Harrop) etlessous-ensembles

de aH (formules anti-Harrop).On amême :

Lemme 5.3.4 Tout ensemble ni de formules saturé

Γ

^{est équivalent à un ensemble}

saturé quine ontientquedes formules de Harropet anti-Harrop primitives,toutes dans

F ^→ (Γ)

^.

Preuve : par le lemme de déomposition 5.3.3, on sait qu'il existe une disjontion de

onjontions de formules de Harrop et anti-Harrop primitives

A j

^{toutes dans}

F ^→ (Γ)

^,

soit

Par dénition de la saturation, ilexiste don

i 0

^{tel que :}

Γ ⊢

q i 0

^

j=1

A j ,

Γ ≡

Preuve : il sut, en vertu du lemme 5.3.4 préédent, de montrer le résultat pour des

sous-ensembles saturés de

F ^→ (Γ)

^{. Raisonnons par l'absurde. Supposons que, pour tout}

ensemble

{Γ 1 , . . . , Γ n }

^de sous-ensembles de

F ^→ (Γ)

^{,vériant :}

∧Γ ⊣ > (∧Γ ₁ ) ∨ . . . ∨ (∧Γ n ) ,

il existe un

0 < k ≤ n

^{tel que}

Γ k

^{ne soit pas saturé. On va en déduire par réurrene}

qu'il existe une suite innie de sous-ensembles de

F ^→ (Γ)

^{, ayant la même propriété,}

et stritement roissante pour la relation de onséquene, e qui ontredira le fait que

F ^→ (Γ)

^{est ni.}

On pose

Γ = ∆ 0

^{qui satisfait évidemment} l'hypothèse de réurrene.

Considérons que

∆ 0 , . . . , ∆ i

^{, sontdéja onstruit, et vérient}l'hypothèse i-dessus.

que l'on met sous la forme de la disjontion pour

(r A ) A∈∆ ^′ _i ∈ Y

des onjontions est onséquene de l'un des ensembles

∆ i,j

^{par onstrution de}

eux-i.

L'hypothèse de réurrene sur

∆ i

^{, est ontredite pour l'ensemble de} sous-ensembles de

F ^→ (Γ)

^:

peut poser

∆ _i+1 = ∆ i,j

^{,qui satisfait bien à toutesles onditions requises.}

On notera

A ^ad

^{la formule}

(∧Γ 1 ) ∨ . . . ∨ (∧Γ n )

^où

Γ 1 , . . . , Γ n

^{sont les ensembles}

saturés fournis par la preuve i-dessus, et satisfaisant don à la onlusion du lemme.

onstrutive, ar la détermination de toutes les onséquenes d'une formule par

>

, même dans un ensemble ni, n'est pas a priori réursive (voir paragraphe 4.4.3). Nous

montreronsau paragraphe5.6 quela déterminationde

A ^ad

^{est en fait réursive.}

Notre butest maintenantde montrerque,si

A ≫ C

^,alors

A ^ad ⊢ C

^{,e quipermettra}

de onlure que la rétro-dérivabilité plus la dérivabilité apturent l'admissibilité. Pour

ela il sut de montrer qu'un ensemble saturé a mêmes onséquenes admissibles et

dérivables.Nousallons pour elamontrer qu'un ensemblesaturé

Γ

^{alapropriété de}

dis-jontionpourl'admissibilité,en exhibantune

Γ

^{-identitévalidante, (voir}paragraphes2.2 etsuivants). Eninspetantlapreuve onpourramêmedonnerunearatérisation

réur-sivede

A ^ad

^{, etdon onlure que} l'admissibilitéest déidable.

Nous allons tout d'abord, pour un ensemble saturé donné, exhiber une substitution

qui élimine les formules anti-Harrop. C'est une omposée des substitutionsdénies au

paragraphe 3.5.

5.4 Elimination des anti-Harrop

Dans tout e paragraphe nous xons une formule

G

^{(e qui suit est valable pour}

un ensemble ni de formules en posant

G = ∧Γ

^{). On ajoute aulangage une innité de}

onstantes vraies,

⊤ α

^{, pour haque variable} propositionnelle

α

^. L'interprétationlogique de

⊤ α

^est

⊤ = ⊥ → ⊥

^{,enpartiulier}

⊤ α

^{est stablepar} substitution.Pour

α

^{une variable}

propositionnelleet

A

^une proposition,onpose

A ^−α = A[⊤ α /α]

^.

L'introdution des onstantes

⊤ α

^{simplie un peu, d'une part pare qu'ainsi ette}

substitution onserve la struture des sous-formules (onstantes), d'autre part pare

qu'ainsi sa réiproques'obtient trivialement. Il est lair que ela n'a rien de

fonda-mental,

A ^−α = A[⊥ → ⊥/α]

onviendrait, ainsi d'ailleursque toute dénition uniforme des

A ^−α

^{vériant que}

α ⊢ A ^−α ↔ A

^et

A ^−α

^{ne ontient pas}

α

^.

Remarquons égalementque

A ^−α

^{est stable par toute}substitutionne portant quesur

α

^{. On note}

A ^+α = A[α/⊤ α ]

^{, attention,} ontrairement à

A ^−α

^,

A ^+α

^{n'est pas l'image de}

A

^{par une} substitution telle que nous les avons déni plus haut, puisque l'on substitue des onstantes. Il s'agit don seulement d'une notation. Le lemmesuivant est évident.

Lemme 5.4.1 Pour toute formule

A

^{sans ourrene de}

⊤ α

^,

A ^−α+α = A

^.

Pour toute formule

A

^{sans ourrene de}

α

^,

A = A ^+α−α

^.

Pour toute formule

A

^{sans ourrene de}

⊤ α

^{, pour toute} sous-formule

B ^′

^de

A ^−α

^{, il}

existe une sous-formule

B

^de

A

^{, soit}

B = B ^+α

^{telle que}

B ^′ = B ^−α

^.

On note

V ar G = {α ₁ , . . . , α n }

^{,l'ensembledes variables de}

G

^{sur lesquellesona xéun}

ordre arbitrairedonné par l'indexation.

5.4.1 Dénition des substitutions

σ i

Ondénitmaintenantlessubstitutions

σ i

^quipermettrontenquelquesorted'éliminer les formules anti-Harrop potentiellement dans

G

^{. Ellesdépendent de e qui préède,}

enpartiulierdelafaçond'ordonnerlesvariables.Cesontdesomposéesdesubstitutions

telles que ellesdénies auparagraphe 3.5.

Dénition 5.4.2 On dénit lessubstitutions

s i , i ∈ {1, . . . , n}

^{, par indutionsur}

i

^{. On}

note

σ i = s i ◦ . . . ◦ s 1 ◦ s 0

^{. On pose :}

s 0 = Id

^,

s i+1 = [σ i (G) ^{−α i+1} ∧ α i+1 /α i+1 ]

^.

Une onséquene immédiatede ladénition :

P our i > k , σ k (α i ) = α i ;

P our 0 < i ≤ k , σ k (α i ) = s k ◦ . . . ◦ s i (α i )

= s k ◦ . . . ◦ s i+1 (σ i−1 (G) ^{−α i} ∧ α i )

≡ s k ◦ . . . ◦ s i (σ i− 1 (G) ^{−α i} ∧ α i ) .

Lemme 5.4.3 Les

s i

^{et les}

σ i

^{sont des}

G

-identités.

Preuve : on proède par indution sur

i

^{. Supposons que}

s i

^et

σ i

^{sont des}

G

-identités.

On déduit de

σ i

^{est une}

G

^{-identité que}

G ⊢ G ↔ σ i (G) .

On a don

G ⊢ σ i (G) .

Commed'autre part

σ i (G) ^{−α i+1} ∧ α i+1 ≡ σ i (G) ∧ α i+1 ,

ona :

G ⊢ (σ i (G) ^{−α i+1} ∧ α i+1 ) ↔ α i+1 ,

'est à dire que

s i+1

^{est une}

G

^-identité.

Comme l'ensemble des

G

^{-identités est stable par omposition (voir} proposition 2.2.2), ononlut que

σ i+1

^{est également une}

G

^-identité.

5.4.2 Sous-formules des substituées par les

σ i

On sera amené ensuite à étudier des rétro-dérivations de substitués par les

σ i

^{. Il}

y a peu d'espoir d'obtenir omme sous-formules d'une substituée des substituées des

sous-formules. On peut ependant dérire es sous-formules, 'est le but des lemmes et

notations qui suivent.

Lemme 5.4.4 Soit

s

^une substitution, alors une sous-formule de

s(A)

^{est, soit}

s(B)

^ou

B

^{est une} sous-formulede

A

^{, soit une} sous-formulepropre de

s(α)

^où

α

^{estune variable}

propositionnelleapparaissant dans

A

^.

Preuve : indution évidentesur laomplexitéde

A

^.

Dérivons maintenant lessous-formules des substituées par les

σ i

^.

Dénition 5.4.5 Soit

1 ≤ i 1 < . . . < i l

^{, on notera}

σ i 1 ,...,i l ;q

^la substitution dénie pour toute formule

C

^{par réurrene sur}

q

^:

σ i 1 ,...,i l ;0 (C) = σ 0 (C) = C

^;

Si

q + 1 6∈ {i ₁ , . . . , i l }

^{, alors}

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (C) = s q+1 (σ i 1 ,...,i l ;q (C))

^;

Si

q + 1 ∈ {i 1 , . . . , i l }

^{, alors}

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (C) = σ i 1 ,...,i l ;q (C) ^{−α q+1}

^.

Remarque : Si

i l > q

^et

i j

^{est le plus grand parmi les entiers}

{i ₁ , . . . , i l }

^{qui soit}

inférieur ouégal à

q

^{, alors :}

σ i 1 ,...,i _l ;q = σ i 1 ,...,i j ;q .

On abien entendu

σ ∅;q = σ q

^.

Lemme 5.4.6 Pour toute suite roissante

1 ≤ i 1 < . . . < i l

^{, on a :}

α i 1 , . . . , α i l , σ i 1 ,...,i l ;p (G) ⊢ σ p (G) .

Preuve : par indution sur

p

^.

Si

p = 0

^{,'est évident par dénition de}

σ 0

^.

Supposons lapropriété vraiepour

p

^.

Si

p + 1 ∈ {i 1 , . . . , i l }

^{, alors}

σ i 1 ,...,i l ;p+1 (G) = (σ i 1 ,...,i l ;p (G)) ^{−α p+1}

^{, don, on déduit de}

l'hypothèsede réurrene (

α i 1 , . . . , α i _l , σ i 1 ,...,i _l ;p (G) ⊢ σ p (G)

^{) que :}

α i 1 , . . . , α i l , σ i 1 ,...,i l ;p+1 (G) ⊢ σ p (G) ,

d'où,

α i 1 , . . . , α i _l , σ i 1 ,...,i _l ;p+1 (G) ⊢ σ p (G) ^{−α p+1} .

On en déduitque pour toute formule

C

^,

α i 1 , . . . , α i _l , σ i 1 ,...,i _l ;p+1 (G) ⊢ s p+1 (C) ↔ C ,

d'où le résultatsouhaité:

α i 1 , . . . , α i l , σ i 1 ,...,i l ;p+1 (G) ⊢ σ p+1 (G) .

Si

p + 1 6∈ {i 1 , . . . , i l }

^{, alors}

σ i 1 ,...,i l ;p+1 (G) = s p+1 (σ i 1 ,...,i l ;p (G))

^{. Onapplique la}

substi-tution

s p+1

^à l'hypothèse de réurrene,e quidonne diretement le résultat.

Dénition 5.4.7 A toute ourrene de sous-formule

B

^de

σ q (G)

^{, on assoieune suite}

de

q + 1

^{formules notée}

B ⁰ , . . . , B ^q

^{, et telle que}

B ^q = B

^{, que l'on appelle suite assoiée}

à

B

^{. A toute ourrene de} sous-formule

B

^de

σ q (G)

^{, qui n'est pas une variable}

α i

^pour

i ≤ q

^{, on assoie une suite roissante d'entiers entre}

1

^et

q

^{que l'on appelle le type de}

B

^dans

σ q (G)

^.

On dénitsimultanémentletypeetlasuiteassoiéed'uneourrenedesous-formule

B

^de

σ q (G)

^{par réurrene sur}

q

^.

Si

q = 0

^{le type assoié à toute ourrene de} sous-formule est la suite vide. La suite assoiée à toute ourrene de sous-formule est ette sous-formule.

Supposons que pour toute ourrene de sous-formule de

σ q (G)

^{la suite assoiée}

est dénie, ainsi que le type s'il ne s'agit pas d'une variable

α i

^pour

i ≤ q

^{. Une}

ourrene de sous-formule

B

^de

σ q+1 (G)

^{, est :}

(i) soit l'image par

s q+1

^{d'une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^{qui n'est pas}

une variable

α i

^pour

i ≤ q

^{, auquel as on pose que}

B ^q

^{est ette} sous-formule,

lasuite assoiée à

B

^{est la suite assoiée à}

B ^q

^{, prolongée par}

B

^,

le type de

B

^{est elui de}

B ^q

^;

(ii) soit l'imagepar lasubstitution

[⊤ α q+1 /α q+1 ]

^{d'uneourrene de}sous-formule de

σ q (G)

^{qui n'est pas une variable}

α i , i ≤ q

^{, auquel as on pose que}

B ^q

^{est ette} sous-formule,

lasuite assoiée à

B

^{est la suite assoiée à}

B ^q

^{, prolongée par}

B

^,

et le type de

B

^{est elui de}

B ^q

^prolongépar

q + 1

^.

(iii) soit une variable

α i , i ≤ q + 1

^{, auquel as le type n'est pas déni, et la suite}

assoiée est la suite onstantede longueur

q + 1

^{égale à ette variable.}

Onétendlanotation

B ⁰ , . . . , B ^q

^{àdesensemblesde}sous-formulesde

σ q (G)

^(detypes

éventuellementdiérents),à desséquents etàdes onditionsonstituésdesous-formules

de

σ q (G)

^.

Unas partiulierutile:

σ q (G)

^{est,en tempsqu'ourrenede} sous-formuled'ellemême, de type vide,de suite assoiée

σ q (G) ⁰ = G, . . . , σ q (G) ⁱ = σ i (G), . . . , σ q (G) ^q = σ q (G)

^.

On a déni type et suite assoiée pour une ourrene de sous-formule de

σ q (G)

^.

Il n'y a auune raison que deux ourrenes distintes d'une même sous-formule aient

même type etmême suite assoiée.De plus il fautassurer quela dénition i-dessus est

orrete. Le lemme 5.4.4 et le lemme 5.4.1 assurent que l'on est toujours dans un des

trois as envisagés, etquees as sontexlusifs. Le (i)du lemmesuivantassure queei

s'hérite onvenablement au ours de l'indution.

Lemme 5.4.8

(i) Si

B

^{est une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^{alors pour tout}

j < q

^,

B ^j

^est

une ourrene de sous-formule de

σ j (G)

^{(en partiulier}

B ⁰

^{est une} sous-formule de

G

^).

De plus si

B

^{n'est pas une variable}

α i

^pour

i ≤ q

^{, alors}

B ^j

^{n'est pas une variable}

α i

^pour

i ≤ j

^{. Par onséquent les seules} sous-formules de

σ q (G)

^{pour lesquelles le}

type n'est pas déni sont bien les variables

α i

^pour

i ≤ q

^.

(ii) Si

i 1 , . . . , i l

^{, une suiteroissanted'entiers entre}

1

^et

q

^{, est letyped'une ourrene}

B

^de sous-formule de

σ q (G)

⁽

B

^{n'est don pas une variable}

α i

^pour

i ≤ q

^{), alors}

pour tout

j ≤ q

^,

B ^j = σ i 1 ,...,i l ;j (B ⁰ ) ,

(en partiulier

B = σ i 1 ,...,i _l ;q (B ⁰ )

^).

Par onséquent les sous-formules de

σ q (G)

^{sont, soit des variables}

α i

^pour

i ≤ q

^{, soit}

des images par lessubstitutions

σ i 1 ,...,i l ;q , 1 ≤ i 1 < . . . < i l ≤ q

^des sous-formules de

G

^.

Preuve (i): par réurrene sur

q

^.

Pour

q = 0

^{'est évident (la}numérotation des variablesommene à

1

^).

Supposons lerésultatpour

q

^.Soit

B

^uneourrenede sous-formulede

σ q+1 (G)

^.D'après

le lemme 5.4.4 et la dénition 5.4.7,

B ^q

^{est une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^.

Supposons que

B

^{n'est pas une variable}

α i , i ≤ q + 1

^{. Si}

B ^q

^{était une variable}

α i

^pour

i ≤ q

^{,e serait égalementle as de}

B

⁽

B = s q+1 (B ^q )

^ou

B = B ^{q−α q+1}

^{),e qui est exlu.}

On a don le résultat souhaité pour

B ^q

^{. Mais alors, les onditions de} l'hypothèse de réurrene sont satisfaites pour

B ^q

^{, et l'on obtient ainsi également le résultat souhaité}

pour

B ^j , j < q

^{(voirdénition 5.4.7).}

Preuve (ii): par réurrene sur

q

^.

Pour

q = O

^,

B = B ⁰

^{,et letype assoiéest la suite vide,don}

B = σ ∅;0 (B ⁰ )

^.

Supposons le résultatpour

q

^{etmontrons lepour}

q + 1

^.Soit

B

^{, l'ourrene d'une}

sous-formule de

σ q+1 (G)

^{. On déduit} immédiatement de la dénition 5.4.7 que, pour

j ≤ q

^,

B ⁱ = (B ^q ) ⁱ

^{,et don, si}

i 1 , . . . , i l

^{est letype de}

B ^q

^{, ona}

B ^j = σ i 1 ,...,i l ;j (B ⁰ )

^.

Le type de

B

^{est soit}

i 1 , . . . , i l

^,soit

i 1 , . . . , i l , q + 1

^{. Pour}

j ≤ q

^{, on a,}

B ^j = σ i 1 ,...,i l ;j (B ⁰ ) = σ i 1 ,...,i l ,q+1;j (B ⁰ )

(voir la remarque qui suit la dénition 5.4.5), on a don dans les deux as le résultat

esompté pour

j ≤ q

^{. Reste le as}

j = q + 1

^.

L'ourrene de sous-formule

B

^de

σ q+1 (G)

^{est soitl'imagepar}

s q + 1

^{(5.4.7(i)), soit}

l'imagepar

[⊤ α q+1 /α _q+1 ]

^{(dénition5.4.7 (ii)), de la}sous-formule

B ^q

^de

σ q (G)

^{.Dans les}

deux as onobtient, d'après ladénition 5.4.5), que

B = B ^q+1 = σ i 1 ,...,i _l ,q+1;q+1 (B ⁰ ) .

Lemme 5.4.9

(i) Si

B

^{est une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^et

B ⁰ = E ^′ c F ^′

^{pour un}

onne-teur

c

^{, alors}

B = E c F

^{, et pour tout}

j < q

^,

B ^j = E ^j c F ^j

^{, en partiulier}

E ^′ = E ⁰

et

F ^′ = F ⁰

^.

(ii) Soit

B

^{est une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^{de type}

i 1 , . . . , i l

^{(qui n'est}

don pas une variable

α i , i ≤ q

^{). Supposons que}

B ⁰

^{est une variable}

α j

^.

a. Si

j 6∈ {i 1 , . . . , i l }

^et

j ≤ q

^{, alors}

a.1. soit

j < i 1

^{, et}

B = σ i 1 ,...,i l ;q (α j ) = α j ∧ σ j,i 1 ,...,i l ;q (G) ;

a.2. soit il existe

k

^,

1 ≤ k < l

^{tel que}

i k < j < i _k+1

^{, et}

B = σ i 1 ,...,i _l ;q (α j ) = α j ∧ σ j,i _k+1 ,...,i _l ;q (G) ;

a.3. soit

i l < j

^{, et}

B = σ i 1 ,...,i _l ;q (α j ) = α j ∧ σ j;q (G) .

b. Si

j > q

^{, alors}

B = σ i 1 ,...,i l ;q (α j ) = α j .

. Si

j ∈ {i ₁ , . . . , i l }

^{, alors}

B = σ i 1 ,...,i l ;q (α j ) ≡ ⊤ α j .

(iii) Soit une ourrene de la variable

α i

^dans

σ q (G)

^ave

i ≤ q

^{. Alors il existe une}

suite non vided'entiers entre

1

^et

q

^{, soit}

i 1 < . . . < i l

^{, telleque}

i = i 1

^{, et telle que}

ette ourrene de

α i

^{apparaisse dans une ourrene de la}sous-formule suivante de

σ q (G)

^:

α i ∧ σ i 1 ,...,i _l ;q (G) ,

où

σ i 1 ,...,i l ;q (G)

^{est une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^{de type}

i 1 , . . . , i l

^{, telle}

que

σ i 1 ,...,i _l ;q (G) ⁰ = G

^.

Preuve (i): par indution sur

q

^{, 'est une onséquene direte de la dénition 5.4.7.}

Preuve (ii): on sait que

B = σ i 1 ,...,i l ;q (α j )

^{. On montre par indution sur}

q

^{, pour les}

formules

σ i 1 ,...,i _l ;q (α j )

^{, le résultat énoné i-dessus modié par l'ajout de la ondition}

supplémentaire

j ≤ q

^{dans le as . Cette ondition est onséquene de}

j ∈ {i ₁ , . . . , i l }

dans le as où

i 1 , . . . , i l

^{est letype de la formuleonsidérée.}

Pour

q = 0

^{'est évident, ar le type de}

B

^{est la suite vide, on est dans le as b, et la}

substitution envisagée

σ 0

^est l'identité.

Supposons lerésultat vraipour

q

^.

Si

j > q + 1

^{, on est forément dans le as b pour}

q

^et

q + 1

^{, et omme}

s q+1

^{ne modie}

pas

α j

^{lerésultat suit par hypothèse} d'indution.

Si

j < q + 1

^{, on est forément dans le as a pour}

q

^et

q + 1

^{. On obtient le résultat par}

hypothèse d'indution, en utilisant diretement la dénition 5.4.5. Voyons par exemple

le as

q + 1 = i 1

^{. Par hypothèse} d'indution,

σ i 1 ,...,i l ;q (α j ) = α j ∧ σ j,i 1 ,...,i l ;q (G) .

D'après la dénition 5.4.5,

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (α j ) = (α j ∧ σ j,i 1 ,...,i l ;q (G))[⊤ α q+1 /α q+1 ] = α j ∧ σ j,i 1 ,...,i l ;q+1 (G) .

Si

j = q + 1

^{, alors soit}

j ∈ {i ₁ , . . . , i l }

^{, et l'on passe du as b au as , soit}

j 6∈

{i 1 , . . . , i l }

^{, etl'on passe du as b auas a, voyons par exemple}

j < i 1

^:

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (α _q+1 ) = α _q+1 ∧ σ _q+1;q+1 (G) = α _q+1 ∧ σ _q+1;q+1,i 1 ,...,i l (G) .

Preuve (iii): par indution sur

q

^.

Si

q = 0

^{, il n'ya pas de variables}

α i

^ave

i ≤ 0

^{, 'estdon évident.}

Supposons lapropriété vraiepour

q

^.

Lavariable

α q+1

^{n'apparaitdans}

σ q+1 (G) = s q+1 (σ q (G))

^,queommesous-formulede

s q+1 (α q+1 )

^{, par dénition de ette} substitution.On a :

s q+1 (α q+1 ) = α q+1 ∧ σ q (G) ^{−α q} = α q+1 ∧ σ q+1;q+1 (G) .

Comme

σ q (G)

^{est de type vide et}

σ q (G) ⁰ = G

^,

σ _q+1;q+1 (G)

^{est une ourrene de}

sous-formule de

σ q+1 (G)

^{de type}

q + 1

^et

σ q+1 (G) ⁰ = G

^{(5.4.7 (ii)). Le résultat est don}

démontré pour ette variable.

Voyons maintenant une variable

α i

^{, ave}

i ≤ q

^{. Ces variables ne sont pas hangées}

par

s q+1

^{. Une ourrene de la variable}

α i

^dans

σ q+1 (G) = s q+1 (σ q (G))

^{est don, soit}

l'imagepar

s q+1

^{d'uneourrenede}

α i

^{dans laformule}

σ q (G)

^{,soitune ourrenede}

α i

dans

σ q (G) ^{−α q+1}

^{. On applique} l'hypothèse de réurrenedans les deux as.

On obtient dans le premier as que l'ourrene onsidérée de

α i

^{apparait dans une}

sous-formule de la forme

s q+1 (α i ∧ σ i 1 ,...,i l ;q (G)) = α i ∧ σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G) .

On obtient dansle seondas quel'ourreneonsidérée de

α i

^{apparaitdansune}

sous-formulede laforme

(α i ∧ σ i 1 ,...,i _l ;q (G)) ^{−α q+1} = α i ∧ σ i 1 ,...,i _l ,q+1;q+1 (G) .

Danslesdeux as

i 1 , . . . , i l

^estletypede

σ i 1 ,...,i l ;q (G)

^{,ommeourrenede} sous-formule de

σ q (G)

^,et

σ i 1 ,...,i l ;q (G) ⁰ = G

^.

Dans lepremier as, par dénition (5.4.7 (i)), le type de

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G)

^{égale elui de}

σ i 1 ,...,i _l ;q (G)

^,et

σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G) ⁰ = σ i 1 ,...,i _l ;q (G) ⁰ = G

^.

Dans le seond as par dénition (5.4.7 (ii)), le type de

σ i 1 ,...,i l ,q+1;q+1 (G)

^{égale elui}

de

σ i 1 ,...,i l ;q (G)

^prolongépar

q + 1

^{, et}

σ i 1 ,...,i l ,q+1;q+1 (G) ⁰ = σ i 1 ,...,i l ;q (G) ⁰ = G

^.

On adon dans haun des deux as le résultatvoulu.

5.4.3 Etude d'une rétro-dérivationd'une formule

σ p (G)

Dans e paragraphe, l'entier

p

^{est xé. On va onsidérer une} rétro-dérivation du séquent

⊢ σ p (G)

^{. Voyons d'abord un lemme dérivant une telle} rétro-dérivation.

Lemme 5.4.10 On onsidère une rétro-dérivation

(⊢ σ p (G)) rd C

^{. Soit}

S

^{un séquent}

de

C

^{. On assoie à}

S

^l'ensemble

I S

^{de tous les indies qui} interviennent dans les types des formules de

S

^{, exepté}

k

^{, si}

S

^{est maximalgauheet}

S = α k , Γ ⊢ C

^{. On onsidèrela}

branhedelarétro-dérivationdefeuille

S

^,quel'onnote

b(S)

^{.On alesrésultatssuivants.}

(i) Pour haquevariable

α j

^dans

I S

^{, il existe un séquent non pointé}

S _j ^′ = Σ j ⊢ σ i 1 ,...,i l ;p (G) , avec 1 ≤ i ₁ < . . . < i l ≤ p et j ∈ {i ₁ , . . . , i l } ,

quiapparaitdansb(S),ommeprémissed'unerègle(

∧droite

^{),dontl'autreprémisse}

est

Σ j ⊢ α j

^{. On désignera ette dernière par}

S j = Σ j ⊢ α j

^{. De plus, auun des}

séquents de

b(S)

^qui apparaissent entre la raine et

S _j ^′

^{, ne ontient de formules}

de type

k 1 , . . . , k m ; p

^ave

j ∈ {k 1 , . . . , k m }

^(en partiulier, l'ensemble

Σ j

^{a ette}

propriété).

(ii) Tous les séquents

S j

^{ont leur partie gauhe inluse dans elle de}

S

^{, de plus il}

est possible d'ordonner

I S

^{, soit}

I S = {α s 1 , . . . , α s t }

^{, de façon que, si}

e < f

^{, alors}

Σ s e ⊂ Σ s f

^.

(iii) Enn tous les séquents

S j , j ∈ I S

^{dénis i-dessus font partie de toute}

sous-dérivation ontenant

S

^{, donde toute onjontion dela forme normaledisjontive}

de

C

^ontenant

S

^.

Preuve (i): onsidéronsdans labranhe

b(S)

^{,lapremièreourreneàpartirdela}

ra-ined'unséquentomportantuneformule

E

^detype

(k 1 , . . . , k m ; p)

^ave

j ∈ {k ₁ , . . . , k m }

^.

Considérons la formule prinipale de la règle dont e séquent est une prémisse. Si elle

était égale à

σ g 1 ,...,g q ;p (E c F )

^{, on aurait}

(k 1 , . . . , k m ) = (g 1 , . . . , g q )

^{(lemme 5.4.9 (i)),}

et don

j ∈ {g ₁ , . . . , g q }

^{e qui} ontredirait les hypothèses. Don 'est une formule ato-mique. Ce n'est pas

⊥

^{qui ne peut être formule prinipale d'une règle. Don 'est une}

variable.Comme

j 6∈ {g 1 , . . . , g q }

^{,maisdoitapparaître dansletypede}

E

^{,e ne peutêtre}

que

α j

^{. On a d'après lelemme 5.4.9 (ii):}

σ g 1 ,...,g q ;p (α j ) = σ k 1 ,...,k m ;p (G) ∧ α j avec E = σ k 1 ,...,k m ;p (G).

(

∧gauche

^{) serait un séquent maximal gauhe don la feuille de la branhe, soit}

S

^{, e}

qui ontredit l'hypothèse

j 6∈ I S

^{. Cette formule est don située à droite du signe thèse,}

et onobtient lerésultat herhé.

Preuve (ii): en ordonnantmaintenant

I s

^selonl'ordred'apparitiondesséquents

S _j ^′

^,on

obtient par roissane des partiesgauhes le résultaténoné.

Preuve (iii): les séquents

S j

^{sont maximaux, don} obligatoirement présents dans

C

^.

Ils sont par onstrutiondans une mêmesous-dérivation ontenant labranhe

b(S)

^.

Lelemmesuivantpermetdeserameneràdesformulesde

F ^→,∧,∨ (G)

^{,eand'utiliser}

le faitque

G

^{est saturée.}

Lemme 5.4.11 Soit

C

^{uneonditiontelleque}

(⊢ σ p (G)) rd C

^.Soit

C 1 ∨. . .∨C d

^saforme

normale disjontive (elle de ladénition 4.4.2). Soient

C ⁰ , C ₁ ⁰ , . . . , C _d ⁰

^{déniestelles que}

i-dessus, àla dénition5.4.7 (omposées deséquents omposésdesous-formules de

G

^).

On a pour tout

r ∈ {1, . . . , d}

^:

G ⊢ C _r ^→ ↔ C _r ^0→

^{, et don}

G ⊢ C ^→ ↔ C ^{0 →}

^.

Preuve : onprouve par réurrene sur

q

^,

q ≤ p

^que:

G ⊢ C _r ^q→ ↔ C _r ^0→ .

Cela permettra de onlure puisque pour toute sous-formule

A

^de

σ p (G)

^,

A ^p = A

^.

Le résultatest évident pour

q = 0

^.

Supposons le résultat pour

q < p

^{et montrons le pour}

q + 1

^{. Pour ela il nous sut de}

montrer que

G ⊢ C _r ^q→ ↔ C _r ^{q+1 →} .

^{Pour une} sous-formuledonnée

A

^{de type}

(i 1 , . . . , i l ; p)

qui apparaitdans

C r

^{deux as se}présentent. Si

q + 1 6∈ {i 1 , . . . , i l }

^{,alors :}

A ^q+1 = σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (A ⁰ ) = s q+1 (σ i 1 ,...,i _l ;q (A ⁰ )) = s q+1 (A ^q ) ,

et don, omme

s _q+1

^{est une}

G

^{-identité on a, en} substituant

A ^q+1

^{à un ertain nombre}

d'ourrenes de

A ^q

^:

G ⊢ C _r ^q→ ↔ C _r ^q→ [A ^q+1 /A ^q ] .

On suppose que l'on réalise d'abord les substitutions

[A ^q+1 /A ^q ]

^{pour toutes les}

for-mules

A

^{de type}

(i 1 , . . . , i l ; p)

^{, ave}

q + 1 6∈ {i ₁ , . . . , i l }

^dans

C r

^{. Soit}

C _r ^q,q+1

^{la ondition}

intermédiaire, équivalente à

C r

^obtenue.

Considéronsmaintenantlesformules

A

^detype

(i 1 , . . . , i l ; p)

^,tellesque

q+1 ∈ {i 1 , . . . , i l }

^,

ona :

A ^q+1 = σ i 1 ,...,i l ;q+1 (A ⁰ ) = (σ i 1 ,...,i l ;q (A ⁰ )) ^{−α q+1} = A ^{q−α q+1} .

Soit

A

^{apparaitdansun séquent de}

C r

^{de laforme}

α q+1 , A, ∆ ⊢ C

^{.On rappellequepour}

tout

i ≤ q + 1

^,

(α q+1 ) ⁱ = α q+1

^{.Ilest lairqu'un telséquent est transforméen un séquent}

équivalentpar lasubstitution

[A ^{q−α q+1} /A ^q ]

^;

soit

A

^{apparait dans un séquent de}

C r

^{de la forme}

Σ ∪ ∆ ⊢ C

^{, ave}

A ∈ ∆ ∪ {C}

^,

C r

ontientunséquentmaximal

Σ ⊢ α q+1

^distint,et

Σ

^{neontientpas deformulesde type}

(k 1 , . . . , k m ; p)

^ave

q + 1 ∈ {k ₁ , . . . , k m }

^.

Dansleadredupréédent as,ontététraduitsleséquent

Σ ⊢ α q+1

^{,etdansl'autre}

séquent lesformules de

Σ

^,etunepartie éventuellementde

∆ ∪ {C}

^{.On rappelleque}

C r

^,

est une onjontion de séquents, et don les

C _r ⁱ

^et

C _r ^q,q+1

^{également. On a don omme}

éléments de la onjontion

C _r ^q,q+1

^{lesséquents :}

(Σ ⊢ α q+1 ) ^q+1 et Σ ^q+1 ∪ ∆ ^q+1 ₁ ∪ ∆ ^q ₂ ⊢ C ^k , avec k = q ou k = q + 1 .

Remarquons que :

(Σ ⊢ α _q+1 ) ^q+1 = Σ ^q+1 ⊢ α _q+1 ,

or:

(Σ ^q+1 → α _q+1 ) ∧ (Σ ^q+1 ∪ ∆ ^q+1 ₁ ∪ ∆ ^q ₂ → C ^k )

≡ (Σ ^q+1 → α q+1 ) ∧ (Σ ^q+1 ∪ ∆ ^q+1 ₁ ∪ (∆ ^q ₂ ) ^{−α q+1} → C ^q+1 )

= (Σ ^q+1 → α q+1 ) ∧ (Σ ^q+1 ∪ ∆ ^q+1 ₁ ∪ ∆ ^q+1 ₂ → C ^q+1 ) .

On obtient don en appliquantsuessivement ette transformation pour haque

sé-quent :

C _r ^q,q+1→ ≡ C _r ^q+1→

et donnalement :

G ⊢ C _r ^q→ ↔ C _r ^{q+1 →} ,

e qui ahève l'indution.

5.4.4 Lorsque

G

^{est saturée}

On donne deux lemmes, onséquenes du lemme 5.4.11, qui permettent de onlure

quand

G

^{est saturée.}

Lemme 5.4.12 On reprend les notations du lemme 5.4.11. On suppose de plus que

G

est saturée. Soit

C

^{une ondition telle que}

(⊢ σ p (G)) rd C

^{. Soit}

C 1 ∨ . . . ∨ C d

^{sa forme}

normale disjontive, alors il existe

r ∈ {1, . . . , d}

^{tel que :}

G ⊢ C _r ^→ ⊢ σ p (G) .

Preuve : on saitque

G ⊢ σ p (G)

^{, ar}

σ p

^{est une}

G

^{-identité. On sait que par dénition}

Preuve : on saitque

G ⊢ σ p (G)

^{, ar}

σ p

^{est une}

G

^{-identité. On sait que par dénition}

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