Dénitions

On peut, de façon générale, dénir une règle admissible dans une logique

L

^{de la}

façon suivante :

Dénition 1.2.1 Si

A 1 , . . . , A n , C

^{sont des formules de la logique}

L

^{, ontenant des}

méta-variables, nous dirons que

⊢ L A 1 . . . ⊢ L A n

⊢ L C

est une règle admissible dans

L

^{et nous noterons :}

A 1 , . . . , A n ≫ C,

pour exprimer que l'ensemble des théorèmes de

L

^{est los par appliation de ette règle.}

Dans e qui suit nous nous restreignonsà des aluls propositionnels. Nous

onsidé-rerons que les variables propositionnelles jouent le rle de méta-variables. Dans e as

partiulier, ladénition suivante est alors équivalenteà lapréédente :

Dénition 1.2.2 Nous dirons que

⊢ L A 1 . . . ⊢ L A n

⊢ L C

est une règle admissible dans

L

^{si et seulement si pour toute} substitution

s

^{de formules}

propositionnellesportant sur les variables propositionnelles :

si ⊢ L s(A 1 ), . . . , ⊢ L s(A n ), alors ⊢ L s(C).

L'un des buts dee qui suitest de omparer lanotionde règleadmissibleàlanotion

de règle dérivable.

Dénition 1.2.3 Nous dirons que

⊢ L A 1 . . . ⊢ L A n

⊢ L C ,

est une règle dérivabledans

L

^{ssi :}

⊢ L A 1 , . . . , A n , → C.

La propositionsuivante est évidemmentvraie.

Proposition 1.2.4 Toute règle dérivable dans une logique ave Modus Ponens est

ad-missible.

En alul propositionnellassique, la réiproqueest vraie.

Proposition 1.2.5 En alul propositionnel lassique toute règle admissible est

déri-vable.

Preuve : par omplétude.Onpose

⊤ = A ∨ ¬A, ⊥ = A ∧ ¬A

^{,sies onstantes ne sont}

pas prédénies. On assoie à haque valuation

v

^{sur 0,1 la} substitution

s v

^{dénie sur}

haque variableprositionnelle

α

^{par :}

si

v(α) = 0

^,alors

s v (α) = ⊥

^;

si

v(α) = 1

^,alors

s v (α) = ⊤

^.

Il est immédiatque, pour toute formule

A

^,

⊢ s v (A)

^{si etseulement si}

v(A) = 1

^.

Soit maintenantune règleadmissible

A 1 , . . . , A n ≫ C

^.Toute substitutionquivalide les prémisses

A i

^{valide la onlusion. C'est en partiulier le as des} substitutions

s v

^{, et}

e pour toute valuation

v

^{. On ondéduit que toute valuationqui valide les}

A i

^valide

C

^,

et donque

⊢ A 1 , . . . , A n → C

^.

Dans lasuite on désignera égalementles valeurs de vérité par

⊥

^et

⊤

^.

Le but de e qui suit est d'étudier les rapports entre dérivabilité et admissibilité en

logique intuitionniste.

Des règles admissiblesnon dérivables apparaissent également dansd'autres logiques,

par exemple ertaines logiques modales.

Lesvariablespropositionnellessontreprésentées parleslettresminusulesde

l'alpha-bet gre. Les onneteurs sont

∨, ∧, →, ⊥

^{. Le onneteur}

0

^-aire

⊥

^{est une onstante}

propositionnellepour l'absurde. On hoisit don de dénir

¬A

^omme abréviationpour

A → ⊥

^{. Ce hoix n'a pas d'inuene sur les résultats qui suivent. On aurait les mêmes}

résultatsave une négationprimitive,et l'absurde déni par

⊥ = A ∧ ¬A

^.

Il existe en logique intuitionniste des règles admissibles non dérivables.

les exemples suivants sont bien onnus.

¬α → β ∨ γ ≫ (¬α → β) ∨ (¬α → γ)

¬α → β ∨ γ 0 (¬α → β) ∨ (¬α → γ )

^.

(α → δ) → β ∨ γ ≫ ((α → δ) → β) ∨ ((α → δ) → γ) ∨ ((α → δ) → α) (α → δ) → β ∨ γ 0 ((α → δ) → β) ∨ ((α → δ) → γ) ∨ ((α → δ) → α)

^.

Les preuves sont très simples.Nous lesdonnons auxparagraphes 4.3et 7.3.

Dans tout e quisuit, nous nous restreignonsau alulpropositionnelintuitionniste.

1.4 Présupposés

Nous utiliserons laversion suivantedu théorème de Glivenko.

Proposition 1.4.1 (Théorème de Glivenko) Une formule qui ommene par une

négation est démontrable intuitionnistiquement si et seulement si elle est démontrable

lassiquement.Par onséquent pour

Γ

^{un ensemble ni de formules :}

⊢ Γ → ⊥ ssi ⊢ c Γ → ⊥ .

En eet

Γ → ⊥ ≡ ¬(∧Γ)

^.

Pour lapreuve, voir par exemple [Tr vD88℄.

Nous utiliserons égalementla propriété de disjontion en logique intuitionniste :

Proposition 1.4.2 (propriété de disjontion) Soient

C

^et

D

^{deux formules :}

⊢ C ∨ D ssi ⊢ C ou ⊢ D.

Il existe diérentes méthodes qui onduisent à e résultat. L'une des plus élémentaire

est d'utiliserleslash de Kleeneoul'unede ses variantes(voirpar exemple[Tr vD88℄).

Une autre est d'utiliser l'existene d'une preuve sans oupures en alul des séquents

intuitionniste (voir par exemple [Du 77℄).

On peut remarquer que, en dehors de la règle droite de l'impliation, toutes les

règles du alul des séquents intuitionniste (formulation ave auplus une seule formule

à droite), y ompris règles struturelles et oupure, sont valides pour l'admissibilité,

i.e. en remplaçant le symbole

⊢

^{par le symbole}

≫

^{. En fait, si on interprète les}

, de droite par des

∨

^{, il en est de même pour les règles du alul des séquents}

lassiqueexeptétoujourslarègledroitedel'impliation.Cesrèglessontd'ailleursvalides

intuitionnistiquement.Onpeutmêmeremarquerque,lesrèglesinversiblesdualuldes

séquents intuitionniste (laonjontiondes prémisses de larègle équivaut àlaonlusion

f 4.1), sont égalementinversiblespour l'admissibilité.Nousdétaillonsertainsas dans

lesparagraphes suivants.

1.5.1 Conjontion

Γ ≫ C ∧ C ^′ ssi Γ ≫ C et Γ ≫ C ^′ ; A ∧ A ^′ , Γ ≫ C ssi A, A ^′ , Γ ≫ C .

1.5.2 Aaiblissement

Si Γ ≫ C alors Γ, B ≫ C .

1.5.3 Disjontion

Γ, B ∨ B ^′ ≫ C ssi Γ, B ≫ C et Γ, B ^′ ≫ C .

Il est évident par aaiblissementque si

Γ, B ∨ B ^′ ≫ C

^,alors

Γ, B ≫ C

^et

Γ, B ^′ ≫ C

^.

La réiproque est une onséquene de la propriété de disjontion. En eet, supposons

que

Γ, B ≫ C

^et

Γ, B ^′ ≫ C

^{. Supposons que}

s

^{est une} substitutiontelle que pour toute formule

A

^de

Γ

^,

s(A)

^{soitprouvable ettelle que}

s(B ∨ B ^′ )

^{soitprouvable. On en déduit}

par la propriété de disjontion que

s(B)

^{est prouvable ou}

s(B ^′ )

^{est prouvable. On peut}

dans haun des as appliquerl'une des deux règles supposées admissibles i-dessus. On

onlutque

s(C)

^{est prouvable.}

1.5.4 Impliation

Si Γ ≫ B → C alors Γ, B ≫ C .

existe desrègles admissiblesnon dérivables etque

≫ C

^{sietseulementsi}

⊢ C

^.On

a ependantla propriété suivante :

Γ ≫ C ssi Γ ≫ Γ → C .

1.5.5 Négation

Nous utiliserons plus loinei :

Lemme 1.5.1 Les propositions suivantes sont équivalentes:

(i)

Γ ≫ ⊥

^,

(ii)

Γ ⊢ c ⊥

^,

(iii)

Γ ⊢ ⊥

^.

Preuve : (iii) équivaut à (ii) par le théorème de Glivenko (setion 1.4). Il est évident

que (iii)implique(i). Il nous sut don de montrer que (i)implique (ii).

Si

Γ ≫ ⊥

^{, il n'existe auune} substitution par

⊥

^ou

⊤

^{qui valide}

Γ

^{, don auune}

valuation lassique qui valide

Γ

^{. On en déduit, par omplétude de la logique lassique,}

que

Γ ⊢ c ⊥

^.

Conséquene : les propositions suivantes sont équivalentes:

Γ ≫ ¬C

^,

Γ ⊢ c ¬C

^,

Γ ⊢ ¬C

^.

1.5.6 Admissibilité et substitutions

La propriété suivanteest évidente, mais utile.

Pour toute substitution

s , si Γ ≫ C alors s(Γ) ≫ s(C) .

1.5.7 Conséquenes admissibles et dérivables

Nous allons ommener par étudier plus partiulièrement les ensembles de formules

ayant lapropriété suivante :

Dénition 1.5.2 Nous dironsqu'une formule

A

^(respetivementqu'un ensemble nide formules

Γ

^{) a mêmes onséquenes} admissibles etdérivables pour exprimer que :

A ≫ C ssi A ⊢ C (respectivement Γ ≫ C ssi Γ ⊢ C) .

On peut déduirede lapropriété énonée auparagraphe 1.5.3 que:

Lemme 1.5.3 L'ensemble des formules ayant mêmes onséquenes admissibleset

déri-vables est stable par disjontions.

Il s'avère que, pour étudier l'admissibilité,on peut se limiter à une lasse restreinte

de substitutions, que nous étudions dans e paragraphe.

2.1 Notations

Les substitutions sont des appliations dénies des variables dans les formules

pro-positionnelles, etétendues naturellementaux formules propositionnelles.On note

[A ₁ /α ₁ , . . . , A n /α n ]

lasubstitution dénie par

s(α 1 ) = A 1 , . . . , s(α n ) = A n et s(β) = β pour β 6∈ {α ₁ , . . . , α n } s(C)

^{est alors notée}

C[A 1 /α 1 , . . . , A n /α n ]

^.

2.2 Dénitions

Dénition 2.2.1 Si

Γ

^{estun ensemble deformules nous dirons quela}substitution

s

^est

une

Γ

^{-identité si pour toute variable} propositionnelle

α

^:

Γ ⊢ α ↔ s(α) ,

ou enore, si

Γ

^{est ni :}

Γ → α ≡ Γ → s(α).

Proposition 2.2.2

(i) La substitution

s

^{est une}

Γ

^{-identité ssi pour toute formule}

C

^:

Γ ⊢ C ↔ s(C) ,

ou enore, si

Γ

^{est ni :}

Γ → C ≡ Γ → s(C) .

(ii) L'ensembledes

Γ

^{-identités est stable par} omposition.

(iii) Si

Γ

^{est ni,}

C

^{une formule} propositionnelleet

s

^une

Γ

^{-identité, alors :}

Γ ≫ C ssi s(Γ) ≫ s(C) .

Preuve : indution évidentesur laomplexitéde

C

^{pour le(i), évident pour le(ii).}

Pour le (iii) un sens est évident (voir 1.5.6), voyons la réiproque. On suppose

s(Γ) ≫ s(C)

^{etl'on veut montrer}

Γ ≫ C

^{. Soit don}

σ

^une substitution validant

Γ

^{, 'est àdire}

telle que

⊢ ∧σ(Γ)

^{. Comme}

s

^{est une}

Γ

^{-identité, on déduit du (i) que}

Γ ⊢ ∧s(Γ)

^{, don}

σ(Γ) ⊢ ∧σ(s(Γ))

^{, etpar hypothèse sur}

σ

^{on obtient}

⊢ ∧σ(s(Γ))

^{. Or}

s(Γ) ≫ s(C)

^{, don}

par dénition de l'admissibilité

⊢ σ(s(C)) .

On utilise à nouveau le(i) qui donne

Γ ⊢ C ↔ s(C)

^{, don}

σ(Γ) ⊢ σ(C) ↔ σ(s(C))

^.

On utilisel'hypothèsesur

σ

^{etlepréédentrésultatpour onlureque}

⊢ σ(C)

^{,e quiest}

le résultatherhé.

Dénition 2.2.3 Si

Γ

^{est un ensemble de formules, nous dirons qu'une} substitution

s

^est

Γ

^{-validante si pour toute formule}

C

^de

Γ

^{la formule}

s(C)

^est démontrable.

Nous dirons une

Γ

^{-identité validante pour une}

Γ

^-identité

Γ

-validante.

Nous dirons que

Γ

^{a la propriété de disjontion pour} l'admissibilité, quand pour toutes formules

C

^et

D

^,

si Γ ≫ C ∨ D alors Γ ⊢ C ou Γ ⊢ D .

Ces dénitions sont introduites àause du résultatsuivant :

Lemme 2.2.4 Soit

Γ

^{un ensemble ni de formules.}

(i) S'il existe une

Γ

^{-identité validante, alors}

Γ

^{a la propriété de disjontion pour}

l'admissibilité.

(ii) Si

Γ

^{a la propriété de disjontion pour} l'admissibilité, alors

Γ

^{a mêmes}

onsé-quenes admissibles et dérivables.

Preuve ((i)) : soit

s

^la

Γ

^{-identité validante onsidérée,de :}

Γ ≫ C ∨ D et ⊢ ∧s(Γ) ,

ondéduit par dénition de l'admissibilitéque :

⊢ s(C) ∨ s(D) ,

et par lapropriété de disjontion:

⊢ s(C) ou ⊢ s(D) .

En aaiblissanton obtient :

⊢ Γ → s(C) ou ⊢ Γ → s(D) ,

et par dénition d'une

Γ

^{-identité on adon :}

⊢ Γ → C ou ⊢ Γ → D ,

'est à dire :

Γ ⊢ C ou Γ ⊢ D .

Preuve ((ii)) : si

Γ ≫ C

^{, alors}

Γ ≫ C ∨ C

^{, don}

Γ ⊢ C

^ou

Γ ⊢ C

^.

Nous montrerons la réiproquedu (i)au paragraphe5 .

Le orollaire suivant ne sera pas utilisé dans la suite. Il explique ependant d'une

ertaine façon par exemple le fait que l'on retrouve au paragraphe 3.4 les formules de

Harrop.

Corollaire 2.2.5 Si

Γ

^{a la propriété de disjontion pour} l'admissibilité, en partiulier s'il existe une

Γ

^{-identité validante, alors}

Γ

^{a la propriété de} disjontion, i.e.

si Γ ⊢ C ∨ D alors Γ ⊢ C ou Γ ⊢ D.

Preuve : si

Γ ⊢ C ∨ D

^{, alors}

Γ ≫ C ∨ D

^{, d'où lerésultat.}

Remarquons que la réiproque est fausse. Ainsi la formule

¬α → (β ∨ γ)

^{n'a pas la}

propriété de disjontion pour l'admissibilité, mais on peut failement vérier qu'elle a

la propriété de disjontion. En eet une preuve en alul des séquents (voir 4.1) d'un

séquent

¬α → (β ∨ γ) ⊢ (C ∨ D)

^{ne peut seterminer que par une règle droitesur le}

∨

^.

En eet

(¬α → (β ∨ γ)) ⊢ ¬α

^{,qui équivaut à}

⊢ ¬α

^{, n'est pas prouvable.}

Donnons une première appliationde e qui préède.

2.3 Un exemple simple

Si

α

^{estune variable}propositionnelle,alors

[⊤/α]

^{est une}

α

^{-identitévalidante,}

[⊥/α]

est une

¬α

^{-identité validante, et don}

α

^et

¬α

^{ont la propriété de disjontion pour}

l'admissibilité.

Engénéralisant

[⊤/α 1 , . . . , ⊤/α n , ⊥/β 1 , . . . , ⊥/β p ]

^{est une}

{α 1 ∧ . . . ∧ α n ∧ ¬β 1 ∧ . . . ∧

¬β p }

^{-identité. On en déduit par le lemme 1.5.3 que les formules onstruites ave}

∧, ∨

sur desvariablesetdesvariablesniées ontmêmesonséquenesadmissiblesetdérivables

(sur e fragment lesformes normales onjontives etdisjontivesexistent).

Remarquons que, omme une onjontion de formules niées (ommençant par

¬

⁾

est une formuleniée, ilsut pour généraliser lerésultat àtout le fragment

∧, ∨, ¬

^{, de}

trouverpourtouteformule

A

^{,toutesvariables}

α i

^,une

{¬A, α 1 , . . . , α n }

^{-identitévalidante.}

Ilsut pourela detrouverune

¬A[⊤/α ₁ , . . . , ⊤/α n ]

^{-identitévalidante,quel'onpourra}

prolonger.. Finalement,il sut don, pour généraliser lerésultat aufragment

∧, ∨, ¬

^,

de trouver pour toute formule

A

^une

¬A

^{-identité validante.}

Cei sera faitdans la suite.

On va, dans la setion suivante, utiliser les substitutions introduites pour donner

des aratérisations d'ensembles de formules ayant mêmes onséquenes admissibles et

dérivables.

pales étapes de ladémonstrationde omplétudepour larétro-dérivation est lasuivante.

On onstruit une

Γ

^{-identité validante pour un ensemble}

Γ

^{de formules los sous une}

propriété desaturation partiulière,quiesten l'ourene unerestrition delapropriété

de disjontion pour l'admissibilité sur un ensemble ni.

Le premierrésultat est un as partiulier du suivant mais sa preuve est

partiulière-mentsimple.

3.1 Le fragment

∧, →

Lemme 3.1.1 Soient

Γ

^{un ensemble ni de formules,}

V ar Γ

^{l'ensemble des variables}

propositionnellesapparaissantdanslesformulesde

Γ

^,

s

^lasubstitution,identitéendehors de

V ar Γ

^{, dénie pour}

α

^dans

V ar Γ

^{par :}

s(α) = Γ → α pour α dans V ar Γ ,

alors

(i) pour toute formule

C

^{dans le fragment}

V ar Γ , ∧, →

^:

s(C) ≡ Γ → C ,

(ii)

s

^{est une}

Γ

^{-identité, don pour toute formule}

C

^(sans restritions)

Γ → s(C) ≡ Γ → C .

Preuve ((i)) : par indution sur la struture de

C

^.

Le résultatvient de la dénition pour les variablespropositionnelles.

Pour lespas d'indution on utiliseles équivalenessuivantes :

(⊤ → ⊤) : (Γ → A) → (Γ → B) ≡ Γ → (A → B) ; (⊤ ∧ ⊤) : (Γ → A) ∧ (Γ → B) ≡ Γ → (A ∧ B) ;

qui semontrentsans diulté.

Preuve ((ii)) : ladénition 2.2.1 est évidemment satisfaite :

Γ → Γ → α ≡ Γ → α .

Proposition 3.1.2

Si

Γ

^{est unensemble ni deformules danslefragment}

∧, →

^,alorslasubstitution

s

^{dénie au lemmei-dessus est une}

Γ

^{-identité validante.}

Les formules du fragment

∧, →

^{ont la propriété de disjontion pour} l'admissibi-lité.

Les formules du fragment

∧, →

^{et les} disjontions de telles formules ontmêmes onséquenes admissibleset dérivables.

lause.On saitque que

s

^{est une}

Γ

^{-identitéd'après lelemme3.1.1 (ii).Du(i) ondéduit}

que pour toute formule

A

^de

Γ

^:

s(A) ≡ Γ → A ≡ ⊤ ,

don

s

^{valide bien}

Γ

^.

3.2 Le fragment

∧, →, ⊥

^ou

∧, →, ¬

Lemme 3.2.1 Soient

Γ

^{un ensemble ni de formules,}

V ar Γ

^{l'ensemble des variables}

propositionnellesapparaissant dans

Γ

^.

Soient

v

^{une valuationlassique surle fragment engendrépar}

V ar Γ

^et

s v

^lasubstitution, identité en dehors de

V ar Γ

^{, et dénie pour}

α

^dans

V ar Γ

^{par :}

Si v(α) = ⊤ alors s v (α) = Γ → α ,

Si v(α) = ⊥ alors s v (α) = ¬¬Γ ∧ (Γ → α) .

Alors

(i) pour toute formule

C

^{dans le fragment}

V ar Γ , ∧, →, ⊥

^:

Si v(C) = ⊤ alors s v (C) ≡ Γ → C ,

Si v(C) = ⊥ alors s v (C) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .

(ii)

s v

^{est une}

Γ

^{-identité , don pour toute formule}

C

^(sans restritions)

Γ → s v (C) ≡ Γ → C .

Preuve ((i)) : par indution sur la struture de

C

^.

Lerésultatvientdeladénitionpourlesvariablespropositionnelles.Pour

⊥

^onremarque

que :

¬¬Γ ∧ (Γ → ⊥) ≡ ⊥ .

Pour lespas d'indution onutilise, outreles équivalenes

(⊤ → ⊤)

^et

(⊤ ∧ ⊤)

^énonées

en setion 3.1, les équivalenessuivantes :

(⊥ → ⊤) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] → (Γ → B) ≡ Γ → (A → B ) ;

(⊥ → ⊥) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] → [¬¬Γ ∧ (Γ → B)] ≡ Γ → (A → B) ; (⊤ → ⊥) : (Γ → A) → [¬¬Γ ∧ (Γ → B)] ≡ ¬¬Γ ∧ [Γ → (A → B)] ; (⊥ ∧ ⊤) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] ∧ (Γ → B) ≡ ¬¬Γ ∧ [Γ → (A ∧ B)] ;

(⊥ ∧ ⊥) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] ∧ [¬¬Γ ∧ (Γ → B)] ≡ ¬¬Γ ∧ [Γ → (A ∧ B )] .

Ces équivalenes se prouvent sans diultés. Remarquons que seule la troisième (as

(⊤ → ⊥)

^{) utilise de façon} indispensable l'absurdité intuitionnistean de montrer :

(Γ → A) → ¬¬Γ ≡ ¬¬Γ .

Voyons un pas d'indution.Supposons que

C = A → B

^et

v(C) = ⊥

^{. Cela entraine que}

v(A) = ⊤

^et

v(B) = ⊥

^{. On en déduitpar hypothèse d'indution que}

s v (A) ≡ Γ → A et s v (B) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → B) .

On utilise l'équivalene

(⊤ → ⊥)

^{qui permetde onlure que}

s v (C) = s v (A → B ) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → (A → B)) = ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .

Preuve ((ii)) : l'équivaleneestune égalitépour lesvariablespropositionnelleshors de

V ar Γ

^{et pour}

⊥

^.

Ellese vérie failement pour lesvariables

α

^de

V ar Γ

^{telles que}

v(α) = ⊤

^.

Pour lesvariables

α

^de

V ar Γ

^{telles que}

v (α) = ⊥

^{, onremarque que:}

Γ → s v (α) = Γ → [¬¬Γ ∧ (Γ → α)] ≡ Γ → α .

Proposition 3.2.2

(i) Supposons que

Γ

^{soit un ensemble ni de formules dans le fragment}

∧, →, ⊥

tel qu'il existe une valuation lassique

v

^vériant

v(∧Γ) = ⊤

^{, alors la} substitution assoiée

s v

^{dénie au lemme 3.2.1 est une}

Γ

^{-identité validante.}

(ii) Lesformulesdufragment

∧, →, ⊥

^{ontlapropriétédedisjontionpour}

l'admissi-bilité.

(iii) Les formules du fragment "

∧, →, ⊥

^{" et les} disjontions de telles formules ont mêmes onséquenes admissibleset dérivables.

Preuve ((i)) : on sait que, pour toute valuation lassique

v

^onvenable,

s v

^{est une}

Γ

-identité d'après le (ii) du lemme 3.2.1. la valuationpartiulière onsidérée

v

^{vérie que}

v(∧Γ) = ⊤

^{,et don pourtoute formule}

A

^de

Γ

^,

v(A) = ⊤

^{.On déduitde eietdu (i)du}

lemme 3.2.1 que

s v (A) ≡ Γ → A ≡ ⊤ ,

don

s v

^{est bien une} substitution

Γ

-validante.

Preuve ((ii)) : dans le as où il existe une valuation lassique validant

Γ

^{, 'est une}

onséquene du (i).

Dans leas oùil n'en existe auune, d'après lelemme 1.5.1 :

Γ ⊢ ⊥ ,

et donpour toute formule

C

^:

Γ ⊢ C et Γ ≫ C .

Mintsdans[Mi 72℄démontrele(iii)delapropositionpréédentedansleaspartiulier

où la formule onlusion de la règle admissible est aussi dans le fragment

∧, →, ⊥

^{. Le}

(i)du lemme3.2.1 sut alors pour onlure.

On peutremarquerquetouteformulequiommenepar unenégationestéquivalente

à une formuledans le fragment

∧, →, ⊥

^{. Cei se montre par indution en utilisant les}

équivalenes suivantes :

¬A ≡ ¬¬¬A ;

¬¬(A → B) ≡ ¬¬A → ¬¬B ;

¬¬(A ∧ B) ≡ ¬¬A ∧ ¬¬B ;

¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B .

On déduit don de e quipréède leorollairesuivant.

Corollaire 3.2.3 Sous les hypothèses du lemme3.2.1 la onlusion se généralise à une

formule

C

^{qui ommene par une négation i.e.}

Si v(C) = ⊤ alors s v (C) ≡ Γ → C ,

Si v(C) = ⊥ alors s v (C) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .

3.3 Le fragment

∧, ∨, ¬

Ononsidère,uniquementdanseparagraphedontnousn'utiliseronspaslesrésultats

dans lasuite, que le

¬

^{est primitif.}

Lesonlusions de laproposition3.2.2 sontégalementvalides pour lesformules

om-mençant par une négation. Cei permet don de montrer (voir2.3), queles formules du

fragment

∧, ∨, ¬

^{ont mêmes onséquenes} admissibles et dérivables. Cependant ette méthode n'estpastrèssatisfaisantepuisquela

Γ

^{-identité validanteemployéeomportele}

onneteur

→

^{. On aimerait une}

Γ

^{-identité validante qui n'utiliseque des formules dans}

lemême fragment,la négationétant onsidéréeomme primitive.Cei est possible pour

les formules niées. En eet, quand on remplae une sous-formule propre d'une formule

niée, par une formule quilui est lassiquement équivalente, on obtient une formuleniée

intuitionnistiquementéquivalente('estuneonséqueneduthéorème deGlivenko).Or:

Γ → α ≡ c ¬Γ ∨ α

¬¬Γ ∧ (Γ → α) ≡ c Γ ∧ α .

On a don le lemme suivant, que l'on peut d'ailleurs montrer diretement sans grande

diulté.

Lemme 3.3.1 Soient

Γ

^{un ensemble ni de formules,}

V ar Γ

^{l'ensemble des variables}

propositionnellesapparaissant dans

Γ

^.

Soient

v

^{une valuationlassique surle fragment engendrépar}

V ar Γ

^et

s ^′ _v

^lasubstitution, identité en dehors de

V ar Γ

^{, et dénie pour}

α

^dans

V ar Γ

^{par :}

Si v(α) = ⊤ alors s ^′ _v (α) = ¬¬(¬Γ ∨ α) ,

Si v(α) = ⊥ alors s ^′ _v (α) = Γ ∧ α .

Alors

(i) pour toute onjontion

C

^{de variables} propositionnelleset de formules niées :

Si v(C) = ⊤ alors s ^′ _v (C) ≡ ¬¬(¬Γ ∨ C) ,

Si v(C) = ⊥ alors s ^′ _v (C) ≡ Γ ∧ C .

(ii)

s ^′ _v

^{est une}

Γ

^{-identité , en partiulier pour toute formule}

C

^(sansrestritions)

Γ ⊢ s ^′ _v (C) ↔ C .

(iii) Si

Γ

^{est un ensemble ni non} ontraditoire de formules niées et de variables propositionnelles, et

v

^{est une valuation lassique validant}

Γ

^{, la}substitution

s ^′ _v

^est

une

Γ

^{-identité validante.}

Remarque:dansleaspartiulierenvisagé auparagraphe2.3,onretrouve,àéquivalene

près, les substitutionsindiquées alors.

Proposition 3.3.2

Si

Γ

^{est un ensemble ni non} ontraditoire de formules niées et de variables pro-positionnelles, et

v

^{est une valuationlassique validant}

Γ

^{, la}substitution

s ^′ _v

^dénie

i-dessus est une

Γ

^{-identité validante.}

Les onjontionsdevariablespropositionnellesetde formulesniéesontlapropriété

de disjontion pour l'admissibilité.

Lesformules dufragment"

∧, ∨, ¬

^"sontéquivalentesàdesdisjontionsde onjon-tions de variables propositionnelles et de formules niées. Elles ont mêmes

onsé-quenes admissibles et dérivables.

Mints([Mi72℄)montrele(iii)delapropositiondansleaspartiulieroùlaonlusion

de la règle est dans le mêmefragment. Danse as le (i)du lemme préédent sut.

Nous allons maintenant donner des lasses de formules plus générales, dont les

on-séquenes admissibles sontles onséquenes dérivables.

3.4 Formules de Harrop

LesformulesdeHarrop(Rasiowa-Harrop)ontétéintroduitesparequ'ellespossèdent

lapropriété de disjontionetont une aratérisationsyntaxiquesimple. Nousrappelons

leur dénition, dans le ontexte restreint quiest lentre du alulpropositionnel.

ontiennent pas de disjontion en position stritement positive. On peut dénir

induti-vement l'ensemble H des formules de Harrop de la façon suivante :

pour toute formule atomique

α

^(variablepropositionnelle ou

⊥

⁾

α ∈

^H;

si

A

^{est une formule quelonque, si}

B ∈

^{H, alors}

A → B ∈

^H;

si

A ∈

^{H, si}

B ∈

^{H, alors}

A ∧ B ∈

^H.

Par exemple

A 1 → . . . → A n → α

^{est une formulede Harrop.}

Dénition 3.4.2 les formules

A 1 → . . . → A n → α ,

où

α

^{est atomique (soit}

⊥

^{, soit une variable} propositionnelle), sont appelées formules de Harrop primitives.

Lemme 3.4.3 TouteformuledeHarropestéquivalenteàunedeonjontiondeformules

de Harrop primitives.

Preuve : parindutionsur ladénitionde H.Onutilisepour lepas d'indution

l'équi-valene :

A → (B ∧ C) ≡ (A → B) ∧ (A → C) .

Nous allons utiliser la substitution

s v

^{dénie auparagraphe 3.2. Le lemme suivant}

permet d'étendre les résultatsdu lemme 3.2.1.

Lemme 3.4.4 Sous leshypothèses du lemme3.2.1,laonlusion (i)de e mêmelemme

s'étend aux formules de Harrop, i.e. pour toute formule de Harrop

C

^:

Si v(C) = ⊤ alors s v (C) ≡ Γ → C ,

Si v(C) = ⊥ alors s v (C) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .

Preuve : d'aprèslelemme3.4.3,onpeut selimiterà

C

^{uneonjontion deformulesde}

Harrop primitives, eten appliquant les équivalenes

(⊤ ∧ ⊤)

^{de la setion 3.1,}

(⊤ ∧ ⊥)

et

(⊥ ∧ ⊥)

^{de la setion 3.2, on peut se limiter à}

C

^{une formule primitive de Harrop.}

Posons don:

C = ∆ → α

^où

α

^{est atomique et}

∆ = {B ₁ , . . . , B n }

^.

-Supposons tout d'abord que

v(α) = ⊤

^{, et don}

v(C) = ⊤

^.

s v (α) = Γ → α ,

don :

s v (C) = s v (∆ → α)

≡ s v (∆) → Γ → α

≡ Γ → s v (∆) → α ,

or d'aprèsle lemme 3.2.1,

s v

^{est une}

Γ

^{-identité don :}

s v (C) ≡ Γ → ∆ → α = Γ → C .

-Supposons maintenant que

v(α) = ⊥

^{. On a don :}

s v (α) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → α) ,

('est une égalité si

α

^{est une variable} propositionnelle, l'équivalene est évidente si

α = ⊥

^{).On en déduit :}

s v (C) = s v (∆ → α)

≡ s v (∆) → [¬¬Γ ∧ (Γ → α)]

≡ [s v (∆) → ¬¬Γ] ∧ [s v (∆) → Γ → α] . (⋆)

Considéronsledeuxièmemembrede laonjontion

(⋆)

^{i-dessus. Demêmequ'au as}

préédent ondéduitde e que

s v

^{est une}

Γ

^{-identité que:}

[s v (∆) → Γ → α] ≡ Γ → C .

Considérons le premiermembre de la onjontion

(⋆)

^{. De} l'équivalene:

A → ¬B ≡ ¬¬A → ¬B ,

ondéduit que :

s v (∆) → ¬¬Γ ≡ ¬¬s v (∆) → ¬¬Γ

≡ s v (¬¬∆) → ¬¬Γ .

Or

¬¬∆

^{est uneformulequiommeneparune négation,dond'aprèsleorollaire3.2.3}

(

¬¬∆ ≡ ¬¬ ∧ ∆ ≡ c ∧∆

^{) :}

soit

v(∧∆) = ⊤

^etalors

s v (¬¬∆) ≡ Γ → ¬¬ ∧ ∆

^,

soit

v(∧∆) = ⊥

^etalors

s v (¬¬∆) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → ¬¬ ∧ ∆)

^.

Distinguonsà nouveau deux as, suivant lavaleur de

v(∧∆)

^.

Si

v(∧∆) = ⊤

^{, alors,omme}

v(α) = ⊥

^et

C = ∆ → α

^,

v(C) = ⊥

^{. On a :}

s v (∆) → ¬¬Γ ≡ (Γ → ¬¬∆) → ¬¬Γ

≡ ¬¬Γ .

Reprenons

(⋆)

^{.On amontré nalementdans eas lerésultatvoulu,'est àdire que,}

si

v(C) = ⊥

^:

s v (C) ≡ ¬¬Γ ∧ Γ → C .

Supposons maintenant

v(∧∆) = ⊥

^{, alors, omme}

v(α) = ⊥

^et

C = ∆ → α

^{, on a}

v(C) = ⊤

^{. On a aussi :}

s v (¬¬∆) → ¬¬Γ ≡ (¬¬Γ ∧ (Γ → ¬¬ ∧ ∆)) → ¬¬Γ

≡ ⊤ .

et don, en reprenant

(⋆)

^:

s v (C) ≡ Γ → C ,

e qui est lerésultat voulu sahant que

v(C) = ⊤

^.

On peutremarquer que lapreuve de e lemmeutilise lesrésultatsdu paragraphe3.2

préédent seulement dans le adre restreint des formules du fragment

∧, →, ⊥

om-mençant par une négation, mais qu'il ontient stritement le lemme3.2.1.

Nous pouvons maintenant, exatement de la même façon que i-dessus, énoner la

propositionsuivante quigénéralise la proposition3.2.2 :

Proposition 3.4.5

Supposons que

Γ

^{soit un ensemble ni de formules de Harrop tel qu'il existe une}

valuation lassique

v

^vériant

v (∧Γ) = ⊤

^{, alors la} substitution assoiée

s v

^dénie

au lemme3.2.1 est une

Γ

^{-identité validante,}

les formules de Harrop ont la propriété de disjontion pourl'admissibilité,

les formules de Harrop et les disjontions de telles formules ont mêmes

onsé-quenes admissibles et dérivables.

Dans le paragraphe suivant, nous donnons un autre ensemble de formules ayant la

propriété de disjontion pour l'admissibilité, mais utilisant un type diérent de

substi-tutions.

3.5 Formules anti-Harrop

Dénition 3.5.1 Les formules anti-Harrop sont les formules propositionnelles qui

on-tiennent au moins une variable en position stritement négative. On peut dénir

indu-tivement l'ensemble aH des formules anti-Harrop de la façon suivante :

Pour toute variable propositionnelle

α

^{, si}

A

^{est une formule quelonque, alors}

α → A ∈

^aH;

si

A

^{est une formule quelonque, si}

B ∈

^{aH, alors}

A → B ∈

^aH;

si

A ∈

^{aH, si}

B ∈

^{aH, alors}

A ∧ B ∈

^aH.

α → B ,

où

α

^{est une variable} propositionnelle.

Lemme 3.5.2 Toute formuleanti-Harropestéquivalenteàune onjontion deformules

formules anti-Harrop primitives.

Preuve : indution immédiate sur la dénition de aH.

Lemme 3.5.3 Soient

Γ

^{un ensemble ni de formules,}

V ar Γ

^{l'ensemble des variables}

propositionnelles apparaissant dans

Γ

^,

s

^la substitution, identité en dehors de

V ar Γ

^,

dénie pour

α

^dans

V ar Γ

^{par :}

s(α) = Γ ∧ α ,

alors

(i)

s

^{est une}

Γ

^{-identité, et don pour toute formule}

C

^(sansrestritions)

Γ → s(C) ≡ Γ → C ,

(ii) pour toute formule anti-Harrop

C

^:

s(C) ≡ Γ → C .

Preuve ((i)) : s est une

Γ

^{-identité (dénition 2.2.1)ar}

Γ → (Γ ∧ α) ≡ Γ → α

^.

Preuve ((ii)) : d'après le lemme 3.5.2 et l'équivalene

(⊤ ∧ ⊤)

^{du paragraphe 3.1, il}

sut de démontrer lerésultat pour

C = α → B

^{, où}

α

^{est une variable}propositionnelle.

Dans e as :

s(C) = s(α) → s(B) ≡ (Γ ∧ α) → s(B) ≡ α → Γ → s(B) ,

et dond'après (i):

s(C) ≡ α → Γ → B ≡ Γ → α → B = Γ → C .

On déduitde e lemme de façonanalogue auxas préédents la proposition :

Proposition 3.5.4

Si

Γ

^{est un ensemble ni de formules} anti-Harrop, alors la substitution

s

^dénie

au lemmei-dessus est une

Γ

^{-identité validante;}

les formules anti-Harrop ont la propriété de disjontion pour l'admissibilité;

les formules anti-Harrop etles disjontions de formules Harrop et anti-Harrop ont

les formules anti-Harrop etles disjontions de formules Harrop et anti-Harrop ont

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