Lorsque G est saturée

5.4 Elimination des anti-Harrop

5.4.4 Lorsque G est saturée

On donne deux lemmes, onséquenes du lemme 5.4.11, qui permettent de onlure

quand

G

^est ^saturée.

Lemme 5.4.12 On reprend les notations du lemme 5.4.11. On suppose de plus que

G

est saturée. Soit

C

^une ^ondition ^tel^le ^que

(⊢ σ p (G)) rd C

^. ^Soit

C 1 ∨ . . . ∨ C d

^sa ^forme

normale disjontive, alors il existe

r ∈ {1, . . . , d}

^tel ^que ^:

G ⊢ C _r ^→ ⊢ σ p (G) .

Preuve : on saitque

G ⊢ σ p (G)

^, ^ar

σ p

^est ^une

G

^-identité. ^On ^sait ^que ^par ^dénition

de la rétro-dérivation :

σ p (G) > C ₁ ^→ ∨ . . . ∨ C _d ^→ ,

don :

G > C ₁ ^→ ∨ . . . ∨ C _d ^→ ,

onapplique maintenant lelemme 5.4.11 :

G > C ₁ ^0→ ∨ . . . ∨ C _d ^0→ .

Orles onditions

C _i ⁰

^sont ^des ^onjontions ^de ^séquents ^formés ^de sous-formules de

G

^, ^et

donlesformules

C _i ⁰ ^→

appartiennentà

F ^→,∧ (G)

^.^on^peut ^don^appliquer^la^dénition^de

la saturation (voir paragraphe 5.3). Il existe

r

^tel ^que

G ⊢ C _r ^0→

^. ^On ^applique ^à ^nouveau

le lemme5.4.11 eton obtient

G ⊢ C _r ^→ .

Lefaitque

C _r ^→ ⊢ σ p (G)

êst ûne ônséquene^de ^la^dénition^de ^la^relation

rd

^(lemme

4.4.10).

Le lemme suivant a un double but : fournir une

G

^-identité ^validante ^dans ^le ^as

où

G

êst ^saturée ên ^se ^ramenant ^à ûn ênsemble ^de ^formules ^de ^Harrop, ^donner ûne

aratérisationréursive de lasaturation. Il utilise dans sa preuve le lemme5.4.11

Lemme 5.4.13 On reprend les notations du lemme 5.4.11. Soit

C

êst ûne ôndition

telle que

(⊢ σ p (G)) rd C

^. ^On ^suppose ^que ^l'une ^des ^onjontions ^de ^la ^forme ^normale

disjontive de

C

^, ^soit

C r

^, ^vérie ^:

G ⊢ C _r ^→ ⊢ σ p (G) .

Alors tout séquent maximal gauhe

S

^de

C r

(orrespondantà une formule anti-Harrop) estonséquenedelaonjontion

C r, d

^des^séquents ^maximaux^droits^de

C r

(orrespondant à des formules de Harrop) :

C _r, ^→ d ⊢ S ^→ .

Preuve : soit

S

^un ^séquent ^maximal^gauhe ^de

C r

^. ^On ^remarque^tout ^d'abord ^que

S

n'apuêtreobtenuqueommeprémissed'unerègledontlaformuleprinipaleestdutype

α i c A

^ou

A c α i

^,^e ^par^dénition ^de ^larétro-dérivation.Maisd'aprèslelemme5.4.9(iii) on sait que ette formule est du type

σ i 1 ,...,i l ;p (G) ∧ α i

^ave

i ∈ {i 1 , . . . , i l }

^. ^La ^dernière

règle appliquéeest don un

(∧gauche)

S

^s'érit ^don ^:

S = α i , σ i 1 ,...,i l ;p (G), ∆ ⊢ C .

Toujours d'après 5.4.9(iii), ette ourrene de

σ i 1 ,...,i l ;p (G)

^est ^eetivement ^de ^type

i 1 , . . . , i l

^, ^et^vérie

σ i 1 ,...,i l ;p (G) ⁰ = G

^.^On ^peut ^don ^déduire^du ^lemme^5.4.8 ⁽ⁱⁱ⁾ ^:

S ^q = α i , σ i 1 ,...,i l ;q (G), ∆ ^q ⊢ C ^q .

Onassoiemaintenant(ommeaulemme5.4.10)à

S

^l'ensemble

I S

^de^tous^les^indies

quiinterviennentdanslestypesdesformulesde

S

^,^y^ompris

i 1 , . . . , i l

^,^exepté

i

^,^et^pour

haque

α j ∈ I S

^les ^séquents ^maximaux ^droits

S j = Σ j ⊢ α j

orrespondant. D'après le lemme 5.4.10 (iii), les

S j

^sont ^dans ^toute ^onjontion ^de ^la ^forme ^normale ^disjontive

C

^dans ^laquelle

S

^apparait, ^don ^tous ^dans

C r

^. ^D'après ^le ^lemme ^5.4.10 ^(ii), ^leurs

partiesgauhessonttotalementordonnées parinlusion,etinluesdanselle de

S

^,^don

dans

∆

^(5.4.10 ^(i)). ^En partiulier, une formule de

Σ j

^a ^un ^type

k 1 , . . . , k m ; p

^vériant

{k ₁ , . . . , k m } ⊂ I S

On va, de façonanalogue au lemme 5.4.11,prouver par indution sur

q

^où

q ≤ p

p

^xé, ^que^:

{Σ ^q _j → α j , j ∈ I s }, α i , σ i 1 ,...,i l ;q (G), ∆ ^q ⊢ C ^q . (P q )

Pour

q = 0

^, ^on ^sait, ^d'après ^le ^lemme^5.4.11, ^que

G ⊢ C _r ^0→

S ⁰ = α i , G, ∆ ⁰ ⊢ C ⁰

^est

don prouvable.

Supposons maintenant le résultat vrai pour

q < p

^et ^montrons ^le ^pour

q + 1

Rappelons que

I S

^ontient ^tous ^les^indies ^qui interviennentdans les types des formules de

(P q )

^exepté

i

Supposons tout d'abord que

q + 1 6∈ I S

^, ^et

q + 1 6= i

En appliquantla substitution

s q+1

^à

(P q )

^on^obtient

(P q+1 )

^,^d'où ^le ^résultat.

Supposons que

q + 1 = i

^(don

q + 1 6∈ I S

^et

q + 1 ∈ {i ₁ , . . . , i l }

^).

Comme

α _q+1

êst ûne ^formule^gauhe ^du ^séquent, ônônserve ^la prouvabilité de elui-i en remplaçant dans

(P q )

^toutes ^les ^formules

A ^q

^, ^ave

A

^de ^type

k 1 , . . . , k m ; p

^et

q + 1 ∈ {k ₁ , . . . , k m }

^, ^par

A ^q+1 = A ^q−α ^q+1

^. ^Soit

(P _q ^′ )

^le ^résultat ôbtenu. Ôn âpplique

s _q+1

^à

(P _q ^′ )

^. Ôn ôbtient, ômme ^les ^formules

A ^q−α ^q+1

^ne ^sont ^pas transformées, que le séquent suivant est prouvable :

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α _q+1 , σ q (G) ^−α ^q+1 , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ C ^q+1 .

Rappelons que

q + 1 ∈ {i 1 , . . . , i l }

^, ^et^don

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G) = (σ i 1 ,...,i l ;q (G)) ^−α ^q+1

D'après lelemme 5.4.10,les

Σ j

^sont ^tous ^inlus^dans

∆

^, ^et^don ^pour ^tout

j ∈ I s

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α _q+1 , σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ α j . (∗)

D'autre part, d'après lelemme 5.4.6,

α i 1 , . . . , α i _l , σ i 1 ,...,i _l ;q (G) ⊢ σ q (G) ,

α i 1 , . . . , α i l , σ i 1 ,...,i l ;q (G) ^−α ^q+1 ⊢ σ q (G) ^−α ^q+1 ,

i.e.

α i 1 , . . . , α i _l , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G) ⊢ σ q (G) ^−α ^q+1 .

Or, par dénition de

I S

{i 1 , . . . , i l } − {q + 1} ⊂ I S

^, ^don ^d'aprèsl'assertion (

∗

^),

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α _q+1 , σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ σ q (G) ^α ^q+1 ,

d'où le résultatherhé :

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α _q+1 , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ C ^q+1 .

Supposons maintenant que

q + 1 ∈ I S

^(don

q + 1 6= i

^).

Considérons le séquent

Σ q+1 ⊢ α q+1

^. ^On ^sait ^que

Σ q+1

^ne ^ontient ^pas ^de ^formule^de

type

k 1 , . . . , k m ; p

^ave

q+1 ∈ {k ₁ , . . . , k m }

^,^et^que

Σ q+1

^est ^ontenu^dans

∆

^,^ainsi^que

dans tous les

Σ j , j ∈ I S

^dès ^qu'ils^ontiennent ^de ^telles ^formules ^de ^type

k 1 , . . . , k m ; p

(lemme 5.4.10). Comme

q + 1 ∈ I S

Σ q+1 ⊢ α q+1

^apparait ^à ^droite ^du ^signe ^thèse

dans

(P q )

^, ^On ^peut ^don ^onserver ^la prouvabilité de

(P q )

^, ^en ^remplaçant ^dans ^les

Σ ^q _j

et dans

S ^q

^, ^les^formules

A ^q

^, ^ave

A

^de ^type

k ₁ , . . . , k m ; p

^et

q + 1 ∈ {k ₁ , . . . , k m }

par

A ^q+1 = A ^q−α ^q+1

^(ei ^ne ^modiera ^pas ^le ^séquent

Σ q+1 ⊢ α q+1

On applique ensuite

s q+1

âu ^séquent ôbtenu. Ôn ôbtient, âprès âvoir ^déomposer

Σ ^q+1 _q+1 → α _q+1 ∧ σ q (G) ^α ^q+1

^en

Σ ^q+1 _q+1 → α _q+1

^et

Σ ^q+1 _q+1 → σ q (G) ^α ^q+1

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, Σ ^q+1 _q+1 → σ q (G) ^α ^q+1 , α i , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ C ^q+1 .

D'après le lemme 5.4.10, les

Σ j

^sont ^tous ^inlus ^dans

∆

^. ^On ^en ^déduit ^que, ^pour ^tout

j ∈ I s

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α i , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ α j .(∗∗)

Or,pardénitionde

I S

{i 1 , . . . , i l }−{i} ⊂ I S

^.^De^la^même^façon^qu'au^as^préédent,

ondéduit de l'assertion

(∗∗)

^et^du ^lemme^5.4.6 ^que

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α _q+1 , σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ σ q (G) ^α ^q+1 ,

et onobtient lerésultat herhé :

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α i , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ C ^q+1 .

Proposition 5.5.1 Soit

Γ

^un ^ensemble ⁽ⁿⁱ⁾ ^satur^é ^de ^formules propositionnelles.

Alors,soit

∧Γ

êst ûne ântilogie ^lassique, ^soit

Γ

^possè^de ^une

Γ

^-identité ^validante ^qui

nesubstitue quedes formules onstruites surles variablesde

Γ

^. ^Don

Γ

^a ^la^propriété^de

disjontion pour l'admissibilité, et don mêmes onséquenes admissibles et dérivables.

Preuve : on pose

V ar Γ = {α 1 , . . . , α n }

^. Ôn âpplique ^le ^lemme ^5.4.13 ^préédent, âve

p = n

G = ∧Γ

^et

C

^obtenue ^par ^une rétro-dérivationmaximalede

σ n (G)

^(il^en ^existe

une, voir lemme4.4.12).On hoisit pour

C r

^la^onjontion ^fournie^par ^le ^lemme^5.4.12.

Comme

C

^ne^ontient^que^des^séquents^maximaux^et^que^le^lemme^5.4.13^montre^que^les

séquentsmaximauxgauhes sontonséquenesdesséquentsmaximauxdroits,onobtient

en prenant laonjontion des formules orrespondant auxséquentsmaximaux droits de

C

^,^une ^formule^de^Harrop

H

^,^qui^est ^soitéquivalenteàuneonjontionde formulesde Harrop simples(flemme5.1.1),soitéquivalenteà

⊤

^,^soitéquivalenteà

⊥

^,^telle^que ^:

G ⊢ H ⊢ σ n (G) .

H = ⊤

σ n

^est

G

-validante. On onlut par le lemme 2.2.4 que

G

^a ^mêmes

onséquenes admissibles dérivables.

H

^, êst ûne ônjontion ^de ^formules ^de ^Harrop ^simples, ^d'après ^le ^lemme ^5.1.2 îl

existe une

H

^-identité ^validante, ^soit

s

^. ^Comme

G ⊢ H

s

^est ^également ^une

G

-identité, et don

s ◦ σ n

^est ^une

G

^-identité. ^D'autre ^part ^omme

H ⊢ σ n (G)

^, ^on ^a

s(H) ⊢ s ◦ σ n (G)

^.^De ^plus ^on^sait^que

s

^est

H

-validante,

s(H)

^est démontrable,don

s ◦ σ n (G)

^également, ^et ^don

s ◦ σ n

^est

G

-validante. On onlut par le lemme 2.2.4 que

G

^a ^mêmes ^onséquenes admissibles dérivables.

Supposons maintenantque

H

^estéquivalenteà

⊥

^donûneântilogie^lassique,ômme

G ⊢ H

G

êst ^également ûne ântilogie. Ôn ônlutômme âu^paragraphe ^3.4.

Corollaire 5.5.2 Un ensemble ni

Γ

^de ^formules propositionnellesnon ontraditoire alapropriétéde disjontionpourl'admissibilitésietseulement s'ilexisteune

Γ

-identité-validante.

Un ensemble ni

Γ

^de ^formules propositionnelles non ontraditoire a la propriété de disjontion pour l'admissibilité siet seulement s'il existe une

Γ

-identité-validante qui ne substitue que des formules onstruites sur les variables de

Γ

Preuve : onsaitques'ilexisteune

Γ

-identité-validante,

Γ

^a^la^propriété^de^disjontion

pour l'admissibilité (lemme 2.2.4). Réiproquement, si

Γ

^a ^la ^propriété ^de ^disjontion

pour l'admissibilité,

Γ

êst ^évidemment ^saturé êt ôn ônlut ^par ^la proposition 5.5.1 préédente.

Proposition 5.5.3 (omplétude) Pour un ensemble ni

Γ

^de ^formules proposition-nelles,

C

^une ^formule propositionnelle, on a :

Γ ≫ C ssi Γ > C .

Plus préisémment, à tout ensemble

Γ

^de ^formules, ôn ^peut âssoier ûn ênsemble ^de

formules

Γ ^ad =

q

_

i=1

∧Γ i

^, ^où ^les

Γ i

^sont ^des ^ensembles ^saturés, ^tels ^que ^pour ^toute

formule

C

Γ ≫ C ssi Γ ^ad ⊢ C ,

Γ ⊣ > Γ ^ad .

Preuve : d'après lelemme 5.3.5, ilexiste

Γ 1 , . . . , Γ n

sous-ensembles saturés, tels que:

∧Γ ⊣ > (∧Γ ₁ ) ∨ . . . ∨ (∧Γ n ) .

On pose

Γ ^ad = (∧Γ 1 ) ∨ . . . ∨ (∧Γ n )

Γ rd Γ ^ad

^, ^on ^déduit ^(lemme ^de ^délité ^4.4.15)

Γ ≫ Γ ^ad

^. ^De

Γ ^ad ⊢ Γ

^, ^on ^déduit ^de

même

Γ ^ad ≫ Γ

^.^Par^omposition^de ^la^relation d'admissibilité,onobtient,

Γ ≫ C ssi Γ ^ad ≫ C .

D'après le lemme1.5.3, la proposition 5.5.1 etomme les

Γ i

^sont ^saturés,

Γ ^ad ≫ C ssi Γ ^ad ⊢ C .

Corollaire 5.5.4 Pour un ensemble ni de formules donné

Γ

^, îl êxisteûn ^nombrê ⁿⁱ

de substitutions

s 1 , . . . , s q

^, ^à ^valeurs ^dans ^l'ensemble ^des ^formules propositionnellesne omportant que des variables propositionnelles apparaissant dans

Γ

^, ^et ^telles ^que ^pour

toute formule

C

Γ ≫ C ssi pour tout i ∈ {1, . . . , q}, ⊢ s i (C) .

Preuve : onséquene du orollaire5.5.2 et de la proposition5.5.3.

Corollaire 5.5.5 les propositionssuivantes sont équivalentes.

(i) La formule

G

â ^mêmes ônséquenês admissibleset dérivables

(ii) La formule

G

^est équivalente à une disjontion de

p

^formules ^ayant ^la ^propriété

de disjontion pour l'admissibilité.

(iii) Soit

G

êst ûne ântilogie, ^soit îl êxiste

p

substitutions

s 1 , . . . , s p

^telles ^que

⊢ s 1 (G), . . . , ⊢ s p (G)

^et ^pour^toute proposition

C

s 1 (C) ∧ . . . ∧ s p (C) ⊢ G → C

Preuve ((i)

⇔

⁽ⁱⁱ⁾⁾^: ^on ^déduit ^de ^la proposition 5.5.3 préédente qu'il existe une dis-jontion de

p

^formules ^saturées

G ^ad

^telle ^que

G ⊣ > G ^ad

^. ^Si

G

^a ^mêmes ^onséquenes

admissibles et dérivables alors

G ≡ G ^ad

^. ^La ^réiproque ^est ^déja ^démontrée ^(f ^lemmes

2.2.4 et1.5.3).

Preuve ((ii)

⇒

⁽ⁱⁱⁱ⁾⁾^: ^soient

G 1 , . . . , G p

^des ^formules ^ayant ^la ^propriété ^de ^disjontion

pour l'admissibilité et vériant

G ≡ W p

i=1 G i

^. ^D'après ^le ^orollaire ^5.5.2, ^pour ^haque

G i

^, îl êxiste ûne

G i

^-identité ^validante

s i

^. ^Par ^dénition ^d'une

G i

^-identité, ^pour ^toute

proposition

C

G i → s i (C) ≡ G i → C .

On en déduitque

p

^

i=1

(G i → s i (C)) ≡

p

^

i=1

(G i → C) ,

et don

p

^

i=1

s i (C) ⊢ G → C .

Preuve ((iii)

⇒

⁽ⁱ⁾⁾^: ^on^applique ^la ^dénition ^de l'admissibilitépour

s 1 , . . . , s p

5.6 Résultats de déidabilité

Proposition 5.6.1 La saturation (ou le fait d'avoir la propriété de disjontion pour

l'admissibilité) d'un ensemble de formules

Γ

^est ^déidable. ^Plus préisémment, posons

G = ∧Γ

^ave

α ₁ , . . . , α n

^une énumération de toutes les variables de

Γ

^. ^On ^assoie

G

^la substitution

σ n

^dénie ^en ^5.4.2. ^Soit

C

^la ^ondition ^maximale ^telle ^que

σ n (G) rd C

^et

C ₁ ∨ . . . ∨ C d

^la ^forme ^normale ^disjontive ^de

C

^. ^Alors

Γ

^est ^satur^é

si et seulement siil existe

r

^tel ^que

G ⊢ C r →

, et ei est déidable.

Preuve : s'il n'existe pas un tel

r

^, ^il ^est ^lair ^que

Γ

^n'est ^pas ^saturé. ^Si ^un ^tel

r

existeonpeutappliquerlelemme5.4.11.On adononstruit uneformulede Harrop

H

vériant

G ⊢ H ⊢ σ n (G)

^. Ôn ên ^déduit êxatement ômme ên ^5.5.3 ^l'existene ^d'une

Γ

^-identité^et^don^la^saturation^de

Γ

^.^Ladéterminationde

C

^,^ondition^formée^de

sous-formules de

Γ

^est ^déidable, ^don^elle ^de ^sa^forme^normale^disjontive^l'est ^également.

On est don ramenéà ladéidabilité de la relationde dédution intuitionniste.

Proposition 5.6.2 La détermination pour un ensemble

Γ

^de ^formules ^d'un ^ensemble

Γ ^ad =

q

_

i=1

∧Γ i

^, ^où ^les

Γ i

^sont ^des ^ensembles ^saturés, ^tels^que ^pour ^toute ^formule

C

Γ ≫ C ssi Γ ^ad ⊢ C ,

Γ ⊣ > Γ ^ad .

(voir proposition 5.5.3) est déidable. Par onséquent l'admissibilité en alul

proposi-tionnel intuitionniste est déidable, avoir mêmes onséquenes admissibles et dérivables

est déidable.

Preuve : il s'agit de montrer qu'il est possible de onstruire de façon réursive pour

un ensemble

Γ

^de ^formules ^données ^les ^ensembles ^saturés ^(voir ^lemme ^5.3.5), ^soient

Γ 1 , . . . , Γ q

^tels ^que ^:

∧Γ ⊣ >

q

_

i=1

∧Γ i .

Comme pour la proposition préédente, la preuve d'élimination des anti-Harropfournit

le proédé. On onstruit la substitution

σ n

^, ⁽

n

^le ^nombre ^de ^variables ^de

V ar Γ

⁾

telle que dénie au paragraphe 5.4. On applique le lemme 5.4.11 ave

p = n

^. ^On

obtient des ensembles de sous-formules d'ordre 1 de

Γ

^, ^Harrop ^et anti-Harrop. Si l'un d'entre eux est la onséquene de

Γ

^, ^d'après ^la proposition préédente

Γ

^est ^saturé.

Si auundes ensembles obtenusn'est onséquene de

Γ

^, ^elui-i^n'est ^don ^pas ^saturé.

On onstruit les ensembles obtenus en réunissantà

Γ

^haun^des ênsembles ôbtenus êt

onréïtèreleproédépour haund'entre eux.Commeonrestetoujoursdans l'ensemble

F ^→,∧,∨ (Γ)

^,^le^proédé^termine,êt^l'onônstruit^lesênsembles

Γ 1 , . . . , Γ q

^vériant^:

Γ ≫ C ssi Γ 1 ⊢ C et . . . et Γ q ⊢ C .

Il est à remarquer que leproessus de déisionpour l'admissibilité indiqué i-dessus

semble extrêmement lourd, même omparé à elui pour la prouvabilité, y ompris en

eetuant un ertain nombre d'améliorationsimmédiates utilisant l'inversibilitéde

er-taines règles. Jen'ai pas étudierla omplexitéde e proessus de déision.

Exemples, appliations

Le as des formules à une variable en alul propositionnel intuitionniste est très

partiulieretassezpeureprésentatifduasgénéral.Mais,ommeilsedéritsimplement,

il permet d'illustrerfailement lesnotions introduitespréédemment.

6.1 Le treillis de Rieger-Nishimura

Le treillis pour la dédution de l'algèbre de Lindenbaum (ensemble des formules

quotienté par l'équivalene) à une variable

α

^a ^une ^forme remarquable qui est la suivante[Ni 60,TrvD 88℄ :

Fig.1 Treillisde Rieger-Nishimura

Les formules

A n , n ∈ N ∪ {ω}

^,^sont ^déritesindutivement par :

A 0 = ⊥, A ₁ = P, A 2 = ¬P, A ω = ⊤

A 2p+3 = A 2p+2 ∨ A 2p+1

^pour

p ∈ N

;

A 2p+4 = A 2p+2 → A 2p+1

^pour

p ∈ N

6.2 Substitutions et treillis de Rieger-Nishimura

D'aprèsleorollaire5.5.4,onpeut,pourétudierl'admissibilitédanseaspartiulier,

selimiteràdes substitutionsde formulespropositionnellesàunevariable.Ilest amusant

d'observer que les treillis images obtenus sont nis et en nombre ni. Dérivons les.

Voyonstoutd'abord lessubstitutionslassiques

s(α) = ⊤

^et

s(α) = ⊥

^.^Les^formules

substituées forment deux lasses pour l'équivalene (qui est marquée, dans ette gure

et dans lessuivantes, par un trait gras).

@ @

On utilise maintenant diretement la dénition de l'admissibilité. On ne s'interesse

qu'àlalassedes formulesdontlessubstituéessontéquivalentesà

⊤

^.^A^ve ^es ^deux

sub-stitutionsonobtientque

A ₁ = α

A ₂ = ¬α

^et

A ₃ = α ∨ ¬α

^n'ont ^d'autres^onséquenes

admissibles que leurs onséquenes dérivables.

Les as

s(α) = ¬α

^et

s(α) = ¬¬α

^sontidentiques. Le treillis obtenu par substitu-tion omporte 5lasses.

@ @

@ @ @ @ @ @

@ @

@ @ r r r r r

@ r r r r r r r r r r

s(A 0 ) = ⊥

s(A 1 ) = C

¬C = s(A 2 )

s(A ₄ ) ≡ C

¬α ∨ ¬¬α = s(A ₃ )

s(A 5 )

⊤ ≡ s(A 6 )

s(A 8 ) s(A 7 )

s(A 9 ) s(A 10 )

A ω = ⊤ r

@ @

@ @ @ @

t t

Fig. 4

s(α) = C

^ave

C = ¬α

^ou

C = ¬¬α

Ave es substitutions, onobtientque

A 6

^n'a ^pas ^d'autre^onséquenes admissibles que ses onséquenes dérivables, que

A 7

^et

A i , i ≥ 9

^n'ont ^pour ^onséquenes

admissibles, ni

A 8

^,ⁿⁱ

A i , i ≤ 5

de la même façon (3lasses, treillis linéaire):

Ave es substitutions, on obtient que

A 4

^n'a ^pour ^onséquenes admissibles que ses onséquenes dérivables, que

A 7

^n'a ^pas

A 6

^pour ^onséquene admissible, etdon en utilisantégalementlapréédentesubstitution,n'apouronséquenesadmissibles que

ses onséquenesdérivables.Demêmeenreprenantlasubstitution

s(α) = ⊥

^on^obtient

que

A 5

^n'a ^pour ^onséquenes admissiblesque ses onséquenes dérivables.

Onobtientdefaçonanalogueque

A 9

^ne^peut^avoir^d'autres^onséquenesadmissibles non dérivables que

A ₇

^et

A ₁₀

En regroupant es résultats, et en utilisantde plus le fait que es substitutions sont

susantes pour aratériser l'admissibilité (orollaire5.5.4), onobtient une desription

de toutes les règles admissibles pour les formules propositionnelles à une variable, que

l'on a synthétisée dans lagure 6 du paragraphe suivant.

Toutes lesrègles admissibles sont obtenues par omposition des règles dérivables, et

(bien entendu,

A ω = ⊤

^n'a âuune ônséquene âdmissible^non ^dérivable)

Fig. 6 Treillisde Rieger-Nishimura etadmissibilité

d'équivaleneadmissible,

A ≪≫ B ssi A ≫ B et B ≫ A ,

ontient exatement 9 lasses. On peut remarquer qu'une règle possédant un nombre

ni de prémisses est équivalente àla règle àune seule prémisseobtenue en prenant leur

onjontion. On déduit don failement de e quiprèède, lerésultat suivant.

Proposition 6.3.1 Les règles admissibles à une variable propositionnelle sont, à

équi-valenes près, exatement les suivantes :

les règles dérivables;

A 8 ≫ A 5

^, ^'est ^à ^dire

(¬¬α → α) → (α ∨ ¬α) ≫ ¬α ∨ ¬¬α

A i ≫ A j

^pour ^tous

i, j ∈ {7} ∪ {k ∈ N , k ≥ 9}

(le premier et le dernier as ne sont pas exlusifs).

6.4 Rétro-dérivation

Il n'est bien entendu pas indispensabled'utiliserlerésultat de omplétudede la

se-tion5.Sanserésultatonprouvesimplement,ensubstituantdesformulesàunevariable,

qu'iln'y a pas d'autres règlesadmissibles que elles dérites àla proposition 6.3.1.

Pour prouver que es règles sont bien admissibles, on peut utiliser diretement la

rétro-dérivation,plus préisément l'exemple(

ad 1

⁾ ^donné ^au^paragraphe ^4.3.

Lemme 6.4.1 Toutes les règles admissiblesportant surdes formules propositionnellesà

une variable sont obtenuespar omposition de règles dérivables et d'instanes de larègle

admissible :

(α → δ) → (β ∨ γ) ≫ ((α → δ) → β) ∨ ((α → δ) → γ) ∨ ((α → δ) → α) . (ad 1 )

Preuve : on utilise le treillis de Nishimura et les notations introduites en 6.1. Il nous

sut de démontrer (voir paragraphe 6.3) que les règles suivantes sont obtenues par

ompositiond'instanes de

(ad 1 )

^et ^de ^règles ^dérivables ^:

pour tout

n ∈ N A 2n+8 ≫ A 2n+5 , A 2n+9 ≫ A 2n+7 , A 2n+11 ≫ A 2n+10 .

Nousallons toutd'abord montrerquepourtout

n

^entier

A 2n+8 ≫ A 2n+5

^.^On ^se^sert

de l'équivalene suivante:

pour tout n ∈ N , A 2n+6 ≡ A 2n+4 → A 2n+1 . (1)

En eet

A 2n+6 = A 2n+4 → A 2n+3 = (A 2n+2 → A 2n+1 ) → (A 2n+2 ∨ A 2n+1 ) ,

et indépendamment du sens des

A i

l'assertion

(A 2n+2 → A 2n+1 ) → (A 2n+2 ∨ A 2n+1 ) ≡ (A 2n+2 → A 2n+1 ) → A 2n+1 ,

est démontrableintuitionnistiquement.

L'équivalene

(1)

^et ^d'autres ^équiv^alenes ^du ^même ^genre ^sont ^d'ailleurs^néessaires

pour montrer que le treillis de Rieger-Nishimura dérit bien e qu'il est sensé dérire

(voir [Ni 60, Tr vD88℄).

On déduit don de

(1)

^que

A 2n+8 ≡ A 2n+6 → A 2n+3

^, ^et ^en réappliquant la même équivalene pour

A _2n+6

^d'une ^part, ^en ^remplaçant

A _2n+3

^par ^sa ^dénition ^(voir ^6.1)

d'autrepart, on obtient :

A 2n+8 ≡ (A 2n+4 → A 2n+1 ) → (A 2n+1 ∨ A 2n+2 ) .

On peut appliquerlarègleadmissible(

ad 1

^).Ôn ôbtient^que,^pour ^toutêntier

n

A 2n+8

pour onséquene admissible:

[(A 2n+4 → A 2n+1 ) → A 2n+1 ]∨[(A _2n+4 → A 2n+1 ) → A 2n+2 ]∨[(A _2n+4 → A 2n+1 ) → A 2n+4 ] .

Remarquons que trivialement,

A 2n+1 ⊢ A 2n+4

^,^on ^peut ^don ^simplier^la ^disjontion^:

A 2n+8 ≫ [(A 2n+4 → A 2n+1 ) → A 2n+2 ] ∨ [(A 2n+4 → A 2n+1 ) → A 2n+4 ] . (2)

On remplae maintenant

A _2n+4

^par

A _2n+2 → A _2n+1

^dans ^la ^deuxième^omposante ^de

ladisjontion. On obtient :

(A 2n+4 → A 2n+1 ) → A 2n+4 ≡ [(A 2n+2 → A 2n+1 ) → A 2n+1 ] → (A 2n+2 → A 2n+1 )

≡ [A 2n+1 → A 2n+1 ] → (A 2n+2 → A 2n+1 )

≡ A 2n+2 → A 2n+1

≡ A 2n+4 .

Don, en remplaçant dans

(2)

A _2n+8 ≫ [(A _2n+4 → A _2n+1 ) → A _2n+2 ] ∨ A _2n+4 . (3)

Pour la première omposante de la disjontion, on peut se servir de l'équivalene

sui-vante :

pour tout n ∈ N , A _2n+1 → A _2n+2 ≡ A _2n+2 . (4)

En eet ette équivalene est failement démontrable pour

n = 0

^. ^La ^montrer ^pour

n > 0

^revient ^à ^montrer ^:

A 2n+3 → A 2n+4 ≡ A 2n+4 ,

(A 2n+1 ∨ A 2n+2 ) → A 2n+2 → A 2n+1 ≡ A 2n+2 → A 2n+1 ,

Ce qui est évident, indépendemmentde lavaleur des

A i

^. ^On ^déduit ^de

(4)

^que ^:

(A 2n+4 → A 2n+1 ) → A 2n+2 ≡ (A 2n+4 → A 2n+1 ) → A 2n+1 → A 2n+2

≡ A 2n+1 → A 2n+2

≡ A 2n+2 .

On obtientnalement en appliquant ette dernière équivalene à

(3)

A _2n+8 ≫ A _2n+4 ∨ A _2n+2 .

A 2n+3 = A 2n+1 ∨ A 2n+2

^et

A 2n+1 ⊢ A 2n+4

^don

A 2n+4 ∨ A 2n+3 ≡ A 2n+4 ∨ A 2n+2

^, ^et

omme

A 2n+5 = A 2n+4 ∨ A 2n+3

^,ôn â^nalement ^le^résultat ânnoné ^:

pour tout n ∈ N , A 2n+8 ≫ A 2n+5 .

On en déduitque

A 2n+8 ≫ A 2n+7

^, ^puisque

A 2n+5 ⊢ A 2n+7

A 2n+9 = A 2n+7 ∨ A 2n+8

^on ^déduit

A 2n+9 ≫ A 2n+7

A 2n+10 = A 2n+8 → A 2n+7

^on^déduit

A 2n+9 ≫ A 2n+10

A 2n+11 = A 2n+9 ∨ A 2n+10

^on^déduit

A 2n+11 ≫ A 2n+10

Cesderniersrésultatsvalentpourtoutentier

n

^et^sont^eux^qu'il^nous^susait^de^montrer.

6.5 Illustration de dénitions préédemment introduites

En observant la gure 6 du paragraphe 6.3, on onstate que les seules formules à

une variable propositionnelle ayant mêmes onséquenes admissibles et dérivables sont,

à équivaleneprès :

A 0 = ⊥

A ω = ⊤

A 1 = α

A 2 = ¬α

A 3 = α ∨ ¬α

A 4 ≡ ¬¬α

A 5 = ¬α ∨ ¬¬α

A 6 ≡ ¬¬α → α

A 7 = (¬¬α → α) ∨ ¬¬α

Parmi elles i,lesseulesà avoirlapropriété de ladisjontionpour l'admissibilitésont :

A ₀ = ⊥

A ω = ⊤

A 1 = α

A 2 = ¬α

A 4 ≡ ¬¬α

A 6 ≡ ¬¬α → α

On remarque que, par ontre, toutes les formules

A 2p

^pour

p

^dans

N

ainsi que

A 1 = α

^, ^ont ^la^propriété ^de disjontion, etseulement elles-i àéquivalene près, parmi lesformules àune variable propositionnelle. Pour

A 0

A 1

^et

A 2

^'est^évident.^les^autres

formules onsidérées sont les

A 2p+4 = A 2p+2 → A 2p+1

^.^Un ^séquent ^:

A _2p+4 ⊢ C ∨ D

ne peut être prouvé dans le alul des séquents de la setion 4.1par la règle gauhe de

la èhe. En eetela onduirait à prouver le séquent

A 2p+4 ⊢ A 2p+2

^e ^que ^ontredit

le treillis de Rieger-Nishimura. La seule solution est don d'utiliser la règle droite de la

disjontion,et don de prouver

A 2p+4 ⊢ C

^ou

A 2p+4 ⊢ D

On onstate que les formules

A 2p+8

^pour

p

^dans

N

ont la propriété de disjontion sans avoir lapropriété de disjontionpour l'admissibilité.

6.6 Remarques

Les divers phénomènes onstatés dans e as très partiulier ne doivent pas être

abusivementgénéralisés.Parexempleilestfauxquetouteslesrèglesadmissiblespuissent

êtreengendréesparuneseulerègle.Nousmontreronsplusloin(voirorollaire7.5.2)qu'un

système générant toutesles règles admissibles est néessairement inni.

Unautrephénomèneàprioriinteressantest queletreillisdes formulesàune variable

quotienté par l'équivalene admissible

≪≫

êst ^ni. ^Mais êi êst ^déja ^faux ^pour ^le

treillis des formules à deux variables. En eet nous avons vu que les formules

anti-Harropontmêmesonséquenesadmissiblesetdérivables(voirparagraphe3.5).Prenons

maintenant deux variables propositionnelles

α

^et

β

^et ^posons

A n (α), n ∈ N

les formulesdéniestellesquei-dessus auparagraphe6.1.Lesformules

β → A n (α), n ∈ N

sont toutes des formules anti-Harrop et ont don mêmes onséquenes admissibles et

dérivables. D'autre part deux d'entre es formules ne sont jamais équivalentes. En eet

nous savons que ei est vrai pour les formules

A n (α), n ∈ N

(voir 6.1). On montre d'autrepart :

β → A n (α) ⊢ β → A p (α) ssi A n (α) ⊢ A p (α)

(substituer

⊤

^à

β

^pour ^le ^sens ^diret, ^réiproque ^évidente).

On obtient nalement une innité de formules à deux variables,

β → A n (α), n ∈

N

, telles que deux d'entre elles ne soient jamais ni équivalentes ni équivalentes pour l'admissibilité.

Dans ette setion on met en évidene un ensemble inni de règles admissibles qui

engendre touteslesrèglesadmissiblespar substitutionetompositionavela dédution.

Laformede esrèglesestdiretementliéeauxdeux règlesnoninversibles,

(→ gauche)

(∨ droite)

^.Ôn ^montre ênsuite^qu'il^n'existe ^pas ^d'ensembleⁿⁱ ^de ^règles âyantêtte

propriété.

7.1 Les règles

(ad n )

^, ^et ^autres ^règles admissibles

L'exemple (

ad 1

⁾ ^(voir ^4.3) ^est ^en ^quelque ^sorte ^le ^prototype ^des ^règles admissibles non dérivables. Exatement de la même façon dont on a proédé pour ette règle au

paragraphe 4.3, on montre par rétro-dérivation (rétro-dérivation simple de hauteur 2)

que lesrègles suivantes sont admissibles :

{α i → β i } _1≤i≤n → (γ ∨ δ) ≫

On veut montrer que lesrègles

(ad n ) n∈ N

^plus ^les ^règles ^dériv^ables ^engendrent ^toutes ^les

autres règles admissibles. Ce serait très simple de le déduiredu théorème de

omplétu-de 5.5.3, s'il n'y avait la notion de redondane dans une rétro-dérivation, qui intervient

par exempledanslapreuvedonnée auparagraphe4.3quelarègle

(ad ^′ ₁ )

^estadmissible.

On verra au paragraphe suivant (lemme 7.2.2) que

(ad ^′ ₁ )

^se ^déduit ^simplement ^de ^la

règle

(ad 2 )

Introduisons une généralisation assez naturellede larègle

(ad ^′ ₁ )

^qui ^nous ^sera ^utile.

On montre failementpar rétro-dérivation queles règles suivantes sont admissibles :

[(

Les règles

(ad n )

^sont ênvisagées ^le ^plus ^souvent ômme ^des ^shémas ^de ^règles. Ôn

noteralessubstituées des variables propositionnelles parles lettresromainesmajusules

orrespondant aux lettres grequesdésignant es variables.

7.2 Une relation de onséquene entre règles

Dénissons ave plus de préision la notion de onséquene entre règles que nous

utilisons,quiest une onséqueneà dédutibilitéintuitionnisteprès. Onrappellequeles

e as partiulier pour la dénition quisuit.

Dénition 7.2.1 Soit

R

ûn ênsemble ^de ^règles. Ûne ^règle

(r)

^, ^soit

B 1 , . . . , B p

C (r)

estditeonséqueneintuitionnistede

R

^quandîlêxisteûne^suite^de^formules

(A j ) 1≤j≤N

telles que :

la dernière formule de la suite est la onlusion de

(r)

A N = C

pour tout

1 ≤ j ≤ n

soit il existe

1 ≤ i ≤ p

^tel ^que

A j

^égale

B i

^l'une ^des ^prémisses ^de

(r)

soit

A j

êst ônséquenê intuitionniste des formules lapréédant

{A i } _1≤i<j

soit il existe une règle de

R

^telle ^que

A j

^soit ^l'image ^par ^une substitution de la onlusion de ette règle, et que lesimages par lamême substitution des prémisses

de ette règle soient parmi les formules préédentes

{A i } _1≤i<j

Il est immédiat qu'une règle onséquene intuitionniste de l'ensemble vide est

déri-vable.

Bien entendu, la notion de onséquene intuitionniste est transitive et stable par

Dans le document UiveiéARSV ThèedeD a Sé ia (Page 64-0)

5.4 Elimination des anti-Harrop

5.4.4 Lorsque G est saturée

G

G

C

(⊢ σ p (G)) rd C

C 1 ∨ . . . ∨ C d

r ∈ {1, . . . , d}

G ⊢ C r → ⊢ σ p (G) .

G ⊢ σ p (G)

σ p

G

σ p (G) > C 1 → ∨ . . . ∨ C d → ,

G > C 1 → ∨ . . . ∨ C d → ,

G > C 1 0→ ∨ . . . ∨ C d 0→ .

C i 0

G

C i 0 →

F →,∧ (G)

r

G ⊢ C r 0→

G ⊢ C r → .

C r → ⊢ σ p (G)

rd

G

G

C

(⊢ σ p (G)) rd C

C

C r

G ⊢ C r → ⊢ σ p (G) .

S

C r

C r, d

C r

C r, → d ⊢ S → .

S

C r

S

α i c A

A c α i

σ i 1 ,...,i l ;p (G) ∧ α i

i ∈ {i 1 , . . . , i l }

(∧gauche)

S

S = α i , σ i 1 ,...,i l ;p (G), ∆ ⊢ C .

σ i 1 ,...,i l ;p (G)

i 1 , . . . , i l

σ i 1 ,...,i l ;p (G) 0 = G

S q = α i , σ i 1 ,...,i l ;q (G), ∆ q ⊢ C q .

S

I S

S

i 1 , . . . , i l

i

α j ∈ I S

S j = Σ j ⊢ α j

S j

C

S

C r

S

∆

Σ j

k 1 , . . . , k m ; p

{k 1 , . . . , k m } ⊂ I S

q

q ≤ p

p

{Σ q j → α j , j ∈ I s }, α i , σ i 1 ,...,i l ;q (G), ∆ q ⊢ C q . (P q )

q = 0

G ⊢ C r 0→

S 0 = α i , G, ∆ 0 ⊢ C 0

q < p

q + 1

I S

(P q )

i

q + 1 6∈ I S

G ⊢ C _r ^→ ⊢ σ p (G) .

σ p (G) > C ₁ ^→ ∨ . . . ∨ C _d ^→ ,

G > C ₁ ^→ ∨ . . . ∨ C _d ^→ ,

G > C ₁ ^0→ ∨ . . . ∨ C _d ^0→ .

C _i ⁰

C _i ⁰ ^→

F ^→,∧ (G)

G ⊢ C _r ^0→

G ⊢ C _r ^→ .

C _r ^→ ⊢ σ p (G)

G ⊢ C _r ^→ ⊢ σ p (G) .

C _r, ^→ d ⊢ S ^→ .

σ i 1 ,...,i l ;p (G) ⁰ = G

S ^q = α i , σ i 1 ,...,i l ;q (G), ∆ ^q ⊢ C ^q .

{k ₁ , . . . , k m } ⊂ I S

{Σ ^q _j → α j , j ∈ I s }, α i , σ i 1 ,...,i l ;q (G), ∆ ^q ⊢ C ^q . (P q )

G ⊢ C _r ^0→

S ⁰ = α i , G, ∆ ⁰ ⊢ C ⁰

q + 1 ∈ {i ₁ , . . . , i l }

α _q+1

A ^q

q + 1 ∈ {k ₁ , . . . , k m }

A ^q+1 = A ^q−α ^q+1

(P _q ^′ )

s _q+1

(P _q ^′ )

A ^q−α ^q+1

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α _q+1 , σ q (G) ^−α ^q+1 , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ C ^q+1 .

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G) = (σ i 1 ,...,i l ;q (G)) ^−α ^q+1

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α _q+1 , σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ α j . (∗)

α i 1 , . . . , α i _l , σ i 1 ,...,i _l ;q (G) ⊢ σ q (G) ,

α i 1 , . . . , α i l , σ i 1 ,...,i l ;q (G) ^−α ^q+1 ⊢ σ q (G) ^−α ^q+1 ,

α i 1 , . . . , α i _l , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G) ⊢ σ q (G) ^−α ^q+1 .

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α _q+1 , σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ σ q (G) ^α ^q+1 ,

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α _q+1 , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ C ^q+1 .

q+1 ∈ {k ₁ , . . . , k m }

Σ ^q _j

S ^q

A ^q

k ₁ , . . . , k m ; p

q + 1 ∈ {k ₁ , . . . , k m }

A ^q+1 = A ^q−α ^q+1

Σ ^q+1 _q+1 → α _q+1 ∧ σ q (G) ^α ^q+1

Σ ^q+1 _q+1 → α _q+1

Σ ^q+1 _q+1 → σ q (G) ^α ^q+1

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, Σ ^q+1 _q+1 → σ q (G) ^α ^q+1 , α i , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ C ^q+1 .

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α i , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ α j .(∗∗)

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α _q+1 , σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ σ q (G) ^α ^q+1 ,

{Σ ^q+1 _j → α j , j ∈ I s }, α i , σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G), ∆ ^q+1 ⊢ C ^q+1 .