Sous-formules des substituées par les σ i

On sera amené ensuite à étudier des rétro-dérivations de substitués par les

σ i

^{. Il}

y a peu d'espoir d'obtenir omme sous-formules d'une substituée des substituées des

sous-formules. On peut ependant dérire es sous-formules, 'est le but des lemmes et

notations qui suivent.

Lemme 5.4.4 Soit

s

^une substitution, alors une sous-formule de

s(A)

^{est, soit}

s(B)

^ou

B

^{est une} sous-formulede

A

^{, soit une} sous-formulepropre de

s(α)

^où

α

^{estune variable}

propositionnelleapparaissant dans

A

^.

Preuve : indution évidentesur laomplexitéde

A

^.

Dérivons maintenant lessous-formules des substituées par les

σ i

^.

Dénition 5.4.5 Soit

1 ≤ i 1 < . . . < i l

^{, on notera}

σ i 1 ,...,i l ;q

^la substitution dénie pour toute formule

C

^{par réurrene sur}

q

^:

σ i 1 ,...,i l ;0 (C) = σ 0 (C) = C

^;

Si

q + 1 6∈ {i ₁ , . . . , i l }

^{, alors}

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (C) = s q+1 (σ i 1 ,...,i l ;q (C))

^;

Si

q + 1 ∈ {i 1 , . . . , i l }

^{, alors}

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (C) = σ i 1 ,...,i l ;q (C) ^{−α q+1}

^.

Remarque : Si

i l > q

^et

i j

^{est le plus grand parmi les entiers}

{i ₁ , . . . , i l }

^{qui soit}

inférieur ouégal à

q

^{, alors :}

σ i 1 ,...,i _l ;q = σ i 1 ,...,i j ;q .

On abien entendu

σ ∅;q = σ q

^.

Lemme 5.4.6 Pour toute suite roissante

1 ≤ i 1 < . . . < i l

^{, on a :}

α i 1 , . . . , α i l , σ i 1 ,...,i l ;p (G) ⊢ σ p (G) .

Preuve : par indution sur

p

^.

Si

p = 0

^{,'est évident par dénition de}

σ 0

^.

Supposons lapropriété vraiepour

p

^.

Si

p + 1 ∈ {i 1 , . . . , i l }

^{, alors}

σ i 1 ,...,i l ;p+1 (G) = (σ i 1 ,...,i l ;p (G)) ^{−α p+1}

^{, don, on déduit de}

l'hypothèsede réurrene (

α i 1 , . . . , α i _l , σ i 1 ,...,i _l ;p (G) ⊢ σ p (G)

^{) que :}

α i 1 , . . . , α i l , σ i 1 ,...,i l ;p+1 (G) ⊢ σ p (G) ,

d'où,

α i 1 , . . . , α i _l , σ i 1 ,...,i _l ;p+1 (G) ⊢ σ p (G) ^{−α p+1} .

On en déduitque pour toute formule

C

^,

α i 1 , . . . , α i _l , σ i 1 ,...,i _l ;p+1 (G) ⊢ s p+1 (C) ↔ C ,

d'où le résultatsouhaité:

α i 1 , . . . , α i l , σ i 1 ,...,i l ;p+1 (G) ⊢ σ p+1 (G) .

Si

p + 1 6∈ {i 1 , . . . , i l }

^{, alors}

σ i 1 ,...,i l ;p+1 (G) = s p+1 (σ i 1 ,...,i l ;p (G))

^{. Onapplique la}

substi-tution

s p+1

^à l'hypothèse de réurrene,e quidonne diretement le résultat.

Dénition 5.4.7 A toute ourrene de sous-formule

B

^de

σ q (G)

^{, on assoieune suite}

de

q + 1

^{formules notée}

B ⁰ , . . . , B ^q

^{, et telle que}

B ^q = B

^{, que l'on appelle suite assoiée}

à

B

^{. A toute ourrene de} sous-formule

B

^de

σ q (G)

^{, qui n'est pas une variable}

α i

^pour

i ≤ q

^{, on assoie une suite roissante d'entiers entre}

1

^et

q

^{que l'on appelle le type de}

B

^dans

σ q (G)

^.

On dénitsimultanémentletypeetlasuiteassoiéed'uneourrenedesous-formule

B

^de

σ q (G)

^{par réurrene sur}

q

^.

Si

q = 0

^{le type assoié à toute ourrene de} sous-formule est la suite vide. La suite assoiée à toute ourrene de sous-formule est ette sous-formule.

Supposons que pour toute ourrene de sous-formule de

σ q (G)

^{la suite assoiée}

est dénie, ainsi que le type s'il ne s'agit pas d'une variable

α i

^pour

i ≤ q

^{. Une}

ourrene de sous-formule

B

^de

σ q+1 (G)

^{, est :}

(i) soit l'image par

s q+1

^{d'une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^{qui n'est pas}

une variable

α i

^pour

i ≤ q

^{, auquel as on pose que}

B ^q

^{est ette} sous-formule,

lasuite assoiée à

B

^{est la suite assoiée à}

B ^q

^{, prolongée par}

B

^,

le type de

B

^{est elui de}

B ^q

^;

(ii) soit l'imagepar lasubstitution

[⊤ α q+1 /α q+1 ]

^{d'uneourrene de}sous-formule de

σ q (G)

^{qui n'est pas une variable}

α i , i ≤ q

^{, auquel as on pose que}

B ^q

^{est ette} sous-formule,

lasuite assoiée à

B

^{est la suite assoiée à}

B ^q

^{, prolongée par}

B

^,

et le type de

B

^{est elui de}

B ^q

^prolongépar

q + 1

^.

(iii) soit une variable

α i , i ≤ q + 1

^{, auquel as le type n'est pas déni, et la suite}

assoiée est la suite onstantede longueur

q + 1

^{égale à ette variable.}

Onétendlanotation

B ⁰ , . . . , B ^q

^{àdesensemblesde}sous-formulesde

σ q (G)

^(detypes

éventuellementdiérents),à desséquents etàdes onditionsonstituésdesous-formules

de

σ q (G)

^.

Unas partiulierutile:

σ q (G)

^{est,en tempsqu'ourrenede} sous-formuled'ellemême, de type vide,de suite assoiée

σ q (G) ⁰ = G, . . . , σ q (G) ⁱ = σ i (G), . . . , σ q (G) ^q = σ q (G)

^.

On a déni type et suite assoiée pour une ourrene de sous-formule de

σ q (G)

^.

Il n'y a auune raison que deux ourrenes distintes d'une même sous-formule aient

même type etmême suite assoiée.De plus il fautassurer quela dénition i-dessus est

orrete. Le lemme 5.4.4 et le lemme 5.4.1 assurent que l'on est toujours dans un des

trois as envisagés, etquees as sontexlusifs. Le (i)du lemmesuivantassure queei

s'hérite onvenablement au ours de l'indution.

Lemme 5.4.8

(i) Si

B

^{est une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^{alors pour tout}

j < q

^,

B ^j

^est

une ourrene de sous-formule de

σ j (G)

^{(en partiulier}

B ⁰

^{est une} sous-formule de

G

^).

De plus si

B

^{n'est pas une variable}

α i

^pour

i ≤ q

^{, alors}

B ^j

^{n'est pas une variable}

α i

^pour

i ≤ j

^{. Par onséquent les seules} sous-formules de

σ q (G)

^{pour lesquelles le}

type n'est pas déni sont bien les variables

α i

^pour

i ≤ q

^.

(ii) Si

i 1 , . . . , i l

^{, une suiteroissanted'entiers entre}

1

^et

q

^{, est letyped'une ourrene}

B

^de sous-formule de

σ q (G)

⁽

B

^{n'est don pas une variable}

α i

^pour

i ≤ q

^{), alors}

pour tout

j ≤ q

^,

B ^j = σ i 1 ,...,i l ;j (B ⁰ ) ,

(en partiulier

B = σ i 1 ,...,i _l ;q (B ⁰ )

^).

Par onséquent les sous-formules de

σ q (G)

^{sont, soit des variables}

α i

^pour

i ≤ q

^{, soit}

des images par lessubstitutions

σ i 1 ,...,i l ;q , 1 ≤ i 1 < . . . < i l ≤ q

^des sous-formules de

G

^.

Preuve (i): par réurrene sur

q

^.

Pour

q = 0

^{'est évident (la}numérotation des variablesommene à

1

^).

Supposons lerésultatpour

q

^.Soit

B

^uneourrenede sous-formulede

σ q+1 (G)

^.D'après

le lemme 5.4.4 et la dénition 5.4.7,

B ^q

^{est une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^.

Supposons que

B

^{n'est pas une variable}

α i , i ≤ q + 1

^{. Si}

B ^q

^{était une variable}

α i

^pour

i ≤ q

^{,e serait égalementle as de}

B

⁽

B = s q+1 (B ^q )

^ou

B = B ^{q−α q+1}

^{),e qui est exlu.}

On a don le résultat souhaité pour

B ^q

^{. Mais alors, les onditions de} l'hypothèse de réurrene sont satisfaites pour

B ^q

^{, et l'on obtient ainsi également le résultat souhaité}

pour

B ^j , j < q

^{(voirdénition 5.4.7).}

Preuve (ii): par réurrene sur

q

^.

Pour

q = O

^,

B = B ⁰

^{,et letype assoiéest la suite vide,don}

B = σ ∅;0 (B ⁰ )

^.

Supposons le résultatpour

q

^{etmontrons lepour}

q + 1

^.Soit

B

^{, l'ourrene d'une}

sous-formule de

σ q+1 (G)

^{. On déduit} immédiatement de la dénition 5.4.7 que, pour

j ≤ q

^,

B ⁱ = (B ^q ) ⁱ

^{,et don, si}

i 1 , . . . , i l

^{est letype de}

B ^q

^{, ona}

B ^j = σ i 1 ,...,i l ;j (B ⁰ )

^.

Le type de

B

^{est soit}

i 1 , . . . , i l

^,soit

i 1 , . . . , i l , q + 1

^{. Pour}

j ≤ q

^{, on a,}

B ^j = σ i 1 ,...,i l ;j (B ⁰ ) = σ i 1 ,...,i l ,q+1;j (B ⁰ )

(voir la remarque qui suit la dénition 5.4.5), on a don dans les deux as le résultat

esompté pour

j ≤ q

^{. Reste le as}

j = q + 1

^.

L'ourrene de sous-formule

B

^de

σ q+1 (G)

^{est soitl'imagepar}

s q + 1

^{(5.4.7(i)), soit}

l'imagepar

[⊤ α q+1 /α _q+1 ]

^{(dénition5.4.7 (ii)), de la}sous-formule

B ^q

^de

σ q (G)

^{.Dans les}

deux as onobtient, d'après ladénition 5.4.5), que

B = B ^q+1 = σ i 1 ,...,i _l ,q+1;q+1 (B ⁰ ) .

Lemme 5.4.9

(i) Si

B

^{est une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^et

B ⁰ = E ^′ c F ^′

^{pour un}

onne-teur

c

^{, alors}

B = E c F

^{, et pour tout}

j < q

^,

B ^j = E ^j c F ^j

^{, en partiulier}

E ^′ = E ⁰

et

F ^′ = F ⁰

^.

(ii) Soit

B

^{est une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^{de type}

i 1 , . . . , i l

^{(qui n'est}

don pas une variable

α i , i ≤ q

^{). Supposons que}

B ⁰

^{est une variable}

α j

^.

a. Si

j 6∈ {i 1 , . . . , i l }

^et

j ≤ q

^{, alors}

a.1. soit

j < i 1

^{, et}

B = σ i 1 ,...,i l ;q (α j ) = α j ∧ σ j,i 1 ,...,i l ;q (G) ;

a.2. soit il existe

k

^,

1 ≤ k < l

^{tel que}

i k < j < i _k+1

^{, et}

B = σ i 1 ,...,i _l ;q (α j ) = α j ∧ σ j,i _k+1 ,...,i _l ;q (G) ;

a.3. soit

i l < j

^{, et}

B = σ i 1 ,...,i _l ;q (α j ) = α j ∧ σ j;q (G) .

b. Si

j > q

^{, alors}

B = σ i 1 ,...,i l ;q (α j ) = α j .

. Si

j ∈ {i ₁ , . . . , i l }

^{, alors}

B = σ i 1 ,...,i l ;q (α j ) ≡ ⊤ α j .

(iii) Soit une ourrene de la variable

α i

^dans

σ q (G)

^ave

i ≤ q

^{. Alors il existe une}

suite non vided'entiers entre

1

^et

q

^{, soit}

i 1 < . . . < i l

^{, telleque}

i = i 1

^{, et telle que}

ette ourrene de

α i

^{apparaisse dans une ourrene de la}sous-formule suivante de

σ q (G)

^:

α i ∧ σ i 1 ,...,i _l ;q (G) ,

où

σ i 1 ,...,i l ;q (G)

^{est une ourrene de} sous-formule de

σ q (G)

^{de type}

i 1 , . . . , i l

^{, telle}

que

σ i 1 ,...,i _l ;q (G) ⁰ = G

^.

Preuve (i): par indution sur

q

^{, 'est une onséquene direte de la dénition 5.4.7.}

Preuve (ii): on sait que

B = σ i 1 ,...,i l ;q (α j )

^{. On montre par indution sur}

q

^{, pour les}

formules

σ i 1 ,...,i _l ;q (α j )

^{, le résultat énoné i-dessus modié par l'ajout de la ondition}

supplémentaire

j ≤ q

^{dans le as . Cette ondition est onséquene de}

j ∈ {i ₁ , . . . , i l }

dans le as où

i 1 , . . . , i l

^{est letype de la formuleonsidérée.}

Pour

q = 0

^{'est évident, ar le type de}

B

^{est la suite vide, on est dans le as b, et la}

substitution envisagée

σ 0

^est l'identité.

Supposons lerésultat vraipour

q

^.

Si

j > q + 1

^{, on est forément dans le as b pour}

q

^et

q + 1

^{, et omme}

s q+1

^{ne modie}

pas

α j

^{lerésultat suit par hypothèse} d'indution.

Si

j < q + 1

^{, on est forément dans le as a pour}

q

^et

q + 1

^{. On obtient le résultat par}

hypothèse d'indution, en utilisant diretement la dénition 5.4.5. Voyons par exemple

le as

q + 1 = i 1

^{. Par hypothèse} d'indution,

σ i 1 ,...,i l ;q (α j ) = α j ∧ σ j,i 1 ,...,i l ;q (G) .

D'après la dénition 5.4.5,

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (α j ) = (α j ∧ σ j,i 1 ,...,i l ;q (G))[⊤ α q+1 /α q+1 ] = α j ∧ σ j,i 1 ,...,i l ;q+1 (G) .

Si

j = q + 1

^{, alors soit}

j ∈ {i ₁ , . . . , i l }

^{, et l'on passe du as b au as , soit}

j 6∈

{i 1 , . . . , i l }

^{, etl'on passe du as b auas a, voyons par exemple}

j < i 1

^:

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (α _q+1 ) = α _q+1 ∧ σ _q+1;q+1 (G) = α _q+1 ∧ σ _q+1;q+1,i 1 ,...,i l (G) .

Preuve (iii): par indution sur

q

^.

Si

q = 0

^{, il n'ya pas de variables}

α i

^ave

i ≤ 0

^{, 'estdon évident.}

Supposons lapropriété vraiepour

q

^.

Lavariable

α q+1

^{n'apparaitdans}

σ q+1 (G) = s q+1 (σ q (G))

^,queommesous-formulede

s q+1 (α q+1 )

^{, par dénition de ette} substitution.On a :

s q+1 (α q+1 ) = α q+1 ∧ σ q (G) ^{−α q} = α q+1 ∧ σ q+1;q+1 (G) .

Comme

σ q (G)

^{est de type vide et}

σ q (G) ⁰ = G

^,

σ _q+1;q+1 (G)

^{est une ourrene de}

sous-formule de

σ q+1 (G)

^{de type}

q + 1

^et

σ q+1 (G) ⁰ = G

^{(5.4.7 (ii)). Le résultat est don}

démontré pour ette variable.

Voyons maintenant une variable

α i

^{, ave}

i ≤ q

^{. Ces variables ne sont pas hangées}

par

s q+1

^{. Une ourrene de la variable}

α i

^dans

σ q+1 (G) = s q+1 (σ q (G))

^{est don, soit}

l'imagepar

s q+1

^{d'uneourrenede}

α i

^{dans laformule}

σ q (G)

^{,soitune ourrenede}

α i

dans

σ q (G) ^{−α q+1}

^{. On applique} l'hypothèse de réurrenedans les deux as.

On obtient dans le premier as que l'ourrene onsidérée de

α i

^{apparait dans une}

sous-formule de la forme

s q+1 (α i ∧ σ i 1 ,...,i l ;q (G)) = α i ∧ σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G) .

On obtient dansle seondas quel'ourreneonsidérée de

α i

^{apparaitdansune}

sous-formulede laforme

(α i ∧ σ i 1 ,...,i _l ;q (G)) ^{−α q+1} = α i ∧ σ i 1 ,...,i _l ,q+1;q+1 (G) .

Danslesdeux as

i 1 , . . . , i l

^estletypede

σ i 1 ,...,i l ;q (G)

^{,ommeourrenede} sous-formule de

σ q (G)

^,et

σ i 1 ,...,i l ;q (G) ⁰ = G

^.

Dans lepremier as, par dénition (5.4.7 (i)), le type de

σ i 1 ,...,i l ;q+1 (G)

^{égale elui de}

σ i 1 ,...,i _l ;q (G)

^,et

σ i 1 ,...,i _l ;q+1 (G) ⁰ = σ i 1 ,...,i _l ;q (G) ⁰ = G

^.

Dans le seond as par dénition (5.4.7 (ii)), le type de

σ i 1 ,...,i l ,q+1;q+1 (G)

^{égale elui}

de

σ i 1 ,...,i l ;q (G)

^prolongépar

q + 1

^{, et}

σ i 1 ,...,i l ,q+1;q+1 (G) ⁰ = σ i 1 ,...,i l ;q (G) ⁰ = G

^.

On adon dans haun des deux as le résultatvoulu.

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ThèedeD a Sé ia (Page 56-62)