Des transformations sur les rétro-dérivations

On ramènemaintenant leas généralauas préédent par le lemme quisuit.

données par hypothèse ainsi que elles obtenues sont à partiegauhe onstante.

(i) Si

[A → B, B, Γ ⊢ C] rd _c C

^{, alors ilexiste une ondition}

C ^′

^telleque

C ^′,→ ⊢ C ^→

et

[B, Γ ⊢ C] rd c C ^′

^.

(ii) Si

[(E → F ) → B, E, Γ ⊢ C] rd c C

^et

B 6∈ Γ

^{, alors il existe une ondition}

C ^t

telle que

C ^t,→ ⊢ C ^→

^et

[F → B, E, Γ ⊢ C] rd c C ^t

^.

(iii) Si

[(E ∨ F ) → B, Γ ⊢ C] rd c C

^et

B 6∈ Γ

^{, alors il existe une ondition}

C ^t

^telle

que

C ^t,→ ⊢ C ^→

^et

[E → B, F → B, Γ ⊢ C] rd c C ^t

^.

(iv) Si

[(E ∧ F ) → B, Γ ⊢ C] rd c C

^et

B 6∈ Γ

^{, alorsil existeune ondition}

C ^t

^{, il existe}

n

^onditions

C ^{t i} 1 ≤ i ≤ n

^{, telles que}

(C ^t [C ^{t i} /(E → (F → B), F → B, Γ ⊢ C)] 1≤i≤n ) ^→ ⊢ C ^→

(onsubstitueà

n

^{ourrenesdistintesdelaformule}

E → (F → B), F → B, Γ ⊢ C

les onditions

C ^{t i}

^).

[E → (F → B), Γ ⊢ C] rd c C ^t

et pour tout

i ∈ {1, . . . , n}, [F → B, Γ ⊢ C] rd c C ^{t i} .

Preuve : danshaundesaslerésultatestévidentsilarétro-dérivationestdehauteur

nulle, puisque le séquent assoiéest équivalent.

Le as (i) est le plus simple. En eet pour tout n÷ud de la rétro-dérivation la règle

(

→ gauche

^{) sur la formule}

A → B

^{onduit à une redondane sur la prémisse droite.}

En supprimant dans la rétro-dérivation initiale

[A → B, B, Γ ⊢ C] rd C

l'appliation de es règles et dans les séquents la formule

A → B

^{à laquelle elles} s'appliquent, on obtient la rétro-dérivation

[B, Γ ⊢ C] rd C ^t

^{. On n'a eaé que des redondanes don}

C ^→ ≡ C ^t→

^.

Tous lesautresassemontrentparindutionsurlahauteurdelarétro-dérivation.Le

asinitialdel'indutiononsisteàhaquefoisentraduireleséquentdelafaçonadéquate.

Commelespreuves sontassez répétitives, et ne présentent guèred'autres diultés que

d'être énonées, onn'a pas toujours détaillétous les arguments.

Il est utile pour les preuves qui suivent de remarquer que les onditions sont des

ombinaisons booléennes positives don la substitution d'un séquent par une ondition

plus forte transformeune ondition en une ondition plus forte.

Preuve ((ii)) : latradutiond'unerétro-dérivationàpartiegauhe onstante

RD

^de

raine

(E → F ) → B, E, Γ ⊢ C

^{, de feuilles}

C

^{en la rétrodérivation à partie gauhe}

onstante

t( RD )

^{de raine}

F → B, E, Γ ⊢ C

^{de feuilles}

C ^′

^{est dénie par indution}

sur la longueur maximale des branhes ne ommençant pas par une appliation de la

règle (

→ gauche

^{).On distingue les as}

C 6= E → F

^et

C = E → F

^{. Les deux shémas}

i-dessous illustrent lepas d'indution.

Cas où

C 6= E → F

Le as

C = F

^{est vu omme un as dégénéré du as i-dessus : les} rétro-dérivations

A 1

^et

A ^′ ₁

^{sontréduites auséquent barré}

[[F → B, E, Γ ⊢ F ]]

^.

Cas où

C = E → F

Dans les deux as l'arbre

A ^′

^{désigne l'arbre obtenu à partir de l'arbre}

A

^en

remplaçant dans les parties gauhes de haque séquent la formule

(E → F ) → B

^par

la formule

F → B

^{et en appliquant les pas de} rétro-dérivation aux formules qui se orrespondent.

Dans le deuxième as

C = E → F

^{, les formules modiées onduisent à des}

redon-danes, et don les feuilles de l'arbre

A ^′ ₁

^{sont exatement les tradutions des feuilles}

de

A 1

^{. Dans le premier as}

C 6= E → F

^{, les} éventuelles ourrenes du séquent

(E → F ) → B, E, Γ ⊢ E → F

^{, qui sont barrées dans}

A 1

^{par redondane, sont}

tra-duites en ourrenes du séquent

F → B, E, Γ ⊢ E → F

^{, qui ne donnent pas lieuà des}

redondanes, et sont don des feuilles non barrées de l'arbre

A ^′ 1

^{. Dans la tradution}

on ajoute au dessus de es feuillesl'arbre

A ^′ ₂

^{, et ette fois les formules modiées dans}

la tradution de

A 2

^à

A ^′ 2

^{onduisent à des redondanes dans les deux arbres. On a}

donbienobtenuunerétro-dérivation,dontlesfeuillesnonbarréesorrespondenttoutes

à des feuillesnon barrées de la rétro-dérivation originale.

On montre par indution sur la dénition de la tradution que la ondition

C

asso-iée à la rétro-dérivation originale est onséquene de la ondition

C ^t

^{assoiée à la}

rétro-dérivationtransformée.

Voyons lepas d'indution.Onreprend lesnotations desshémasi-dessus dénissant

latradution

t

^.

Appelons

C 1

^,

C 2

^,

C ₁ ^′

^et

C ₂ ^′

^{les onditions assoiées auxarbres}

A 1

^,

A 2

^,

A ^′ 1

^et

A ^′ 2

^.Il

est évident que

C ₁ ^′→ ≡ C ₁ ^→

^{, et}

C ₂ ^′→ ≡ C ₂ ^→

^{, etque}

C ₁ ^→ ⊢ C ₂ ^→

^.

Appelons

D

respetivement

D ^t

^{ladisjontionpour}

i > 2

^{des onditionsassoiées aux}

arbres

A i

^, respetivement

t( A i )

^.

Cas

C 6= E → F

^{: nous avons à montrer}

((C ₁ ^′ [C ₂ ^′ / ⊢ ⊥] ∧ (F → B, E, Γ ⊢ C)) ∨ D ^t ) ^→ ⊢ ((C ₂ ∧ (E → F ) → B, E, Γ ⊢ C)) ∨ D) ^→ ,

e qui déoule du lemme 7.4.2 (i)etde l'hypothèse d'indution.

Cas

C = E → F

^{: nous avons à montrer}

(C ₁ ^′ ∨ (C ₁ ^′ ∧ (F → B, E, Γ ⊢ C)) ∨ D ^t ) ^→ ⊢ (C ₁ ∨ D) ^→ ,

e qui déoule de la distributivitédu

∨

^{sur le}

∧

^{et de} l'hypothèsed'indution.

Preuve ((iii)) : onproède de façonanalogueauas préédent. On dénitune

tradu-tion

t

^{par indution sur la longueur de la plus longue branhe ne ommençant pas par}

une règle (

∨droite

^).

Cas où

C 6= E ∨ F

Cas où

C = E ∨ F

transformationsuivante.Ondénitparindutionsurlahauteurde

A

^latransformation

B ^−→ B ^j

^{, ave}

^{j = 1}

^ou

^{j = 2}

^{. Voyons le as}

^{j = 1}

^(leas

^{j = 2}

^est similaire).

A A

La transformation

A ^−→ A ^′

^{est dénie de façon analogue au as préédent, on}

remplaeettefoisidanslespartiesdroitesdesséquentslaformule

(E ∨F ) → B

^parles

deux formules

E → B

^et

F → B

^{. Lesonditions assoiées sont lairement}équivalentes.

On montre par indution sur la dénition de la tradution que la ondition

C

assoiée à la rétro-dérivation originale est onséquene de la ondition

C ^t

^{assoiée à la}

rétro-dérivationtransformée.

Voyons le pas d'indution. On reprend les notations des shémas dénissant la

tra-dution.

Appelons

C i

^,

C _i ^′

^et

C _i ^j

^{lesonditionsassoiéesauxarbres}

A i

^,

A ^′ i

^et

A ^j i

^pour

i = 1, 2, 3

et

j = 1, 2

⁽

j 6= i

^{). Il est évident que}

C _i ^′→ ≡ C _i ^→

^{,et que}

C ₁ ^→ ∨ C ₂ ^→ ⊢ C ₃ ^→

^.

La transformation

B ^−→ B ^j

^{envoie un arbre de ondition assoiée}

^D

^{sur un}

arbre de ondition assoiée

D ^j

^{, vériant}

D ^j→ ⊢ (D ∨ C j ) ^→

^{, à ondition de onserver}

omme barrées des feuilles

[[E → B, F → B, Γ ⊢ E ∨ F ]]

^{qui ne} orrespondent plus à des redondanes dans l'arbretransformé (indution immédiatesur ladénition de ette

tradution).

On en déduit que

C ₁ ^{2 →} ⊢ (C ₁ ^′ ∨ C ₂ ^′ ) ^→

^et

C ₂ ^{1 →} ⊢ (C ₁ ^′ ∨ C ₂ ^′ ) ^→

^.

C ₁ ² [C ₃ ^′ / ⊢ ⊥] ^→ ⊢ (C ₁ ^′ ∨ C ₂ ^′ ∨ C ₃ ^′ ) ^→

^et

C ₂ ¹ [C ₃ ^′ / ⊢ ⊥] ^→ ⊢ (C ₁ ^′ ∨ C ₂ ^′ ∨ C ₃ ^′ ) ^→ .

Il suit (lemme 7.4.2 (i))

C ₁ ² [C ₃ ^′ / ⊢ ⊥] ^→ ⊢ C ₃ ^→

^et

C ₂ ¹ [C ₃ ^′ / ⊢ ⊥] ^→ ⊢ C ₃ ^→ .

Appelons

D

^,respetivement

D ^t

^{ladisjontionpour}

i > 3

^{des onditionsassoiéesaux}

arbres

A i

^, respetivement

t( A i )

^.

Dans le as

C 6= E ∨ F

^{il nous reste àmontrer}

(((C ₁ ² [C ₃ ^′ / ⊢ ⊥] ∨ C ₁ ² [C ₃ ^′ / ⊢ ⊥]) ∧ (E → B, F → B, Γ ⊢ C)) ∨ D ^t ) ^→

⊢ ((C ₃ ∧ (E ∨ F ) → B, Γ ⊢ C)) ∨ D) ^→ ,

e qui déoule de e qui préède, de la distributivité et de l'hypothèse d'indution. Le

as

C = E ∨ F

^{est analogue.}

Preuve (iv) : on proède de façon analogue aux as préédents. On dénit ette fois

une tradution

t

^{et une tradution}

t ^B

^{paramétrée par un arbre}

B

^{de onlusion}

F → B, Γ ⊢ F

^{, par indution sur la longueur de la plus longue branhe ne ommençant pas}

par une règle (

∧droite

^).

Dénition de

t

^{dans le as où}

C 6= E ∧ F

Dénition de

t

^{dans le as où}

C = E ∧ F

Dénition de

t ^B

^{dans leas où}

C 6= E ∧ F

Dénition de

t ^B

^{dans leas où}

C = E ∧ F

aux as préédents. On remplae ette fois i dans les parties droites des séquents la

formule

(E ∧ F ) → B

^{par la formule}

E → (F → B)

^pour

A ^−→ A ^′

^{, par la formule}

F → B

^pour

A ^−→ A ^′′

^{. Les onditions assoiées sont lairement} équivalentes pour

A ^−→ A ^′

^{, On obtientune ondition plus fortepour}

A ^−→ A ^′′

^.

Appelons

C B

^{la ondition assoiée à l'arbre}

B

^{. On montre tout d'abord par indution}

sur la dénition de

t ^B

^que

C ^{t B →} ⊢ (C ∨ (C B ∧ (B, Γ ⊢ C))) ^→ .

Le as initialne pose pas de problèmes.

Voyons le pas d'indution.

Appelons

C i

^et

C _i ^′′

^{lesonditions assoiées auxarbres}

A i

^,

A ^′′ i

^pour

i = 1, 2, 3

^{. Il est}

évidentque

C _i ^′′→ ⊢ C _i ^→

^{, etque}

C ₁ ^→ ∧ C ₂ ^→ ⊢ C ₃ ^→

^.

Appelons

C ^{t B}

^, respetivement

C ₁ ^{t B}

^{, les onditions assoiées aux arbres}

t ^B ( A )

^,

res-petivement

t ^B ( A 1 )

^{. Appelons}

D

^, respetivement

D ^{t B}

^{, la disjontion pour}

i > 3

^des

onditions assoiées aux arbres

A i

^, respetivement

t ^B ( A i )

^{des shémas dénissant la}

tradution

t ^B

^.

remarquons tout d'abord que l'hypothèsed'indution entraîne que

D ^{t B →} ⊢ (D ∨ (C B ∧ (B, Γ ⊢ C))) ^→ . (∗)

Eneet,ei est vraipourhaunedes onjontionsonditions assoiéesauxarbres

A i

^,

i > 3

^{, prémisses d'une même règle. Voyons le as où la règle en question est une règle}

(→ gauche)

^{(touslesautresassontévidents).Nousdevonsmontrer,pour}

A → B ∈ Γ

que

(((A → B, Γ ⊢ A) ∨ (C B ∧ (B, Γ ⊢ A))) ∧ ((A → B, B, Γ ⊢ C) ∨ (C B ∧ (B, Γ ⊢ C)))) ^→

⊢ (((A → B, Γ ⊢ A) ∧ (A → B, B, Γ ⊢ C)) ∨ (C B ∧ (B, Γ ⊢ C))) ^→ .

On le déduitfailementde

((A → B, Γ ⊢ A) ∨ (C B ∧ (B, Γ ⊢ A))) ^→ ⊢ (A → B, Γ ⊢ A) ^→ .

Voyons maintenant le pas d'indution dans haun des deux as onsidérés pour la

dénition de

t ^B

^.

Cas

C 6= E ∧ F

^{: nous pouvons déduire de e que}

A ^−→ A ^′′

^{envoie une ondition sur}

une ondition plus forte, etde

(∗) ((C B ∧ (F → B, B, Γ ⊢ C)) ∨ D ^{t B} ) ^→

⊢ (C B ∧ (F → B, B, Γ ⊢ C)) ∨ (C B ∧ (B, Γ ⊢ C)) ∨ D) ^→ ,

et don, en distribuant, et en remarquant que lesséquents

B, Γ ⊢ C

^,

F → B, B, Γ ⊢ C

et

(E ∧ F ) → B, B, Γ ⊢ C

^sont équivalents,et que

D ^→ ⊢ C ^→

^,

((C B ∧ (F → B, B, Γ ⊢ C)) ∨ D ^{t B} ) ^→ ⊢ ((C 2 ∧ (B, Γ ⊢ C)) ∨ C) ^→ .

Cas

C = E ∧ F

^{: il nous fautmontrer que}

((C B ∧ (F → B, B, Γ ⊢ C)) ∨ (C ₁ ^{t B} ∧ C ₂ ^′′ ) ∨ D ^{t B} ) ^→

⊢ ((C B ∧ (B, Γ ⊢ C)) ∨ (C ₁ ∧ C ₂ ) ∨ D) ^→ .

On a par hypothèse d'indution, et omme

A ^−→ A ^′′

^{envoie une ondition sur une}

ondition plus forte,

((C B ∧ (F → B, B, Γ ⊢ C)) ∨ (C ₁ ^{t B} ∧ C ₂ ^′′ ) ∨ D ^{t B} ) ^→

⊢

((C B ∧ (F → B, B, Γ ⊢ C)) ∨ (((C B ∧ (B, Γ ⊢ C)) ∨ C 1 ) ∧ C 2 ) ∨ (C B ∧ (B, Γ ⊢ C)) ∨ D) ^→ ,

e qui donne le résultataprès développement (

C = (Mc ₁ ∧ C ₂ ) ∨ D

^).

On montre maintenant par indution sur la dénition de

t

^que

C ^t [C ^{t B i} /(E → (F → B), F → B, Γ ⊢ C)] i∈ N ⊢ C ^→ ,

pour un hoix onvenable des arbres

B i

^{pour haque ourrene de la formule}

E → (F → B), F → B, Γ ⊢ C

^{. On dénit e hoix aufur et àmesure de} l'indution.

Appelons

C i

^et

C _i ^′

^{les onditions assoiées aux arbres}

A i

^,

A ^′ i

^pour

i = 1, 2, 3

^{. Il est}

évidentque

C _i ^′→ ≡ C _i ^→

^{, et que}

C ₁ ^→ ∧ C ₂ ^→ ⊢ C ₃ ^→

^.

Appelons

C ^t

^, respetivement

C ₁ ^t

^{, les onditions assoiées aux arbres}

t( A )

^,

respeti-vement

t( A 1 )

^{. Appelons}

D

^, respetivement

D ^t

^{, ladisjontionpour}

i > 3

^{des onditions}

assoiées aux arbres

A i

^, respetivement

t( A i )

^{des shémas dénissant la tradution}

t

^.

Cas

C 6= E ∧ F

^{: il nous fautmontrer que}

((C ₁ ^′ [C ₃ ^′ / ⊢ ⊥] ∧ C ^{t B} ) ∨ D ^t ) ^→ ⊢ C ^→

^ave

C = (C ₃ ∧ ((E ∧ F ) → B, B, Γ ⊢ C)) ∨ D .

On hoisit pour

B

^{, l'arbre}

A ^′′ 2

^{dans lequel toutesles ourrenes de}

F → B Γ ⊢ E ∧ F

^,

qui ne donnent plus lieuàdes redondanes, sont remplaéespar l'arbre

A ^′′ ₃

^{.On obtient}

bien ainsi une rétro-dérivation. La ondition assoiée à l'arbre

B

^{équivaut à}

^C 2 ^′′ ∨ C ₃ ^′′

(lemme7.4.2 (ii)), don entraîne

C ₂ ∨ C ₃

^.

On utilise l'hypothèse d'indution,le résultatpréédent sur

t ^B

^{,le lemme7.4.2 (ii)et}

le fait

A ^−→ A ^′

^{envoie une ondition sur une ondition} équivalente. On obtient

((C ₁ ^′ [C ₃ ^′ / ⊢ ⊥] ∧ C ^{t B} ) ∨ D ^t ) ^→ ⊢ ((C ₁ ∨ C ₃ ) ∧ (C ∨ ((C ₂ ∨ C ₃ ) ∧ (B, Γ ⊢ C))) ∨ D) ^→

et onen déduit lerésultat en remarquant que

(C ₁ ∧ C ₂ ) ^→ ⊢ C ₃ ^→

^.

Cas

C = E ∧ F

^{: il nous fautmontrer que}

((C ₁ ^′ ∧ (C ^{t B} ) ∨ (C ₁ ^′ ∧ C ₂ ^t ) ∨ D ^t ) ^→ ⊢ C ^→

^ave

C = (C 1 ∧ C 2 ) ∨ D .

On hoisit pour

B

^,l'arbre

A ^′′ ₂

^{. On obtientbien ainsiune} rétro-dérivation.Laondition assoiée à l'arbre

B

^{équivaut à}

^C 2 ^′′

^{,et don entraîne}

C ₂

^.

On utilise l'hypothèsed'indution,lerésultatpréédentsur

t ^B

^{,et lefaitque}

A ^−→

A ^′

^{envoie une ondition sur une ondition} équivalente. On obtient

((C ₁ ^′ ∧ (C ^{t ′} ) ∨ (C ₁ ^′ ∧ C ₂ ^t ) ∨ D ^t ) ^→ ⊢ ((C ₁ ∧ (C ∨ (C ₂ ∧ (B, Γ ⊢ C)))) ∨ (C ₁ ∧ C ₂ ) ∨ D) ^→

et onen déduit lerésultat.

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SV

ThèedeD a Sé ia (Page 97-112)