Thèse de Dotorat
Spéialité : Mathématiques
dirigée parMihel Parigot (Jean-PierreRessayre)
présentéepar PaulRozière
Sujetde thèse :
Règles admissibles en
alul propositionnel intuitionniste.
soutenue le 13 mai 1992
Jury :
Gabriel Sabbagh Président
Jean Gallier Examinateurs
Jean-YvesGirard
Mihel Parigot
Jean-Pierre Ressayre
Thierry Coquand Rapporteurs
Dirk Van Dalen
alul propositionnel intuitionniste.
Paul Rozière
Equipede Logique,CNRSUA 753
UniversitéParis7
2plaeJussieu, 75230PARIS edex 05
rozierelogique.jussieu.fr
Résumé
Le travail suivant tente d'élaiir les liens entre admissibilité etdérivabilité en
alulpropositionnelintuitionniste.
La première partie (setions 1, 2, 3) donne des onditions simples pour que
es deux notions soient identiques. On utilise en partiulier une sorte partiulière
de substitutions (dénie en setion 2), dont on montrera dans ladeuxième partie
qu'ellesaratérisent,en un ertainsens,l'admissibilité.
La deuxième partie (setions 4, 5) réutilise ertaines desméthodes introduites
(les substitutionsintroduites danslasetion 2),etdesaspartiuliers très simples
des résultats montrés en setion 3, pour obtenir une aratérisation de l'admis-
sibilité par la rétro-dérivation en alul des séquents. C'est le résultat entral
de la thèse. On obtient ainsi ertains résultats de déidabilité, en partiulier la
déidabilité del'admissibilité, ainsique d'autresaratérisations.
La troisième partie (setion 6,7) illustrele résultat préédent et en donne des
appliations. Ondéritomplètement en setion6leas àune variable. Ondonne
en setion 7 une axiomatisation dénombrable de l'admissibilité, et l'on en déduit
l'impossibilité d'uneaxiomatisation nie.Onen déduit ensetion 8quelalogique
lassiquen'est paslapluspetitelogiqueau dessusde lalogiqueintuitionniste telle
quetoutes les règlesadmissiblessoient dérivables.
Un résuméplus onséquent estdonné dansl'introdution.
Abstrat
A rule is said admissible in a logi if the set of valid formulae of this logi is
losed under this rule. In lassial propositional alulus all admissible rules are
derivable(provableinsidethelogi),but thatisnot thease inintuitionistilogi.
InthisthesiswestudyhowadmissibilityisrelatedwithderivabilityinIntuitionisti
propositionalalulus.
The rst part gives suient syntati onditions for admissible rules to be
derivable. We dene a partiular lass of substitutions useful when dealing with
admissibility.
Theseondpartusesthislassofsubstitutionandsimplepartiularasesofthe
rstparttogiveharaterizationofadmissibilityusingtheintuitionistisequentof
alulus(preiselyakindofretro-derivation insequentalulus).Itistheentral
resultofthethesis. Itleadsto deidableriteriafor admissibilityandotherrelated
notions.
The thirdpartillustratesthese resultsand givesappliations ofthem.Theone
variable ase is ompletely desribed. We give then a omplete ountable axio-
matization of admissibility, and we infer that their is no nite one. We use this
axiomatizationto exhibtheleastsuper-intuitionistiLogiinwhihallintuitionis-
ti admissible rules are derivable. In this logi every admissible rule is derivable,
and thisis not ClassialLogi.
Introdution 6
I Admissibilité, liens ave la dérivabilité 13
1 Préliminaires 15
1.1 Notations . . . 15
1.2 Dénitions . . . 15
1.3 Calulpropositionnelintuitionniste . . . 17
1.4 Présupposés . . . 17
1.5 Quelquespropriétés immédiates de l'admissibilité . . . 18
1.5.1 Conjontion . . . 18
1.5.2 Aaiblissement . . . 18
1.5.3 Disjontion . . . 18
1.5.4 Impliation . . . 18
1.5.5 Négation . . . 19
1.5.6 Admissibilitéet substitutions . . . 19
1.5.7 Conséquenes admissibles etdérivables . . . 19
2 Substitutions 20 2.1 Notations . . . 20
2.2 Dénitions . . . 20
2.3 Unexemple simple . . . 22
3 Quand admissibilitéégale dérivabilité 24 3.1 Lefragment
∧, →
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Lefragment
∧, →, ⊥
ou∧, →, ¬
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Lefragment
∧, ∨, ¬
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Formules de Harrop . . . 28
3.5 Formules anti-Harrop . . . 31
II Admissibilité et rétro-dérivabilité 34 4 Rétro-dérivation 36 4.1 Caluldes séquents . . . 36
4.2 Sous-formules . . . 37
4.3 Introdution àla rétro-dérivabilité . . . 38
4.4 Dénitionde larétro-dérivabilité . . . 40
4.4.2 Dénitiondes rétro-dérivations . . . 41
4.4.3 Rétro-dérivabilitéen alulpropositionnel . . . 47
5 Complétude 48 5.1 Préliminaires . . . 48
5.2 Sous-formules (suite) . . . 48
5.3 Saturation . . . 50
5.4 Eliminationdes anti-Harrop . . . 53
5.4.1 Dénitiondes substitutions
σ i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4.2 Sous-formules des substituées par les
σ i
. . . . . . . . . . . . . . 545.4.3 Etude d'une rétro-dérivation d'une formule
σ p (G)
. . . . . . . . 605.4.4 Lorsque
G
est saturée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.5 Admissibilitéégale dérivabilitéplus rétro-dérivabilité . . . 66
5.6 Résultatsde déidabilité . . . 68
III Exemples, appliations 70 6 Le alul propositionnel à une variable 72 6.1 Letreillis de Rieger-Nishimura . . . 72
6.2 Substitutionset treillisde Rieger-Nishimura . . . 73
6.3 Règles admissibles . . . 77
6.4 Rétro-dérivation. . . 78
6.5 Illustrationde dénitions préédemment introduites . . . 80
6.6 Remarques. . . 81
7 Une axiomatisation de l'admissibilité 82 7.1 Lesrègles
(ad n )
,et autres règlesadmissibles . . . 827.2 Unerelation de onséquene entre règles . . . 82
7.3 Lasuite
(ad n )
est stritementroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.4 Lasuite
(ad n )
est génératrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.4.1 Quelques préliminaires . . . 89
7.4.2 Quandil n'y aque des redondanes triviales . . . 93
7.4.3 Des transformationssur lesrétro-dérivations . . . 95
7.4.4 Lasuite est génératrie . . . 110
7.5 Uneaxiomatisation inniede l'admissibilité . . . 111
8.1 Préliminaires . . . 113
8.2 Dansla logique AD les règles admissibles sont dérivables . . . 113
8.3 Lalogique AD n'est pas la logique lassique . . . 115
Conlusion 118
Bibliographie 120
L'intuitionnisme, tel qu'il est introduit par Brouwer au début de e sièle, est une
philosophie des mathématiquesqui s'insrit dans la ontroverse de l'époque sur les fon-
dations. L'une de ses aratéristiques est de remettre en ause la logique lassique. Les
preuves doiventêtre onstrutives eten partiulier,la loidu tiers-exlu,
A ∨ ¬A
n'estpas valideapriori (voir[Du 77℄,[Tr vD 88℄,[vD 86℄,[Gi 87℄en partiulierlehapitreI).
La logique dite intuitionniste a été formaliséesous sa formeatuelle par Heyting en
1930.
Bienquediversestraditionsplus oumoinsprohesde l'intuitionnismesoienttoujours
bienvivantes atuellement,elles semblentonerner etintéresserun nombre restreintde
mathématiiens non logiiensou informatiiens.
Cependant, indépendemmentde tout pointde vuesur lesfondations,laprogramma-
tionadonnédenouvellesmotivationsàl'étudeetaudéveloppementdesystèmesformels
de logique intuitionniste. En eet une preuve en logique intuitionniste, formalisée en
dédution naturelle, peut s'érire omme un
λ
-terme typé, et leλ
-terme extrait ommeun programme qui réalise en un ertain sens la spéiation donnée par la proposition
prouvée.Ilest importantdupointdevueinformatiquequeettetransformationsoittrès
naturelle, etne fassepas intervenir de odagesintermédiaires.C'est e qui ladiérenie
par exemple des notions de réalisabilitéen terme de fontions réursives(Kleene 45).
La logique intuitionniste de Heyting a d'autrepart pour intérêt saproximitéave la
logique lassique : le langage est le même, tout énoné prouvable intuitionnistiquement
est prouvable en logique lassique, il existe une tradution de la logique lassique en
logiqueintuitionniste(
¬¬
-tradutiondeGödel),lesfontionsréursivesprouvablesdanslesarithmétiques lassiques et intuitionnistessont lesmêmes.
Un phénomène intervient souvent en logique intuitionniste. Choisissons une notion
de règle trèsgénérale :silesformules
A 1 , . . . , A n
,(moyennantéventuellementertaines restritions syntaxiques sur es formules) sont prouvables, alors il existe un termet
etune formule
C i
telqueC i (t)
est prouvable (dans leas propositionnel,C i
). Par exempleon peut montrer dans l'arithmétique de Heyting la propriété de disjontion : si
A ∨ B
est prouvable
A
est prouvable ouB
est prouvable, ou plus généralement, siH
satisfaitertaines hypothèses,
H → A
est prouvable ouH → B
est prouvable. La propriétéd'existene est analogue, si
∃A
est prouvable, il existe un termet
tel queA(t)
soitprouvable. Ces dernièrespropriétés sontéminemmentliées auaratère onstrutifde la
logique intuitionniste.
Les propriétés de disjontion et d'existene étant onnues, on peut reformuler la
notionde règleintroduitei-dessus sans perdrede généralité:silesformules
A 1 , . . . , A n
,moyennantertaines restritions sures formules,sontprouvablesalors laformule
C
estprouvable (on pose
C
ladisjontion des ltures existentielles desC i
).Ces propriétés de lture sont souvent utiles. Par exemple, pour montrer que les
dans l'arithmétique intuitionniste, on est amené à montrer la lture des théorèmes
de l'arithmétique intuitionniste (HA) sous (un as partiulier de) la règle de Markov
(voir [Fr77℄) : si
⊢ HA ∀n, m(ϕ(n, m) ∨ ¬ϕ(m, n))
et⊢ HA ¬¬∃mϕ(m, n))
alors⊢ HA
∃mϕ(m, n))
. (voir également [Tr73℄ pour et exemple et d'autres). Remarquons qu'àla règle de Markov orrespond un axiome, le prinipe de Markov, qui s'exprime dans
le langage de l'arithmétique. Ce prinipe n'est pas intuitionnistiquement démontrable
([Tr 73, vD86℄).
Le but de ette thèse est d'étudier e phénomène dans le adre restreint du al-
ul propositionnel. Plus préisément, on s'interesse aux règles du type : si les formules
A 1 , . . . , A n
sont prouvables, alors la formuleC
est prouvable. Quand une de es règlesn'introduit pas de nouveaux théorèmes, ellesera dite admissible.Il peut arriver, omme
pour leprinipede Markov,quel'axiome orrespondant
(A 1 ∧ . . . ∧ A n ) → C
ne soitpasprouvable, et on dit que la règle n'est pas dérivable. Ce phénomène est fortement lié à
l'impossibilitéde donner en alul des séquents intuitionniste propositionnel (une seule
formuleàdroite)lesrèglesgauhe de
→
etdroitedu∨
de façoninversible.Unerègle est inversiblequand laonjontion desprémisses delarègleéquivaut àlaonlusion.Onpeutonsidérerquel'axiomatisationdel'admissibilitédonnéeensetion7donneunefor-
mulationpréisede equelephénomènedesrèglesadmissiblesnondérivablesseréduità
lanon-inversibilitéde es deux règles.D'une façonplus générale e phénomèneest don
liéàe quifaitlaspéiitédelalogiqueintuitionniste:interprétationfontionnelledes
preuves, propriété de disjontion.
Il est à remarquer que lanon-inversibilité de es règles est également liéeen séman-
tique de Kripke ([Kr 63, Kr65℄) à l'arboresene des modèles. Plus préisément, la
règle(
→ gauche
) est liéeàlalongueur des branhes, larègle (∨droite
)aubranhement.Cependant, l'apparition de règles admissibles non dérivables néessite la présene
simultanée de es deux règles, omme le montrent les résultats de la première partie
de ette thèse (on montre par exemple que dans le fragment sans le onneteur
→
,ommeeluisansleonneteur
∨
toutelesrèglesadmissiblessontdérivables,etd'autre résultatsplus générauxqui vontdans le même sens).Essayons de préiser. Unrésultatentralde lathèseest qu'unerègle admissibles'ob-
tient, soit par dérivation, soit par la reherhe des preuves possibles d'éventuelles sub-
stituées des prémisses de ette règle en alul des séquents (d'où le lienave l'existene
de règles non-inversibles), soit par omposition de es deux proédés. En partiulier on
ne peut rien dire des preuves possibles d'un séquent qui ontient une variable proposi-
tionnelle,d'oùlanéessité delaprésenesimultanéedesdeux règlesnoninversiblespour
l'apparition de règles admissibles non dérivables.
Le alul des séquents de Gentzen n'est utilisé ii que de façon statique et non
dynamique : on utilise par exemple seulement l'existene d'une démonstration sans
oupures, et non l'élimination des oupures. De e point de vue, on pourrait également
remarquédans [Be 65℄)àune formulationdualul des séquentsave plusieursformules
à droite, et une restrition sur la règle droite de
→
, qui est alors la seule règle noninversible du alul. Le phénomène des règles admissibles non dérivables s'analyserait
alors d'une façon analogue.
Contenu de la thèse
Le point de départ de e travail m'a été donné par la leture du manusript d'une
onférenedeW.Dekkers donnéàEdinburgh,dansleadreduJumelage
λ
-alultypé89.W.Dekkersmontrequepourlesformuleséritesseulementave leonneteur
→
,règlesadmissiblesetdérivables sontlesmêmes.Sonargumentestastuieuxmaistrèssimple.Il
sut, pour une règledonnée de prémisse
A
et de onlusionC
, de substituer àhaquevariable
α
dans es formules la formuleA → α
, et de remarquer que ette substitution s'hérite pourlesformulesdanslefragmentonsidéré,àsavoirquelasubstituéedeA
estprouvable, etqueelle de
C
est équivalenteàA → C
. On montre donque sietterègleest admissible, elle est prouvable, et ei en utilisant une seule instane de ette règle
(voir pour despréisions lasetion 3.1).Il setrouveque G.E.Mints avaitdéjamontré e
résultatet d'autres, en utilisantessentiellement lemême argument([Mi 72℄).
Danslapremièrepartie(setions1à3)de ettethèse,onétenderésultatdansdeux
diretions.D'une partonmontre queet argumentpermetde aratériser unepropriété
plusfortequel'admissibilité(voirsetion2enpartiulierdénition2.2.3),d'autrepartet
surtout ondonne des onditions syntaxiques plus générales sous lesquelles admissibilité
égale dérivabilité.
La méthode est le suivante. Pour une formule
A
donnée, on montre que pour touteformule
C
, lesrègles siA
alorsC
admissiblessont dérivables en exhibant un ensemble ni de substitutions aratéristique (par exemple dans le as des formules érites seule-mentave leonneteur
→
,on a une seule substitution aratéristique,la substitutions(α) = A → α
).D'unepartessubstitutionsdoiventvaliderA
,d'autrepartlaonjon-tion des formules obtenues en appliquant es substitutions à une formule quelonque
C
doit avoir pour onséquene
A → C
(par dérivation).Cette méthode est générale. En eet, on montrera en setion 5 (orollaire 5.5.5) la
réiproque,àsavoirquesiuneformule
A
vériepourtouteformuleC
quelesrèglessiA
alors
C
admissibles sont dérivables, alors il existe un tel ensemble ni de substitutions aratéristique. On peut d'ailleursvoir a posteriori lesrésultats de la setion 3, ommeune illustrationdu orollaire5.5.5.
Dans ladeuxièmepartie (setions 4et5),onmet en évideneune espèe de système
de dédution pour l'admissibilité.On ajouteà ladérivation qui donnebien entendu des
règles admissibles, un autre proédé que nous appelons rétro-dérivation (voir setion
4) : 'est la formalisation d'une méthode souvent utilisée pour montrer qu'une règle
preuvespossiblesenaluldesséquentsd'uneformuledonnée.Tantquelesséquentsainsi
produits ne ontiennent pas de variable propositionnelle, ils ne peuvent être onlusion
qued'unnombre nide règles(indiquéesparlesonneteurs prinipauxdesformulesdu
séquent).
Le résultat essentiel de la setion 5 (proposition 5.5.3) est que la ombinaison de
la dérivation et de la rétro-dérivation engendrent toutes les règles admissibles. Il s'agit
don d'un résultatde omplétude, etla preuve s'apparenteà une preuvede omplétude
usuelle. La notion de sémantique est assurée par les substitutions, que l'on peut voir
omme des valuationssur l'ensemble des formules (ou sur le quotient de de elui-i par
équivalene).Cependantdesompliationsinterviennent,dufaitquepourpouvoirdénir
des substitutions on doit manipuler des ensembles nis de formules (par exemple à la
notion de saturation utilisée usuelle dans les preuves de omplétude orrespond ii une
saturation sur un ensemble ni). D'autre part la rétro-dérivation n'est pas une notion
simple de dédution, e qui induit égalementdes perturbations.
On obtientégalementd'autres résultatsommele orollaire5.5.5déja mentionné i-
dessus, ou la aratérisation suivante de l'admissibilité : pour toute formule
A
il existeun ensemble ni de substitutions tel que la règle si
A
, alorsC
soit admissible si etseulement si es substitutions valident la formule
C
. Comme par ailleurs un algorithmeinspiré de la preuve de omplétude fournit et ensemble ni, et que la prouvabilité est
déidable en alul propositionnelintuitionniste, onmontre ainsi que l'admissibilité est
déidable.
La troisième partie (setion 6 à 8) illustre ou donne des appliations des résultats
préédents. La setion 6 traite omplètement lealul propositionnel à une variable du
point de vue de l'admissibilité. Il s'agit don d'un exerie assez anedotique, mais où
lesdiverses notionss'illustrent aisément.
La setion 7 donne une axiomatisation innie de l'admissibilité, et utilise fortement
le résultat de omplétude. Les règles utilisées pour l'axiomatisation sont exatement
ellesdontonabesoin,en plus de règlesdérivables,pour exprimerlesrèglesadmissibles
obtenues de la façonsuivante:
onseplaedanslealuldesséquentsintuitionniste,aveuneseuleformuleàdroite.
Siun séquentquineontientquedesformulesgauhede onneteurprinipal
→
,etuneformuledroitedeonneteurprinipal
∨
,estprouvable,alorsladisjontiondes prémisses des règles pouvant avoir e séquent pour onlusion, est prouvable.
Commees règles sontlairement des instanes des règles(
→ gauche
)et(∨ droite)
,ette axiomatisation lie d'une façon laire l'existene de règles admissibles ave la non
inversibilité de es deux règles. On obtient ainsi une formalisation plus manipulable
que la rétro-dérivation, mais on perd a priori toute maîtrise sur les dédutions qui
utiliseraient es règles. En partiulier on ne voit pas omment utiliser l'ensemble inni
de règles indiqué pour une proédure de déision.
tude,si larétro-dérivationne tenait omptedes redondanes (s'ilexiste une preuve en
aluldes séquents d'uneertaine formule, ilexiste une preuve de lamêmeformuletelle
qu'auune branhe de la preuve ne omporte la répétition d'un même séquent). Il faut
don un proédé pour les éliminer.Celui-iest analogueà elui utilisé pour donnerune
formulationdualulpropositionneldesséquentsintuitionnistenenéessitantpas letest
de redondane pour déider de la prouvabilité (voir [Dy 91℄).
On montre égalementqueette suite inniede règles est stritement roissantepour
la relation de onséquene, et on en déduit failement qu'il n'y a pas d'axiomatisation
nie de l'admissibilité.
Lasetion8enndonneune appliationimmédiatedesrésultatsdelasetion5etde
la setion 7. On dénit une logique au dessus de la logique intuitionniste dans laquelle
touteslesrègles,admissiblesen logiqueintuitionnisteainsiquedansette logiquemême,
sont dérivables.
Travaux préédents, omparaisons
Un ertain nombre de résultatsexistent sur lesrègles admissibles.
G.E.Mintsamontré,voir[Mi 72℄,qu'admissibilitéetdérivabilitéseonfondaientdans
lefragmentdelalogiqueintuitionnistesansleonneteur
→
ainsiquedanslefragmentsans le onneteur
∨
.G.E.Mints utilise un argument qui est essentiellement le même que elui donné ii
(setion 3.1), pour les formules dans le fragment
∧, →
, et en quelque sorte réduit lesautre as à elui-i.
Les prinipalesdiérenes entre [Mi 72℄etla première partiede ettethèse sont que
l'on montre que les restritions n'ont à porter que sur les prémisses de la règle
onsidérée,
lesrésultatssontétendus égalementen equionerne laformedes prémisses(par
exemple formules de Harrop),
l'argumentest isolé (2), il est utilisé uniformément,pour tous les fragments onsi-
dérésetnonpardesproédésderédution(equiestuneillustrationdesorollaires
5.5.2 et5.5.5 de ladeuxième partie).
D'autres travaux utilisent fortement la sémantique de la logique intuitionniste en
terme d'algèbres de Heyting (ou algèbres pseudo-booléeennes) omme [Ci 77, Ci78℄,
ainsi que [Ry 84, Ry 85,Ry 86℄. Lestravaux de Rybakov utilisentde plus la tradution
de la logique intuitionniste dans une logique modale adéquate (S4 oude Grzegorzyk).
A.I.Citkin donne un ensemble inni de règles admissibles indépendantes [Ci 77℄, des
aratérisationsen termesd'algèbres etdes exemplesde logiqueplus fortequelalogique
intuitionniste oùtoutes lesrègles admissibles sont dérivables [Ci77, Ci78℄.
tuitionnisteparlebiaisdelalogiqueS4[Ry 84℄,parlebiaisdelalogiquede Grzegorzyk
[Ry 86℄, résolvant ainsi un problème posé par H.Friedman(problème no 40 de [Fr75℄).
Il montre égalementqu'il n'existe pas d'axiomatisation niede l'admissibilité[Ry 85℄.
L'artile[Ro9?℄est uneversionun peuondenséeeten anglaisdessetions2et3de
laprésente thèse. Lepréprint[Ro 91℄ est une versionpréliminaire de ses deux premières
parties.
La majeure partie du présent travail aété réalisée dans l'ignorane de es résultats.
En partiulier nous redémontrons les résultats de Rybakov d'une façon omplètement
diérente.Auunusagen'estfaitiideméthodes sémantiques,hormispour desrésultats
très simples de non-prouvabilité, où l'on utilise la sémantique de Kripke qui donne un
argument onvainquant sous une forme ompate. Il pourrait d'ailleurs être interessant
de lier lesdeux approhes.
Enonlusion,onprésentedansequisuitdesméthodesquidiérentdeellesutilisées
dans les travauxantérieurs, prinipalementpar :
l'utilisationexpliiteet systématiquedes substitutionsdénies en setion 3,
l'utilisationpartiulièredualuldesséquents(formalisationdelarétro-dérivation).
Ces méthodes onduisent, d'une part, pour e qui est de la rétro-dérivation à des
preuves très diérentes de résultats existant (omme la déidabilité de l'admissibilité)
d'autrepart à des résultats qui semblent nouveaux :
lesrésultats de la première partie quiétendent eux de G.Mints;
Les résultats de aratérisation de l'admissibilité,(omplétude pour la rétro-déri-
vabilité plus la dérivabilité,aratérisation par un nombre ni de substitutions);
les aratérisations des formules ayant mêmes onséquenes admissibles et déri-
vables,
l'axiomatisationexpliite de l'admissibilité.
Remeriements
J'ai bénéié pendant la majeure partie de e travail d'une alloation de reherhe
M.R.T. Je remerie lesenseignants du DEA de Logique de ParisVII, qui ont déidé de
son attribution. Je remerie plus généralement tous lesmembres de l'équipe de Logique
qui m'ontdonné lesmoyens tantintelletuels quematérielsde mener àbien ette thèse.
Certaines remarques de Jean-Baptiste Joinet, plusieurs disussions ave Gilles Amiot
m'ont été partiulièrement utiles. Les ompétenes en traitement de texte, et autres
matièresinformatiques,deLaurentRégnier,ChristopheRaalli,VinentDanosetPasal
Manoury m'ontéonomisé beauoup de temps etde peine. Jean-Pierre Ressayre a eu la
gentillesse d'aepter d'êtred'être mon direteur de thèse en titre.Je dois beauoup à
Mihel Parigot qui aeetivementdirigé ette thèse, trop pour le détaillerii.
Je remerie les membres du jury d'avoir aepté d'en faire partie.
l'originede e travail.
Admissibilité, liens ave la dérivabilité
1.1 Notations
Nousutiliserons, pourdésigner lesformules dualulpropositionnel,lesabréviations
A → B → C
ouA, B, → C
voire s'il n'y a pas d'ambiguïtéA, B → C
pourA → (B → C)
.Si
Γ = A 1 , . . . , A n
estun ensembleni de formules,nousutilisonslesnotations ambiguëssuivantes :
Γ → C
pour laformuleA 1 , . . . , A n → C
, (C
siΓ = ∅
);
∧Γ
pour la formuleA 1 ∧ . . . ∧ A n
(⊤
siΓ = ∅
);
A ∧ Γ
pour la formuleA ∧ A 1 ∧ . . . ∧ A n
(A
siΓ = ∅
).Enhangeantl'ordredes
A i
,onobtientdesformulestouteséquivalentesdansleslogiques onsidérées, don l'ambiguitéde la notationne pose pas vraimentde problèmes.Les opérateurs unaires,
¬
, lesymbole∧
utilisé devant un ensembleomme i-dessussont prioritairessur lesopérateurs binaires.
Larelationde dédutionen logique lassiqueest notée
⊢ c
,en logiqueintuitionniste⊢
, onéritA ≡ B
pourA ⊢ B et B ⊢ A
.1.2 Dénitions
On peut, de façon générale, dénir une règle admissible dans une logique
L
de lafaçon suivante :
Dénition 1.2.1 Si
A 1 , . . . , A n , C
sont des formules de la logiqueL
, ontenant desméta-variables, nous dirons que
⊢ L A 1 . . . ⊢ L A n
⊢ L C
est une règle admissible dans
L
et nous noterons :A 1 , . . . , A n ≫ C,
pour exprimer que l'ensemble des théorèmes de
L
est los par appliation de ette règle.Dans e qui suit nous nous restreignonsà des aluls propositionnels. Nous onsidé-
rerons que les variables propositionnelles jouent le rle de méta-variables. Dans e as
partiulier, ladénition suivante est alors équivalenteà lapréédente :
Dénition 1.2.2 Nous dirons que
⊢ L A 1 . . . ⊢ L A n
⊢ L C
est une règle admissible dans
L
si et seulement si pour toute substitutions
de formulespropositionnellesportant sur les variables propositionnelles :
si ⊢ L s(A 1 ), . . . , ⊢ L s(A n ), alors ⊢ L s(C).
L'un des buts dee qui suitest de omparer lanotionde règleadmissibleàlanotion
de règle dérivable.
Dénition 1.2.3 Nous dirons que
⊢ L A 1 . . . ⊢ L A n
⊢ L C ,
est une règle dérivabledans
L
ssi :⊢ L A 1 , . . . , A n , → C.
La propositionsuivante est évidemmentvraie.
Proposition 1.2.4 Toute règle dérivable dans une logique ave Modus Ponens est ad-
missible.
En alul propositionnellassique, la réiproqueest vraie.
Proposition 1.2.5 En alul propositionnel lassique toute règle admissible est déri-
vable.
Preuve : par omplétude.Onpose
⊤ = A ∨ ¬A, ⊥ = A ∧ ¬A
,sies onstantes ne sontpas prédénies. On assoie à haque valuation
v
sur 0,1 la substitutions v
dénie surhaque variableprositionnelle
α
par :si
v(α) = 0
,alorss v (α) = ⊥
;si
v(α) = 1
,alorss v (α) = ⊤
.Il est immédiatque, pour toute formule
A
,⊢ s v (A)
si etseulement siv(A) = 1
.Soit maintenantune règleadmissible
A 1 , . . . , A n ≫ C
.Toute substitutionquivalide les prémissesA i
valide la onlusion. C'est en partiulier le as des substitutionss v
, ete pour toute valuation
v
. On ondéduit que toute valuationqui valide lesA i
valideC
,et donque
⊢ A 1 , . . . , A n → C
.Dans lasuite on désignera égalementles valeurs de vérité par
⊥
et⊤
.Le but de e qui suit est d'étudier les rapports entre dérivabilité et admissibilité en
logique intuitionniste.
Des règles admissiblesnon dérivables apparaissent également dansd'autres logiques,
par exemple ertaines logiques modales.
Lesvariablespropositionnellessontreprésentées parleslettresminusulesde l'alpha-
bet gre. Les onneteurs sont
∨, ∧, →, ⊥
. Le onneteur0
-aire⊥
est une onstantepropositionnellepour l'absurde. On hoisit don de dénir
¬A
omme abréviationpourA → ⊥
. Ce hoix n'a pas d'inuene sur les résultats qui suivent. On aurait les mêmesrésultatsave une négationprimitive,et l'absurde déni par
⊥ = A ∧ ¬A
.Il existe en logique intuitionniste des règles admissibles non dérivables.
les exemples suivants sont bien onnus.
¬α → β ∨ γ ≫ (¬α → β) ∨ (¬α → γ)
¬α → β ∨ γ 0 (¬α → β) ∨ (¬α → γ )
.
(α → δ) → β ∨ γ ≫ ((α → δ) → β) ∨ ((α → δ) → γ) ∨ ((α → δ) → α) (α → δ) → β ∨ γ 0 ((α → δ) → β) ∨ ((α → δ) → γ) ∨ ((α → δ) → α)
.Les preuves sont très simples.Nous lesdonnons auxparagraphes 4.3et 7.3.
Dans tout e quisuit, nous nous restreignonsau alulpropositionnelintuitionniste.
1.4 Présupposés
Nous utiliserons laversion suivantedu théorème de Glivenko.
Proposition 1.4.1 (Théorème de Glivenko) Une formule qui ommene par une
négation est démontrable intuitionnistiquement si et seulement si elle est démontrable
lassiquement.Par onséquent pour
Γ
un ensemble ni de formules :⊢ Γ → ⊥ ssi ⊢ c Γ → ⊥ .
En eet
Γ → ⊥ ≡ ¬(∧Γ)
.Pour lapreuve, voir par exemple [Tr vD88℄.
Nous utiliserons égalementla propriété de disjontion en logique intuitionniste :
Proposition 1.4.2 (propriété de disjontion) Soient
C
etD
deux formules :⊢ C ∨ D ssi ⊢ C ou ⊢ D.
Il existe diérentes méthodes qui onduisent à e résultat. L'une des plus élémentaire
est d'utiliserleslash de Kleeneoul'unede ses variantes(voirpar exemple[Tr vD88℄).
Une autre est d'utiliser l'existene d'une preuve sans oupures en alul des séquents
intuitionniste (voir par exemple [Du 77℄).
On peut remarquer que, en dehors de la règle droite de l'impliation, toutes les
règles du alul des séquents intuitionniste (formulation ave auplus une seule formule
à droite), y ompris règles struturelles et oupure, sont valides pour l'admissibilité,
i.e. en remplaçant le symbole
⊢
par le symbole≫
. En fait, si on interprète les, de droite par des
∨
, il en est de même pour les règles du alul des séquentslassiqueexeptétoujourslarègledroitedel'impliation.Cesrèglessontd'ailleursvalides
intuitionnistiquement.Onpeutmêmeremarquerque,lesrèglesinversiblesdualuldes
séquents intuitionniste (laonjontiondes prémisses de larègle équivaut àlaonlusion
f 4.1), sont égalementinversiblespour l'admissibilité.Nousdétaillonsertainsas dans
lesparagraphes suivants.
1.5.1 Conjontion
Γ ≫ C ∧ C ′ ssi Γ ≫ C et Γ ≫ C ′ ; A ∧ A ′ , Γ ≫ C ssi A, A ′ , Γ ≫ C .
1.5.2 Aaiblissement
Si Γ ≫ C alors Γ, B ≫ C .
1.5.3 Disjontion
Γ, B ∨ B ′ ≫ C ssi Γ, B ≫ C et Γ, B ′ ≫ C .
Il est évident par aaiblissementque si
Γ, B ∨ B ′ ≫ C
,alorsΓ, B ≫ C
etΓ, B ′ ≫ C
.La réiproque est une onséquene de la propriété de disjontion. En eet, supposons
que
Γ, B ≫ C
etΓ, B ′ ≫ C
. Supposons ques
est une substitutiontelle que pour toute formuleA
deΓ
,s(A)
soitprouvable ettelle ques(B ∨ B ′ )
soitprouvable. On en déduitpar la propriété de disjontion que
s(B)
est prouvable ous(B ′ )
est prouvable. On peutdans haun des as appliquerl'une des deux règles supposées admissibles i-dessus. On
onlutque
s(C)
est prouvable.1.5.4 Impliation
Si Γ ≫ B → C alors Γ, B ≫ C .
existe desrègles admissiblesnon dérivables etque
≫ C
sietseulementsi⊢ C
.Ona ependantla propriété suivante :
Γ ≫ C ssi Γ ≫ Γ → C .
1.5.5 Négation
Nous utiliserons plus loinei :
Lemme 1.5.1 Les propositions suivantes sont équivalentes:
(i)
Γ ≫ ⊥
,(ii)
Γ ⊢ c ⊥
,(iii)
Γ ⊢ ⊥
.Preuve : (iii) équivaut à (ii) par le théorème de Glivenko (setion 1.4). Il est évident
que (iii)implique(i). Il nous sut don de montrer que (i)implique (ii).
Si
Γ ≫ ⊥
, il n'existe auune substitution par⊥
ou⊤
qui valideΓ
, don auunevaluation lassique qui valide
Γ
. On en déduit, par omplétude de la logique lassique,que
Γ ⊢ c ⊥
.Conséquene : les propositions suivantes sont équivalentes:
Γ ≫ ¬C
,
Γ ⊢ c ¬C
,
Γ ⊢ ¬C
.1.5.6 Admissibilité et substitutions
La propriété suivanteest évidente, mais utile.
Pour toute substitution
s , si Γ ≫ C alors s(Γ) ≫ s(C) .
1.5.7 Conséquenes admissibles et dérivables
Nous allons ommener par étudier plus partiulièrement les ensembles de formules
ayant lapropriété suivante :
Dénition 1.5.2 Nous dironsqu'une formule
A
(respetivementqu'un ensemble nide formulesΓ
) a mêmes onséquenes admissibles etdérivables pour exprimer que :A ≫ C ssi A ⊢ C (respectivement Γ ≫ C ssi Γ ⊢ C) .
On peut déduirede lapropriété énonée auparagraphe 1.5.3 que:
Lemme 1.5.3 L'ensemble des formules ayant mêmes onséquenes admissibleset déri-
vables est stable par disjontions.
Il s'avère que, pour étudier l'admissibilité,on peut se limiter à une lasse restreinte
de substitutions, que nous étudions dans e paragraphe.
2.1 Notations
Les substitutions sont des appliations dénies des variables dans les formules pro-
positionnelles, etétendues naturellementaux formules propositionnelles.On note
[A 1 /α 1 , . . . , A n /α n ]
lasubstitution dénie par
s(α 1 ) = A 1 , . . . , s(α n ) = A n et s(β) = β pour β 6∈ {α 1 , . . . , α n } s(C)
est alors notéeC[A 1 /α 1 , . . . , A n /α n ]
.2.2 Dénitions
Dénition 2.2.1 Si
Γ
estun ensemble deformules nous dirons quelasubstitutions
estune
Γ
-identité si pour toute variable propositionnelleα
:Γ ⊢ α ↔ s(α) ,
ou enore, si
Γ
est ni :Γ → α ≡ Γ → s(α).
Proposition 2.2.2
(i) La substitution
s
est uneΓ
-identité ssi pour toute formuleC
:Γ ⊢ C ↔ s(C) ,
ou enore, si
Γ
est ni :Γ → C ≡ Γ → s(C) .
(ii) L'ensembledes
Γ
-identités est stable par omposition.(iii) Si
Γ
est ni,C
une formule propositionnelleets
uneΓ
-identité, alors :Γ ≫ C ssi s(Γ) ≫ s(C) .
Preuve : indution évidentesur laomplexitéde
C
pour le(i), évident pour le(ii).Pour le (iii) un sens est évident (voir 1.5.6), voyons la réiproque. On suppose
s(Γ) ≫ s(C)
etl'on veut montrerΓ ≫ C
. Soit donσ
une substitution validantΓ
, 'est àdiretelle que
⊢ ∧σ(Γ)
. Commes
est uneΓ
-identité, on déduit du (i) queΓ ⊢ ∧s(Γ)
, donσ(Γ) ⊢ ∧σ(s(Γ))
, etpar hypothèse surσ
on obtient⊢ ∧σ(s(Γ))
. Ors(Γ) ≫ s(C)
, donpar dénition de l'admissibilité
⊢ σ(s(C)) .
On utilise à nouveau le(i) qui donne
Γ ⊢ C ↔ s(C)
, donσ(Γ) ⊢ σ(C) ↔ σ(s(C))
.On utilisel'hypothèsesur
σ
etlepréédentrésultatpour onlureque⊢ σ(C)
,e quiestle résultatherhé.
Dénition 2.2.3 Si
Γ
est un ensemble de formules, nous dirons qu'une substitutions
estΓ
-validante si pour toute formuleC
deΓ
la formules(C)
est démontrable.Nous dirons une
Γ
-identité validante pour uneΓ
-identitéΓ
-validante.Nous dirons que
Γ
a la propriété de disjontion pour l'admissibilité, quand pour toutes formulesC
etD
,si Γ ≫ C ∨ D alors Γ ⊢ C ou Γ ⊢ D .
Ces dénitions sont introduites àause du résultatsuivant :
Lemme 2.2.4 Soit
Γ
un ensemble ni de formules.(i) S'il existe une
Γ
-identité validante, alorsΓ
a la propriété de disjontion pourl'admissibilité.
(ii) Si
Γ
a la propriété de disjontion pour l'admissibilité, alorsΓ
a mêmes onsé-quenes admissibles et dérivables.
Preuve ((i)) : soit
s
laΓ
-identité validante onsidérée,de :Γ ≫ C ∨ D et ⊢ ∧s(Γ) ,
ondéduit par dénition de l'admissibilitéque :
⊢ s(C) ∨ s(D) ,
et par lapropriété de disjontion:
⊢ s(C) ou ⊢ s(D) .
En aaiblissanton obtient :
⊢ Γ → s(C) ou ⊢ Γ → s(D) ,
et par dénition d'une
Γ
-identité on adon :⊢ Γ → C ou ⊢ Γ → D ,
'est à dire :
Γ ⊢ C ou Γ ⊢ D .
Preuve ((ii)) : si
Γ ≫ C
, alorsΓ ≫ C ∨ C
, donΓ ⊢ C
ouΓ ⊢ C
.Nous montrerons la réiproquedu (i)au paragraphe5 .
Le orollaire suivant ne sera pas utilisé dans la suite. Il explique ependant d'une
ertaine façon par exemple le fait que l'on retrouve au paragraphe 3.4 les formules de
Harrop.
Corollaire 2.2.5 Si
Γ
a la propriété de disjontion pour l'admissibilité, en partiulier s'il existe uneΓ
-identité validante, alorsΓ
a la propriété de disjontion, i.e.si Γ ⊢ C ∨ D alors Γ ⊢ C ou Γ ⊢ D.
Preuve : si
Γ ⊢ C ∨ D
, alorsΓ ≫ C ∨ D
, d'où lerésultat.Remarquons que la réiproque est fausse. Ainsi la formule
¬α → (β ∨ γ)
n'a pas lapropriété de disjontion pour l'admissibilité, mais on peut failement vérier qu'elle a
la propriété de disjontion. En eet une preuve en alul des séquents (voir 4.1) d'un
séquent
¬α → (β ∨ γ) ⊢ (C ∨ D)
ne peut seterminer que par une règle droitesur le∨
.En eet
(¬α → (β ∨ γ)) ⊢ ¬α
,qui équivaut à⊢ ¬α
, n'est pas prouvable.Donnons une première appliationde e qui préède.
2.3 Un exemple simple
Si
α
estune variablepropositionnelle,alors[⊤/α]
est uneα
-identitévalidante,[⊥/α]
est une
¬α
-identité validante, et donα
et¬α
ont la propriété de disjontion pourl'admissibilité.
Engénéralisant
[⊤/α 1 , . . . , ⊤/α n , ⊥/β 1 , . . . , ⊥/β p ]
est une{α 1 ∧ . . . ∧ α n ∧ ¬β 1 ∧ . . . ∧
¬β p }
-identité. On en déduit par le lemme 1.5.3 que les formules onstruites ave∧, ∨
sur desvariablesetdesvariablesniées ontmêmesonséquenesadmissiblesetdérivables
(sur e fragment lesformes normales onjontives etdisjontivesexistent).
Remarquons que, omme une onjontion de formules niées (ommençant par
¬
)est une formuleniée, ilsut pour généraliser lerésultat àtout le fragment
∧, ∨, ¬
, detrouverpourtouteformule
A
,toutesvariablesα i
,une{¬A, α 1 , . . . , α n }
-identitévalidante.Ilsut pourela detrouverune
¬A[⊤/α 1 , . . . , ⊤/α n ]
-identitévalidante,quel'onpourraprolonger.. Finalement,il sut don, pour généraliser lerésultat aufragment
∧, ∨, ¬
,de trouver pour toute formule
A
une¬A
-identité validante.Cei sera faitdans la suite.
On va, dans la setion suivante, utiliser les substitutions introduites pour donner
des aratérisations d'ensembles de formules ayant mêmes onséquenes admissibles et
dérivables.
pales étapes de ladémonstrationde omplétudepour larétro-dérivation est lasuivante.
On onstruit une
Γ
-identité validante pour un ensembleΓ
de formules los sous unepropriété desaturation partiulière,quiesten l'ourene unerestrition delapropriété
de disjontion pour l'admissibilité sur un ensemble ni.
Le premierrésultat est un as partiulier du suivant mais sa preuve est partiulière-
mentsimple.
3.1 Le fragment
∧, →
Lemme 3.1.1 Soient
Γ
un ensemble ni de formules,V ar Γ
l'ensemble des variablespropositionnellesapparaissantdanslesformulesde
Γ
,s
lasubstitution,identitéendehors deV ar Γ
, dénie pourα
dansV ar Γ
par :s(α) = Γ → α pour α dans V ar Γ ,
alors
(i) pour toute formule
C
dans le fragmentV ar Γ , ∧, →
:s(C) ≡ Γ → C ,
(ii)
s
est uneΓ
-identité, don pour toute formuleC
(sans restritions)Γ → s(C) ≡ Γ → C .
Preuve ((i)) : par indution sur la struture de
C
.Le résultatvient de la dénition pour les variablespropositionnelles.
Pour lespas d'indution on utiliseles équivalenessuivantes :
(⊤ → ⊤) : (Γ → A) → (Γ → B) ≡ Γ → (A → B) ; (⊤ ∧ ⊤) : (Γ → A) ∧ (Γ → B) ≡ Γ → (A ∧ B) ;
qui semontrentsans diulté.
Preuve ((ii)) : ladénition 2.2.1 est évidemment satisfaite :
Γ → Γ → α ≡ Γ → α .
Proposition 3.1.2
Si
Γ
est unensemble ni deformules danslefragment∧, →
,alorslasubstitutions
dénie au lemmei-dessus est uneΓ
-identité validante.Les formules du fragment
∧, →
ont la propriété de disjontion pour l'admissibi- lité.Les formules du fragment
∧, →
et les disjontions de telles formules ontmêmes onséquenes admissibleset dérivables.lause.On saitque que
s
est uneΓ
-identitéd'après lelemme3.1.1 (ii).Du(i) ondéduitque pour toute formule
A
deΓ
:s(A) ≡ Γ → A ≡ ⊤ ,
don
s
valide bienΓ
.3.2 Le fragment
∧, →, ⊥
ou∧, →, ¬
Lemme 3.2.1 Soient
Γ
un ensemble ni de formules,V ar Γ
l'ensemble des variablespropositionnellesapparaissant dans
Γ
.Soient
v
une valuationlassique surle fragment engendréparV ar Γ
ets v
lasubstitution, identité en dehors deV ar Γ
, et dénie pourα
dansV ar Γ
par :
Si v(α) = ⊤ alors s v (α) = Γ → α ,
Si v(α) = ⊥ alors s v (α) = ¬¬Γ ∧ (Γ → α) .
Alors
(i) pour toute formule
C
dans le fragmentV ar Γ , ∧, →, ⊥
:
Si v(C) = ⊤ alors s v (C) ≡ Γ → C ,
Si v(C) = ⊥ alors s v (C) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .
(ii)
s v
est uneΓ
-identité , don pour toute formuleC
(sans restritions)Γ → s v (C) ≡ Γ → C .
Preuve ((i)) : par indution sur la struture de
C
.Lerésultatvientdeladénitionpourlesvariablespropositionnelles.Pour
⊥
onremarqueque :
¬¬Γ ∧ (Γ → ⊥) ≡ ⊥ .
Pour lespas d'indution onutilise, outreles équivalenes
(⊤ → ⊤)
et(⊤ ∧ ⊤)
énonéesen setion 3.1, les équivalenessuivantes :
(⊥ → ⊤) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] → (Γ → B) ≡ Γ → (A → B ) ;
(⊥ → ⊥) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] → [¬¬Γ ∧ (Γ → B)] ≡ Γ → (A → B) ; (⊤ → ⊥) : (Γ → A) → [¬¬Γ ∧ (Γ → B)] ≡ ¬¬Γ ∧ [Γ → (A → B)] ; (⊥ ∧ ⊤) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] ∧ (Γ → B) ≡ ¬¬Γ ∧ [Γ → (A ∧ B)] ;
(⊥ ∧ ⊥) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] ∧ [¬¬Γ ∧ (Γ → B)] ≡ ¬¬Γ ∧ [Γ → (A ∧ B )] .
Ces équivalenes se prouvent sans diultés. Remarquons que seule la troisième (as
(⊤ → ⊥)
) utilise de façon indispensable l'absurdité intuitionnistean de montrer :(Γ → A) → ¬¬Γ ≡ ¬¬Γ .
Voyons un pas d'indution.Supposons que
C = A → B
etv(C) = ⊥
. Cela entraine quev(A) = ⊤
etv(B) = ⊥
. On en déduitpar hypothèse d'indution ques v (A) ≡ Γ → A et s v (B) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → B) .
On utilise l'équivalene
(⊤ → ⊥)
qui permetde onlure ques v (C) = s v (A → B ) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → (A → B)) = ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .
Preuve ((ii)) : l'équivaleneestune égalitépour lesvariablespropositionnelleshors de
V ar Γ
et pour⊥
.Ellese vérie failement pour lesvariables
α
deV ar Γ
telles quev(α) = ⊤
.Pour lesvariables
α
deV ar Γ
telles quev (α) = ⊥
, onremarque que:Γ → s v (α) = Γ → [¬¬Γ ∧ (Γ → α)] ≡ Γ → α .
Proposition 3.2.2
(i) Supposons que
Γ
soit un ensemble ni de formules dans le fragment∧, →, ⊥
tel qu'il existe une valuation lassique
v
vériantv(∧Γ) = ⊤
, alors la substitution assoiées v
dénie au lemme 3.2.1 est uneΓ
-identité validante.(ii) Lesformulesdufragment
∧, →, ⊥
ontlapropriétédedisjontionpourl'admissi-bilité.
(iii) Les formules du fragment "
∧, →, ⊥
" et les disjontions de telles formules ont mêmes onséquenes admissibleset dérivables.Preuve ((i)) : on sait que, pour toute valuation lassique
v
onvenable,s v
est uneΓ
-identité d'après le (ii) du lemme 3.2.1. la valuationpartiulière onsidérée
v
vérie quev(∧Γ) = ⊤
,et don pourtoute formuleA
deΓ
,v(A) = ⊤
.On déduitde eietdu (i)dulemme 3.2.1 que
s v (A) ≡ Γ → A ≡ ⊤ ,
don
s v
est bien une substitutionΓ
-validante.Preuve ((ii)) : dans le as où il existe une valuation lassique validant
Γ
, 'est uneonséquene du (i).
Dans leas oùil n'en existe auune, d'après lelemme 1.5.1 :
Γ ⊢ ⊥ ,
et donpour toute formule
C
:Γ ⊢ C et Γ ≫ C .
Mintsdans[Mi 72℄démontrele(iii)delapropositionpréédentedansleaspartiulier
où la formule onlusion de la règle admissible est aussi dans le fragment
∧, →, ⊥
. Le(i)du lemme3.2.1 sut alors pour onlure.
On peutremarquerquetouteformulequiommenepar unenégationestéquivalente
à une formuledans le fragment
∧, →, ⊥
. Cei se montre par indution en utilisant leséquivalenes suivantes :
¬A ≡ ¬¬¬A ;
¬¬(A → B) ≡ ¬¬A → ¬¬B ;
¬¬(A ∧ B) ≡ ¬¬A ∧ ¬¬B ;
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B .
On déduit don de e quipréède leorollairesuivant.
Corollaire 3.2.3 Sous les hypothèses du lemme3.2.1 la onlusion se généralise à une
formule
C
qui ommene par une négation i.e.
Si v(C) = ⊤ alors s v (C) ≡ Γ → C ,
Si v(C) = ⊥ alors s v (C) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .
3.3 Le fragment
∧, ∨, ¬
Ononsidère,uniquementdanseparagraphedontnousn'utiliseronspaslesrésultats
dans lasuite, que le
¬
est primitif.Lesonlusions de laproposition3.2.2 sontégalementvalides pour lesformulesom-
mençant par une négation. Cei permet don de montrer (voir2.3), queles formules du
fragment
∧, ∨, ¬
ont mêmes onséquenes admissibles et dérivables. Cependant ette méthode n'estpastrèssatisfaisantepuisquelaΓ
-identité validanteemployéeomporteleonneteur
→
. On aimerait uneΓ
-identité validante qui n'utiliseque des formules danslemême fragment,la négationétant onsidéréeomme primitive.Cei est possible pour
les formules niées. En eet, quand on remplae une sous-formule propre d'une formule
niée, par une formule quilui est lassiquement équivalente, on obtient une formuleniée
intuitionnistiquementéquivalente('estuneonséqueneduthéorème deGlivenko).Or:
Γ → α ≡ c ¬Γ ∨ α
¬¬Γ ∧ (Γ → α) ≡ c Γ ∧ α .
On a don le lemme suivant, que l'on peut d'ailleurs montrer diretement sans grande
diulté.
Lemme 3.3.1 Soient
Γ
un ensemble ni de formules,V ar Γ
l'ensemble des variablespropositionnellesapparaissant dans
Γ
.Soient
v
une valuationlassique surle fragment engendréparV ar Γ
ets ′ v
lasubstitution, identité en dehors deV ar Γ
, et dénie pourα
dansV ar Γ
par :
Si v(α) = ⊤ alors s ′ v (α) = ¬¬(¬Γ ∨ α) ,
Si v(α) = ⊥ alors s ′ v (α) = Γ ∧ α .
Alors
(i) pour toute onjontion
C
de variables propositionnelleset de formules niées :Si v(C) = ⊤ alors s ′ v (C) ≡ ¬¬(¬Γ ∨ C) ,
Si v(C) = ⊥ alors s ′ v (C) ≡ Γ ∧ C .
(ii)
s ′ v
est uneΓ
-identité , en partiulier pour toute formuleC
(sansrestritions)Γ ⊢ s ′ v (C) ↔ C .
(iii) Si
Γ
est un ensemble ni non ontraditoire de formules niées et de variables propositionnelles, etv
est une valuation lassique validantΓ
, lasubstitutions ′ v
estune
Γ
-identité validante.Remarque:dansleaspartiulierenvisagé auparagraphe2.3,onretrouve,àéquivalene
près, les substitutionsindiquées alors.
Proposition 3.3.2
Si
Γ
est un ensemble ni non ontraditoire de formules niées et de variables pro- positionnelles, etv
est une valuationlassique validantΓ
, lasubstitutions ′ v
déniei-dessus est une
Γ
-identité validante.Les onjontionsdevariablespropositionnellesetde formulesniéesontlapropriété
de disjontion pour l'admissibilité.
Lesformules dufragment"
∧, ∨, ¬
"sontéquivalentesàdesdisjontionsdeonjon- tions de variables propositionnelles et de formules niées. Elles ont mêmes onsé-quenes admissibles et dérivables.
Mints([Mi72℄)montrele(iii)delapropositiondansleaspartiulieroùlaonlusion
de la règle est dans le mêmefragment. Danse as le (i)du lemme préédent sut.
Nous allons maintenant donner des lasses de formules plus générales, dont les on-
séquenes admissibles sontles onséquenes dérivables.
3.4 Formules de Harrop
LesformulesdeHarrop(Rasiowa-Harrop)ontétéintroduitesparequ'ellespossèdent
lapropriété de disjontionetont une aratérisationsyntaxiquesimple. Nousrappelons
leur dénition, dans le ontexte restreint quiest lentre du alulpropositionnel.
ontiennent pas de disjontion en position stritement positive. On peut dénir induti-
vement l'ensemble H des formules de Harrop de la façon suivante :
pour toute formule atomique
α
(variablepropositionnelle ou⊥
)α ∈
H;si
A
est une formule quelonque, siB ∈
H, alorsA → B ∈
H;si
A ∈
H, siB ∈
H, alorsA ∧ B ∈
H.Par exemple
A 1 → . . . → A n → α
est une formulede Harrop.Dénition 3.4.2 les formules
A 1 → . . . → A n → α ,
où
α
est atomique (soit⊥
, soit une variable propositionnelle), sont appelées formules de Harrop primitives.Lemme 3.4.3 TouteformuledeHarropestéquivalenteàunedeonjontiondeformules
de Harrop primitives.
Preuve : parindutionsur ladénitionde H.Onutilisepour lepas d'indutionl'équi-
valene :
A → (B ∧ C) ≡ (A → B) ∧ (A → C) .
Nous allons utiliser la substitution
s v
dénie auparagraphe 3.2. Le lemme suivantpermet d'étendre les résultatsdu lemme 3.2.1.
Lemme 3.4.4 Sous leshypothèses du lemme3.2.1,laonlusion (i)de e mêmelemme
s'étend aux formules de Harrop, i.e. pour toute formule de Harrop
C
:
Si v(C) = ⊤ alors s v (C) ≡ Γ → C ,
Si v(C) = ⊥ alors s v (C) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .
Preuve : d'aprèslelemme3.4.3,onpeut selimiterà
C
uneonjontion deformulesdeHarrop primitives, eten appliquant les équivalenes
(⊤ ∧ ⊤)
de la setion 3.1,(⊤ ∧ ⊥)
et
(⊥ ∧ ⊥)
de la setion 3.2, on peut se limiter àC
une formule primitive de Harrop.Posons don:
C = ∆ → α
oùα
est atomique et∆ = {B 1 , . . . , B n }
.-Supposons tout d'abord que
v(α) = ⊤
, et donv(C) = ⊤
.s v (α) = Γ → α ,
don :