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UiveiéARSV ThèedeD a Sé ia

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Texte intégral

(1)

Thèse de Dotorat

Spéialité : Mathématiques

dirigée parMihel Parigot (Jean-PierreRessayre)

présentéepar PaulRozière

Sujetde thèse :

Règles admissibles en

alul propositionnel intuitionniste.

soutenue le 13 mai 1992

Jury :

Gabriel Sabbagh Président

Jean Gallier Examinateurs

Jean-YvesGirard

Mihel Parigot

Jean-Pierre Ressayre

Thierry Coquand Rapporteurs

Dirk Van Dalen

(2)
(3)

alul propositionnel intuitionniste.

Paul Rozière

Equipede Logique,CNRSUA 753

UniversitéParis7

2plaeJussieu, 75230PARIS edex 05

rozierelogique.jussieu.fr

Résumé

Le travail suivant tente d'élaiir les liens entre admissibilité etdérivabilité en

alulpropositionnelintuitionniste.

La première partie (setions 1, 2, 3) donne des onditions simples pour que

es deux notions soient identiques. On utilise en partiulier une sorte partiulière

de substitutions (dénie en setion 2), dont on montrera dans ladeuxième partie

qu'ellesaratérisent,en un ertainsens,l'admissibilité.

La deuxième partie (setions 4, 5) réutilise ertaines desméthodes introduites

(les substitutionsintroduites danslasetion 2),etdesaspartiuliers très simples

des résultats montrés en setion 3, pour obtenir une aratérisation de l'admis-

sibilité par la rétro-dérivation en alul des séquents. C'est le résultat entral

de la thèse. On obtient ainsi ertains résultats de déidabilité, en partiulier la

déidabilité del'admissibilité, ainsique d'autresaratérisations.

La troisième partie (setion 6,7) illustrele résultat préédent et en donne des

appliations. Ondéritomplètement en setion6leas àune variable. Ondonne

en setion 7 une axiomatisation dénombrable de l'admissibilité, et l'on en déduit

l'impossibilité d'uneaxiomatisation nie.Onen déduit ensetion 8quelalogique

lassiquen'est paslapluspetitelogiqueau dessusde lalogiqueintuitionniste telle

quetoutes les règlesadmissiblessoient dérivables.

Un résuméplus onséquent estdonné dansl'introdution.

(4)

Abstrat

A rule is said admissible in a logi if the set of valid formulae of this logi is

losed under this rule. In lassial propositional alulus all admissible rules are

derivable(provableinsidethelogi),but thatisnot thease inintuitionistilogi.

InthisthesiswestudyhowadmissibilityisrelatedwithderivabilityinIntuitionisti

propositionalalulus.

The rst part gives suient syntati onditions for admissible rules to be

derivable. We dene a partiular lass of substitutions useful when dealing with

admissibility.

Theseondpartusesthislassofsubstitutionandsimplepartiularasesofthe

rstparttogiveharaterizationofadmissibilityusingtheintuitionistisequentof

alulus(preiselyakindofretro-derivation insequentalulus).Itistheentral

resultofthethesis. Itleadsto deidableriteriafor admissibilityandotherrelated

notions.

The thirdpartillustratesthese resultsand givesappliations ofthem.Theone

variable ase is ompletely desribed. We give then a omplete ountable axio-

matization of admissibility, and we infer that their is no nite one. We use this

axiomatizationto exhibtheleastsuper-intuitionistiLogiinwhihallintuitionis-

ti admissible rules are derivable. In this logi every admissible rule is derivable,

and thisis not ClassialLogi.

(5)

Introdution 6

I Admissibilité, liens ave la dérivabilité 13

1 Préliminaires 15

1.1 Notations . . . 15

1.2 Dénitions . . . 15

1.3 Calulpropositionnelintuitionniste . . . 17

1.4 Présupposés . . . 17

1.5 Quelquespropriétés immédiates de l'admissibilité . . . 18

1.5.1 Conjontion . . . 18

1.5.2 Aaiblissement . . . 18

1.5.3 Disjontion . . . 18

1.5.4 Impliation . . . 18

1.5.5 Négation . . . 19

1.5.6 Admissibilitéet substitutions . . . 19

1.5.7 Conséquenes admissibles etdérivables . . . 19

2 Substitutions 20 2.1 Notations . . . 20

2.2 Dénitions . . . 20

2.3 Unexemple simple . . . 22

3 Quand admissibilitéégale dérivabilité 24 3.1 Lefragment

∧, →

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Lefragment

∧, →, ⊥

ou

∧, →, ¬

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Lefragment

∧, ∨, ¬

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Formules de Harrop . . . 28

3.5 Formules anti-Harrop . . . 31

II Admissibilité et rétro-dérivabilité 34 4 Rétro-dérivation 36 4.1 Caluldes séquents . . . 36

4.2 Sous-formules . . . 37

4.3 Introdution àla rétro-dérivabilité . . . 38

4.4 Dénitionde larétro-dérivabilité . . . 40

(6)

4.4.2 Dénitiondes rétro-dérivations . . . 41

4.4.3 Rétro-dérivabilitéen alulpropositionnel . . . 47

5 Complétude 48 5.1 Préliminaires . . . 48

5.2 Sous-formules (suite) . . . 48

5.3 Saturation . . . 50

5.4 Eliminationdes anti-Harrop . . . 53

5.4.1 Dénitiondes substitutions

σ i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4.2 Sous-formules des substituées par les

σ i

. . . . . . . . . . . . . . 54

5.4.3 Etude d'une rétro-dérivation d'une formule

σ p (G)

. . . . . . . . 60

5.4.4 Lorsque

G

est saturée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5 Admissibilitéégale dérivabilitéplus rétro-dérivabilité . . . 66

5.6 Résultatsde déidabilité . . . 68

III Exemples, appliations 70 6 Le alul propositionnel à une variable 72 6.1 Letreillis de Rieger-Nishimura . . . 72

6.2 Substitutionset treillisde Rieger-Nishimura . . . 73

6.3 Règles admissibles . . . 77

6.4 Rétro-dérivation. . . 78

6.5 Illustrationde dénitions préédemment introduites . . . 80

6.6 Remarques. . . 81

7 Une axiomatisation de l'admissibilité 82 7.1 Lesrègles

(ad n )

,et autres règlesadmissibles . . . 82

7.2 Unerelation de onséquene entre règles . . . 82

7.3 Lasuite

(ad n )

est stritementroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.4 Lasuite

(ad n )

est génératrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.4.1 Quelques préliminaires . . . 89

7.4.2 Quandil n'y aque des redondanes triviales . . . 93

7.4.3 Des transformationssur lesrétro-dérivations . . . 95

7.4.4 Lasuite est génératrie . . . 110

7.5 Uneaxiomatisation inniede l'admissibilité . . . 111

(7)

8.1 Préliminaires . . . 113

8.2 Dansla logique AD les règles admissibles sont dérivables . . . 113

8.3 Lalogique AD n'est pas la logique lassique . . . 115

Conlusion 118

Bibliographie 120

(8)

L'intuitionnisme, tel qu'il est introduit par Brouwer au début de e sièle, est une

philosophie des mathématiquesqui s'insrit dans la ontroverse de l'époque sur les fon-

dations. L'une de ses aratéristiques est de remettre en ause la logique lassique. Les

preuves doiventêtre onstrutives eten partiulier,la loidu tiers-exlu,

A ∨ ¬A

n'est

pas valideapriori (voir[Du 77℄,[Tr vD 88℄,[vD 86℄,[Gi 87℄en partiulierlehapitreI).

La logique dite intuitionniste a été formaliséesous sa formeatuelle par Heyting en

1930.

Bienquediversestraditionsplus oumoinsprohesde l'intuitionnismesoienttoujours

bienvivantes atuellement,elles semblentonerner etintéresserun nombre restreintde

mathématiiens non logiiensou informatiiens.

Cependant, indépendemmentde tout pointde vuesur lesfondations,laprogramma-

tionadonnédenouvellesmotivationsàl'étudeetaudéveloppementdesystèmesformels

de logique intuitionniste. En eet une preuve en logique intuitionniste, formalisée en

dédution naturelle, peut s'érire omme un

λ

-terme typé, et le

λ

-terme extrait omme

un programme qui réalise en un ertain sens la spéiation donnée par la proposition

prouvée.Ilest importantdupointdevueinformatiquequeettetransformationsoittrès

naturelle, etne fassepas intervenir de odagesintermédiaires.C'est e qui ladiérenie

par exemple des notions de réalisabilitéen terme de fontions réursives(Kleene 45).

La logique intuitionniste de Heyting a d'autrepart pour intérêt saproximitéave la

logique lassique : le langage est le même, tout énoné prouvable intuitionnistiquement

est prouvable en logique lassique, il existe une tradution de la logique lassique en

logiqueintuitionniste(

¬¬

-tradutiondeGödel),lesfontionsréursivesprouvablesdans

lesarithmétiques lassiques et intuitionnistessont lesmêmes.

Un phénomène intervient souvent en logique intuitionniste. Choisissons une notion

de règle trèsgénérale :silesformules

A 1 , . . . , A n

,(moyennantéventuellementertaines restritions syntaxiques sur es formules) sont prouvables, alors il existe un terme

t

et

une formule

C i

telque

C i (t)

est prouvable (dans leas propositionnel,

C i

). Par exemple

on peut montrer dans l'arithmétique de Heyting la propriété de disjontion : si

A ∨ B

est prouvable

A

est prouvable ou

B

est prouvable, ou plus généralement, si

H

satisfait

ertaines hypothèses,

H → A

est prouvable ou

H → B

est prouvable. La propriété

d'existene est analogue, si

∃A

est prouvable, il existe un terme

t

tel que

A(t)

soit

prouvable. Ces dernièrespropriétés sontéminemmentliées auaratère onstrutifde la

logique intuitionniste.

Les propriétés de disjontion et d'existene étant onnues, on peut reformuler la

notionde règleintroduitei-dessus sans perdrede généralité:silesformules

A 1 , . . . , A n

,

moyennantertaines restritions sures formules,sontprouvablesalors laformule

C

est

prouvable (on pose

C

ladisjontion des ltures existentielles des

C i

).

Ces propriétés de lture sont souvent utiles. Par exemple, pour montrer que les

(9)

dans l'arithmétique intuitionniste, on est amené à montrer la lture des théorèmes

de l'arithmétique intuitionniste (HA) sous (un as partiulier de) la règle de Markov

(voir [Fr77℄) : si

⊢ HA ∀n, m(ϕ(n, m) ∨ ¬ϕ(m, n))

et

⊢ HA ¬¬∃mϕ(m, n))

alors

⊢ HA

∃mϕ(m, n))

. (voir également [Tr73℄ pour et exemple et d'autres). Remarquons qu'à

la règle de Markov orrespond un axiome, le prinipe de Markov, qui s'exprime dans

le langage de l'arithmétique. Ce prinipe n'est pas intuitionnistiquement démontrable

([Tr 73, vD86℄).

Le but de ette thèse est d'étudier e phénomène dans le adre restreint du al-

ul propositionnel. Plus préisément, on s'interesse aux règles du type : si les formules

A 1 , . . . , A n

sont prouvables, alors la formule

C

est prouvable. Quand une de es règles

n'introduit pas de nouveaux théorèmes, ellesera dite admissible.Il peut arriver, omme

pour leprinipede Markov,quel'axiome orrespondant

(A 1 ∧ . . . ∧ A n ) → C

ne soitpas

prouvable, et on dit que la règle n'est pas dérivable. Ce phénomène est fortement lié à

l'impossibilitéde donner en alul des séquents intuitionniste propositionnel (une seule

formuleàdroite)lesrèglesgauhe de

etdroitedu

de façoninversible.Unerègle est inversiblequand laonjontion desprémisses delarègleéquivaut àlaonlusion.On

peutonsidérerquel'axiomatisationdel'admissibilitédonnéeensetion7donneunefor-

mulationpréisede equelephénomènedesrèglesadmissiblesnondérivablesseréduità

lanon-inversibilitéde es deux règles.D'une façonplus générale e phénomèneest don

liéàe quifaitlaspéiitédelalogiqueintuitionniste:interprétationfontionnelledes

preuves, propriété de disjontion.

Il est à remarquer que lanon-inversibilité de es règles est également liéeen séman-

tique de Kripke ([Kr 63, Kr65℄) à l'arboresene des modèles. Plus préisément, la

règle(

→ gauche

) est liéeàlalongueur des branhes, larègle (

∨droite

)aubranhement.

Cependant, l'apparition de règles admissibles non dérivables néessite la présene

simultanée de es deux règles, omme le montrent les résultats de la première partie

de ette thèse (on montre par exemple que dans le fragment sans le onneteur

,

ommeeluisansleonneteur

toutelesrèglesadmissiblessontdérivables,etd'autre résultatsplus générauxqui vontdans le même sens).

Essayons de préiser. Unrésultatentralde lathèseest qu'unerègle admissibles'ob-

tient, soit par dérivation, soit par la reherhe des preuves possibles d'éventuelles sub-

stituées des prémisses de ette règle en alul des séquents (d'où le lienave l'existene

de règles non-inversibles), soit par omposition de es deux proédés. En partiulier on

ne peut rien dire des preuves possibles d'un séquent qui ontient une variable proposi-

tionnelle,d'oùlanéessité delaprésenesimultanéedesdeux règlesnoninversiblespour

l'apparition de règles admissibles non dérivables.

Le alul des séquents de Gentzen n'est utilisé ii que de façon statique et non

dynamique : on utilise par exemple seulement l'existene d'une démonstration sans

oupures, et non l'élimination des oupures. De e point de vue, on pourrait également

(10)

remarquédans [Be 65℄)àune formulationdualul des séquentsave plusieursformules

à droite, et une restrition sur la règle droite de

, qui est alors la seule règle non

inversible du alul. Le phénomène des règles admissibles non dérivables s'analyserait

alors d'une façon analogue.

Contenu de la thèse

Le point de départ de e travail m'a été donné par la leture du manusript d'une

onférenedeW.Dekkers donnéàEdinburgh,dansleadreduJumelage

λ

-alultypé89.

W.Dekkersmontrequepourlesformuleséritesseulementave leonneteur

,règles

admissiblesetdérivables sontlesmêmes.Sonargumentestastuieuxmaistrèssimple.Il

sut, pour une règledonnée de prémisse

A

et de onlusion

C

, de substituer àhaque

variable

α

dans es formules la formule

A → α

, et de remarquer que ette substitution s'hérite pourlesformulesdanslefragmentonsidéré,àsavoirquelasubstituéede

A

est

prouvable, etqueelle de

C

est équivalenteà

A → C

. On montre donque sietterègle

est admissible, elle est prouvable, et ei en utilisant une seule instane de ette règle

(voir pour despréisions lasetion 3.1).Il setrouveque G.E.Mints avaitdéjamontré e

résultatet d'autres, en utilisantessentiellement lemême argument([Mi 72℄).

Danslapremièrepartie(setions1à3)de ettethèse,onétenderésultatdansdeux

diretions.D'une partonmontre queet argumentpermetde aratériser unepropriété

plusfortequel'admissibilité(voirsetion2enpartiulierdénition2.2.3),d'autrepartet

surtout ondonne des onditions syntaxiques plus générales sous lesquelles admissibilité

égale dérivabilité.

La méthode est le suivante. Pour une formule

A

donnée, on montre que pour toute

formule

C

, lesrègles si

A

alors

C

admissiblessont dérivables en exhibant un ensemble ni de substitutions aratéristique (par exemple dans le as des formules érites seule-

mentave leonneteur

,on a une seule substitution aratéristique,la substitution

s(α) = A → α

).D'unepartessubstitutionsdoiventvalider

A

,d'autrepartlaonjon-

tion des formules obtenues en appliquant es substitutions à une formule quelonque

C

doit avoir pour onséquene

A → C

(par dérivation).

Cette méthode est générale. En eet, on montrera en setion 5 (orollaire 5.5.5) la

réiproque,àsavoirquesiuneformule

A

vériepourtouteformule

C

quelesrèglessi

A

alors

C

admissibles sont dérivables, alors il existe un tel ensemble ni de substitutions aratéristique. On peut d'ailleursvoir a posteriori lesrésultats de la setion 3, omme

une illustrationdu orollaire5.5.5.

Dans ladeuxièmepartie (setions 4et5),onmet en évideneune espèe de système

de dédution pour l'admissibilité.On ajouteà ladérivation qui donnebien entendu des

règles admissibles, un autre proédé que nous appelons rétro-dérivation (voir setion

4) : 'est la formalisation d'une méthode souvent utilisée pour montrer qu'une règle

(11)

preuvespossiblesenaluldesséquentsd'uneformuledonnée.Tantquelesséquentsainsi

produits ne ontiennent pas de variable propositionnelle, ils ne peuvent être onlusion

qued'unnombre nide règles(indiquéesparlesonneteurs prinipauxdesformulesdu

séquent).

Le résultat essentiel de la setion 5 (proposition 5.5.3) est que la ombinaison de

la dérivation et de la rétro-dérivation engendrent toutes les règles admissibles. Il s'agit

don d'un résultatde omplétude, etla preuve s'apparenteà une preuvede omplétude

usuelle. La notion de sémantique est assurée par les substitutions, que l'on peut voir

omme des valuationssur l'ensemble des formules (ou sur le quotient de de elui-i par

équivalene).Cependantdesompliationsinterviennent,dufaitquepourpouvoirdénir

des substitutions on doit manipuler des ensembles nis de formules (par exemple à la

notion de saturation utilisée usuelle dans les preuves de omplétude orrespond ii une

saturation sur un ensemble ni). D'autre part la rétro-dérivation n'est pas une notion

simple de dédution, e qui induit égalementdes perturbations.

On obtientégalementd'autres résultatsommele orollaire5.5.5déja mentionné i-

dessus, ou la aratérisation suivante de l'admissibilité : pour toute formule

A

il existe

un ensemble ni de substitutions tel que la règle si

A

, alors

C

soit admissible si et

seulement si es substitutions valident la formule

C

. Comme par ailleurs un algorithme

inspiré de la preuve de omplétude fournit et ensemble ni, et que la prouvabilité est

déidable en alul propositionnelintuitionniste, onmontre ainsi que l'admissibilité est

déidable.

La troisième partie (setion 6 à 8) illustre ou donne des appliations des résultats

préédents. La setion 6 traite omplètement lealul propositionnel à une variable du

point de vue de l'admissibilité. Il s'agit don d'un exerie assez anedotique, mais où

lesdiverses notionss'illustrent aisément.

La setion 7 donne une axiomatisation innie de l'admissibilité, et utilise fortement

le résultat de omplétude. Les règles utilisées pour l'axiomatisation sont exatement

ellesdontonabesoin,en plus de règlesdérivables,pour exprimerlesrèglesadmissibles

obtenues de la façonsuivante:

onseplaedanslealuldesséquentsintuitionniste,aveuneseuleformuleàdroite.

Siun séquentquineontientquedesformulesgauhede onneteurprinipal

,

etuneformuledroitedeonneteurprinipal

,estprouvable,alorsladisjontion

des prémisses des règles pouvant avoir e séquent pour onlusion, est prouvable.

Commees règles sontlairement des instanes des règles(

→ gauche

)et

(∨ droite)

,

ette axiomatisation lie d'une façon laire l'existene de règles admissibles ave la non

inversibilité de es deux règles. On obtient ainsi une formalisation plus manipulable

que la rétro-dérivation, mais on perd a priori toute maîtrise sur les dédutions qui

utiliseraient es règles. En partiulier on ne voit pas omment utiliser l'ensemble inni

de règles indiqué pour une proédure de déision.

(12)

tude,si larétro-dérivationne tenait omptedes redondanes (s'ilexiste une preuve en

aluldes séquents d'uneertaine formule, ilexiste une preuve de lamêmeformuletelle

qu'auune branhe de la preuve ne omporte la répétition d'un même séquent). Il faut

don un proédé pour les éliminer.Celui-iest analogueà elui utilisé pour donnerune

formulationdualulpropositionneldesséquentsintuitionnistenenéessitantpas letest

de redondane pour déider de la prouvabilité (voir [Dy 91℄).

On montre égalementqueette suite inniede règles est stritement roissantepour

la relation de onséquene, et on en déduit failement qu'il n'y a pas d'axiomatisation

nie de l'admissibilité.

Lasetion8enndonneune appliationimmédiatedesrésultatsdelasetion5etde

la setion 7. On dénit une logique au dessus de la logique intuitionniste dans laquelle

touteslesrègles,admissiblesen logiqueintuitionnisteainsiquedansette logiquemême,

sont dérivables.

Travaux préédents, omparaisons

Un ertain nombre de résultatsexistent sur lesrègles admissibles.

G.E.Mintsamontré,voir[Mi 72℄,qu'admissibilitéetdérivabilitéseonfondaientdans

lefragmentdelalogiqueintuitionnistesansleonneteur

ainsiquedanslefragment

sans le onneteur

.

G.E.Mints utilise un argument qui est essentiellement le même que elui donné ii

(setion 3.1), pour les formules dans le fragment

∧, →

, et en quelque sorte réduit les

autre as à elui-i.

Les prinipalesdiérenes entre [Mi 72℄etla première partiede ettethèse sont que

l'on montre que les restritions n'ont à porter que sur les prémisses de la règle

onsidérée,

lesrésultatssontétendus égalementen equionerne laformedes prémisses(par

exemple formules de Harrop),

l'argumentest isolé (2), il est utilisé uniformément,pour tous les fragments onsi-

dérésetnonpardesproédésderédution(equiestuneillustrationdesorollaires

5.5.2 et5.5.5 de ladeuxième partie).

D'autres travaux utilisent fortement la sémantique de la logique intuitionniste en

terme d'algèbres de Heyting (ou algèbres pseudo-booléeennes) omme [Ci 77, Ci78℄,

ainsi que [Ry 84, Ry 85,Ry 86℄. Lestravaux de Rybakov utilisentde plus la tradution

de la logique intuitionniste dans une logique modale adéquate (S4 oude Grzegorzyk).

A.I.Citkin donne un ensemble inni de règles admissibles indépendantes [Ci 77℄, des

aratérisationsen termesd'algèbres etdes exemplesde logiqueplus fortequelalogique

intuitionniste oùtoutes lesrègles admissibles sont dérivables [Ci77, Ci78℄.

(13)

tuitionnisteparlebiaisdelalogiqueS4[Ry 84℄,parlebiaisdelalogiquede Grzegorzyk

[Ry 86℄, résolvant ainsi un problème posé par H.Friedman(problème no 40 de [Fr75℄).

Il montre égalementqu'il n'existe pas d'axiomatisation niede l'admissibilité[Ry 85℄.

L'artile[Ro9?℄est uneversionun peuondenséeeten anglaisdessetions2et3de

laprésente thèse. Lepréprint[Ro 91℄ est une versionpréliminaire de ses deux premières

parties.

La majeure partie du présent travail aété réalisée dans l'ignorane de es résultats.

En partiulier nous redémontrons les résultats de Rybakov d'une façon omplètement

diérente.Auunusagen'estfaitiideméthodes sémantiques,hormispour desrésultats

très simples de non-prouvabilité, où l'on utilise la sémantique de Kripke qui donne un

argument onvainquant sous une forme ompate. Il pourrait d'ailleurs être interessant

de lier lesdeux approhes.

Enonlusion,onprésentedansequisuitdesméthodesquidiérentdeellesutilisées

dans les travauxantérieurs, prinipalementpar :

l'utilisationexpliiteet systématiquedes substitutionsdénies en setion 3,

l'utilisationpartiulièredualuldesséquents(formalisationdelarétro-dérivation).

Ces méthodes onduisent, d'une part, pour e qui est de la rétro-dérivation à des

preuves très diérentes de résultats existant (omme la déidabilité de l'admissibilité)

d'autrepart à des résultats qui semblent nouveaux :

lesrésultats de la première partie quiétendent eux de G.Mints;

Les résultats de aratérisation de l'admissibilité,(omplétude pour la rétro-déri-

vabilité plus la dérivabilité,aratérisation par un nombre ni de substitutions);

les aratérisations des formules ayant mêmes onséquenes admissibles et déri-

vables,

l'axiomatisationexpliite de l'admissibilité.

Remeriements

J'ai bénéié pendant la majeure partie de e travail d'une alloation de reherhe

M.R.T. Je remerie lesenseignants du DEA de Logique de ParisVII, qui ont déidé de

son attribution. Je remerie plus généralement tous lesmembres de l'équipe de Logique

qui m'ontdonné lesmoyens tantintelletuels quematérielsde mener àbien ette thèse.

Certaines remarques de Jean-Baptiste Joinet, plusieurs disussions ave Gilles Amiot

m'ont été partiulièrement utiles. Les ompétenes en traitement de texte, et autres

matièresinformatiques,deLaurentRégnier,ChristopheRaalli,VinentDanosetPasal

Manoury m'ontéonomisé beauoup de temps etde peine. Jean-Pierre Ressayre a eu la

gentillesse d'aepter d'êtred'être mon direteur de thèse en titre.Je dois beauoup à

Mihel Parigot qui aeetivementdirigé ette thèse, trop pour le détaillerii.

Je remerie les membres du jury d'avoir aepté d'en faire partie.

(14)

l'originede e travail.

(15)

Admissibilité, liens ave la dérivabilité

(16)
(17)

1.1 Notations

Nousutiliserons, pourdésigner lesformules dualulpropositionnel,lesabréviations

A → B → C

ou

A, B, → C

voire s'il n'y a pas d'ambiguïté

A, B → C

pour

A → (B → C)

.

Si

Γ = A 1 , . . . , A n

estun ensembleni de formules,nousutilisonslesnotations ambiguës

suivantes :

Γ → C

pour laformule

A 1 , . . . , A n → C

, (

C

si

Γ = ∅

);

∧Γ

pour la formule

A 1 ∧ . . . ∧ A n

(

si

Γ = ∅

);

A ∧ Γ

pour la formule

A ∧ A 1 ∧ . . . ∧ A n

(

A

si

Γ = ∅

).

Enhangeantl'ordredes

A i

,onobtientdesformulestouteséquivalentesdansleslogiques onsidérées, don l'ambiguitéde la notationne pose pas vraimentde problèmes.

Les opérateurs unaires,

¬

, lesymbole

utilisé devant un ensembleomme i-dessus

sont prioritairessur lesopérateurs binaires.

Larelationde dédutionen logique lassiqueest notée

⊢ c

,en logiqueintuitionniste

, onérit

A ≡ B

pour

A ⊢ B et B ⊢ A

.

1.2 Dénitions

On peut, de façon générale, dénir une règle admissible dans une logique

L

de la

façon suivante :

Dénition 1.2.1 Si

A 1 , . . . , A n , C

sont des formules de la logique

L

, ontenant des

méta-variables, nous dirons que

⊢ L A 1 . . . ⊢ L A n

⊢ L C

est une règle admissible dans

L

et nous noterons :

A 1 , . . . , A n ≫ C,

pour exprimer que l'ensemble des théorèmes de

L

est los par appliation de ette règle.

Dans e qui suit nous nous restreignonsà des aluls propositionnels. Nous onsidé-

rerons que les variables propositionnelles jouent le rle de méta-variables. Dans e as

partiulier, ladénition suivante est alors équivalenteà lapréédente :

Dénition 1.2.2 Nous dirons que

⊢ L A 1 . . . ⊢ L A n

⊢ L C

(18)

est une règle admissible dans

L

si et seulement si pour toute substitution

s

de formules

propositionnellesportant sur les variables propositionnelles :

si ⊢ L s(A 1 ), . . . , ⊢ L s(A n ), alors ⊢ L s(C).

L'un des buts dee qui suitest de omparer lanotionde règleadmissibleàlanotion

de règle dérivable.

Dénition 1.2.3 Nous dirons que

⊢ L A 1 . . . ⊢ L A n

⊢ L C ,

est une règle dérivabledans

L

ssi :

⊢ L A 1 , . . . , A n , → C.

La propositionsuivante est évidemmentvraie.

Proposition 1.2.4 Toute règle dérivable dans une logique ave Modus Ponens est ad-

missible.

En alul propositionnellassique, la réiproqueest vraie.

Proposition 1.2.5 En alul propositionnel lassique toute règle admissible est déri-

vable.

Preuve : par omplétude.Onpose

⊤ = A ∨ ¬A, ⊥ = A ∧ ¬A

,sies onstantes ne sont

pas prédénies. On assoie à haque valuation

v

sur 0,1 la substitution

s v

dénie sur

haque variableprositionnelle

α

par :

si

v(α) = 0

,alors

s v (α) = ⊥

;

si

v(α) = 1

,alors

s v (α) = ⊤

.

Il est immédiatque, pour toute formule

A

,

⊢ s v (A)

si etseulement si

v(A) = 1

.

Soit maintenantune règleadmissible

A 1 , . . . , A n ≫ C

.Toute substitutionquivalide les prémisses

A i

valide la onlusion. C'est en partiulier le as des substitutions

s v

, et

e pour toute valuation

v

. On ondéduit que toute valuationqui valide les

A i

valide

C

,

et donque

⊢ A 1 , . . . , A n → C

.

Dans lasuite on désignera égalementles valeurs de vérité par

et

.

Le but de e qui suit est d'étudier les rapports entre dérivabilité et admissibilité en

logique intuitionniste.

Des règles admissiblesnon dérivables apparaissent également dansd'autres logiques,

par exemple ertaines logiques modales.

(19)

Lesvariablespropositionnellessontreprésentées parleslettresminusulesde l'alpha-

bet gre. Les onneteurs sont

∨, ∧, →, ⊥

. Le onneteur

0

-aire

est une onstante

propositionnellepour l'absurde. On hoisit don de dénir

¬A

omme abréviationpour

A → ⊥

. Ce hoix n'a pas d'inuene sur les résultats qui suivent. On aurait les mêmes

résultatsave une négationprimitive,et l'absurde déni par

⊥ = A ∧ ¬A

.

Il existe en logique intuitionniste des règles admissibles non dérivables.

les exemples suivants sont bien onnus.

¬α → β ∨ γ ≫ (¬α → β) ∨ (¬α → γ)

¬α → β ∨ γ 0 (¬α → β) ∨ (¬α → γ )

.

(α → δ) → β ∨ γ ≫ ((α → δ) → β) ∨ ((α → δ) → γ) ∨ ((α → δ) → α) (α → δ) → β ∨ γ 0 ((α → δ) → β) ∨ ((α → δ) → γ) ∨ ((α → δ) → α)

.

Les preuves sont très simples.Nous lesdonnons auxparagraphes 4.3et 7.3.

Dans tout e quisuit, nous nous restreignonsau alulpropositionnelintuitionniste.

1.4 Présupposés

Nous utiliserons laversion suivantedu théorème de Glivenko.

Proposition 1.4.1 (Théorème de Glivenko) Une formule qui ommene par une

négation est démontrable intuitionnistiquement si et seulement si elle est démontrable

lassiquement.Par onséquent pour

Γ

un ensemble ni de formules :

⊢ Γ → ⊥ ssi ⊢ c Γ → ⊥ .

En eet

Γ → ⊥ ≡ ¬(∧Γ)

.

Pour lapreuve, voir par exemple [Tr vD88℄.

Nous utiliserons égalementla propriété de disjontion en logique intuitionniste :

Proposition 1.4.2 (propriété de disjontion) Soient

C

et

D

deux formules :

⊢ C ∨ D ssi ⊢ C ou ⊢ D.

Il existe diérentes méthodes qui onduisent à e résultat. L'une des plus élémentaire

est d'utiliserleslash de Kleeneoul'unede ses variantes(voirpar exemple[Tr vD88℄).

Une autre est d'utiliser l'existene d'une preuve sans oupures en alul des séquents

intuitionniste (voir par exemple [Du 77℄).

(20)

On peut remarquer que, en dehors de la règle droite de l'impliation, toutes les

règles du alul des séquents intuitionniste (formulation ave auplus une seule formule

à droite), y ompris règles struturelles et oupure, sont valides pour l'admissibilité,

i.e. en remplaçant le symbole

par le symbole

. En fait, si on interprète les

, de droite par des

, il en est de même pour les règles du alul des séquents

lassiqueexeptétoujourslarègledroitedel'impliation.Cesrèglessontd'ailleursvalides

intuitionnistiquement.Onpeutmêmeremarquerque,lesrèglesinversiblesdualuldes

séquents intuitionniste (laonjontiondes prémisses de larègle équivaut àlaonlusion

f 4.1), sont égalementinversiblespour l'admissibilité.Nousdétaillonsertainsas dans

lesparagraphes suivants.

1.5.1 Conjontion

Γ ≫ C ∧ C ssi Γ ≫ C et Γ ≫ C ; A ∧ A , Γ ≫ C ssi A, A , Γ ≫ C .

1.5.2 Aaiblissement

Si Γ ≫ C alors Γ, B ≫ C .

1.5.3 Disjontion

Γ, B ∨ B ≫ C ssi Γ, B ≫ C et Γ, B ≫ C .

Il est évident par aaiblissementque si

Γ, B ∨ B ≫ C

,alors

Γ, B ≫ C

et

Γ, B ≫ C

.

La réiproque est une onséquene de la propriété de disjontion. En eet, supposons

que

Γ, B ≫ C

et

Γ, B ≫ C

. Supposons que

s

est une substitutiontelle que pour toute formule

A

de

Γ

,

s(A)

soitprouvable ettelle que

s(B ∨ B )

soitprouvable. On en déduit

par la propriété de disjontion que

s(B)

est prouvable ou

s(B )

est prouvable. On peut

dans haun des as appliquerl'une des deux règles supposées admissibles i-dessus. On

onlutque

s(C)

est prouvable.

1.5.4 Impliation

Si Γ ≫ B → C alors Γ, B ≫ C .

(21)

existe desrègles admissiblesnon dérivables etque

≫ C

sietseulementsi

⊢ C

.On

a ependantla propriété suivante :

Γ ≫ C ssi Γ ≫ Γ → C .

1.5.5 Négation

Nous utiliserons plus loinei :

Lemme 1.5.1 Les propositions suivantes sont équivalentes:

(i)

Γ ≫ ⊥

,

(ii)

Γ ⊢ c ⊥

,

(iii)

Γ ⊢ ⊥

.

Preuve : (iii) équivaut à (ii) par le théorème de Glivenko (setion 1.4). Il est évident

que (iii)implique(i). Il nous sut don de montrer que (i)implique (ii).

Si

Γ ≫ ⊥

, il n'existe auune substitution par

ou

qui valide

Γ

, don auune

valuation lassique qui valide

Γ

. On en déduit, par omplétude de la logique lassique,

que

Γ ⊢ c ⊥

.

Conséquene : les propositions suivantes sont équivalentes:

Γ ≫ ¬C

,

Γ ⊢ c ¬C

,

Γ ⊢ ¬C

.

1.5.6 Admissibilité et substitutions

La propriété suivanteest évidente, mais utile.

Pour toute substitution

s , si Γ ≫ C alors s(Γ) ≫ s(C) .

1.5.7 Conséquenes admissibles et dérivables

Nous allons ommener par étudier plus partiulièrement les ensembles de formules

ayant lapropriété suivante :

Dénition 1.5.2 Nous dironsqu'une formule

A

(respetivementqu'un ensemble nide formules

Γ

) a mêmes onséquenes admissibles etdérivables pour exprimer que :

A ≫ C ssi A ⊢ C (respectivement Γ ≫ C ssi Γ ⊢ C) .

On peut déduirede lapropriété énonée auparagraphe 1.5.3 que:

Lemme 1.5.3 L'ensemble des formules ayant mêmes onséquenes admissibleset déri-

vables est stable par disjontions.

(22)

Il s'avère que, pour étudier l'admissibilité,on peut se limiter à une lasse restreinte

de substitutions, que nous étudions dans e paragraphe.

2.1 Notations

Les substitutions sont des appliations dénies des variables dans les formules pro-

positionnelles, etétendues naturellementaux formules propositionnelles.On note

[A 11 , . . . , A n /α n ]

lasubstitution dénie par

s(α 1 ) = A 1 , . . . , s(α n ) = A n et s(β) = β pour β 6∈ {α 1 , . . . , α n } s(C)

est alors notée

C[A 1 /α 1 , . . . , A n /α n ]

.

2.2 Dénitions

Dénition 2.2.1 Si

Γ

estun ensemble deformules nous dirons quelasubstitution

s

est

une

Γ

-identité si pour toute variable propositionnelle

α

:

Γ ⊢ α ↔ s(α) ,

ou enore, si

Γ

est ni :

Γ → α ≡ Γ → s(α).

Proposition 2.2.2

(i) La substitution

s

est une

Γ

-identité ssi pour toute formule

C

:

Γ ⊢ C ↔ s(C) ,

ou enore, si

Γ

est ni :

Γ → C ≡ Γ → s(C) .

(ii) L'ensembledes

Γ

-identités est stable par omposition.

(iii) Si

Γ

est ni,

C

une formule propositionnelleet

s

une

Γ

-identité, alors :

Γ ≫ C ssi s(Γ) ≫ s(C) .

(23)

Preuve : indution évidentesur laomplexitéde

C

pour le(i), évident pour le(ii).

Pour le (iii) un sens est évident (voir 1.5.6), voyons la réiproque. On suppose

s(Γ) ≫ s(C)

etl'on veut montrer

Γ ≫ C

. Soit don

σ

une substitution validant

Γ

, 'est àdire

telle que

⊢ ∧σ(Γ)

. Comme

s

est une

Γ

-identité, on déduit du (i) que

Γ ⊢ ∧s(Γ)

, don

σ(Γ) ⊢ ∧σ(s(Γ))

, etpar hypothèse sur

σ

on obtient

⊢ ∧σ(s(Γ))

. Or

s(Γ) ≫ s(C)

, don

par dénition de l'admissibilité

⊢ σ(s(C)) .

On utilise à nouveau le(i) qui donne

Γ ⊢ C ↔ s(C)

, don

σ(Γ) ⊢ σ(C) ↔ σ(s(C))

.

On utilisel'hypothèsesur

σ

etlepréédentrésultatpour onlureque

⊢ σ(C)

,e quiest

le résultatherhé.

Dénition 2.2.3 Si

Γ

est un ensemble de formules, nous dirons qu'une substitution

s

est

Γ

-validante si pour toute formule

C

de

Γ

la formule

s(C)

est démontrable.

Nous dirons une

Γ

-identité validante pour une

Γ

-identité

Γ

-validante.

Nous dirons que

Γ

a la propriété de disjontion pour l'admissibilité, quand pour toutes formules

C

et

D

,

si Γ ≫ C ∨ D alors Γ ⊢ C ou Γ ⊢ D .

Ces dénitions sont introduites àause du résultatsuivant :

Lemme 2.2.4 Soit

Γ

un ensemble ni de formules.

(i) S'il existe une

Γ

-identité validante, alors

Γ

a la propriété de disjontion pour

l'admissibilité.

(ii) Si

Γ

a la propriété de disjontion pour l'admissibilité, alors

Γ

a mêmes onsé-

quenes admissibles et dérivables.

Preuve ((i)) : soit

s

la

Γ

-identité validante onsidérée,de :

Γ ≫ C ∨ D et ⊢ ∧s(Γ) ,

ondéduit par dénition de l'admissibilitéque :

⊢ s(C) ∨ s(D) ,

et par lapropriété de disjontion:

⊢ s(C) ou ⊢ s(D) .

En aaiblissanton obtient :

⊢ Γ → s(C) ou ⊢ Γ → s(D) ,

et par dénition d'une

Γ

-identité on adon :

⊢ Γ → C ou ⊢ Γ → D ,

'est à dire :

Γ ⊢ C ou Γ ⊢ D .

(24)

Preuve ((ii)) : si

Γ ≫ C

, alors

Γ ≫ C ∨ C

, don

Γ ⊢ C

ou

Γ ⊢ C

.

Nous montrerons la réiproquedu (i)au paragraphe5 .

Le orollaire suivant ne sera pas utilisé dans la suite. Il explique ependant d'une

ertaine façon par exemple le fait que l'on retrouve au paragraphe 3.4 les formules de

Harrop.

Corollaire 2.2.5 Si

Γ

a la propriété de disjontion pour l'admissibilité, en partiulier s'il existe une

Γ

-identité validante, alors

Γ

a la propriété de disjontion, i.e.

si Γ ⊢ C ∨ D alors Γ ⊢ C ou Γ ⊢ D.

Preuve : si

Γ ⊢ C ∨ D

, alors

Γ ≫ C ∨ D

, d'où lerésultat.

Remarquons que la réiproque est fausse. Ainsi la formule

¬α → (β ∨ γ)

n'a pas la

propriété de disjontion pour l'admissibilité, mais on peut failement vérier qu'elle a

la propriété de disjontion. En eet une preuve en alul des séquents (voir 4.1) d'un

séquent

¬α → (β ∨ γ) ⊢ (C ∨ D)

ne peut seterminer que par une règle droitesur le

.

En eet

(¬α → (β ∨ γ)) ⊢ ¬α

,qui équivaut à

⊢ ¬α

, n'est pas prouvable.

Donnons une première appliationde e qui préède.

2.3 Un exemple simple

Si

α

estune variablepropositionnelle,alors

[⊤/α]

est une

α

-identitévalidante,

[⊥/α]

est une

¬α

-identité validante, et don

α

et

¬α

ont la propriété de disjontion pour

l'admissibilité.

Engénéralisant

[⊤/α 1 , . . . , ⊤/α n , ⊥/β 1 , . . . , ⊥/β p ]

est une

{α 1 ∧ . . . ∧ α n ∧ ¬β 1 ∧ . . . ∧

¬β p }

-identité. On en déduit par le lemme 1.5.3 que les formules onstruites ave

∧, ∨

sur desvariablesetdesvariablesniées ontmêmesonséquenesadmissiblesetdérivables

(sur e fragment lesformes normales onjontives etdisjontivesexistent).

Remarquons que, omme une onjontion de formules niées (ommençant par

¬

)

est une formuleniée, ilsut pour généraliser lerésultat àtout le fragment

∧, ∨, ¬

, de

trouverpourtouteformule

A

,toutesvariables

α i

,une

{¬A, α 1 , . . . , α n }

-identitévalidante.

Ilsut pourela detrouverune

¬A[⊤/α 1 , . . . , ⊤/α n ]

-identitévalidante,quel'onpourra

prolonger.. Finalement,il sut don, pour généraliser lerésultat aufragment

∧, ∨, ¬

,

de trouver pour toute formule

A

une

¬A

-identité validante.

Cei sera faitdans la suite.

On va, dans la setion suivante, utiliser les substitutions introduites pour donner

des aratérisations d'ensembles de formules ayant mêmes onséquenes admissibles et

dérivables.

(25)

pales étapes de ladémonstrationde omplétudepour larétro-dérivation est lasuivante.

On onstruit une

Γ

-identité validante pour un ensemble

Γ

de formules los sous une

propriété desaturation partiulière,quiesten l'ourene unerestrition delapropriété

de disjontion pour l'admissibilité sur un ensemble ni.

(26)

Le premierrésultat est un as partiulier du suivant mais sa preuve est partiulière-

mentsimple.

3.1 Le fragment

∧, →

Lemme 3.1.1 Soient

Γ

un ensemble ni de formules,

V ar Γ

l'ensemble des variables

propositionnellesapparaissantdanslesformulesde

Γ

,

s

lasubstitution,identitéendehors de

V ar Γ

, dénie pour

α

dans

V ar Γ

par :

s(α) = Γ → α pour α dans V ar Γ ,

alors

(i) pour toute formule

C

dans le fragment

V ar Γ , ∧, →

:

s(C) ≡ Γ → C ,

(ii)

s

est une

Γ

-identité, don pour toute formule

C

(sans restritions)

Γ → s(C) ≡ Γ → C .

Preuve ((i)) : par indution sur la struture de

C

.

Le résultatvient de la dénition pour les variablespropositionnelles.

Pour lespas d'indution on utiliseles équivalenessuivantes :

(⊤ → ⊤) : (Γ → A) → (Γ → B) ≡ Γ → (A → B) ; (⊤ ∧ ⊤) : (Γ → A) ∧ (Γ → B) ≡ Γ → (A ∧ B) ;

qui semontrentsans diulté.

Preuve ((ii)) : ladénition 2.2.1 est évidemment satisfaite :

Γ → Γ → α ≡ Γ → α .

Proposition 3.1.2

Si

Γ

est unensemble ni deformules danslefragment

∧, →

,alorslasubstitution

s

dénie au lemmei-dessus est une

Γ

-identité validante.

Les formules du fragment

∧, →

ont la propriété de disjontion pour l'admissibi- lité.

Les formules du fragment

∧, →

et les disjontions de telles formules ontmêmes onséquenes admissibleset dérivables.

(27)

lause.On saitque que

s

est une

Γ

-identitéd'après lelemme3.1.1 (ii).Du(i) ondéduit

que pour toute formule

A

de

Γ

:

s(A) ≡ Γ → A ≡ ⊤ ,

don

s

valide bien

Γ

.

3.2 Le fragment

∧, →, ⊥

ou

∧, →, ¬

Lemme 3.2.1 Soient

Γ

un ensemble ni de formules,

V ar Γ

l'ensemble des variables

propositionnellesapparaissant dans

Γ

.

Soient

v

une valuationlassique surle fragment engendrépar

V ar Γ

et

s v

lasubstitution, identité en dehors de

V ar Γ

, et dénie pour

α

dans

V ar Γ

par :

Si v(α) = ⊤ alors s v (α) = Γ → α ,

Si v(α) = ⊥ alors s v (α) = ¬¬Γ ∧ (Γ → α) .

Alors

(i) pour toute formule

C

dans le fragment

V ar Γ , ∧, →, ⊥

:

Si v(C) = ⊤ alors s v (C) ≡ Γ → C ,

Si v(C) = ⊥ alors s v (C) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .

(ii)

s v

est une

Γ

-identité , don pour toute formule

C

(sans restritions)

Γ → s v (C) ≡ Γ → C .

Preuve ((i)) : par indution sur la struture de

C

.

Lerésultatvientdeladénitionpourlesvariablespropositionnelles.Pour

onremarque

que :

¬¬Γ ∧ (Γ → ⊥) ≡ ⊥ .

Pour lespas d'indution onutilise, outreles équivalenes

(⊤ → ⊤)

et

(⊤ ∧ ⊤)

énonées

en setion 3.1, les équivalenessuivantes :

(⊥ → ⊤) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] → (Γ → B) ≡ Γ → (A → B ) ;

(⊥ → ⊥) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] → [¬¬Γ ∧ (Γ → B)] ≡ Γ → (A → B) ; (⊤ → ⊥) : (Γ → A) → [¬¬Γ ∧ (Γ → B)] ≡ ¬¬Γ ∧ [Γ → (A → B)] ; (⊥ ∧ ⊤) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] ∧ (Γ → B) ≡ ¬¬Γ ∧ [Γ → (A ∧ B)] ;

(⊥ ∧ ⊥) : [¬¬Γ ∧ (Γ → A)] ∧ [¬¬Γ ∧ (Γ → B)] ≡ ¬¬Γ ∧ [Γ → (A ∧ B )] .

Ces équivalenes se prouvent sans diultés. Remarquons que seule la troisième (as

(⊤ → ⊥)

) utilise de façon indispensable l'absurdité intuitionnistean de montrer :

(Γ → A) → ¬¬Γ ≡ ¬¬Γ .

(28)

Voyons un pas d'indution.Supposons que

C = A → B

et

v(C) = ⊥

. Cela entraine que

v(A) = ⊤

et

v(B) = ⊥

. On en déduitpar hypothèse d'indution que

s v (A) ≡ Γ → A et s v (B) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → B) .

On utilise l'équivalene

(⊤ → ⊥)

qui permetde onlure que

s v (C) = s v (A → B ) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → (A → B)) = ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .

Preuve ((ii)) : l'équivaleneestune égalitépour lesvariablespropositionnelleshors de

V ar Γ

et pour

.

Ellese vérie failement pour lesvariables

α

de

V ar Γ

telles que

v(α) = ⊤

.

Pour lesvariables

α

de

V ar Γ

telles que

v (α) = ⊥

, onremarque que:

Γ → s v (α) = Γ → [¬¬Γ ∧ (Γ → α)] ≡ Γ → α .

Proposition 3.2.2

(i) Supposons que

Γ

soit un ensemble ni de formules dans le fragment

∧, →, ⊥

tel qu'il existe une valuation lassique

v

vériant

v(∧Γ) = ⊤

, alors la substitution assoiée

s v

dénie au lemme 3.2.1 est une

Γ

-identité validante.

(ii) Lesformulesdufragment

∧, →, ⊥

ontlapropriétédedisjontionpourl'admissi-

bilité.

(iii) Les formules du fragment "

∧, →, ⊥

" et les disjontions de telles formules ont mêmes onséquenes admissibleset dérivables.

Preuve ((i)) : on sait que, pour toute valuation lassique

v

onvenable,

s v

est une

Γ

-

identité d'après le (ii) du lemme 3.2.1. la valuationpartiulière onsidérée

v

vérie que

v(∧Γ) = ⊤

,et don pourtoute formule

A

de

Γ

,

v(A) = ⊤

.On déduitde eietdu (i)du

lemme 3.2.1 que

s v (A) ≡ Γ → A ≡ ⊤ ,

don

s v

est bien une substitution

Γ

-validante.

Preuve ((ii)) : dans le as où il existe une valuation lassique validant

Γ

, 'est une

onséquene du (i).

Dans leas oùil n'en existe auune, d'après lelemme 1.5.1 :

Γ ⊢ ⊥ ,

et donpour toute formule

C

:

Γ ⊢ C et Γ ≫ C .

(29)

Mintsdans[Mi 72℄démontrele(iii)delapropositionpréédentedansleaspartiulier

où la formule onlusion de la règle admissible est aussi dans le fragment

∧, →, ⊥

. Le

(i)du lemme3.2.1 sut alors pour onlure.

On peutremarquerquetouteformulequiommenepar unenégationestéquivalente

à une formuledans le fragment

∧, →, ⊥

. Cei se montre par indution en utilisant les

équivalenes suivantes :

¬A ≡ ¬¬¬A ;

¬¬(A → B) ≡ ¬¬A → ¬¬B ;

¬¬(A ∧ B) ≡ ¬¬A ∧ ¬¬B ;

¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B .

On déduit don de e quipréède leorollairesuivant.

Corollaire 3.2.3 Sous les hypothèses du lemme3.2.1 la onlusion se généralise à une

formule

C

qui ommene par une négation i.e.

Si v(C) = ⊤ alors s v (C) ≡ Γ → C ,

Si v(C) = ⊥ alors s v (C) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .

3.3 Le fragment

∧, ∨, ¬

Ononsidère,uniquementdanseparagraphedontnousn'utiliseronspaslesrésultats

dans lasuite, que le

¬

est primitif.

Lesonlusions de laproposition3.2.2 sontégalementvalides pour lesformulesom-

mençant par une négation. Cei permet don de montrer (voir2.3), queles formules du

fragment

∧, ∨, ¬

ont mêmes onséquenes admissibles et dérivables. Cependant ette méthode n'estpastrèssatisfaisantepuisquela

Γ

-identité validanteemployéeomportele

onneteur

. On aimerait une

Γ

-identité validante qui n'utiliseque des formules dans

lemême fragment,la négationétant onsidéréeomme primitive.Cei est possible pour

les formules niées. En eet, quand on remplae une sous-formule propre d'une formule

niée, par une formule quilui est lassiquement équivalente, on obtient une formuleniée

intuitionnistiquementéquivalente('estuneonséqueneduthéorème deGlivenko).Or:

Γ → α ≡ c ¬Γ ∨ α

¬¬Γ ∧ (Γ → α) ≡ c Γ ∧ α .

On a don le lemme suivant, que l'on peut d'ailleurs montrer diretement sans grande

diulté.

(30)

Lemme 3.3.1 Soient

Γ

un ensemble ni de formules,

V ar Γ

l'ensemble des variables

propositionnellesapparaissant dans

Γ

.

Soient

v

une valuationlassique surle fragment engendrépar

V ar Γ

et

s v

lasubstitution, identité en dehors de

V ar Γ

, et dénie pour

α

dans

V ar Γ

par :

Si v(α) = ⊤ alors s v (α) = ¬¬(¬Γ ∨ α) ,

Si v(α) = ⊥ alors s v (α) = Γ ∧ α .

Alors

(i) pour toute onjontion

C

de variables propositionnelleset de formules niées :

Si v(C) = ⊤ alors s v (C) ≡ ¬¬(¬Γ ∨ C) ,

Si v(C) = ⊥ alors s v (C) ≡ Γ ∧ C .

(ii)

s v

est une

Γ

-identité , en partiulier pour toute formule

C

(sansrestritions)

Γ ⊢ s v (C) ↔ C .

(iii) Si

Γ

est un ensemble ni non ontraditoire de formules niées et de variables propositionnelles, et

v

est une valuation lassique validant

Γ

, lasubstitution

s v

est

une

Γ

-identité validante.

Remarque:dansleaspartiulierenvisagé auparagraphe2.3,onretrouve,àéquivalene

près, les substitutionsindiquées alors.

Proposition 3.3.2

Si

Γ

est un ensemble ni non ontraditoire de formules niées et de variables pro- positionnelles, et

v

est une valuationlassique validant

Γ

, lasubstitution

s v

dénie

i-dessus est une

Γ

-identité validante.

Les onjontionsdevariablespropositionnellesetde formulesniéesontlapropriété

de disjontion pour l'admissibilité.

Lesformules dufragment"

∧, ∨, ¬

"sontéquivalentesàdesdisjontionsdeonjon- tions de variables propositionnelles et de formules niées. Elles ont mêmes onsé-

quenes admissibles et dérivables.

Mints([Mi72℄)montrele(iii)delapropositiondansleaspartiulieroùlaonlusion

de la règle est dans le mêmefragment. Danse as le (i)du lemme préédent sut.

Nous allons maintenant donner des lasses de formules plus générales, dont les on-

séquenes admissibles sontles onséquenes dérivables.

3.4 Formules de Harrop

LesformulesdeHarrop(Rasiowa-Harrop)ontétéintroduitesparequ'ellespossèdent

lapropriété de disjontionetont une aratérisationsyntaxiquesimple. Nousrappelons

leur dénition, dans le ontexte restreint quiest lentre du alulpropositionnel.

(31)

ontiennent pas de disjontion en position stritement positive. On peut dénir induti-

vement l'ensemble H des formules de Harrop de la façon suivante :

pour toute formule atomique

α

(variablepropositionnelle ou

)

α ∈

H;

si

A

est une formule quelonque, si

B ∈

H, alors

A → B ∈

H;

si

A ∈

H, si

B ∈

H, alors

A ∧ B ∈

H.

Par exemple

A 1 → . . . → A n → α

est une formulede Harrop.

Dénition 3.4.2 les formules

A 1 → . . . → A n → α ,

α

est atomique (soit

, soit une variable propositionnelle), sont appelées formules de Harrop primitives.

Lemme 3.4.3 TouteformuledeHarropestéquivalenteàunedeonjontiondeformules

de Harrop primitives.

Preuve : parindutionsur ladénitionde H.Onutilisepour lepas d'indutionl'équi-

valene :

A → (B ∧ C) ≡ (A → B) ∧ (A → C) .

Nous allons utiliser la substitution

s v

dénie auparagraphe 3.2. Le lemme suivant

permet d'étendre les résultatsdu lemme 3.2.1.

Lemme 3.4.4 Sous leshypothèses du lemme3.2.1,laonlusion (i)de e mêmelemme

s'étend aux formules de Harrop, i.e. pour toute formule de Harrop

C

:

Si v(C) = ⊤ alors s v (C) ≡ Γ → C ,

Si v(C) = ⊥ alors s v (C) ≡ ¬¬Γ ∧ (Γ → C) .

Preuve : d'aprèslelemme3.4.3,onpeut selimiterà

C

uneonjontion deformulesde

Harrop primitives, eten appliquant les équivalenes

(⊤ ∧ ⊤)

de la setion 3.1,

(⊤ ∧ ⊥)

et

(⊥ ∧ ⊥)

de la setion 3.2, on peut se limiter à

C

une formule primitive de Harrop.

Posons don:

C = ∆ → α

α

est atomique et

∆ = {B 1 , . . . , B n }

.

-Supposons tout d'abord que

v(α) = ⊤

, et don

v(C) = ⊤

.

s v (α) = Γ → α ,

don :

s v (C) = s v (∆ → α)

≡ s v (∆) → Γ → α

≡ Γ → s v (∆) → α ,

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