Dénition des rétro-dérivations

Les rétro-dérivations seront dénies omme des sous-arbres de l'arbre de toutes les

preuvespossiblesd'unséquent.Cedernierestlairementunarbreinni,saufàsedonner

des restritions sur les preuves possibles, omme par exemple elles sans redondanes.

Donnons une dénition informelle de et arbre.

Ses n÷udssont étiquetés par :

des séquents

Γ ⊢ C

^,

des séquents omportantune unique formulepointée

Γ, A

^.

⊢ C

^{, ditséquents pointés (le}

point désignela formuleprinipale d'une règle de onlusion e séquent).

L'arbre des preuvespossiblesd'un séquent

S

^{est l'arbremaximal de raine étiquetée}

par

S

^{, et tel que haque n÷ud de et arbre orresponde à l'une des règles énonées}

i-après.Ces règlessont de deux sortes :

famille de règles à nombre ni quelonque de prémisses, et sont notées par une

barre horizontale disontinue;

des règles onjontives orrespondant aux n÷uds de hauteur impaire, qui sont

les règles non-axiomes du alul des séquents donné i-dessus, mais restreintes

auxformulespointées, etsontnotées ommed'habitude par une barrehorizontale

ontinue;

deux règles supplémentaires qui signient en quelque sorte qu'il n'ya pas de règle

onjontive dontlaformuleprinipaleest un atome(variableou

⊥

^{).On aurait pu}

plusnaturellementnepas pointerlesatomes,equiestéquivalent,maisomplique

l'énoné des règles disjontives. D'autre part es deux dernières règles

n'intervien-drons pas dans la restrition utile pour l'étude de l'admissibilité.

Règles disjontives :

A

^.

₁ ,

^...

, A n ⊢ C

^...

A 1 ,

^...

, A

^.

_i ,

^...

, A n ⊢ C

^...

A 1 ,

^...

, A

^.

_n ⊢ C

^...

A 1 ,

^...

, A n ⊢ C

^.

...

A 1 ,

^...

, A n ⊢ C

Règles onjontives :

règles gauhe droite

→

Γ, (A → B) ⊢ A Γ, B, A → B ⊢ C Γ, (A → B)

^.

⊢ C

Γ, A ⊢ B Γ ⊢ (A → B)

^.

∧

Γ, A, B, A ∧ B ⊢ C Γ, (A ∧ B)

^.

⊢ C

Γ ⊢ A Γ ⊢ B Γ ⊢ (A ∧ B)

^.

∨

Γ, A, A ∨ B ⊢ C Γ, B, A ∨ B ⊢ C Γ, (A ∨ B)

^.

⊢ C

Γ ⊢ A Γ ⊢ (A ∨ B)

^.

Γ ⊢ B Γ ⊢ (A ∨ B)

^.

Règles atomes: (

α

^atome)

⊢ ⊥ α

^.

, Γ ⊢ C

⊢ ⊥ Γ ⊢ α

^.

Il est lairqu'un séquent ouséquent pointédonné ne peut être onlusion que d'une

seuleinstane de règle, unerègle disjontive si'estun séquent usuel,une règle

onjon-tivesi'est un séquent pointé. L'arbredes preuvespossiblesest donentièrement

déter-miné par son séquent raine.

Nousn'aurons ependantàtraiterquedesous-arbres ompletsnis dees arbresdes

ont autant de ls quel'arbre d'origineoun'en ontauun).

Appellonsarbrestronquésdespreuvespossiblesde

S

^lessous-arbresompletsnisde raine

S

^{del'arbredespreuvespossiblesde}

S

^{etdonttouteslesfeuillessont desséquents}

non pointés, et dénissons formellement eux-i, ainsi que quelques notions utiles s'y

rapportant.

Dénition 4.4.4 L'ensemble des arbres tronqués de preuves possibles est le plus petit

ensemble ontenant les séquents et los par les règles de formation préédentes.

On appelle sous-dérivation d'un arbre tronqué des preuves possibles d'un séquent un

sous-arbre deelui-ide raineidentique,tel quehaque n÷uddisjontifpossèdeun seul

ls et haque n÷ud onjontif est omplet.

On dira que labranhe d'unarbre tronqué de preuves possibles est redondante si elle

possèdedeuxourrenes nonpointées d'unmêmeséquent.Uneredondanedésigneette

répétition.

Un arbre tronqué de preuves possiblesest dit non-redondant quand il ne possède pas

de redondanes autre que sur un séquent feuille.

Aune sous-dérivationorrespond trivialementun arbrede preuvetronquédans lealul

des séquents, un arbre de preuve si toutes les feuilles de la rétro-dérivation sont des

axiomes.

Ilestlairquel'arbredespreuvespossiblesestunenotionplusoumoinsexpliitemais

entrale dans les preuves de omplétude par la méthode des tableaux, que e soit pour

la sémantique de Kripke ou de Beth (voir [Be 65, Be Ma 1977℄ ...). L'arboresene des

modèlesde Kripke oudeBeth orrespond alorsà l'arboresene des sous-arbresobtenus

de façon duale vis à vis des sous-dérivations (un seul ls pour les n÷uds onjontifs,

ompletspour lesn÷uds disjontifs).

On aurait pu faire un autre hoix pour les règles disjontives que le ntre qui est

simple maistrès brutal.Unerègle disjontiveest orrete quand son séquent onlusion

est prouvable si et seulement s'il est prouvable par une règle portant sur une formule

pointée de l'une des prémisses. On pourrait tirer partie de l'inversibilité de ertaines

règles, e qui est fait usuellement dans les méthodes des tableaux(voir[Be 65℄).

Venons en maintenant auas partiulierutile pour traiter de l'admissibilité.

Dénition 4.4.5 Une rétro-dérivation de onlusion un séquent (non pointé)

S

^{est la}

donnée

d'unarbretronquédespreuvespossiblesde

S

^{telqu'auunerèglen'apouronlusion}

un séquent ontenant une variablepropositionnelle,

d'un marquage des séquents feuilles de et arbre tel que seules des feuilles

orres-pondant à des redondanes soient marquées. On dira que es séquents sont barrés,

et on les notera entre rohets

[[Γ ⊢ C]]

^.

qui est don dénie uniquement par l'arbre tronqué de preuves assoiée.

La sous-dérivationd'une rétro-dérivationest ladonnée d'unesous-dérivationde

l'ar-bre tronqué des preuves possibles assoié plus la restrition du marquage des séquents

feuilles à elle-i.

Larétro-dérivationsimpleassoiéeàunerétro-dérivationestelleobtenueenoubliant

les marques sur les séquents feuilles.

On n'imposenique l'arbretronquédes preuvespossiblesassoiésoitnon-redondant,

niquetouteslesfeuillesorrespondantàdes redondanessoientbarrées. Onveut eneet

quelanotionde rétro-dérivationsoitstableparsubstitution.Cen'estpas leas sitoutes

les feuiles redondantes doivent être barrées. On veut également que ette notion soit

stable par omposition (remplaer une feuille non barrée de rétro-dérivation par une

rétro-dérivation).Orla omposition ajouteéventuellement des redondanes internes.

L'arbreassoiéàunerétro-dérivationestdehauteurnéessairementpaire.Onparlera

d'un pas ou d'une étape de rétro-dérivation pour un sous-arbre omplet de la

rétro-dérivation onsidérée, de hauteur

2

^{, de onlusion un séquent non pointé. A ause des}

séquents barrés qui tiennent ompte des redondanes il n'est en général pas possible

de déomposer une rétro-dérivation non simple en sous-arbres ave feuilles barrées, qui

soientdes rétro-dérivations(onne pourraéventuellementplusbarrerlesséquentsfeuilles

barrés originellement).

On onstate qu'ave la restrition imposée, les règles atomes ne peuvent intervenir

dans une rétro-dérivation. Cei est naturel pour traiter de l'admissibilité, puisque es

règles ne sont pas stables par substitution sur les variablespropositionnelles.

Lemme 4.4.6 La notion de rétro-dérivation est stable par substitution, 'est à dire que

ssi l'onapplique uniformémentla même substitution

s

^{aux formules de tous les séquents}

d'une rétro-dérivation de onlusion

S

^{, on obtient une} rétro-dérivation de onlusion

s(S)

^.

Preuve : la restrition adoptée pour les rétro-dérivations impose qu'auune règle n'a

pour onlusion un séquent ontenant une variablepropositionnelle.

Toutes lesrèglesd'unarbretronqué depreuvespossiblesrestentvalidesaprès

substi-tutionsauf lesrègles atomes.Sil'une de es deux dernières étaitprésente, 'est quel'on

aurait un séquent ontenant une variable pointée, 'est à dire qu'une règle disjontive

aurait pour onlusion un séquent ontenant une variable. Cela ontredit la dénition

d'une rétro-dérivation. Les redondanes restent valides après substitution.

Danslapratique,onhoisiraleplussouventde nepas érirelesétiquettesdes n÷uds

disjontifs (séquentspointés),ommeela aété faitdans leparagraphe,4.3. Onhoisira

égalementde ne pas érireles sous-dérivationsontenant des séquents redondants.

de même struture que ette rétro-dérivation :

ses feuillessontétiquetées par lesmêmesséquents, s'ilne sontpas barrés,par leséquent

⊢ ⊥

^{sie sont des séquents barrés;}

ses n÷uds non terminaux d'étiquette un séquent pointé, et orrespondant don à une

règle onjontive, sont étiquetéspar

∧

^;

ses n÷uds non terminaux d'étiquette un séquent non pointé, et orrespondant don à

une règle disjontive,sont étiquetés par

∨

^.

On peut proéder plus formellement:

Dénition 4.4.7 La ondition assoiée à une rétro-dérivation se dénit par indution

de la façon suivante:

(i) la ondition assoiée au séquent

Γ ⊢ C

^{est le même séquent}

Γ ⊢ C

^{, la ondition}

assoiée au séquent barré

[[Γ ⊢ C]]

^{est le séquent}

⊢ ⊥

^;

(ii) si la rétro-dérivation

RD

^{est obtenue par règle onjontive unaire, ou par règle}

axiome, à partir de la rétro-dérivation

RD

^{', la ondition assoiée à}

RD

^{est la}

ondition assoiée à

RD

^';

(iii) si la rétro-dérivation

RD

^{est obtenue par règle onjontive binaire à partir des}

rétro-dérivations

RD 1

^et

RD 2

^{de onditionsassoiées}

C ₁

^et

C ₂

^{, alors laondition}

assoiée à

RD

^est

C 1 ∧ C 2

^;

(iv) silarétro-dérivation

RD

^{estobtenue par règledisjontive}

n

^{-aireàpartir des}

rétro-dérivations

RD 1 , . . . , RD n

^{de onditions assoiées}

C ₁ , . . . , C n

^{, alors la ondition}

assoiée à

RD

^est

C 1 ∨ . . . ∨ C n

^.

On vérie par une indution immédiate que rétro-dérivation et arbre syntaxique de sa

ondition assoiée sontbien les mêmes,auhangement d'étiquettes des n÷uds intérieur

et des séquents barrés près. Le lemmesuivant devient alors évident.

Lemme 4.4.8 A haque sous-dérivation d'une rétro-dérivation orrespond exatement

une et une seule onjontion de la forme normale disjontive de la ondition assoiée,

qui est laonjontion des feuilles de la sous-dérivation.

Dénition 4.4.9 On dit que le séquent

S

^se rétro-dérive en la ondition

C

^{si et}

seule-ment s'il existeune rétro-dérivation de onlusion leséquent

S

^{, assoiéàlaondition}

C

^.

On note

S rd C

^.

On dit quelaondition

D

^se rétro-dérive en laondition

D ^′

^{sietseulement s'ilexiste}

un séquent

S

^{qui se} rétro-dérive enlaondition

C

^{tel que}

D ^′ = D[C /S]

^{(on substitue une}

seule ourrene). On note

D rd D ^′

^.

On dit que le séquent

S

^se rétro-dérive simplement en la ondition

C

^{si la}

rétro-dérivation en jeu est simple.

Lemme 4.4.10 Soient

C

^et

D

^{deux onditions telles que}

D rd C

^{, alors}

C ^→ ⊢ D ^→

^{, et}

D ^→ ≫ C ^→

^.

Preuve : par une réurrene immédiate on seramèneau as

S rd C

^.

- On montre

C ^→ ⊢ S ^→

^{par indution sur la struture des} rétro-dérivation. L'indution se ramèneà vérier la orretion des règles onjontives etaxiomes.

- On montre maintenant que

D ^→ ≫ C ^→

^{. On montre tout d'abord le résultat pour une}

rétrodérivation simple.

On montre que, pour toute substitution

s

^{, pour toute} rétro-dérivation simple

RD

de

S

^{, toute preuve de}

s(S)

^{est le} prolongement d'une sous-dérivation de

s( RD )

^{. On}

proède par indution sur lahauteur des sous arbres omplets de larétro-dérivation de

S

^{, de raine un séquent non pointé. On assoie à haun de es} sous-arbres une rétro-dérivationssimple (en ne barrant auunséquent).

Soit un tel arbre de raine

T

^{. Larègle appliquéeà}

T

^est néessairement disjontive.

Tous lessous-arbres obtenussontdehauteur aumoins2,puisquelesséquentspointés ne

sont pas des rétro-dérivations. On applique l'hypothèse d'indution à haun des

sous-arbresdeonlusionlesséquentsdeniveau

2

^{dansl'arbre,donnonpointés.Cesséquents}

non pointés énumèrent toutes les règles du alul des séquents qui peuvent s'appliquer

à

T

^{, et don à n'importe quel substitué de}

T

^{. En eet omme}

T

^{ne ontient auune}

variablepropositionnelle,tous lesonneteurs prinipauxdes formules d'unsubstitué de

T

^{sont eux des formules de}

T

^.

Maintenant,montrons lerésultat pour une rétro-dérivation

RD

^quelonque.

Silapreuvede

s(S)

^{estnonredondante(sansrépétitiondeséquentssurunebranhe),}

le résultat préédent, qui est vrai pour la rétro-dérivation simple assoiée à n'importe

quelle rétro-dérivation

RD

^{, est enore vrai pour ette} rétro-dérivation

RD

^{, dans}

la-quelle n'ont été barréesque des ourrenes de séquents redondantes, don non dans la

sous-dérivation

S

^onsidérée.

Puisque les séquents barrés sont traduits par l'absurde dans la ondition

C

^assoiée

à

RD

^{, elle-i est} équivalente à la disjontion des onjontions des feuilles des sous-dérivationsne ontenant pas lesséquents barrés(

A ∧ ⊥ ≡ ⊥

^,

A ∨ ⊥ ≡ A

^{).On en déduit}

par dénition de l'admissibilitéque

S ^→ ≫ C ^→

^.

Dénition 4.4.11 Un séquent est dit maximal, s'il ontient une variable

proposition-nelle à gauhe ou à droite, on dira alors maximal gauhe et maximal droit, ou si 'est

le séquent

⊢ ⊥

^.

Une ondition est dite maximale si elle n'est omposée que de séquents maximaux.

Une rétro-dérivation est dite maximale si sa ondition assoiée est maximale.

Lemme 4.4.12 Toutséquentpossèdeune rétro-dérivation nonredondanteet maximale.

sous-formulesest ni),un séquentaunnombreniderétro-dérivationsnonredondantes,

et donl'une d'entre elleest maximale.

Remarque : ette rétro-dérivation maximale est lairement unique (ela n'intervient

pas dans la suite).

Dans le document UiveiéAR
SV

ThèedeD a Sé ia (Page 43-49)