4.2 Les solutions analytiques de l’équation de Schrödinger non-linéaire
4.2.1 Les solitons sur fond continu
Afin de mettre l’accent sur l’universalité de ces solutions, on peut d’abord récrire l’équation de Schrödinger non-linéaire sous sa forme adimensionelle donnée par l’Eq. (4.18).
i∂ψ ∂ξ + 1 2 ∂2ψ ∂τ2 + |ψ| 2 ψ = 0 (4.18)
Sous cette forme, l’Eq. (4.18) peut être reliée à l’ESNL standard vue précédemment selon un changement de variable dimensionnel. Ainsi, on retrouve le temps T = τT0 (en
seconde), où l’échelle de temps est T0 = (|β2| LN L)1/2, la distance z = ξLN L (exprimée en
m) et une enveloppe du champ E =√P0ψ (en W1/2).
Dans le cas d’une non-linéarité autofocalisante, Dysthe et Trulsen montrèrent que l’équation admettait une solution générale décrivant un Soliton sur un Fond Continu (SFC) [271]. Cette solution, adaptée en utilisant le formalisme utilisé pour les breathers d’Akhmediev dans la parie 4.1, est donnée par l’Eq. (4.19) et valide pour 0 < a < ∞.
ψ(ξ, τ) = eiξ
"
(1 − 4a) cosh(bξ) + ib sinh(bξ) +√2a cos(ωτ) √ 2a cos(ωτ) − cosh(bξ) # (4.19) = eiξ "
1 + 2(1 − 2a) cosh(bξ) + ib sinh(bξ)√ 2a cos(ωτ) − cosh(bξ)
#
(4.20) Par factorisation, on peut aisément obtenir l’Eq. (4.20) montrant de manière très claire la présence d’une structure périodique et localisée sur une onde plane continue et non nulle.
Dans le cas où 0 < a < 0.5, on retrouve bien évidemment l’expression du breather d’Akhmediev donnée dans sa forme adimensionelle où le gain de l’instabilité b tout comme la pulsation propre de la modulation ω sont réels :
b = q8a(1 − 2a) (4.21)
ω = 2√1 − 2a (4.22)
En revanche, lorsque la fréquence de modulation normalisée est fixée telle que 0.5 <
a < ∞, les paramètres b et ω deviennent alors imaginaires purs et on peut réécrire les
Eqs. (4.21)-(4.22) en termes d’arguments réels :
b = iq8a(2a − 1) = iB (4.23)
ω = i2√2a − 1 = iΩ (4.24)
Ainsi, en remplaçant (4.23-4.24) dans (4.20), on obtient une expression dont les argu- ments des fonctions trigonométriques périodiques et hyperboliques sont inversés :
ψ(ξ, τ) = eiξ
"
1 + 2(1 − 2a) cos(Bξ) + iB sin(Bξ)√ 2a cosh(Ωτ) − cos(Bξ)
#
(4.25) Dans ce cas, l’Eq. (4.25) correspond en fait à la solution analytique exacte décrite pour la première fois par Kuznetsov en 1977 [265] puis généralisée par Ma en 1979 [267].
Comme suggéré plus récemment dans la littérature [272], nous nous référerons dans la suite de ce manuscrit au terme de Soliton de Kuznetsov-Ma (KM) pour décrire cette solution.
Un autre cas spécifique est obtenu pour la limite entre le régime de breather d’Akh- mediev et celui du soliton de KM lorsque a → 1/2. Dans cette limite asymptotique, le gain de l’instabilité de modulation b tend alors vers 0 et l’Eq. (4.20) devient alors :
ψ(ξ, τ) = eiξ
"
1 −1 + 4τ4(1 + 2iξ)2+ 4ξ2 #
(4.26) Cette solution, présentée ici sous sa forme normalisée, est rencontrée pour une modu- lation infiniment proche de la pompe et fut pour la première fois dérivée analytiquement par Peregrine en 1983 [247].
Ce cas limite, ainsi nommé Soliton de Peregrine (SP), est une solution rationnelle du premier ordre de l’ESNL. Cette dénomination provient en fait d’une structure basée sur le rapport de deux polynômes dans son expression.
Afin d’observer les différences entres ces 3 solutions analytiques de manière visuelle, nous présentons dans la Fig. 4.12 une comparaison de ces solutions sous leurs formes normalisées. Il apparaît alors très clairement que les régimes de ces solutions sont, bien que décrites par la même équation de base, qualitativement différentes :
4.2. Les solutions analytiques de l’ESNL 115
Figure 4.12 – Simulations numériques des solutions de l’ESNL du type Solitons sur Fond
Continu : (a) Breather d’Akhmediev (BA) ; (b) Soliton de Peregrine (SP) ; (c)
Soliton de Kuznetsov-Ma (KM).
• Dans le cas du breather d’Akhmediev, la solution (4.20) présente une périodi- cité temporelle ∆τ = 2π/ω = π/√1 − 2a ainsi qu’un mécanisme de croissance- décroissance selon ξ (récurrence FPU) associé à une localisation spatiale.
• Au contraire, le soliton de KM donnée par l’Eq. (4.25) présente une périodicité spatiale ∆ξ = 2π/B = π/q2a(2a − 1) alors que la localisation maximale de la solution est obtenue temporellement à τ = 0.
• Enfin, le soliton de Peregrine vu en Fig. 4.12(b) présente en fait une discontinuité par son aspect hybride entre ces deux solutions avec une localisation à la fois temporelle et spatiale.
Même si, à première vue, on peut avoir l’impression que le breather d’Akhmediev et le soliton de KM présentent uniquement une inversion des axes de localisation et de périodicité, un examen plus attentif permet de mettre en avant un aspect de localisation fondamentalement différent entre ces deux solutions. En effet, dans la Fig. 4.13(a-b), on compare les dynamiques de ces deux solutions et on extrait les profils |ψ(ξ, τ)| selon leurs axes de localisation respectifs.
Dans ce cas, nous voyons clairement une différence notable entre les deux classes de solutions. Le profil du breather d’Akhmediev selon son axe de localisation varie de manière monotone entre la crête obtenue en ξ = 0 jusqu’à un fond continu lorsque |ξ| → ∞. Au contraire, selon sa dimension périodique, on peut retrouver des trous entre chaque pic.
Si on considère maintenant le soliton de KM, le passage du maximum de l’amplitude du champ au fond continu le long de la dimension de localisation (τ) s’effectue en passant par un minimum local d’intensité nulle. En revanche, le long de la dimension temporelle, on observe une variation périodique du profil du champ entre les différents pics en l’absence de points locaux d’intensité nulle.
Figure 4.13 – Comparaison de la localisation des SFC dans le cas des breathers d’Akhmediev avec a = 0.25 (a) et des solitons de KM pour a = 1 (b). La dimension de localisation dont sont extraits les profils de |ψ(ξ, τ)| sont représentés en traits pointillés. (c) Profils de localisation maximale des SFC en fonction du paramètre de fréquence normalisée a.
Une manière différente d’appréhender qualitativement ce concept est de voir que l’éner- gie transférée du fond continu (onde pompe) sur le pic d’amplitude (bandes latérales) se fait de manière unique dans le cas du breather d’Akhmediev au cours d’un cycle de croissance-décroissance alors que l’échange est périodique lors de la propagation du soli- ton de KM. Dans ce cadre, il convient de noter que selon l’approche considérée, l’aspect intermittent des solitons de KM (cycle de croissance-décroissance selon l’axe temporel) pourrait être mis en avant et que l’on pourrait tout à fait qualifier ceux-ci de “breather de
Kuznetsov-Ma” selon l’axe de localisation considéré.
Un autre point intéressant est présenté dans la Fig. 4.13(c) où l’on voit que l’amplitude maximale du pic de localisation varie de manière monotone avec le paramètre de fréquence
a. Dans le cas limite du soliton de Peregrine où a → 1/2, cette amplitude maximale est
alors 3 fois supérieure à l’amplitude du fond continu (c.a.d. une intensité 9 fois supérieure). En revanche, bien que l’amplitude crête soit localement plus importante pour une valeur de a croissante, il convient de pondérer cette appréciation en prenant en compte l’aspect périodique de ces solutions. Dans la Fig. 4.14, on montre l’évolution de la période (temporelle ∆τ ou spatiale ∆ξ selon la classe de la solution) en fonction du paramètre a.
4.2. Les solutions analytiques de l’ESNL 117
Figure 4.14 – Évolution de la périodicité des SFC en fonction de la fréquence de modulation normalisée a
Aussi, on peut noter que la période, qu’elle soit spatiale ou temporelle augmente de manière exponentielle dans la limite du soliton de Peregrine ou a → 1/2. C’est à ce point précis que l’on obtient alors une localisation extrême du soliton sur son fond continu. Au contraire, dans le cas où a → ∞, la période spatiale ∆ξ du soliton de KM devient infiniment faible et celui-ci se propage alors sans modification notable de son enveloppe avec un contraste du pic sur le fond continu tendant vers l’infini. Cette propriété est encore plus notable lorsque l’on étudie en détail les profils du soliton de KM aux distances de localisations minimales et maximales.
Lorsque ξ = 0, ±2π/B, ±4π/B, ..., l’Eq. (4.20) est associée avec un pic d’intensité maximale dont l’amplitude s’écrit :
ψKMmax(τ) = " 1 + √ 2(1 − 2a) 2a cosh(Ωτ) − 1 # (4.27) D’autre part, lorsque ξ = ±π/B, ±3π/B, ..., le pic central a une intensité minimale et le profil d’amplitude temporel est alors :
ψKMmin(τ) =
"
1 + √2a cosh(Ωτ) + 12(2a − 1) #
(4.28) Ainsi, on peut voir que dans le cas d’une périodicité spatiale quasi-nulle obtenue lorsque
a → ∞, on peut clairement identifier un rapport de contraste |ψKMmax(0)/ψKMmin(0)| → 1
avec une propagation stationnaire sur un fond continu négligeable. Dans ce cas, on se rapproche alors de la solution fondamentale du soliton donnée par l’Eq. (4.29) :
ψsol(τ) = 2
√
2a sech(Ωτ) (4.29)
D’un point de vue plus global, nous avons donc vu que cette notation permettait une représentation unificatrice des solitons sur fond continu, solutions exactes du premier ordre de l’ESNL.