3.3 Simulation en dynamique des structures avec le schéma implicite de Runge-
3.3.4 Les simulations temporelles avec des méthodes de sous-structuration . 98
Dans cette sous-section, nous allons étudier numériquement l’influence des schémas temporels sur des problèmes sous-structurés. Comme dans la section précédente, les critères de précision, de stabilité et de temps CPU seront comparés.
3.3.4.1 La méthode de Craig et Bampton
La taille du problème non-structuré est de 2880 ddl avec une fréquence modale maximale de l’ordre de 107H z. Selon le critère de Shanon, le pas de temps pour un problème comme celui-ci serait de 7,5×10−10s ce qui correspond à une erreur de l’ordre de 10−6pour les schémas étudiés (tableau 3.11). Après l’application de la méthode de Craig et Bampton, la taille du problème est de 1992 ddl pour une fréquence maximale du même ordre de grandeur que le problème non sous-structuré. Le temps de simulation avec cette méthode sera légèrement réduit car les matrices à manipuler sont plus petites mais comme le pas de temps sera du même ordre de grandeur, le temps CPU gagné ne sera pas très important. Cette méthode n’est pas intéressante pour notre étude.
3.3.4.2 La condensation statique de Guyan avec correction
Dans notre cas, avec une fréquence d’excitation à 4500 H z, la troncature est faite à 10 fois la fréquence d’excitation ce qui correspond au 13e mode. La fréquence de troncature a été choisie pour minimiser l’erreur. L’équation temporelle résolue est de taille 13 × 13 et le pas de temps calculé selon la méthode de Shanon est de l’ordre de 10−6s. Les matrices à manipuler sont 200 fois plus petites et un pas de temps de l’ordre 1000 fois plus grand. Le gain en temps CPU devrait donc être important.
Dans la sous-section 3.3.3, les comparaisons faites entre les différents schémas pouvaient se faire dans la phase du transitoire car toutes les fréquences étaient prises en compte. Dans le cas de cette méthode de sous-structuration, la troncature modale supprime des modes qui peuvent être présents dans cette phase. Ces modes non-pris en compte vont générer beaucoup d’erreur. Les comparaisons doivent se faire en dehors de la phase du transitoire. Une matrice d’amortissementC est introduite pour passer cette phase plus rapidement. L’amortissement a la même valeur pour tous les modes (= 0,01). De plus les simulations sont faites sur un temps de 200/f au lieu de 1/(2f ) avec f = 4500 H z. La force extérieure porte sur les ddl de la face extrados entière selon l’axe→y et non plus sur un degré de liberté. Il s’agit du modèle 2 de la sous-section 3.3.2.4. Les comparaisons se faisant après le transitoire, les résultats seront comparés à la solution exacte du problème Usequi est donnée par l’équation 3.70.
Use(j ) = V × ℑ �� 1 −W2+2ξw(j )iW + w2(j ) � 1 m( j ) � Vt(j ) × A� � eiW t (3.70)
d’ordre 3 et un algorithme en simple pas de temps Avec : – V (j ), w(j ) : le mode propre j ; – W : la pulsation ; – ξ : l’amortissement ; – m = VtMV ;
– A : le vecteur contenant l’amplitude ; – t : le temps.
La figure 3.11 trace le déplacement d’un ddl excité selon→y pour les schémas étudiés et pour la solution exacte en modèle complet et en modèle sous-structuré en fonction du temps. Toutes les simulations ont été effectuées avec le même pas de temps. Le pas de temps a été calculé selon le critère de Shannon pour la simulation avec le modèle complet. Ce pas de temps est de l’ordre de 10−9s ce qui assure une précision maximale pour les différents schémas. Le pic visualisé sur la figure en haut se trouve vers 199× f . L’erreur par rapport à la solution exacte en modèle complet est, pour les 3 schémas, de l’ordre de 0,1 %. Les écarts entre les différents schémas sont de l’ordre de 10−3%. L’erreur commise par la méthode de sous-structuration est plus importante que celle due à la discrétisation temporelle. L’influence des schémas temporels sur la solution est masquée par l’erreur due à la méthode de sous-structuration.
199.2 199.21 199.22 199.23 199.24 199.25 1.505 1.51 1.515 1.52 1.525 1.53 1.535 1.54 1.545 1.55x 10 −3 Temps × f A m p li tu d e Complet − Exacte Guyan − Exacte
Guyan − RKI−3 3 Equations Guyan − RKI−3 2 Equations Guyan − Gear
Guyan − Newmark
FIGURE3.11 – Déplacement d’un ddl excité pour les schémas étudiés et pour la solution exacte en modèle complet et en modèle sous-structuré en fonction du temps.
Pour étudier l’influence des différents schémas temporels sur la solution, l’erreur est calculée par rapport à la solution exacte du modèle sous-structuré. La figure 3.12 représente le logarithme de l’erreur pour un ddl excité selon→y et pour le pic situé vers 199 × f en fonction
du logarithme du pas de temps pour les schémas étudiés.
Pour le schéma de Gear, l’erreur ne varie presque plus pour un pas de temps inférieur à 10−8s. Le schéma a atteint sa précision maximale.
Pour le schéma de Newmark, l’erreur varie pour tous les pas de temps. Par contre, pour un pas de temps de 10−5s, le schéma n’arrive pas à calculer de solution. D’après le critère de Shanon, pour observer un phénomène périodique de 4500 H z, il faut au minimum un pas de temps de l’ordre 10−4s. Le schéma de Newmark n’arrive pas jusqu’à ce critère.
Les deux schémas RKI-3 ont la même précision pour tous les pas de temps. Dans le cas d’une méthode sous-structurée, les matrices à inverser sont bien conditionnées ce qui rend l’erreur due à l’inversion très petite. La 3e équation a donc une influence moindre. Nous retrouvons la même conclusion que pour le problème sans sous-structuration. La précision de l’inversion matricielle joue sur l’influence de la 3e équation. Dès le pas de temps de 10−6s, les deux schémas ont atteint leur précision maximale.
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 log(dt) log(erreur) Gear Newmark RKI−3 2 Equations RKI−3 3 Equations
FIGURE3.12 – Evolution du logarithme de l’erreur pour un ddl excité et pour le pic situé vers 199 × f en fonction du logarithme du pas de temps pour les schémas étudiés.
Pour une erreur d’environ 10−3, le pas de temps pour les schémas d’ordre 2 (Newmark et Gear) est d’environ 10−6,4s (4, 0 × 10−7s) et pour les schémas d’ordre 3 (les deux schémas RKI-3) de 10−5,1s (7, 9×10−6s). L’augmentation de l’ordre du schéma permet d’augmenter de quasiment un ordre le pas de temps pour avoir la même précision.
Le tableau 3.12 récapitule le temps CPU pour chaque simulation en fonction du pas de temps pour une précision cible de 10−3. Le temps de calcul des schémas RKI-3 est le plus court
d’ordre 3 et un algorithme en simple pas de temps comme pour les simulations sans sous-structuration. Les schémas d’ordre 3 ont un temps CPU plus court que les schémas d’ordre 2 ce qui s’explique par la valeur des pas de temps. Dans les schémas d’ordre 2, le schéma de Gear est le plus lent. Cela peut s’expliquer par la taille des matrices. En effet le schéma de Newmark a des tailles de matrices deux fois plus petites.
Dans les schémas d’ordre 3, le schéma à 2 équations est le plus rapide ce qui est normal car il manipule une équation de moins.
En conclusion, par rapport aux schémas classiques, les schémas RKI-3 (avec 2 ou 3 équa-tions) sont plus intéressants pour résoudre des problèmes de dynamique des structures avec une méthode de condensation adaptée. En effet, ils sont plus rapides et plus précis.
nom du schéma Ordre pas de temps temps CPU pour 20000 périodes
Newmark 2 0,4 × 10−6s 180 s
Gear 2 0,4 × 10−6s 360 s
RKI-3 2 équations 3 7,9 × 10−6s 10 s
RKI-3 3 équations 3 7,9 × 10−6s 20 s
Tableau 3.12 – Récapitulatif du temps CPU pour une précision cible de 10−3en fonction du pas de temps pour les différents schémas dans le cas d’une méthode de sous-structuration.
Dans cette section , nous avons étudié et comparé le schéma implicite de Runge-Kutta d’ordre 3 à d’autres schémas temporels utilisés en dynamique des structures. Nous nous sommes servis de la 4econfiguration de l’EPFL comme cas test. Les schémas ont été testés sur des problèmes complets et sous-structurés.
Dans le cadre de problèmes complets et pour une précision identique à tous les schémas, le schéma RKI-3 est le plus rapide à une précision identique et est inconditionnellement stable. Le schéma de Gear est extrêmement lent. Dans le cadre de problèmes sous-structurés, le schéma RKI-3 à deux équations est aussi le plus rapide à une précision identique. Les schémas d’ordre 2 sont au moins 10 fois plus lents. Le schéma de Gear reste également le plus lent.
La précision de la résolution des deux premières équations du schéma RKI-3 peut être dépendante de la 3eéquation. Dans le cas d’un système complet mal conditionné, elle est impérative. Dans la suite, le schéma RKI-3 est implémenté dans le logiciel fluide Turb’Flow pour vérifier si ces conclusions restent valables pour la résolution de problèmes URANS.