Etude temporelle du disque pulsant

L’étude se divise en deux parties. Dans un premier temps, la dissipation et la dispersion du schéma RKI-3 et du schéma de Gear sont étudiées. Dans un second temps, le temps CPU est évalué pour compléter l’étude.

La plupart des simulations qui permettent de comparer les prédictions du schéma de Gear et du schéma RKI-3 sont réalisées avec le schéma de Roe et le limiteur SPL-1/3. Il y aura une erreur dûe à ce limiteur mais elle n’empêche pas de comparer les prédictions des schémas temporels.

La figure 3.20 trace l’évolution radiale de l’onde de pression pour différents pas de temps et schémas temporels (simulations 5 à 10 du tableau 3.13) à l’instant 6 ms.

Les prédictions accentuent la dissipation de l’onde après un rayon de 0,4 m avec le même ordre de grandeur d’erreur par rapport à la solution analytique excepté pour les prédictions obtenues avec des pas de temps de 10−4s. En effet, pour un pas de temps de 10−5set de 10−6s, l’erreur relative par rapport à la solution analytique est comprise entre 7,8 % et 8,0 % pour un rayon de 0,76 m. L’erreur relative pour le schéma RKI-3 avec un pas de temps de 10−4s est de 14,3 % pour un rayon de 0,76 m et de 49 % pour le schéma de Gear avec le même pas de temps pour un rayon de 0,67 m.

0 0.5 1 1.5 2 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000 rayon (m)

Pression relative (Pa)

Solution analytique GEAR dt = 10⁻⁶s GEAR dt = 10⁻⁵s GEAR dt = 10⁻⁴s RKI−3 dt = 10⁻⁶s RKI−3 dt = 10⁻⁵s RKI−3 dt = 10⁻⁴s 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 100 150 200 250 300 rayon (m)

Pression relative (Pa)

FIGURE3.20 – Evolution radiale de l’onde de pression pour différents pas de temps et schémas temporels (simulations 4 à 9 du tableau 3.13) à l’instant 6 ms.

La figure 3.21 trace la norme L0 par rapport à la solution analytique pour un rayon inférieur à 1 m. L’instabilité du schéma de Gear est bien mise en évidence : l’erreur augmente 2,6 fois plus avec un pas de temps de 10−4s que pour le schéma RKI-3 avec le même pas de temps. Le maximum de la norme L0 pour le schéma RKI-3 est obtenu pour le pas de temps de 10−4s ce qui correspond à un pas de temps de 2,51×10−5s pour le schéma de Gear. Le schéma RKI-3 permet presque d’augmenter le pas de temps d’un ordre de grandeur tout en conservant la même précision sur les résultats. Nous avions la même conclusion sur les cas de dynamique des structures étudiés précédemment.

Comme pour la dynamique des structures, l’utilisation de schéma RKI-3 permet d’augmenter de quasiment un ordre de grandeur le pas de temps tout en gardant la même précision sur l’amplitude.

Les prédictions ne modifient pas la dispersion de l’onde jusqu’à un rayon de 1,8 m excepté pour la prédiction obtenue avec le schéma de Gear et un pas de temps de 10−4s. La solution analytique donne un pic d’amplitude pour un rayon de 0,76 m. Le schéma de Gear avec un

Runge-Kutta d’ordre 3 et un algorithme en double pas de temps −6 −5.5 −5 −4.5 −4 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 log(dt) Norme L0 Gear RKI−3

FIGURE3.21 – Norme L0 par rapport à la solution analytique pour le schéma de Gear et le schéma RKI-3.

pas de temps de 10−4s prédit ce même pic à un rayon de 0, 67 m, soit une erreur relative de 12 %.

Le déphasage est le point primordial pour prédire correctement le phénomène du flottement. Le schéma RKI-3 pourrait donc être utilisé pour ce type de prédiction avec un pas de temps d’un ordre supérieur par rapport au schéma de Gear.

La figure 3.22 trace l’évolution radiale de l’onde de pression pour le schéma RKI-3 avec un pas de temps de 10−5s avec le schéma de Roe avec et sans le limiteur SPL-1/3 (simulations 8 et 10 du tableau 3.13) à l’instant 6 ms. Comme pour le schéma de Gear, le limiteur est le paramètre que crée le plus de dissipation et donc d’erreur d’amplitude.

La figure 3.23 permet d’évaluer le temps CPU pour chaque simulation. Elle trace le nombre d’itérations pseudo-temporelles effectuées pour chaque itération temporelle réelle pour les simulations 4, 5, 7 et 8 du tableau 3.13.

Pour les simulations avec le schéma de Gear et les pas de temps de 10−6s, le nombre d’itéra-tions pseudo-temporelles atteint la limite maximale (2000 itérad’itéra-tions) sur un temps de 2ms. Ce phénomène n’a pas été expliqué. Il ne correspond à aucune fréquence du problème. La simula-tion avec un pas de temps de 10−5s s’effectue avec 7 fois plus d’itérations pseudo-temporelles pour atteindre la même convergence.

0 0.5 1 1.5 2 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000 rayon (m)

Pression relative (Pa)

Solution analytique Simulation 8 Simulation 10

FIGURE3.22 – Evolution radiale de l’onde de pression pour le schéma RKI-3 avec un pas de temps de 10−5s avec le schéma de Roe avec et sans limiteur (simulations 8 et 10 du tableau 3.13) à l’instant 6 ms.

d’itérations pseudo-temporelles pour atteindre la même convergence.

La simulation avec le schéma de Gear pour un pas de temps de 10−6s a besoin d’environ 15 itérations pseudo-temporelles pour atteindre la convergence voulue. La simulation avec le schéma RKI-3 pour un pas de temps de 10−5s a besoin de 200 itérations pseudo-temporelles pour atteindre la même convergence. De plus, une itération avec le schéma RKI-3 est environ 2 fois plus longue en temps CPU qu’avec le schéma de Gear car il y a deux équations de RANS qui doivent être calculées. En conclusion, le temps CPU d’une simulation avec le schéma RKI-3 est beaucoup plus grand que celui d’une simulation avec le schéma de Gear.

Les résultats pour le schéma RKI-3 et pour le schéma de Gear viennent d’être présentés sur une configuration d’onde de pression se propageant dans un fluide au repos. Ces ondes sont générées par un disque pulsant. Le schéma RKI-3 a un temps CPU beaucoup plus long pour une précision similaire. Par contre, les simulations avec ce schéma acceptent un pas de temps plus grand que celles avec le schéma de Gear.

Runge-Kutta d’ordre 3 et un algorithme en double pas de temps 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 10⁻³ 0 50 100 150 200 250 300 Temps (s) N om b re max imal d e p se u d o-i te rat ion s

Gear dt = 10−5s Gear dt = 10−6s RKI-3 dt = 10−5s RKI-3 dt = 10−6s

FIGURE3.23 – Nombre maximal de pseudo-itérations en fonction du temps réel pour les simulations 4, 5, 7 et 8 du tableau 3.13.