L’algorithme Glouton pour utiliser les RBF

La difficulté dans l’utilisation des RBF est le choix des points de contrôle. L’algorithme Glouton permet d’automatiser ce choix. Dans cette sous-section, la fonction d’interpolation s(X) des RBF est donnée par l’équation 4.8. Par rapport à l’équation 4.7, elle ne prend pas en compte les polynômes linéaires pour les rotations et les translations.

s(X) = Nb � i =1 αiφ� �X − Xbi�^� (4.8) Avec :

– X : les nœuds du maillage ;

– N_b: le nombre de points de contrôle ;

– α_i : les coefficients de l’interpolation à calculer ; – φ : la fonction radiale ;

– X_bi: les points de contrôle ; – � · � : le norme euclidienne.

L’algorithme Glouton va choisir en fonction d’un déplacement connu le nombre et la position des points de contrôle. Le principe est d’enrichir la base de données des points de contrôle pour atteindre un niveau de précision déterminée sur un mouvement imposé. La figure 4.7 représente le schéma de l’algorithme Glouton.

La première étape est le choix de la base de données dans laquelle l’algorithme va choisir les points de contrôle. Il s’agit des points à l’interface entre la partie fluide et les parties structures mobiles et immobiles.

FIGURE4.7 – Schéma de l’algorithme Glouton.

La deuxième étape est le choix arbitraire des points de contrôle initiaux dans la base de données. Généralement, le choix se porte sur les points avec la plus grande amplitude et sur les points immobiles.

La troisième étape est le calcul des coefficients d’interpolation αi à partir des points de contrôle choisis par l’algorithme et du mouvement imposé à ces mêmes points selon l’équa-tion 4.8.

La quatrième étape est le calcul de la fonction d’interpolation de tous les points de la base de données choisis à l’étape 1 à partir des points de contrôle choisis par l’algorithme et des coefficients d’interpolation calculés à l’étape 3. A partir de cette fonction d’interpolation, le déplacement de tous les points de la base de données est calculé.

La cinquième étape est le calcul de l’erreurE produite entre le mouvement imposé D_{voul u}et calculé à l’étape 4D_{ét ape4}de tous les points de la base de données :

E =^{|Dvoul u− Dét ape4|}

max(D_{voul u}) ^(4.9)

Si la précision est atteinte, le choix des points de contrôle est réalisé. Sinon, les points possé-dant la plus grande erreur enrichissent le nombre de points de contrôle.

Cet algorithme est testé sur le cas du panneau déformant dans un tube à choc. Ce cas test a déjà été utilisé pour valider le schéma RKI-3 dans la sous-section 3.4.4 et il est présenté en détail à la section 5.2. Après avoir présenté l’algorithme sur le cas du panneau déformant, une analyse de sensibilité sur les fonctions radiales et le rayon du support est effectuée sur ce même cas test.

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 x y Paroi tube Paroi panneau Point fixe

FIGURE4.8 – Base de données pour le choix des points de contrôle.

La figure 4.8 présente le choix de la base de données des points de contrôle pour le cas du panneau déformant (étape 1). Cette base de données est constituée des points de maillage sur la peau du panneau (rouge) qui se déforment et de certaines parois du tube à choc (noir). Les points de la paroi du tube peuvent être translatés pour assurer l’orthogonalité (noir) et d’autres sont immobiles pour respecter la forme du tube (carré). La base est composée de 852 points.

Les points de contrôle pour initialiser l’algorithme sont les points fixes sur la figure 4.8 et les deux points en tête de panneau qui auront le plus grand déplacement.

Le calcul des coefficients de l’interpolation αise fait avec le mouvement imposé aux points sur la peau du panneau (rouge) selon les équations suivantes et pour une amplitude maximale de 6 mm :

x = x_i+3 × y²_i (4.10)

Pour cet exemple, la fonction de Wendland C 6 et un rayon de 40 mm sont fixés. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

x

y

Position initiale

Position finale

Points rajout´es

Points it´eration pr´ecedente´

FIGURE4.9 – Algorithme Glouton première itération. Fonction C 6 et Rayon 40 mm.

La figure 4.9 trace le déplacement de la base de données des points de contrôle à l’aide de la fonction s(X) après la première itération. Le calcul de l’erreur E du déplacement de la base de données permet d’enrichir la base. Il s’agit des points en magenta sur la figure 4.9. La figure 4.10 trace le déplacement de la base de données des points de contrôle à l’aide de la fonction s(X) après la deuxième itération. Elle permet de visualiser l’incrémentation du nombre de points de contrôle et la diminution de l’erreur.

Pour notre étude, la convergence est obtenue pour une erreur inférieure à 10−6. Sachant que la première maille à la paroi est à 10−5m et que le déplacement maximal est de l’ordre du millimètre, cela fait un déplacement maximal en paroi de 10−9m.

Cet algorithme a été appliqué pour différents rayons et différentes fonctions radiales. Le but est d’avoir le moins de points de contrôle tout en gardant un maillage qui permet une si-mulation correcte de l’écoulement. Cette dernière condition n’est pas garantie par l’algorithme glouton. Elle est vérifiée après l’application de l’algorithme. Le tableau 4.2 récapitule les cas testés.

La fonction Gaussienne a été testée pour différents rayons et à chaque fois, le résultat final a donné un maillage possédant des mailles à volume négatif.

Les fonctions de Wendland sont testées avec des rayons différents. Concernant le choix du rayon, il est conseillé de le fixer, au minimum, à 3 fois le déplacement maximal attendu. Il

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

x

y

Position initiale

Position finale

Points rajout´es

Points iteration pr´ ´ec´edente

FIGURE4.10 – Algorithme Glouton deuxième itération. Fonction C 6 et Rayon 40 mm.

Fonction radiale Rayon (mm) Nombre PC

Gaussienne 20 Échec

C2 de Wendland 20 218

C2 de Wendland 40 247

C6 de Wendland 20 142

C6 de Wendland 40 133

Tableau 4.2 – Fonctions radiales et rayons de support testés pour le panneau déformant.

s’agit d’une règle empirique sur l’utilisation de la méthode d’interpolation par RBF. D’après les résultats des essais, le maximum d’amplitude du déplacement du panneau est de 6 mm. Le rayon de support minimal est donc fixé à 20 mm.

Avec les paramètres choisis, la fonction C 2 nécessite plus de points de contrôle à iso-erreur. Les figures 4.11 et 4.12 représentent le maillage final pour la fonction C6 avec respectivement un rayon de 20 mm et 40 mm. Le maillage est de meilleure qualité avec un rayon de 40 mm notamment dans le jeu. L’orthogonalité des mailles est mieux respectée. De plus, ce jeu de paramètres correspond à celui nécessitant le moins de points de contrôle et donc une déformation de maillage plus efficace en terme de temps CPU.

L’algorithme a aussi été testé pour le même mouvement de flexion mais dans le sens contraire de l’axe �x. Les conclusions sont identiques.

−0.05 0 0.05 0.1 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 x y

FIGURE4.11 – Maillage obtenu avec l’algorithme Glouton (1 point sur 3). Fonction C 6 et Rayon 20mm.

L’algorithme glouton permet d’automatiser le choix des points contrôle pour une défor-mation par RBF. Pour notre configuration, la fonction de Wendland C6 a été choisie avec un rayon de support de 40mm. Ce choix permet d’avoir le meilleur maillage pour réaliser un calcul fluide convenable avec un minimum de points de contrôle.

Pour rappel, les points de contrôle sont utilisés pour réaliser le maillage structure. Les points coïncident avec les points de peau du maillage structure. Il n’y aura donc pas d’interpo-lation pour la transmission de l’information. Le processus itératif devrait être plus stable.

L’algorithme de couplage partitionné explicite utilisé dans ce mémoire vient d’être présenté et détaillé ainsi que les hypothèses et les choix algorithmiques. Une attention particulière a été portée au traitement de l’interface fluide-structure. Pour résumer les choix pour modéliser l’interface fluide-structure, il faut retenir que :

– le pas de temps est identique pour l’évaluation des efforts aérodynamiques et le déplace-ment de la structure ;

– à l’interface fluide-structure, tous les points du maillage structure sont des points du mail-lage fluide ;

– les points de contrôle sont les points de transmission de l’information dans les deux sens ; – les points de contrôle sont choisis pour minimiser l’erreur sur l’évaluation de la variable

−0.05 0 0.05 0.1 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 x y

FIGURE4.12 – Maillage obtenu avec l’algorithme Glouton (1 point sur 3). Fonction C 6 et Rayon 40mm.

Tous ces éléments permettent de ne pas effectuer d’interpolation des données transmises, seule la force fluide est moyennée par pondération sur les points de contrôle. Cela minimise la variation d’énergie ΔEn+1

s ce qui permet d’assurer la conservation de l’énergie à l’interface fluide-structure.

4.4 Conclusion

Différentes stratégies de couplage fluide-structure ont été présentées afin de les position-ner par rapport à notre problématique. Les stratégies découplées et partitionnées faibles supposent, entre autre, que les modes propres de la structure n’interagissent pas entre-eux. De plus, ces stratégies ne permettent pas de prendre en compte de grandes déformations inter-agissant fortement avec l’écoulement ce qui crée des effets non-linéaires. De telles hypothèses ne peuvent pas être appliquées dans notre cas.

Les stratégies partitionnées fortes peuvent prendre en compte les phénomènes évoqués à l’instant. De plus, ces stratégies ont été utilisées par Doi [19] pour étudier le flottement dans des turbomachines transsoniques (NASA rotor 67) sans grandes déformations de la structure (pas d’effets non-linéaires).

Un algorithme de couplage partitionné fort explicite a été développé dans le logiciel Tur-b’Flow sous la forme d’un module aéroélastique. La facilité de mise en place de cet algorithme

va nous permettre de réaliser une étude paramétrique sur l’interface fluide-structure. En effet, la modélisation de l’interface fluide-structure est primordiale pour ce type d’algorithme. Une mauvaise modélisation ne respecterait pas la conservation de l’énergie à cette interface ce qui pourrait faire diverger les simulations.

Il a été donc choisi d’imposer le même pas de temps pour les résolutions fluide et structure et de transmettre les informations par les points de contrôle de la méthode d’interpolation par RBF. Ces choix permettent de ne pas réaliser d’interpolations spatiales ou temporelles pour la transmission des informations.

A terme, la souplesse de cette méthode de couplage permettra de prendre en compte des

phénomènes aéroélastiques complexes rencontrés sur des configurations de type UHBR¹

turbofan. Un processus itératif peut être mis en place très facilement pour stabiliser la conver-gence de telles études.

L’algorithme Glouton présenté dans ce chapitre permet de choisir les points de contrôle afin de minimiser l’erreur sur le déplacement du maillage fluide, en particulier les points se trouvant sur la peau de la structure.

L’algorithme présenté dans ce chapitre va être appliqué à une onde de choc impactant un panneau déformant.

5 Simulation partitionnée forte

ex-plicite sur un panneau déformant

soumis à une onde de choc

5.1 Introduction

Le chapitre précédent était consacré à la présentation du module aéroélastique implémenté dans le logiciel Turb’Flow. L’algorithme de couplage fluide-structure partitionné fort explicite doit être capable de simuler des interactions fluide-structure que l’on rencontre dans les compresseurs aéronautiques. Il s’agit de simuler des problèmes en trois dimensions d’une structure avec une situation modale dense et complexe soumise à un écoulement transsonique par exemple.

Pour vérifier et valider le comportement de l’algorithme de couplage partitionné fort et explicite, un cas test d’écoulement compressible avec un mouvement libre d’une structure a été cherché. De plus, ce cas test doit permettre d’étudier rapidement différentes options du couplage en jouant sur le choix des schémas temporels et spatiaux par exemple.

En 2005, Giordano a présenté ses travaux sur un panneau déformant impacté par une onde de choc [24]. Cette configuration permet d’étudier un problème d’interaction fluide-structure en deux dimensions entre un écoulement transsonique et une structure considérée comme une poutre. Bien que la structure ne possède pas une situation modale complexe, cette configuration permet de vérifier et valider le comportement du module aéroélastique et de réaliser une étude sur une interaction fluide-structure dans un écoulement transsonique. Les bases de données expérimentales et numériques ont été mises à disposition par Giordano.

La première section de ce chapitre présente le cas test et sa modélisation. Une présentation succincte du banc d’essai et des résultats expérimentaux est d’abord effectuée. Ensuite, la description de la modélisation est effectuée en trois parties distinctes :

d’amor-tissement visqueux et du modèle condensé ;

– la modélisation de l’écoulement avec le choix du champ initial et de la discrétisation spatiale entre autres ;

– la modélisation de l’interface fluide-structure avec le choix des paramètres de l’interpolation par RBF pour permettre de conserver l’énergie à l’interface fluide-structure.

La deuxième section de ce chapitre détaille les résultats obtenus à l’aide d’une simulation couplée sur le cas test de Giordano. Après avoir comparé les résultats numériques à ceux des essais, les prédictions de la simulation couplée permettent d’analyser l’écoulement du fluide et le déplacement du panneau dans le but d’expliquer les différences entre les résultats des essais et ceux de la simulations. Les explications porteront principalement sur l’interaction entre le déplacement du panneau et le niveau de pression enregistré par le capteur de pression et sur l’étude de l’écoulement transverse présent dans le tube à choc. Nous étudierons également l’influence de l’écoulement sur le déplacement du panneau et vice-versa.

La dernière section de ce chapitre donnera des approches pour améliorer les résultats d’une simulation couplée sur ce cas test. La discussion portera :

– sur l’influence de la turbulence dans l’écoulement et sur la prédiction de la vitesse des ondes de choc ;

– sur l’influence du coefficient d’amortissement visqueux du panneau sur le déplacement de celui-ci ;

– sur l’influence des schémas temporels dans le traitement de l’interface fluide-structure et la conservation de l’énergie à cette interface ;

– sur l’influence de la modélisation des conditions limites de la structure et notamment l’encastrement de celle-ci.

Nous reviendrons également sur l’influence d’une correction de l’écoulement sur le comporte-ment du déplacecomporte-ment du panneau. Nous terminerons par évoquer l’importance du choix de la stratégie de couplage pour réaliser une étude sur ce cas test.

Pour la suite du mémoire, l’axe de l’écoulement est noté �x et l’axe transverse �y.