Maintenant, il est plus pertinent de trouver un outil de calcul capable d’évaluer une géomé- trie de structure simplifiée, afin de pouvoir gérer des assemblages complexes comme vus en Fig. 4.1, sans générer un nombre de DDL aussi exorbitant que dans la section précédente. L’entreprise souhaite pouvoir préserver une modélisation des adhérents en éléments de type coque et simplifier la zone de collage du mieux que possible, tout en gardant un niveau de précision du comportement de l’adhésif acceptable. De plus, il serait pratique de pouvoir em- ployer une méthode de modélisation qui n’oblige pas à avoir un maillage coïncident entre les deux adhérents. Préparer la géométrie d’un modèle lourd comme le Kargo est déjà une tâche fastidieuse, avoir à construire un maillage parfaitement structuré dans la région du volume d’adhésif serait très décourageant. On cherche alors une méthode efficace, joignant la rapi- dité de résolution des modèles analytiques 1D et la liberté des AÉF qui ont la capacité de représenter toute forme de configurations de substrats et toute combinaison de chargement statique.
Au-delà des nombreux codes dédiés à l’évaluation rapide des contraintes dans des géométries de joints appelés « typiques5», souvent exclusifs à certaines compagnies ou sinon discontinués,
on trouve très peu de travaux ayant pour but de répondre aux besoins en AÉF énumérés dans le précédent paragraphe. Un article intéressant de Catagnetti et Dragoni [23] démontre qu’il est possible d’approcher le comportement de modèles numériques complets (éléments briques 3D) en utilisant une combinaison d’éléments de type coque et de type poutre, avec les connexions « Tie » du logiciel ABAQUS/CAE. L’évaluation des contraintes doit évidemment se faire à la mi-épaisseur du joint. Il a également montré qu’on pouvait se rapprocher de la réponse de la formulation analytique de Goland & Reissner avec sa méthode. Par contre, sa méthodologie est basée sur une modélisation 2D à contraintes-déformations planes et s’applique beaucoup moins facilement sur des adhérents dans un domaine tridimensionnel. Une technique, apparemment plus prometteuse, a été publiée par le NASA Goddard Space Flight Center [72], utilisant une formulation de ressorts équivalents aux propriétés élastiques de l’adhésif qui peuvent être rattachés aux nœuds des éléments de type coque utilisés dans un repère 3D (voir la Fig.4.28). Avec un algorithme qui détecte la proximité des nœuds des deux adhérents, il est possible d’appliquer des régions de collage sur des structures à dimensions réelles. D’ailleurs, cette technique est en quelque sorte l’adaptation tridimensionnelle de la méthodologie développée par Loss et Kedward [65]. Ces derniers ont montré (en 2D) que les résultats étaient en accord avec le modèle analytique de Hart-Smith (§3.1.2).
Une autre option envisagée est d’exploiter une nouvelle fonction du logiciel NX Nastran : le contact « Surface-Gluing ». Bien que son nom mentionne le mot collage, cette technique de simulation n’est pas intentionnellement destinée à l’analyse de joints par adhésif. Il s’agit 5. On peut consulter l’ouvrage de Dragoni [42] pour trouver un recueil de programmes à formulations analytiques conçues pour l’utilisation commerciale.
May 16-17, 2001 - FEMCI Workshop NASA/GSFC - Code 542 Farhad Tahmasebi - 5
Spring Modeling Procedure (3/3)
Fig. 4.28 – Assemblage SLS en éléments de type coque liés au moyen de ressorts linéaires à rigidité équivalente [72].
plutôt d’une fonction qui permet de lier deux pièces (ou sections d’une géométrie) à maillages distincts pour assurer un mouvement continu. Lorsque la différence des densités de maillage des deux volumes n’est pas trop grande et quand les propriétés matérielles correspondantes sont similaires, on obtiendrait même une distribution de contraintes uniforme à travers cette jonction. Contrairement aux autres fonctions de liaison de maillage, le Surface-Gluing n’utilise pas de connexions rigides, mais plutôt des éléments ressorts. Les surfaces ne doivent pas être obligatoirement coïcidentes, le Surface-Gluing est géré comme un objet de simulation tel qu’un contact linéaire. Par défaut, lorsque les deux surfaces définies se détectent, le logiciel place des « éléments virtuels » dont la rigidité correspond à la moyenne des modules présents dans le modèle par éléments finis. Depuis la version 8.0 du logiciel (2011), on mentionne dans le guide d’utilisateur [70] qu’il est possible d’entrer le « facteur de pénalité » de raideur de son choix, et ce, dans les directions normales et tangentielles de la surface. Après avoir contacté le service technique de la compagnie (GTAC), aucune procédure n’a jamais été tentée pour faire la simulation de joints par adhésif avec des Surface-Gluing. Même si cette approche peut sembler être inadaptée pour cette application, elle mérite toutefois d’être testée sérieusement, car elle répondrait spécifiquement aux besoins pratiques de l’entreprise. Le reste du présent chapitre est alors dédié à l’essai de cette technique, en passant par une comparaison avec l’approche des ressorts à rigidités tridirectionnelles définis manuellement (§ 4.3.1), comme présenté dans la littérature.
On modélise les surfaces médianes des adhérents avec un comportement de type coque (PSHELL) et on leur attribue les constantes élastiques de l’aluminium : Es = 68,9 GPa et νs = 0,33.
Dans chacune des techniques, on prend le maillage structuré tel qu’illustré en Fig. 4.29. Il est constitué d’éléments linéaires à 4 nœuds (CQUAD4), dont la densité fait 10 × 20 = 200 éléments dans la zone de recouvrement. Ce maillage non raffiné est construit de manière à pouvoir simplifier l’application manuelle des ressorts et le post-traitement des données (script
externe) dans la section 4.3.1. De toute façon, les méthodes employées dans les pages qui suivent ne déterminent pas les contraintes à l’aide d’éléments de type continuum, mais les calculent plutôt à partir des forces issues des déplacements nodaux des éléments 1D. En ce
Projet XXX000X : Rapport XXX
XX mois année Page 5
Maillage des substrats
Modèle numérique
La zone de recouvrement du collage en rouge est représentée par 200 éléments structurés (10 sens overlap et 20 sens de la largeur) et est fixé par un contrôle de maillage. En dehors de cette zone, la densité de maillage est de 0,125’’ et est considérée comme suffisante.
Les éléments 2D sont de type coque linéaire dont la section de matériau est modélisé en PSHELL (de type Thinshell).
Les propriétés de l’aluminium sont celles de l’alliage 6061 implémentées dans le logiciel (module E=10000 ksi et coeff. de poisson de 0,33). Celles de l’adhésif (un époxy monocomposant) sont prises dans un article scientifique [1] dont la bonne corrélation des donnée a été démontée avec plusieurs configurations expérimentales.
Propriétés élastiques adhésif SikaPower-490!
métrique impérial
Module E! 2120 MPa! 307 480 psi!
Module G! 780 MPa! 113 129 psi!
poisson! 0,3596!
Zone de Collage!
Fig. 4.29 – Maillage des adhérent des essais de simulation du joint SLS en éléments de type coque ; on compte 10 éléments dans la longueur et 20 dans la largeur de la zone de collage. qui a trait à l’adhésif, les deux méthodes de modélisations sont décrites dans les sections4.3.1 et4.3.2. Les constantes élastiques utilisées sont les mêmes que dans les analyses réalisées dans la section4.2, soient Ea= 2120 MPa et Ga= 780MPa.
4.3.1 Modélisation avec ressorts linéaires
Dans la région collée, on procède à la simplification de modèle illustrée à la Fig. 4.30. On simule le comportement des adhérents avec des éléments de type coque, à la position médiane de l’épaisseur des plaques. L’extraction des surfaces est facile à réaliser avec les fonctions na- tives du logiciel NX Nastran. Le comportement de l’adhésif, en chaque point, est représenté par trois ressorts unidirectionnels à formulation scalaire (CELAS1), dont la longueur est nulle. Chaque ressort formant un triplet (Fig.4.30) est placé selon sa propre orientation orthogo- nale. Puisqu’on modélise les déformations tridirectionnelles de l’adhésif à l’intérieur même d’éléments coïcidents, localisés à la mi-épaisseur du joint, on doit lier les nœuds de l’adhésif aux nœuds adjacents des adhérents au moyen de connexions rigides (RBE2). Pour ce faire, il importe que les nœuds des maillages des trois matériaux étagés soient parfaitement alignés le long du plan du joint. Le comportement élastique de chaque ressort dépend ensuite de leur orientation (cisaillement ou pelage) et de leur position à l’intérieur du maillage.
Les deux premiers ressorts, possédant une rigidité dans les directions longitudinale et trans- versale dans le plan (x et y), ont des propriétés en cisaillement tangentiel. Puisque chaque portion du volume d’adhésif est représentée par un élément 1D, on trouve une rigidité équi- valente basée sur le module d’élasticité et l’aire de la portion discrétisée ; cette analogie est souvent employée avec la modélisation simplifiée de boulons. Dans l’adhésif, la contrainte en cisaillement est définie par
τa= V
Plan médian (coque) Plan médian (coque) Adhérent 1 Adhérent 2 Ressorts CELAS1 RBE2 RBE2 Nœuds coïncidents CELAS1 KI t a +( h 1 + h 2 )/ 2 KII KIII
Fig. 4.30 – Schéma du modèle d’adhésif formé d’un lit de ressorts linéaires.
où la V est la composante de la force transmise par les adhérents en cisaillement et A est l’aire de section perçue par l’élément. Ensuite, avec la loi de Hooke, on a
τa= Gaγa , δ = γata (4.3)
Alors, en manipulant les termes des équations 4.2et4.3, on peut dire que ∴ V
A = Ga δ
ta (4.4)
Avec le comportement d’un ressort linéaire donné par V = Kδ, on arrive par substitution à ∴ Kx,y= Kt=
GaA
ta (4.5)
Maintenant, puisque l’aire d’élément utilisé dans les calculs ne doit pas être la même dans chaque position nodale du plan de recouvrement, il faut attribuer les proportions de superficie d’élément (Ae) telles qu’illustrées en Fig.4.31, pour chaque position au bord libre du joint.
Ae = Aint= 2Abord= 4Acoin
Dans le maillage du joint SLS modélisé par éléments finis, on modifie l’équation 4.5 pour respecter cette nuance. Alors, les trois types de rigidités en cisaillement sont donnés par la relation suivante :
(Kt)int= 2 (Kt)bord = 4 (Kt)coin=
GaAe
ta (4.6)
Le troisième ressort modélise le comportement de l’adhésif en pelage, c’est-à-dire sa rigidité en tension normale par rapport au plan du joint. En suivant les mêmes développements basés sur la contrainte (σ = F/A), la loi de Hooke (σ = Eaεa) et la déformation d’un ressort linéaire
(εa= ∆/ta), on obtient l’équation suivante :
Kn=
EeffAe
Ae Ae 4 Ae 2 coin interne bord
Fig. 4.31 – Proportions de l’aire d’élément considérée dans les calculs (Éq.4.5 et4.7) selon les positions de nœuds du maillage.
Le terme module équivalent (Eeff) est défini par Loss et Kedward [65], supposant que l’adhésif
se déforme avec un état de contraintes différent selon sa position dans la zone de recouvrement.
(Eeff)int= Ea= 2Ga(1 + νa) uniaxial (4.8)
(Eeff)bord= Ea(1− νa) (1 + νa) (1− 2νa) triaxial (4.9) (Eeff)coin= Ea (1− ν2 a) biaxial (4.10)
Selon les auteurs [65, 72], la condition naturelle de contraintes ou déformations nulles aux bords libres (selon l’orientation) implique de prendre les modules équivalents basés sur une supposition de comportements triaxial et biaxial aux ressorts localisés aux quatre bords et quatre coins du recouvrement. En calculant Ae comme à l’équation 4.6 et en insérant les
équations4.8–4.10 dans4.7, on obtient
(Kn)int= EaAe ta (4.11) (Kn)bord = Ea(1− νa) (1 + νa) (1− 2νa) Ae 2ta (4.12) (Kn)coin= Ea (1− ν2 a) Ae 4ta (4.13)
Pour réaliser cette technique, il est nécessaire de projeter les (200) nœuds du maillage de la zone de collage d’un adhérent à la mi-hauteur entre les surfaces médianes des éléments de type coque, soit à [ta+ h1]/2. On place une série de ressorts (dont l’extrémité est initialement
décalée) en lui attribuant une direction. Dans cette série, les constantes de ressorts (Ki)int,
(Ki)bord et (Ki)coin doivent être spécifiés manuellement selon la position planaire (Fig.4.31).
Après, on fusionne les extrémités de tous les ressorts pour que les (400) nœuds coïncident. Ensuite, on recommence la procédure pour les deux autres séries de ressorts des autres direc-
tions orthogonales. À la fin, on connecte le tout avec des éléments rigides comme illustré en Fig. 4.30.
Au post-traitement des résultats, on doit extraire les forces axiales des ressorts dans chacune des trois directions orthogonales et calculer les contraintes et les déformations manuellement. En cisaillement, on trouve à chaque nœud i que
τia = q fx,i2+ fy,i2 Ae , γia= q δx,i2+ δy,i2 ta (4.14)
En pelage, on obtient simplement
σia= fz,i Ae
, εai = fz,i
ta (4.15)
Pour visualiser les résultats sous forme graphique, on construit un script Matlab permettant d’importer les fichiers de lecture des forces des ressorts prélevées dans NX Nastran pour ensuite calculer les contraintes définies avec les relations4.14et4.15. Puisque le solveur place ses valeurs de sortie par ordre de numéro d’identification des nœuds, on génère une fonction surfacique des contraintes à l’aide d’une interpolation linéaire entre ces points. Une version simplifiée du script en question (NX8_GlueSurfPlot.m) est placée à l’annexe D.1. Avec un chargement de 4,448 kN (1000 lb), on obtient les répartitions de contraintes en cisaillement et en tension de la Fig. 4.32. Dans la figure, on remarque que la distribution est très uniforme selon la largeur du joint, à part aux bords et aux coins où la rigidité est affectée par l’aire effective de section. Les contraintes sont maximales au centre du joint, avec des valeurs de 21,7 MPa en cisaillement et 24,3 MPa en tension.
CELAS1 (200 CQUAD4)!
(a) Cisaillement
CELAS1 (200 CQUAD4)!
(b) Tension
Fig. 4.32 – Distribution des contraintes dans le joint SLS formé d’éléments ressort CESAL1 sous un chargement de 4,448 kN (1000 lb).
4.3.2 Modélisation avec contacts de type Surface-Gluing
Avec cette technique, on n’a qu’à sélectionner les portions de surface des adhérents sur les- quelles on veut modéliser l’interstice collé. Le logiciel projette des éléments ressorts virtuels d’un maillage à l’autre. Dans le cas d’un maillage structuré et coïncident, le logiciel les aligne nœud à nœud, comme à la Fig. 4.33. Cependant, il est décrit dans la documentation du logiciel [70] que les propriétés de création de Surface-Gluing (BGSET) ne peuvent pas créer les éléments à la distance de séparation de la surface médiane des éléments coques. Ceux-ci sont attachés, dans le fichier .sim, en utilisant directement le maillage en éléments coques tel que représenté dans le modèle .fem. Alors, pour contourner cet obstacle, il faut construire les maillages des adhérents sur les faces des interstices (et non sur les médianes), comme montré dans l’illustration. Ensuite, il ne faut pas oublier de décaler les surfaces de référence du calcul des éléments de type coque6 de h/2 pour que la position de la section virtuelle des éléments
soit représentative de la réalité du joint collé. Sans cette considération, les effets de moments de flexion des adhérents, tout comme la rigidité en cisaillement, dans la colle, seraient faussés.
Éléments coque Adhérent 1 Adhérent 2 Maillage virtuel « Surface-gluing » Éléments coque Plan médian (coque) Plan médian (coque) ta
Fig. 4.33 – Schéma du modèle d’adhésif formé d’éléments virtuels de type Surface-Gluing.
Lorsqu’on veut prescrire les rigidités des éléments de connection Surface-Gluing, on ajuste les valeurs d’entrée BGPARM, dans lesquelles on sélectionne l’option GLUETYPE=1 et le « fac- teur de pénalité » PENTYP=2. Cette dernière option permet de spécifier un comportement d’élément suivant une raideur par unité d’aire. Dans le manuel d’utilisateur [70], on définit cette formulation comme étant e = Force/(Longueur × Aire), dont la rigidité équivalente est calculée avec
K = e· dA (4.16)
Ici, l’aire élémentaire dA correspond à l’aire du maillage à un nœud donnée et la raideur e aux entrées des facteurs de pénalité normal (P ENN) et tangentiel (P ENT ) de l’utilisateur. Dans le but de simuler le comportement d’un adhésif, on reformule les rigidités équivalentes 6. Une telle option (ZOFFS dans NX Nastran) est disponible dans la majorité des logiciels d’AÉF utilisant ce type d’élément.
pour obtenir P EN N = Kn= F/dA ta = Ea ta (4.17) P EN T = Kt= V /dA ta = Ga ta (4.18)
Avec ces relations, on suppose simplement un comportement de contraintes uniaxial. En ci- saillement, le logiciel attribue la même rigidité P ENT dans les deux directions tangentielles. Ceci dit, pour réaliser une modélisation du comportement de la zone de collage par analogie avec les raideurs tridirectionnelles, on a qu’à entrer deux constantes avec cette technique, une fois que les surfaces de collages sont sélectionnées.
De plus, il est possible de raffiner l’analyse dans les options de solution sans avoir à toucher au maillage. Pour faire les calculs, l’entrée INTORD=3 place 9 nœuds par éléments au lieu de 4 pour des éléments linéaires et il en place 16 au lieu de 9 dans le cas des éléments quadratiques. Même s’il en est pas le cas dans la présente analyse, l’option REFINE=1 (par défaut) donne aussi la possibilité de projeter les nœuds de la surface dont le maillage est le plus dense sur celle opposée, si leur position planaire n’est pas coïncidente. Ce dernier aspect peut faire économiser énormément de temps de préparation de modèle pour les analystes chez Précicad.
Dans les mêmes conditions de modélisation employées avec les CELAS1, on trouve maintenant avec la technique Surface-Gluing les répartitions de contraintes données en Fig. 4.34. On remarque cette fois que les contraintes le long des arêtes à x = 0 et x = 12,7 mm sont plus faibles en pelage qu’en cisaillement, soient 24,8 MPa et 18,7 MPa respectivement ; une tendance inverse par rapport à la technique de modélisation CELAS1. Toutefois, en observant
SGLUE2D (200 CQUAD4)!
(a) Cisaillement
SGLUE2D (200 CQUAD4)!
(b) Tension
Fig. 4.34 – Distribution des contraintes dans le joint SLS formé d’éléments virtuels Surface- Gluing sous un chargement de 4,448 kN (1000 lb).
la résolution des contraintes près des bords, on pense que pour les deux types de modèles, il serait fort possible que le maillage ne soit pas assez raffiné pour arriver à de telles conclusions.
4.3.3 Comparaison des modèles simplifiés
Les résultats des distributions des sections 4.3.1 et4.3.2 ont révélés que les deux techniques donnent un même ordre de grandeur, mais se comportent différemment aux bords libres du joint. Avant de lancer d’autres analyses avec des maillages plus raffinés, on décide de faire quelques essais de validation.
Premièrement, la documentation NX Nastran n’explique pas comment le Surface-Gluing in- terprète l’aire dA aux positions nodales en périphérie. Alors, on reprend le même modèle, mais cette fois en lisant les trois composantes des forces issues des éléments ressort (sortie Glue Forces). Pour transformer ces valeurs nodales en contraintes, on utilise les formules 4.14 et 4.15programmées dans le script pour les calculer et tracer leur distribution. Comme on voit dans la Fig. 4.35, on compare ces résultats prélevés à partir des forces avec ceux du post- traitement régulier (pression). Pour s’assurer que les éléments de type coque « décalés » des adhérents se comportent comme prévu, on copie pour chaque cas un second modèle, qu’on mo- difie avec des éléments de type brique (CHEXA8). On utilise la même densité de maillage, mais avec deux éléments à travers l’épaisseur. Tout d’abord, on voit que l’utilisation des éléments 2D et 3D dans les adhérents donne des résultats parfaitement superposés, peu importe si on prend la lecture des forces ou des contraintes. Ceci valide la technique de décalage employée. Ensuite, on voit que les deux courbes utilisant les FGLUE (en vert et en magenta) s’affaissent
Comparaison initiale distributions!
(a) Cisaillement
Comparaison initiale distributions!
(b) Tension
Fig. 4.35 – Comparaison des différentes approches de modélisation des Surface-Gluing réalisées pour des fins de validation ; les distributions FGLUE sont issues de l’exportation des forces nodales des contacts et les SGLUE sont obtenus directement à partir des pressions ; la notation 3D signifie qu’on a utilisé des éléments de type brique pour modéliser les adhérents tandis que 2D indique qu’on a employé des éléments de type coque (décalés) pour les modéliser.
vers le bas aux extrémités de la zone de recouvrement, en prenant une allure similaire à la distribution des ressorts CELAS1. De plus, en allant voir directement les résultats des forces, on s’aperçoit que les lectures sont plus faibles en périphérie de la zone de recouvrement. On peut alors affirmer que le logiciel utilise les bonnes aires effectives pour calculer les contraintes et les déplacements aux bords libres du joint.
Deuxièmement, pour comparer les deux modèles correctement, on modifie la formulation des ressorts pour avoir une relation uniaxiale en tout point, comme avec les Surface-Gluing. On remplace les modules effectifs en pelage aux bords et aux coins par l’Éq. 4.8. En plus, on corrige la méthodologie proposée en section 4.3.1 pour prendre en compte les portions d’aire réelles non seulement dans les formulations de rigidités (Éq.4.6–4.13), mais aussi dans le calcul des contraintes (Éq.4.14–4.15). Le script CorrForce2Stress.m créé pour faire l’ajustement de la lecture des contraintes est placé en annexe D.2.
Comme résultat, on observe que supprimer l’effet des Eeffdans les ressorts en tension apporte
un relâchement des forces tangentielles de 1,7 % et 14,9 % en tension. Après avoir employé le script de correction de Ae, on observe une augmentation de contraintes τzxa et σazz de 300
% aux coins et de 100 % aux bords. Le modèle modifié par ces opérations est affiché en bleu