Suite aux nombreux essais réalisés sur les deux principales familles d’adhésifs, on remarque de façon générale que :
— Chaque produit, que ce soit d’une même famille d’adhésif ou non, comporte une nature chimique et mécanique trop singulière pour être caractérisée et comparée de façon gé- nérale. On doit les évaluer de façon indépendante si l’on souhaite optimiser chaque effet des paramètres de préparation manufacturière.
— Les caractéristiques des substrats tels que la préparation de surface et les propriétés physiques (dimensionnelles et matérielles) du joint ont une incidence majeure sur la
Graphe des effets Caractéristique: Moyenne MPa 25,26 24,34 23,43 22,51 21,59 1 2 3 4 Attaque 1: NaOH 2: Scotch-Brite 7447 3: Papier Sablé (#150) 4: Jet Sable Jet Sable 1 2 Contamination 1: Huileux 2: MEK MEK 1 2 Épaisseur colle 1: 0,005 2: 0,063 0,005 1 2 Répartition 1: Étendu 2: Goutellette Goutellette (a) Cisaillement DLS
Graphe des effets
Caractéristique: Moyenne MPa 29,89 27,50 25,11 22,73 20,34 1 2 3 4 Attaque 1: NaOH 2: Scotch-Brite 7447 3: Papier Sablé (#150) 4: Jet Sable Papier Sablé (#150) 1 2 Contamination 1: Huileux 2: MEK Huileux 1 2 Épaisseur colle 1: 0,005 2: 0,063 0,005 1 2 Répartition 1: Étendu 2: Goutellette Goutellette (b) Tension
Fig. 2.36 – Graphes des effets des paramètres sur la moyenne et optimisation Taguchi de l’adhésif au méthacrylate Araldite 2021 ; les paramètres barrés d’un « × » indiquent que leur contribution est négligeable sur la caractéristique évaluée (moyenne).
résistance ultime des joints par recouvrement. Les résultats de performance obtenus ne peuvent que servir à des fins de comparaison de procédé, et non des valeurs servant à faire des calculs d’ingénierie.
— La configuration de joint en tension bout à bout est inappropriée pour faire des essais de sélection de procédés, car on obtient une mauvaise variance des résultats. Par contre, la configuration DLS permet de faire de bonnes analyses. Il serait également intéressant de comparer les performances des adhésifs testés en DLS avec des essais identiques en joint SLS, car cette configuration est reconnue pour exercer un chargement mixte à l’intérieur de l’adhésif. De plus, la fabrication des éprouvettes SLS (ainsi que leur contrôle qualité) est bien plus facile à réaliser.
— Les faciès de rupture des essais des adhésifs à époxys sont majoritairement de nature adhésive, leur donnant des résistances parfois plus faibles que certains essais avec des
méthacrylates, qui ont pourtant une résistance affichée plus faible. Les méthacrylates testés sont presque invariables à la contamination de surface et de simples méthodes de ponçage de surface donnent de très bons résultats. Ces éléments démontrent que la dernière famille chimique testée répond mieux aux besoins manufacturiers de Précicad. — Le traitement au NaOH est le plus performant pour coller les adhésifs à époxy (parmi
ceux testés), mais le moins performant pour coller les adhésifs au méthacrylate. Le pon- çage au papier émeri #150 quant à lui semble être bon dans les deux cas.
Certaines sources d’erreurs liées à la méthodologie expérimentale ont pu être identifiées et, dans certains cas, être corrigées :
— On a remarqué que même si l’on respecte la date d’expiration du produit recommandée par le manufacturier, les propriétés de l’adhésif peuvent se dégrader une fois le tube ouvert, et ce même si la température d’entreposage est bien contrôlée. Ceci pourrait poser un problème en laboratoire lorsqu’on cherche à obtenir des propriétés ultimes représentatives de la réalité (les produits fabriqués en production). Néanmoins, dans des conditions de fabrication industrielle typiques, le produit est généralement consommé plus rapidement qu’en laboratoire (volume de production) et dans le cas de Précicad, on ne cherche pas à s’approcher autant de sa valeur critique (ultime) en design.
— Il est possible que l’humidité présente dans l’espace de travail affecte le durcissement de l’adhésif (donc ses propriétés). Cependant, cet effet n’a pu être quantifié ou contrôlé en laboratoire.
— Quiconque fabriquant des éprouvettes DLS doit porter attention à la rectitude des tôles découpées et au parallélisme de l’assemblage jointé. Plusieurs essais ont du être recom- mencés, car l’étape de découpage des substrats a généré un gauchissement des substrats, comme le montre la Fig.2.37. Ainsi, même avec une épaisseur d’assemblage (hors-tout) bien contrôlée en gabarit, ceci ne veut pas dire que l’épaisseur des deux recouvrements du joint est égale et uniforme. En fonction du type de défaut, l’adhésif peut rompre prématurément, d’un côté ou de l’autre de l’assemblage de l’éprouvette.
Parallélisme Gauchissement Épaisseur
Fig. 2.37 – Types de défaut possibles dans l’assemblage de joints DLS utilisant un gabarit à épaisseur totale contrôlée.
Chapitre 3
Modélisation analytique des joints par
adhésif
Après avoir ciblé les conditions manufacturières permettant de maximiser les performances du collage, il devient important de pouvoir prédire la résistance d’un joint en phase de design par le moyen de calculs de résistance des matériaux.
Les calculs analytiques ont l’avantage de pouvoir faire la prédiction rapide d’un phénomène et d’observer facilement le changement d’un résultat suite à la modification des paramètres d’entrée. Ceci peut d’ailleurs être très utile à l’ingénieur lorsqu’il doit faire des calculs de prédimensionnement d’une structure, ou d’un joint plus spécifiquement encore pour vérifier certains résultats obtenus à l’aide d’un outil numérique, tel qu’un logiciel d’AÉF. Dans le contexte du présent projet de recherche, les formulations analytiques permettent aussi de mieux comprendre le fondement des différents mécanismes de déformation des matériaux formant le joint collé, que ce soit par la dérivation des différentes équations élémentaires ou par le moyen d’études paramétriques.
Il est donc question d’étudier les modèles analytiques présents dans la littérature, dans le but d’outiller la compagnie Précicad de méthodes efficaces pour prédire les contraintes dans les joints collés.
3.1
Revue de littérature
Le moyen de plus simple d’analyser le niveau de contraintes d’un joint par adhésif à simple recouvrement est de prendre la charge (parallèle au joint) et de la diviser par l’aire de collage. Comme on a vu dans le chapitre précédent (Éq. 2.1), en prennant n = 1, on obtient la contrainte moyenne (ou apparente) en cisaillement :
τmoy = F
Avec un tel calcul, on prend comme hypothèse que les adhérents sont infiniment rigides. Ainsi, la déformation du volume d’adhésif se fait en suivant la forme d’un parallélogramme, en cisaillement pur, tel que montré en Fig.3.1. On se rend compte que ce genre d’approximation
applied G is less than GC, the joint will not fail, otherwise failure
by crack propagation in the bondline will occur.
2. Two-dimensional linear elastic analyses 2.1. Classical analyses
2.1.1. Simplest linear elastic analyses
The simplest analysis considers one of the most common joints that can be found in practice, the single-lap joint (SLJ). In this analysis, the adhesive is considered to deform only in shear and the adherends to be rigid. The adhesive shear stress (t) is constant over the overlap length, as shown inFig. 1, and is given by
t¼blP (1)
where P is the applied load, b is the joint width and l is the overlap length.
The value for the shear stress can be interpreted as the average shear stress acting on the adhesive layer. This analysis is not very realistic due to many simplifications, but is still the basis for quoting adhesive shear strength in many test situations such as ASTM and ISO standards.
2.1.2. Volkersen’s analysis
Volkersen’s analysis introduced the concept of differential
shear, illustrated in Fig. 2. It was assumed that the adhesive
deforms only in shear but that the adherends can deform in
tension, as can be seen in Fig. 3, because they are considered
ARTICLE IN PRESS
Table 1
Summary of both linear and nonlinear two-dimensional analytical models available in the literature
Material linearity Adherends Adhesive stresses Solution
Adhesive Adherend Isotropic Composite Similar Dissimilar sx sy txy Closed-form Numerical
Linear Nonlinear Linear Nonlinear Thickness Material
Volkersen[1] X X X X X X X
Goland and Reissner[2] X X X X X X X
Wah[21] X X X X X X X X X
Hart-Smith[13,50] X X X X X X X X
Pirvics[22] X X X X X X X X X X
Grimes and Greimann[58] X X X X X X X X X X X X
Renton and Vinson[23–24] X X X X X X X X X
Srinivas[25] X X X X X X X X X X
Allman[18] X X X X X X X X
Ojalvo and Eidinoff[16] X X X X X X X X
Delale et al.[32] X X X X X X X X X X X
Bigwood and Crocombe[12] X X X X X X X X X
Bigwood and Crocombe[51] X X X X X X X X X
Cheng et al.[26] X X X X X X X X X X
Crocombe and Bigwood[59] X X X X X X X X X X
Adams and Mallick[31] X X X X X X X X X X X X
Tong[54] X X X X X X X X
Yang and Pang[27] X X X X X X X X X X
Frostig et al.[48] X X X X X X X X X X
Sawa et al.[28] X X X X X X X X X X
Mortensen and Thomsen[33] X X X X X X X X X
Adams et al.[61] X X X X X X X
Wang et al.[60] X X X X X X X X X X X X
Smeltzer and Klang[56] X X X X X X X X X X X X
Fig. 1. Deformations in loaded single-lap joints with rigid adherends.
Fig. 3. Single-lap joint analysed by Volkersen [1]: (a) Geometry and (b) elemental diagram.
Fig. 2. Deformations in loaded single-lap joints with elastic adherends. L.F.M. da Silva et al. / International Journal of Adhesion & Adhesives 29 (2009) 319–330
320
Fig. 3.1 – Distribution des contraintes en cisaillement du modèle simplifié à adhérents rigides [37].
est très grossière, car la grande majorité des joints à recouvrement fait de tôlerie comporte une flexibilité non négligeable, et ce, même pour des adhérents en acier ou en composites. En réalité, la distribution de contraintes dans l’adhésif est loin d’être constante comme on vient d’illustrer. Au contraire, celle-ci est bien complexe, comportant des gradients de contraintes très élevés à mesure qu’on se rapproche des bords libres [5]. Bien que le calcul de la contrainte apparente peut servir de mesure de comparaison lors d’essais expérimentaux (comme au chapitre2) ou encore en contrôle qualité, il arrive trop souvent qu’on l’interprète de la mauvaise façon en l’utilisant pour dimensionner ou pour prédire la résistance d’un joint structurel.
En analyse élastique, ces sources d’intensification de contraintes dépendent de nombreux fac- teurs de conception, soit des propriétés matérielles de l’adhésif et des adhérents, des dimen- sions géométriques telles que les épaisseurs des différents matériaux constituant le joint et des conditions limites de chargement. Les sous-sections qui suivent tenteront de retracer chrono- logiquement les modèles analytiques les plus marquants dans la littérature, pour permettre de retenir les facteurs les plus essentiels et les équations les plus efficaces pour faire l’analyse rapide de prédiction de contraintes.
3.1.1 Modèle du cisaillement différentiel
Le premier à incorporer l’effet d’élongation des adhérents dans un modèle d’adhésif est Vol- kersen (1938). Dans son modèle shear lag, on permet à l’adhésif de se déformer uniquement en cisaillement et aux adhérents uniquement en tension longitudinale, supposant la continuité des déformations aux interstices des matériaux [5,37]. Ainsi, comme l’illustre la Fig. 3.2, on a la contrainte longitudinale de l’adhérent supérieur qui réduit linéairement (du point A au point B) jusqu’à zéro. L’effet contraire est produit dans l’adhérent inférieur. Ceci vient défor- mer le parallélogramme de la Fig.3.1, par effet de cisaillement différentiel. Pour développer le modèle, on procède à l’analyse élémentaire schématisée en Fig.3.3, montrant la déforma-
Fig. 3.2 – Distribution des contraintes en cisaillement du modèle shear lag à adhérents flexibles [37].
tion d’une tranche du joint (infiniment petite) comprenant l’adhésif et ses deux substrats. Considérant δx le déplacement relatif entre l’adhérent supérieur et inférieur, on obtient :
δx= δ0− Z x −l/2 ε1dx + Z x −l/2 ε2dx (3.2)
où δ0 est le déplacement à l’extrémité gauche (x = −l/2), puis ε1 et ε2 sont les déformations
longitudinales des adhérents. En analysant le problème de sorte à ce que tout soit constant à travers la largeur du joint, on obtient les déformations suivantes en appliquant la charge P
ε1 = 1 Eh1 " P− Z x −l/2 τxdx # (3.3) ε2 = 1 Eh2 Z x −l/2 τxdx (3.4) Pour l’adhésif, on a δx= ta Ga τx (3.5)
Fig. 3.3 – Portion élémentaire du joint SLS modélisé par Volkersen (1938) ; image adaptée de l’article de daSilva et al. [37].
En substituant les équations 3.3à 3.5 dans l’équation 3.2, puis en dérivant l’expression deux fois, on obtient l’équation différentielle du second ordre
∂2τx
∂x2 = ω 2τ
La solution générale de l’équation3.6prend la forme
τx = A1cosh ωx + A2sinh ωx (3.7)
En appliquant des conditions limites propres au problème du joint en question (charge, ma- tériaux, géométrie), on obtient une solution analytique, dont les expressions sont détaillées à l’annexeC.1.
Lorsque les adhérents sont identiques, soit h1 = h2 = h et E1 = E2 = E, alors la contrainte
maximale en cisaillement est trouvée aux deux extrémités du joint, donnant τmaxa = τmoy r φ 2coth r φ 2 (3.8)
En remanipulant les termes, on peut trouver la charge maximale, lorsqu’on connaît les limites maximales en cisaillement de l’adhésif et des adhérents.
Fmax = 2 b τmaxs r Ehta 2G tanh s Gl2 Ehta (3.9)
En analysant l’équation 3.9, on peut voir que la résistance maximale à la charge Fmax est
proportionnelle à √ta, voulant dire que plus le joint par adhésif est épais, plus il sera fort.
Ceci contredit sans équivoque les résultats expérimentaux relevés dans la littérature (dont ceux observés au chapitre2!), puisque les tendances montrent l’effet inverse [5]. Le modèle fut alors critiqué. Entre autres, on remarque que Volkersen négligeait certains aspects fondamentaux : — Les charges P ne sont pas colinéaires, alors cette forme d’excentricité génère un moment
de flexion.
— La rotation du joint causée par le moment de flexion des adhérents fait évoluer l’orienta- tion du plan de recouvrement, causant un changement de direction de la charge (cisaille- ment → tension). Or, les déplacements du joint ne sont désormais plus proportionnels au chargement appliqué.
3.1.2 Inclusion des effets de flexion
Quelques années plus tard, Goland et Reissner (1944) ont introduit une relation qui rapporte les effets géométriques non linéaires causés par le moment de flexion aux extrémités de la zone de recouvrement (Fig.3.4). Ce moment, exprimé à l’équation3.10, dépend de l’intensité de la charge, de l’épaisseur des substrats et d’un facteur de moment de flexion (k) détaillé à l’annexe C.2.
M = kPts
2 (3.10)
Ce facteur a une valeur unitaire lorsque le chargement est très faible et décroît (k < 1) lorsque la force augmente.
P P V M M V
Figure 5 Goland and Reissner’s model.
Figure 6 Goland and Reissner’s adhesive shear and peel stress distributions.
28
Fig. 3.4 – Déformation par rotation du joint SLS causée par les moments de flexion [37].
Dans leur formulation, les auteurs ont développé une relation qui inclue également les contraintes en tension (pelage) dans l’adhésif. Ceci a d’ailleurs permis de mieux comprendre les causes de rupture des joints SLS et DLS1. Par exemple, on voit à la Fig. 3.5 que la concentration de
contraintes aux extrémités du recouvrement est plus intense pour la distribution de contraintes en pelage. Ceci confirme aussi des précautions qu’il faut prendre lorsqu’on évalue un joint avec l’approximation de l’équation 3.1. On peut voir dans le cas présent que l’erreur est de l’ordre de 3,5 fois la valeur calculée.
-1,0! -0,5! 0,0! 0,5! 1,0! 1,5! 2,0! 2,5! 3,0! 3,5! 4,0! 0,0! 0,2! 0,4! 0,6! 0,8! 1,0! Kc! Distance normalisée x/l ! tau! sigma! ⌧xza/⌧moy a zz/⌧moy
Fig. 3.5 – Distribution du facteur de concentration de contrainte Kcdu modèle du joint SLS
de Goland et Reissner selon la distance longitudinale normalisée x/l, pour le cas en cisaillement τxza /τmoy et en tension σzza /τmoy; tracé selon la configuration du joint détaillé à la section3.2.
Les relations des contraintes τa
xz et σzza de Goland et Reissner, détaillées à l’annexe C.2,
représentent la région collée comme étant monolithique et formée de deux séries de ressorts 1. Comme on le souligne au chapitre 2, le joint DLS subit des moments de flexion internes même si sa configuration symétrique à travers l’épaisseur réduit significativement la flexion résultante nette (externe).
(infinies) à l’intérieur de la zone de recouvrement. Par contre, ceci implique que ta= 0 et que
σaxx= 0. De plus, on pose comme hypothèse que le travail exercé par les contraintes τxzs et σzzs est négligeable en comparaison à celui dans l’adhésif. Toutes ces suppositions impliquent des limites au modèle. On indique que les bornes de validité se situent entre les configurations :
tsGa
taGs
< 0,1 et tsEa taEs
< 0,1
Cependant, comme Adams et al. font remarquer dans leur livre [5], un joint d’aluminium/é- poxy typique dont les adhérents font 1,6 mm d’épais et l’adhésif 0,1 mm se trouve facilement hors de cette plage, avec un rapport près de 0,6. Il importe alors de trouver un modèle qui soit moins limitant.
Beaucoup d’auteurs se sont basés sur le présent modèle pour y incorporer d’autres variables, représentant mieux la réalité des joints à recouvrement. Sans tous les nommer, Hart-Smith (1973) a grandement contribué à la compréhension du design des joints en approfondissant l’étude des effets de pelage dans les joints SLS, DLS et d’autres géométries couramment em- ployées en aéronautique [52,50,51]. En collant des matériaux composites stratifiés, puisque les adhérents sont de nature fragile, les contraintes en tension transmises dans le joint peuvent en- traîner des conséquences catastrophiques en délaminant les stratifiés des pièces collées (comme en Fig.1.5d). Il introduisit donc des notions d’efficacité de joint, trouvant des configurations qui minimisent ces effets [53,36]. Parmi ses nombreux ouvrages, il étudie le joint SLS et trouve une formulation analytique linéaire pour ceux à adhérents similaires, dans laquelle le facteur de moment de flexion k comprend l’épaisseur de l’adhésif. Son modèle est plus approprié aux joints à distance de recouvrement court que celui de Goland et Reissner. De plus, il a déve- loppé un modèle non linéaire qui comprend la plasticité de l’adhésif et des adhérents, pouvant uniquement se résoudre à l’aide de méthodes numériques itératives. Sa formulation linéaire est étudiée dans la comparaison des modèles à la section 3.2, dont la solution est détaillée à l’annexeC.3.
3.1.3 Considération des effets transversaux
N’étant pas satisfait des modèles exprimant la distribution des contraintes planaires de leurs prédécesseurs, Adams et Peppiatt (1973) ont dérivé des expressions qui démontrent l’existence de variations de contraintes transversales [8], c’est-à-dire dans le sens de la largeur. En effet, sous traction, les adhérents tentent de se contracter naturellement par effet Poisson dans le sens de la largeur et de l’épaisseur. Cependant, la présence de l’adhésif amène une rigidité planaire en cisaillement, développant ainsi des contraintes en tension et en compression transversales (y) dans les adhérents (Fig.3.6a). Par conséquent, on trouve du cisaillement transversal dans l’adhésif, évoluant d’une extrémité à l’autre de la longueur du recouvrement. Ce modèle permet alors de trouver les distributions de contraintes σs
xx et σyys dans les adhérents, tout comme le
cisaillement transversal τa
longitudinal τa
xz pour donner une contrainte résultante en cisaillement planaire. Cependant,
les auteurs ont dû négliger les effets de déformation longitudinale et transverse causée par la flexion anticlastique des adhérents (Fig. 3.6b). Le nombre additionnel d’éléments intégrés dans le modèle d’Adams et Peppiatt rend le problème trop complexe pour être résolu de façon analytique. Une méthode numérique aux différences finies est employée dans leur article pour trouver une solution. Ils proposent également une approximation, où σ1
xx est constant selon y,
qui permet d’obtenir une formulation analytique. Cette forme simplifiée des distributions de contraintes se trouve à l’annexe C.4.
x y
(a) considered and the effect of the bending moment was neglected. A set of two, second-order partial differential equations was obtained. Two numerical methods were presented to solve this set of equations, an approximate analytical solution (assuming that the longitudinal normal stress in the adherends is constant across the joint width) and a finite-difference solution. Both methods were in close agreement. The authors found that the adherend normal stress in the width direction is a maximum in the middle of the joint and zero at the edges. The transverse shear stress in the adhesive is a maximum at the edges and zero in the middle (seeFig. 13). Adams and Peppiatt[62]showed that, without considering the bending of the joint, adhesive and adherend stresses exist in the width direction. However, these stresses are smaller than the stresses in the longitudinal direction and a two- dimensional analysis is sufficient for most cases. The limiting case for ‘wide’ joints is Poisson’s ratio multiplied by the longitudinal shear stress. There is a maximum transverse tensile stress (across the width) at the mid section. This explains why when testing in tension unidirectional composites, longitudinal cracks can occur in the specimen.
Similar results were obtained by Oterkus et al.[63]. In addition to the adhesive shear stress, the adhesive peel stress was also
considered. The SLJ model was three-dimensional and included nonlinear geometry. The analysis used the Von Karman nonlinear plate theory to model tapered or parallel composite adherends, and the shear-lag theory to model the adhesive layer that could have linear or bilinear behaviour. The adhesive layer was considered to be thin in comparison with the adherend thickness, and did not allow the adhesive stresses to vary across the