Simulation

Les r´esultats obtenus avec les deux techniques de d´emodulation num´erique ont ´et´e confirm´es par simulation num´erique de leur r´eponse : la sensibilit´e au bruit, `a la quantification et `a la mo- dulation d’amplitude a ´et´e ´etudi´ee. Elle permet d’estimer la pr´ecision absolue de ces techniques (le signal d’entr´ee est parfaitement connu), aussi bien pour les mesures optiques que pour les mesures acoustiques.

Les programmes en question permettent de faire varier les diff´erents param`etres :

– les fr´equences : de la porteuse fp, de la modulation de phase fmp, de la modulation d’amplitude

fma, d’´echantillonnage fe, de coupure du filtre passe-bande d’entr´ee fbp,

– les indices de modulation de phase Amp (en radian) et d’amplitude T Xma (en pourcentage

de l’amplitude de la porteuse),

– les rapports signal sur bruit de la modulation de phase RSB et de la porteuse RSBA,

– le nombre de bits de quantification nbits de la porteuse num´eris´ee,

– la dur´ee des modulations de phase et d’amplitude dans la fenˆetre de porteuse acquise. On fait varier ces param`etres deux par deux pour ´evaluer leur couplage ´eventuel et interpr´eter les r´esultats16. Les couples choisis l’ont ´et´e principalement pour ´etudier l’effet de la modulation d’amplitude : (T Xma, Amp), (fmp, fma), (fma, T Xma) et (fmp, T Xma)17. Dans chaque cas les calculs

sont r´ealis´e sur des signaux ”id´eaux” puis ”r´eels”, pour d´eterminer l’influence du bruit : les signaux ”r´eels” sont synth´etis´es avec 1% de bruit sur la phase et une quantification sur 8 bits.

Les param`etres suivants ne sont pas les plus importants dans la pratique et sont donc fix´es : – La fr´equence d’´echantillonnage, par exemple, n’est une limitation que pour la mesure de

signaux long, mais il est toujours possible d’effectuer des acquisitions par morceaux. Elle est de l’ordre de 10fp, mˆeme pour les mesures optiques : on prend, comme dans la plupart des

exp´eriences, fe= 1 GHz, soit 15000 points sur 15 µs.

16

On visualise l’erreur de d´emodulation en pourcentage (comparaison des maxima des modulations de phase en entr´ee et en sortie) ainsi que le rapport signal sur bruit (´evalu´e en dehors de la fenˆetre de modulation, c’est-`a-dire sur le niveau de r´ef´erence de la phase).

17

Le jeu de param`etres (fmp, amp) peut ´egalement ˆetre trait´e. Qualitativement : l’erreur augmente avec l’indice et la fr´equence de modulation, avec une plus grande sensibilit´e `a la fr´equence. La d´etection des z´eros pose probl`eme pour les tr`es faibles indices, mais elle est plus robuste pour les grands.

142 Chapitre 4. Mesure de fortes pressions, contrainte de radiation

– La dur´ee des modulations (de phase ou d’amplitude) n’est pas d’une grande importance tant qu’elle reste inf´erieure `a la dur´ee de la fenˆetre d’acquisition de la porteuse. Lorsque la porteuse est modul´ee sur toute sa dur´ee, les bords du signal sont d´eform´es, mais cela ne change rien au centre de la fenˆetre.

– Le nombre de bits de quantification est fix´e `a 8 (le mˆeme que celui de l’oscilloscope), le passage `

a 10 ou 12 am´eliore notablement la pr´ecision, mais nous ne disposons pas de cette possibilit´e dans la pratique et l’ajout d’une quantification est le param`etre le plus ”coˆuteux” en terme de temps de calcul. C’est un param`etre critique, notamment pour la d´etection des passages par z´ero.

Dans les calculs (T Xma, Amp) et (fmp, T Xma), la fr´equence de la modulation d’amplitude est

choisie ´egale `a celle de la modulation de phase, o`u du mˆeme ordre, sauf pour les couples (fmp, fma) et

(fma, T Xma) o`u l’objectif est justement de faire varier fma. D’une mani`ere g´en´erale, les param`etres

fix´es prennent les valeurs par d´efaut suivantes : T Xma= 0.5, Amp= 0.5 `a 50 radians suivant qu’on

´

etudie les faibles ou les fortes modulations, fmp ≈ fp/10 (on ´evite le cas particulier d’un rapport

entier), fma ≈ fp/10, nbits= 8, RSB = 100, RSBA= 100 (ce qui correspond `a 1% de bruit. C’est

optimiste du point de vue exp´erimental, mais envisageable avec un grand nombre de moyennes et un filtrage de la porteuse.).

Effet de la modulation d’amplitude : Le rapport des fr´equences de modulation fmp/fma a

peu d’influence, ce sont les rapports fmp/fp et fma/fp qui sont d´eterminants.

– Pour les signaux id´eaux (c’est `a dire en l’absence de bruit ou de quantification), la pr´ecision diminue lorsque fmaet T Xmaaugmente pour la d´emodulation en quadrature. La d´etection des

passage par z´eros est presque insensible `a T Xmaet elle est tr`es peu alt´er´ee par l’augmentation

de fma (erreur inf´erieure `a 0,5%).

– Pour les signaux r´eels, l’effet du rapport des fr´equences est bien plus sensible. Pour les deux d´emodulations, seul le domaine d´efini par fmp < fp/4 et fma < fp/4 assure une erreur

inf´erieure `a 5% sur l’indice de modulation mˆeme si le RSB est satisfaisant (> 105 pour la quadrature et > 150 pour la d´etection de z´eros).

– Pour T Xma ≥ 100% les diff´erents programmes donnent syst´ematiquement un signal erron´e.

En effet, l’amplitude de la porteuse s’annule ce qui induit une ind´etermination sur sa phase, que le d´eroulement ne permet pas de corriger.

Effet du filtrage et des rapports de fr´equences : Dans la plupart des exp´eriences, on conserve une bande passante comprise entre fpet 1, 4fp, soit de fp/2 `a 0, 7fpde part et d’autre de la porteuse.

On conserve ce r´eglage pour les calculs, il permet d’´eliminer le bruit de haute fr´equence. Pour des fr´equences telles que fm/fp < 1/10 le biais introduit par le filtrage est quasi-nul (en tout cas

indiscernable des autres effets). On peut ´elargir la bande passante pour diminuer la distortion induite par le filtre sur les plus hautes fr´equences, mais on s’expose `a une augmentation du bruit.

4.1. Interf´erom´etrie laser appliqu´ee `a la mesure de fortes pressions 143

Effets du bruit et de la quantification verticale : Du point de vue num´erique on pourrait confondre les effets de ces deux param`etres :

– sans filtrage, la d´emodulation en quadrature fonctionne toujours, le niveau de bruit est in- d´ependant des autres param`etres. Pour les signaux id´eaux, dans la bande [0, fp/2], et pour

T Xma ≤ 50%, l’erreur sur l’indice de modulation n’exc`ede pas 1% (pour Amp = 0, 5 rad) et

le rapport signal sur bruit en sortie est sup´erieur `a 1000. Pour des signaux ”r´eels” (bruit´es et quantifi´es), l’erreur sur l’indice de modulation de phase reste raisonnable (≤ 2%) mais le RSB est de l’ordre de 30...le filtrage s’impose.

– Avec filtrage, la d´emodulation en quadrature est plus robuste vis-`a-vis du bruit et de la quantification. Elle reproduit en sortie le niveau de bruit introduit `a l’entr´ee (auquel s’ajoute celui correspondant `a la quantification, bien plus faible ≈ 1/2nbits_).

– La d´etection des passages par z´eros est bien plus sensible : en pr´esence de bruit naturel ou de quantification elle ne fonctionne plus sans filtrage. Pour des signaux id´eaux, avec ou sans filtrage, l’erreur est inf´erieure `a 1% et le RSB sup´erieur `a 1000. Pour les signaux r´eels, l’erreur est inf´erieure `a 2% pour Amp> 10 rad, inf´erieure `a 5% ailleurs, sauf pour Amp< 0, 5 rad, o`u

les r´esultats sont compl`etement erron´es. Le RSB est sup´erieur `a 500 pour Ampdans l’intervalle

[1, 10 rad].

Dans le meilleur des cas on retrouve en sortie le bruit impos´e en entr´ee ; qu’il soit impos´e sur la phase ou sur l’amplitude n’a pas d’influence. Les imperfections du signal sont critiques en pr´esence de modulation d’amplitude, pour des fr´equences ´elev´ees ou encore pour de forts indices de modulation. Elles sont certainement responsables des sauts de phase et du coup, de la limitation qui en d´ecoule en terme de fr´equence de modulation (phase ou amplitude) ou de taux de modulation d’amplitude (dont on parvient `a s’affranchir pour les signaux id´eaux).

Indice de modulation de phase : L’influence de l’indice de modulation de phase est ind´epen- dante de la modulation d’amplitude.

– pour la d´emodulation en quadrature (sans filtrage et pour des signaux id´eaux), l’erreur aug- mente avec Amp : elle est inf´erieure `a 0, 1% sur le domaine Amp < 7 rad. et va jusqu’`a 10%

pour Amp< 15 rad. Le RSB est alors toujours sup´erieur `a 1000. Pour des signaux r´eels, l’er-

reur est < 1% sur [1, 10] rad, mais elle augmente sensiblement pour les faibles et fort indices de modulation (Amp < 1 rad et Amp > 10 rad). Le RSB est catastrophique pour les faibles

indices de modulation et passe au dessus de 100 d`es que Amp> 1 rad. (ces estimations sont

effectu´ees avec un rapport fm/fp constant de l’ordre de 10).

– pour la d´etection des passages par z´ero, l’erreur est plus faible pour les grands indices de modulation : elle est < 2% pour Amp > 10 rad (quelle que soit la valeur de T Xma) ; pour

144 Chapitre 4. Mesure de fortes pressions, contrainte de radiation

Pour conclure :

– Sans modulation d’amplitude la pr´ecision est tr`es bonne pour les deux programmes.

– Avec des signaux id´eaux, la pr´ecision des deux m´ethodes est ´equivalente (erreur < 0, 5% et de l’ordre de 1% respectivement sans et avec modulation d’amplitude).

– Pour les signaux r´eels : sans filtrage la d´etection des z´eros est impossible, la pr´ecision de la d´emodulation en quadrature est s´erieusement d´et´erior´ee .

– La d´etection en quadrature est plus pr´ecise pour les faibles indices de modulation. En pr´esence de modulation d’amplitude, la d´etection des z´eros est meilleure pour les grands indices de modulation de phase.