Limites en d´ eplacement impos´ ees par la bande passante

La bande passante de la d´etection d´etermine la sensibilit´e de l’interf´erom`etre ainsi que la mo- dulation de phase maximale. La sensibilit´e (d´eplacement minimum mesurable) th´eorique (limit´ee par le bruit de ”grenaille”) est donn´ee par [95] :

umin= Λ 2π r eB I0 , (4.3)

o`u e est la charge de l’´electron, B la bande passante de la photodiode (et de l’´electronique de r´eception) et I0la composante continue du courant de la photodiode (0, 35 mA). Pour B = 20 MHz,

on obtient umin = 0, 01 nm.

Les deux facteurs qui interviennent dans l’estimation de la limite sup´erieure de la valeur des d´eplacements sont l’indice et la fr´equence de modulation (plus pr´ecis´ement de la fr´equence la plus haute contenue dans le spectre de la modulation). Autrement dit, c’est la vitesse de d´eplacement qui d´etermine la rapidit´e avec laquelle la phase de la porteuse varie, et qui impose la bande passante n´ecessaire. L’´ecriture r´eelle correspond `a une d´emodulation `a une ”voie” qui ne donne que les harmoniques paires ou impaires. Nous adoptons la notation complexe, ´egalement adapt´ee `a la d´emodulation des grands d´eplacements (qui exploite le sinus et le cosinus de la modulation de phase). La porteuse s’´ecrit :

s(t) = e[i(ωBt+φ(t))]_{= e}iωBt_{z(t). (4.4)}

Pour une modulation de phase harmonique de la forme :

φ(t) = m sin ωmt, (4.5)

la modulation de phase complexe z(t) se d´eveloppe comme suit :

ei(msin(ωmt)) _{= J} 0(m) + 2 ∞ X n=1 Jn(m)einωmt, (4.6)

o`u les Jn sont les fonctions de Bessel (coefficients du d´eveloppement en s´erie de Fourrier de l’expo-

nentielle de la modulation de phase). Plus l’indice de modulation est grand, plus l’´energie s’´etale dans le spectre (la multiplication de (4.6) par sin (ωBt) fait apparaˆıtre des bandes lat´erales de part

122 Chapitre 4. Mesure de fortes pressions, contrainte de radiation

La limite de d´eplacement maximum est d´etermin´ee `a partir de ce d´eveloppement : pour une bande passante B et un fondamental de fr´equence f , le rapport B/f donne l’ordre N de la plus haute harmonique d´etectable. Elle correspond au terme JN(m)eiN ωmt dans (4.6). Pour que les termes

suivants puissent ˆetre n´eglig´es, il faut que : JN +1(m) ≈ JN(m). Avec, par exemple,  ≈ 0, 1, pour

signifier qu’on n´eglige les composantes repr´esentant moins de 10% de la raie spectrale d’ordre N . L’indice de modulation maximal M serait alors donn´e par la condition :

∀m ≤ M, JN +1(m) JN(m)

<< 0, 1. (4.7)

L’approximation des fonctions de Bessel : Jn(x) ≈ x

n

2n_n! n’est valable que pour x << 1, on peut par

contre utiliser le d´eveloppement suivant : JN(m) = m 2 N_X∞ p=0 (−1)pm2p 22p_{p!(N + p)!}, (4.8)

et calculer les rapports JN +1(m)/JN(m) num´eriquement (par exemple sous Maple). On observe, sur

les figures 4.4 que les rapports des fonctions de Bessel comportent des asymptotes qui correspondent aux passages par z´eros des JN. Il est donc difficile d’obtenir l’indice de modulation maximal `a partir

de ces consid´erations.

Indice de modulation (a) J1 sur J0. Indice de modulation Ordre N (b) Pour N entre 0 et 10.

Fig. 4.4 – Rapport JN +1/JN en fonction de l’ordre et de l’indice de modulation.

La r`egle de Carson [142] donne l’occupation spectrale monolat`ere qui comprend 98% de l’´energie du signal. C’est une r`egle empirique et approximative6 :

B = ∆fmax+ W = (m + 1)fm, (4.9)

6_{On remarquera que cette approximation n’est pas valable pour m < 1 (elle n’a d’ailleurs pas de raison d’ˆetre dans}

4.1. Interf´erom´etrie laser appliqu´ee `a la mesure de fortes pressions 123

o`u m est l’indice de modulation (d´eviation maximale de phase ou indice de modulation de fr´equence ∆fmax/W ), W la largeur de bande du ”message” (de la modulation de phase fm dans notre cas) et

∆fmaxest la d´eviation maximale de fr´equence. La d´eviation de fr´equence est f (t)−fB(o`u f (t) est la

fr´equence instantan´ee). Son maximum est fmmp pour une modulation de phase harmonique et mf

pour une modulation de fr´equence. Avec un dispositif dont la bande passante B est impos´ee, l’ordre de la derni`ere harmonique accessible est N = B/fm et on d´eduit de (4.9) l’indice de modulation

maximal :

M = B

fm

− 1, (4.10)

soit un d´eplacement maximal : umax= Λ 4π  B fm − 1  ≈ Λ 4π B fm ≈ 50.10−9 B fm . (4.11)

Pour une onde plane, la vitesse particulaire telle que v = ωmu, d’o`u :

vmax=

Λ

2 (B − fm) ≈ ΛB

2 . (4.12)

Pour une onde acoustique de fr´equence fm = 2, 5 MHz et une bande passante B = 50 MHz, les

deux approximations donn´ees ci-dessus s’appliquent et donnent : M = 20 rad., umax = 1µm et

vmax = 16 m/s.

Le cas d’une onde acoustique se propageant non-lin´eairement et contenant donc un certain nombre d’harmoniques complique l’estimation rigoureuse de cette limite. Pour une modulation compos´ee d’une superposition de plusieurs harmoniques (d’ordre n > 1), la largeur de bande n´e- cessaire est le maximum de l’ensemble des Bn = (mn+ 1)nfm. En combinant deux conditions :

l’´evolution des harmoniques donn´ee par la r´esolution de l’´equation non-lin´eaire et la largeur de bande de la porteuse modul´ee par les harmoniques de l’onde acoustique, nous pouvons estimer l’indice de modulation maximum du fondamental et l’ordre de la derni`ere harmonique accessible.

La solution de Fay (´equation (1.66) du § 1.2.3.1) [1], valable loin du choc7, donne une expression simple de l’amplitude des harmoniques Ak(˜σ) :

An=

2

n(1 + ˜σ), (pour ˜σ ≥ 3), (4.13)

d’o`u les relations : An = n−1_n An−1 = A_n1 (on compare les amplitudes du fondamental et des har-

moniques `a ˜σ fix´e). La modulation de phase du laser, ∆Φ(t) = 4πu(t)_Λ , est alors de la forme8 :

∆Φ(t) =

∞

X

n=1

mnsin(nωmτ ), (4.14)

avec mn= 2Ku0An, d’o`u mn= m_n1.

7

Il s’agit des solutions en s´erie de l’´equation de Burgers, valable pour ˜σz ≥ 3, o`u ˜σ est la distance normalis´ee par rapport `a la distance de choc.

8_{Il est possible d’exprimer le photocourant sous la forme d’une double somme, en introduisant directement la}

solution de l’´equation de propagation non-lin´eaire en s´erie de Bessel [143]. Cependant, il est impossible d’´evaluer la limite en d´eplacement `a partir de ce d´eveloppement.

124 Chapitre 4. Mesure de fortes pressions, contrainte de radiation

Pour une fr´equence de modulation donn´ee, l’ordre N tel que B ≈ N fm, est a priori celui de

la derni`ere harmonique accessible. Pour que cette composante ne soit pas tronqu´ee, on obtient la condition suivante (analogue `a (4.10)) sur l’indice de modulation du fondamental m1 :

m1 ≤ N − 1, (4.15)

Si cette condition est v´erifi´ee, le spectre du fondamental est inclus dans la bande passante (on ne sait pas pour autant si l’ensemble des harmoniques d’ordre 1 `a N est accessible : une composante du champ acoustique de fr´equence nfm, pond´er´ee par un fort indice de modulation, peut s’´etaler,

dans le spectre de la porteuse, au del`a des limites de la bande passante).

On examine ensuite le cas d’une harmonique d’ordre n, grˆace `a l’expression de mn en fonction

de m1, son ´etendue spectrale devient : Bn = (m1+ n)fm. On obtient la condition suivante, pour

que le spectre ne soit pas tronqu´e :

∀ n, B_n≤ B ⇐⇒ n ≤ B fm

− m₁. (4.16)

Logiquement, l’indice de la plus haute harmonique d´etectable augmente quand l’indice de modula- tion du fondamental diminue.

0 5 10 15 20 25 30 20 40 60 80 100 120 140 160 f m=2,5 MHz, m1=10 rad, fp=70 MHz règle de Carson

Largeur de bande (monolatère) _{à −40 dB de la modulation (MHz)}

Ordre des harmoniques

(a) Occupation spectrale de la porteuse modul´ee en fonction de l’ordre des harmoniques.

0 50 100 150 200 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 n=1, m₁=10 rad n=10, m₁₀=1 rad Module du spectre (dB) Fréquence (MHz)

(b) Densit´e spectrale de puissance de la porteuse modul´ee par le fondamental et l’harmonique n = 10.

Fig. 4.5 – Estimation de la largeur de bande : r`egle de Carson et densit´e spectrale de puissance de la porteuse modul´ee en phase.

Sur la figure 4.5a, nous comparons deux estimations de la largeur de bande de la porteuse, relative `a chaque harmonique (l’indice de modulation correspondant `a l’harmonique d’ordre n est donn´e par mn = m1/n) : la premi`ere est donn´ee par la r`egle de Carson, la deuxi`eme est obtenue

num´eriquement (l’utilisation d’une densit´e spectrale de puissance, plutˆot que d’une transform´ee de Fourrier rapide donne un r´esultat plus lisible). Il s’agit dans ce cas de la largeur de bande de

4.1. Interf´erom´etrie laser appliqu´ee `a la mesure de fortes pressions 125 0 50 100 150 200 250 300 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 Fréquence (MHz) Module du spectre (dB) n=1, m₁=20 rad n=10, m₁₀=2 rad (a) fp= 70 MHz 0 50 100 150 200 250 300 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 n=1, m₁=20 rad n=10, m 10=2 rad Module du spectre (dB) Fréquence (MHz) (b) fp= 140 MHz

Fig. 4.6 – Densit´e spectrale de puissance de la porteuse modul´ee par le fondamental et l’harmonique n = 10, pour deux fr´equences de la porteuse (fp = 70 et 140 MHz).

la porteuse modul´ee en phase (`a −40 dB, c’est-`a-dire qu’on n´eglige les harmoniques repr´esentant moins de 1 % du pic de la porteuse). Les valeurs d’entr´ee sont les suivantes : fm = 2, 5 MHz,

m1= 10 rad et B = 50 MHz (d’o`u N = 50), pour fp = 70. Nous v´erifions, sur le trac´e des spectres

de la porteuse modul´ee (figure 4.5b), que les harmoniques jusqu’`a l’ordre 10 sont accessibles, comme l’indique la condition (4.16). Les raies lat´erales de la dixi`eme harmonique qui d´epassent la largeur de bande impos´ee repr´esentent moins de 1 % de la raie centrale.

Avec les valeurs suivantes : fm = 2, 5 MHz, m1 = 20 rad et B = 50 MHz (d’o`u N = 50), pour

fp = 70 MHz, nous nous pla¸cons dans un cas moins favorable (mais ´egalement pertinent au regard

des conditions exp´erimentales). La relation (4.15) impose m1 < 19 rad, on v´erifie, sur la figure

4.6a, que le spectre d’une telle porteuse modul´ee par la composante fondamentale est compris dans la bande impos´ee (±50 MHz de part et d’autre de la porteuse). Dans ces conditions (cas limite m1 = 20 rad), on obtient, avec (4.16), n = 1 ; donc seul le fondamental de la modulation de phase

est accessible sans biais. On compare ´egalement les estimations de la largeur de bande obtenues pour des porteuses centr´ees `a 70 et 140 MHz, qui montrent l’int´erˆet d’une augmentation de la bande passante.

Une comparaison des r´esultats obtenus avec deux montages optiques est pr´esent´ee dans la section suivante, o`u nous exposons les diff´erentes m´ethodes de d´etection de phase. En effet, augmenter la bande passante de l’optique (grˆace au double h´eterodynage) ne fait pas tout, il faut ´egalement ˆetre en mesure de d´etecter les fortes modulations de phase avec une bonne pr´ecision.

126 Chapitre 4. Mesure de fortes pressions, contrainte de radiation