Diffraction, deuxi` eme harmonique transversale

Pour prendre en compte simultan´ement les diff´erentes composantes du champ en conservant leurs variations spatiales U(x, y, z, t), il faut recourir `a des approximations sur les ordres de grandeur respectifs des diff´erentes composantes du d´eplacement U , ainsi que sur leurs variations en fonction des diff´erentes coordonn´ees.

A l’ordre deux, il est ainsi possible de d´ecoupler les ´equations de propagation des ondes lon- gitudinales et transversales. Si seule une onde longitudinale est ´emise, les composantes L et T du champ en perturbation11peuvent ˆetre prises sous la forme (on omet les vecteurs unitaires) :

U = M Uz+ M

√

M (Ux+ Uy) , (3.44)

o`u Uz, Ux et Uy sont des fonctions, d’une part, du temps retard´e τ = t − z/VL, on exprime alors

le d´eplacement dans le r´ef´erentiel li´e `a l’onde, et d’autre part, des coordonn´ees lentes z0 = M z, x0 = √M x et y0 = √M y, on formule ainsi l’hypoth`ese selon laquelle le d´eplacement est une fonction lentement variable des coordonn´ees d’espace (le changement de variable entraˆıne que les d´eriv´ees par rapport `a x0, y0 et z0 sont pond´er´ees respectivement par M√M et M ). Ce choix assure que les composantes transverses Ux et Uy, ´eventuellement g´en´er´ees par les termes non-lin´eaires

(crois´es) de l’´equation, sont des perturbations du champ d’amplitude finie plus faibles que Uz. Dans

les directions transverses `a la direction de propagation, on s’attend `a ce que les variations spatiales de U soient plus importantes, d’o`u l’emploi des coordonn´ees x0, y0 (en√M , donc correspondant `a des variations plus rapides suivant x et y que suivant z). Cette m´ethode aboutit `a une ´equation du type KZK (diffraction, dissipation et non-lin´earit´e quadratique, voir ´equation (1.80) au paragraphe 1.2.3.3) pour une onde longitudinale dans un solide isotrope12.

Si l’onde ´emise est purement transverse, l’approximation suivante peut ˆetre adopt´ee13 : U =

√

M (Ux+ Uy) + M Uz, (3.45)

avec U toujours fonction de x0, y0 et z0, mais cette fois de τ = t − z/VT. Les termes de l’´equation

d’onde, qui font intervenir la composante Uz sont n´eglig´es devant ceux portant sur Ux et Uy (car

leur ordre de grandeur est une puissance plus ´elev´ee de M ). L’´equation obtenue, prend donc en compte la non-lin´earit´e cubique, la diffraction, la viscosit´e et le couplage entre les deux composantes transverses, mais n´eglige le couplage avec la composante Uz (donc son apparition) :

∂2Ui ∂τ ∂z − VT 2 ∆⊥Ui− F 2ρ₀V_T5 ∂ ∂τ  ∂Ui ∂τ ∂Uj ∂τ ∂Uj ∂τ  − η 2ρ₀V_T3 ∂3Ui ∂τ3 = µ + A/4 2ρ₀V3 T  ∂ ∂τ  ∂Uj ∂ai ∂Uj ∂τ + ∂Ui ∂aj ∂Uj ∂τ − 2 ∂Ui ∂τ ∂Uj ∂aj  + ∂ ∂aj  ∂Ui ∂τ ∂Uj ∂τ  − ∂ ∂ai  ∂Ui ∂τ ∂Uj ∂τ  (3.46) 11

U est ici la perturbation de la solution lin´eaire (il correspond donc au terme not´e UII dans la r´esolution en perturbation du paragraphe 1.4.2).

12

Pour une onde plane, ce r´esultat est plus direct : voir § 1.3.3.2.

13_{La solution propos´ee par Lardner [128] est celle du syst`eme d’´equations coupl´ees, obtenu grˆace `a l’approximation}

3.2. Propagation non-lin´eaire des ondes de cisaillement 105

avec i et j `a remplacer x et y, correspondant aux directions 1 et 2 (avec sommation d’indice) ; ax

et ay correspondant aux coordonn´ees x et y, et F = λ₂ + B + G +A₂ + µ = µβ₃T14.

Cette ´equation est r´esolue (sans viscosit´e !) pour une onde incidente polaris´ee suivant x, dont la distribution spatiale dans le plan (x, y) est Gaussienne. La solution est mise sous la forme d’une s´eries d’harmoniques (paires et impaires). La r´esolution du probl`eme lin´eaire donne l’´evolution de l’amplitude du fondamental (d´ecroissance et ´elargissement du profil). La troisi`eme harmonique, ´

egalement polaris´ee suivant x, pr´esente des caract´eristiques similaires. La r´esolution fait ´egalement apparaˆıtre une seconde harmonique polaris´ee suivant y, c’est-`a-dire perpendiculairement `a la pola- risation de la composante fondamentale. Nous pr´esentons en annexe F une ´evaluation num´erique des solutions ´etablies dans cet article.

Cette solution ne fait pas partie des cas d’interaction possible donn´es par Jones [46] (dans le cadre de l’approximation du second ordre, l’interaction de deux ondes transversales ne peut donner naissance qu’`a une onde longitudinale) ou Zarembo [34] (les seules conditions d’accord de phase rendent possible l’interaction de deux ondes planes transversales colin´eaires, mais sans changement de polarisation). Zarembo rapporte des observations de ce ph´enom`ene (apparition de deuxi`eme harmonique transverse, sans pr´eciser la polarisation) sur un cristal d’aluminium en fonction de la charge statique de l’´echantillon. Il attribue l’origine de la g´en´eration de seconde harmonique transverse `a la pr´esence de d´efauts ou de dislocations, que l’application d’une contrainte est connue pour accentuer. Il s’agirait donc de savoir, comme on peut tenter de le faire pour les ph´enom`enes induits par la non-lin´earit´e quadratique, si ces effets sont inh´erents `a la propagation ou s’ils sont sp´ecifiquement caus´es par les d´efauts.

Zabolotskaya envisage trois possibilit´es pour la g´en´eration de seconde harmonique transverse : – Elle pr´ecise que l’interaction des diff´erentes composantes (impaires) du champ, par l’interm´e-

diaire d’un terme quadratique peut donner lieu, mˆeme pour des ondes planes, `a une fr´equence double (comme par it´eration de la r´esolution en perturbation).

– La solution d´evelopp´ee dans cet article, et ´evoqu´ee plus haut, fait intervenir la diffraction du faisceau et le couplage des polarisations : pour une onde incidente polaris´ee rectiligne, mais non-plane, l’apparition de deuxi`eme harmonique est possible. Par le mˆeme m´ecanisme, deux polarisations transverses dont les variations en fonction des coordonn´ees (x, y) (dans le plan de polarisation) sont quelconques pourrait ´egalement donner lieu `a l’apparition d’une fr´equence double.

– Elle rappelle ´egalement les r´esultats de Charnaya, qui montre, en introduisant des inhomoge- neit´es des constantes ´elastiques ou de contraintes (de dimensions tr`es inf´erieures `a la longueur d’onde), que la g´en´eration de deuxi`eme harmonique est possible pour une onde transversale incidente, dans le cadre de l’approximation quadratique [135].

Les termes quadratiques proviennent du couplage entre les polarisations, mais pas du Laplacien de Ux. La g´en´eration d’une seconde harmonique transversale (telle qu’elle apparaˆıt th´eoriquement)

14_{A partir des modules d´efinis dans la r´ef´erence [43], on prend D = 0, car ce n’est pas le mˆeme coefficient dans les}

106 Chapitre 3. Propagation non lin´eaire d’ondes transverses dans les gels

est donc un effet (combin´e) de diffraction en r´egime non-lin´eaire. La diffraction rend compte des variations de la distribution spatiale des champs (dans les plans perpendiculaires `a l’axe de propa- gation), qui peuvent exister pour une onde transversale polaris´ee rectiligne, mais les seuls effets de diffraction ne peuvent donner lieu `a g´en´eration de seconde harmonique transversale. Le couplage non-lin´eaire est quant `a lui li´e `a la pr´esence de plusieurs composantes T dont ces mˆemes variations, mais `a l’ordre sup´erieur, sont `a prendre en compte (deuxi`eme ligne de l’´equation (3.46)). Ces termes ne sont non nuls que si les deux polarisations poss`edent des d´eriv´ees non nulles par rapport aux variables x et y (tous les termes de la deuxi`eme ligne comprennent au moins une d´eriv´ee par rapport `

a x ou y), c’est-`a-dire si l’onde n’est pas plane.

3.2.2.3 Ondes ”quasi-planes”