D´ emodulations en quadrature ` a deux voies

La d´emodulation `a une ”voie” (figure 2.15 du paragraphe 2.2.4.2), utilis´ee pour les mesures de coefficients de non-lin´earit´e ou de pression de radiation, est limit´ee `a des indices de modula- tion inf´erieurs `a π/2. En effet, d`es que l’indice de modulation d´epasse π/2 le sinus ”sature” et il faut n´ecessairement connaˆıtre le cosinus pour reconstituer la phase (utiliser le sinus seul revient `

a ne conserver que les combinaisons impaires de la fr´equence de porteuse et de la fr´equence de modulation).
    LO 90° RF 0 
    
       
         )] sin( ) [cos(∆ϕ +i ∆ϕ S IF Signal de référence Signal modulé
    LO 0° RF 0 IF ) sin(∆ϕ −S ) cos(∆ϕ S  
   

Fig. 4.7 – Principe de la d´emodulation analogique `a 2 voies pour les fortes modulations de la porteuse.

Si la bande passante n’est pas suffisante, l’´elargissement du spectre de la porteuse modul´ee (`a mesure que l’indice de modulation augmente) peut se r´epercuter sur l’amplitude de la porteuse : la troncature des fr´equences les plus ´elev´ees se traduit par une modulation d’amplitude de la porteuse (le bruit nuit ´egalement `a l’acquisition des composantes spectrales les plus ´elev´ees et limite aussi les possibilit´es de l’´electronique). Une modulation d’amplitude est gˆenante pour une d´emodulation analogique (`a une seule voie) : le contrˆole automatique de gain a un temps de r´eponse trop long pour corriger l’amplitude du signal de r´ef´erence (mˆeme si le filtre passe bande (bande ´etroite) peut la corriger partiellement sur le signal de r´ef´erence). Dans ces conditions, le m´elangeur n’a plus un point de fonctionnement constant (la sensibilit´e d´epend du temps : S(t) = ArefAac(t)) et la

4.1. Interf´erom´etrie laser appliqu´ee `a la mesure de fortes pressions 127

que nous pr´esentons pallient cet inconv´enient en tenant compte (d´emodulation en quadrature) ou en s’affranchissant (d´etection des passages par z´ero) des variations d’amplitude de la porteuse. Ces techniques ne corrigent pas les effets de la bande passante (si les harmoniques sont tronqu´ees, la phase est alt´er´ee), mais elles donnent acc`es `a des modulations de phase bien plus grandes et corrigent, dans une certaine mesure, les modulations d’amplitude dues au dispositif.

Le sch´ema du circuit analogique [144] est pr´esent´e sur la figure 4.7. La porteuse est divis´ee pour donner d’une part deux porteuses identiques modul´ees en phase et d’autre part deux signaux de r´ef´erence (filtrage passe-bande). La multiplication, en phase et en quadrature, donne, apr`es un filtrage passe-bas identique (sur les deux lignes), respectivement le cosinus et le sinus de la modulation de phase9. On peut d’ailleurs utiliser la relation trigonom´etrique cos2φ + sin2φ = 1, pour assurer un r´eglage correct de la quadrature entre les deux voies.

L’acquisition de ces deux formes d’ondes x(t) = S sin φ(t) et y(t) = S cos φ(t) (simultan´ement sur deux voies de l’oscilloscope) permet de construire le signal analytique (sous Matlab) :

z(t) = x(t) + iy(t) = S exp [iφ(t)]. (4.17)

La variation ´eventuelle de sensibilit´e en fonction du temps S(t) se factorise et la phase de la por- teuse reste intacte. On extrait ensuite la phase modulo π (Arctan(Im/Re)). Un programme (”un- wrapping” ou d´eroulement de phase), bas´e sur la comparaison des ´echantillons successifs, permet d’´eliminer ces sauts de π ou 2π.

La vitesse des particules est obtenue par d´erivation num´erique du signal de d´eplacement. Le plus simple consiste a effectuer une diff´erence `a deux points : v[n] = (u[n + 1] − u[n]) × fe, mais

d’autres sch´emas de d´erivation sont possibles. Cette op´eration induit un bruit important qu’un filtre passe-bas (num´erique : filtre de Butterworth d’ordre 6) ´elimine tr`es bien. Dans la plupart des cas pr´esent´es ici, la fr´equence centrale est de 2,25 MHz et une fr´equence de coupure de 20 MHz a ´

et´e retenue. On retient alors les huit premi`eres harmoniques, le spectre complet n’en contient pas plus (dans le sens ou les composantes de plus haute fr´equence sont noy´ees dans le bruit). Les filtres passe-bas analogiques pr´esents `a la sortie de chaque voie, sont identiques, et coupent les fr´equences sup´erieures `a 50 MHz, il ne limitent donc pas le contenu spectral avant la d´erivation num´erique.

Une version compl`etement num´erique de cette d´etection de phase en quadrature est ´egalement possible. Une acquisition directe de la porteuse permet de calculer le signal analytique (transform´ee de Hilbert) :

s(t) = exp [i (ωBt + φ(t))], (4.18)

Celui-ci est ensuite multipli´e par un signal de r´ef´erence ”synth´etique” (on peut ´egalement extraire la phase et soustraire la pente ωBt) :

z(t) = s(t) × exp [−iωBt] = exp [iφ(t)]. (4.19)

9_{L’ajout d’une capacit´e variable en parall`ele sur l’entr´ee LO ajoute un d´ephasage de 1/R}

0Cω (R0 = 50 Ω),

qui permet d’ajuster `a z´ero le niveau continu de la voie ”sinus” (tant que l’entr´ee du m´elangeur reste satur´ee). Ce r´eglage assure une quadrature exacte sur les entr´ees des m´elangeurs. Le gain de pr´ecision d´epend de la qualit´e des composants, c’est-`a-dire de la tension de d´ecalage `a la sortie des m´elangeurs analogiques (de 20 `a 50 µV pour des fr´equences comprises entre 5 et 100 MHz, avec un m´elangeur Minicircuit SRA-1-1).

128 Chapitre 4. Mesure de fortes pressions, contrainte de radiation 1 1.5 2 2.5 3 −0.5 0 0.5 1 Déplacement (µm) 1 1.5 2 2.5 3 −20 −10 0 10 Temps (µs) Vitesse (m/s) analogique numérique

(a) D´eplacement (ou modulation de phase) (en haut) et vitesse particulaire (en bas)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 Fréquence (MHz)

Modules des spectres (dB)

analogique numérique

(b) Spectre du signal de vitesse

Fig. 4.8 – Comparaison de la d´emodulation analogique `a 2 voies et de sa transposition num´erique (pour une fr´equence d’h´et´erodynage de 70 MHz).

Le signal de modulation de phase complexe z(t) est trait´e de la mˆeme mani`ere que la phase complexe obtenue avec la d´emodulation analogique.

D’apr`es les estimations pr´esent´ees au paragraphe pr´ec´edent, la limitation de la largeur de bande `

a ±50 MHz est suffisante pour les indices de modulation mod´er´es (jusqu’`a 10 rad), mais peut devenir critique `a partir de 20 rad (`a 2, 5 MHz). Avec les d´emodulations num´eriques, la bande passante est limit´ee par un filtrage num´erique10appliqu´e `a la porteuse apr`es num´erisation pour ´eliminer le bruit (la bande passante de la photodiode est suffisamment large). La fr´equence de coupure de ce filtre (fenˆetre ”adoucie” appliqu´ee sur le spectre) est la plupart du temps fix´ee `a 70 % de la fr´equence de la porteuse (≈ 50 MHz)11.

Cette m´ethode est moins sensible `a la modulation d’amplitude de la porteuse et produit moins de sauts de phase (une seule acquisition, donc pas de d´ecalage des deux voies), nous y reviendrons par la suite. Par contre, elle est moins pr´ecise que la version analogique pour les faibles indices de modulation, car la quantification de la porteuse d´egrade sa qualit´e. Pour limiter cet inconv´enient, nous effectuons des moyennes `a l’aide du dispositif de synchronisation d´ecrit au paragraphe 2.2.4.4.

10

On utilise ´egalement un filtrage analogique (voir l’annexe C.3), pour ´eliminer la fr´equence double de la fr´equence de porteuse, notamment pour la sonde `a 140 MHz. Ce filtrage permet d’´eviter le repliement de spectre qui intervient lors de la num´erisation des composantes de tr`es haute fr´equence (280 MHz) par l’oscilloscope.

11

Pour une vitesse particulaire de l’ordre de 15 m/s, le nombre de Mach est de 0,01 et la distance de choc est zc≈ 3 mm, c’est-`a-dire comparable `a la longueur de la tache focale. Aussi les rapports d’amplitude des harmoniques

correspondent presque `a ceux de la solution de Fay (d´ecroissance en 1/n, avec n l’ordre de l’harmonique, soit 0, -6, -9,5 et -12 dB pour n=1 `a 4). Nous ne pouvons donc pas acc´eder `a l’ensemble des harmoniques. Cependant, l’amplitude des composantes spectrales ´eventuellement coup´ees est tr`es faible. Les fortes modulations d’amplitude de la porteuse ne peuvent donc pas ˆetre attribu´ees `a la seule limitation de la bande passante.

4.1. Interf´erom´etrie laser appliqu´ee `a la mesure de fortes pressions 129

Le signal d’horloge est cette fois la tension d’excitation de la cellule de Bragg ; une partie est entr´ee dans la s´erie de compteurs pour engendrer le signal de d´eclenchement, l’autre est amplifi´ee puis appliqu´ee aux bornes du modulateur acousto-optique (la synchronisation peut ´egalement ˆetre plac´ee `a la r´eception de la porteuse, c’est-`a-dire `a la sortie de la photodiode, ce qui permet de ne pas bruiter l’excitation de la cellule de Bragg). Le d´eclenchement est connect´e au g´en´erateur d’excitation du capteur ainsi qu’`a l’oscilloscope. Le photocourant et la modulation de phase sont alors asservis en phase et des moyennes effectu´ees sur la porteuse ne d´et´eriorent pas la phase.

1 1.5 2 2.5 3 −1 0 1 2 1 1.5 2 2.5 3 −40 −20 0 20 Déplacement (µm) Vitesse (m/s) Temps (µs) 70 MHZ 140 MHZ

(a) D´eplacement (ou modulation de phase) (en haut) et vitesse particulaire (en bas)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 140 MHZ 70 MHZ

Modules des spectres (dB)

Fréquence (MHz)

(b) Spectre du signal de vitesse

Fig. 4.9 – Comparaison des signaux de la d´emodulation num´erique en quadrature, pour des fr´e- quences d’h´et´erodynage de 70 MHz (simple h´et´erodynage) et 140 MHz (double).

La figure 4.8 pr´esente une comparaison entre les deux versions de la d´emodulation en quadrature (analogique et num´erique). Pour de fort indices de modulation nous accordons un plus grand cr´edit `

a la version num´erique qui semble avoir une bande passante plus plate et donne la plupart du temps des valeurs l´eg`erement plus ´elev´ees (elle couperait moins les plus hautes fr´equences). Pour les faibles indices, la version analogique est plus sensible. Les maxima de vitesse donn´es par les deux variantes diff`erent de moins de 5% pour φ ≈ 1 rad. et de moins de 10% pour φ de l’ordre de quelques dizaines de radians.

La figure 4.9 propose une comparaison des mesures effectu´ees avec les deux types d’interf´ero- m`etres pr´esent´es au paragraphe 4.1.1 (simple et double h´et´erodynage). Les modulations de phase (c’est-`a-dire les signaux correspondants aux d´eplacements) se superposent bien, mais la d´erivation num´erique fait apparaˆıtre de plus grandes diff´erences entre les signaux de vitesse de d´eplacement (voir ´egalement au paragraphe suivant). En dehors du fait que les mesures sont effectu´ees succes- sivement (changement de sonde, r´eglage de position par rapport au transducteur), ces diff´erences pourraient ˆetre attribu´ees au changement de bande passante, c’est-`a-dire `a la r´eponse en fr´equence de la photodiode et des filtres.

130 Chapitre 4. Mesure de fortes pressions, contrainte de radiation