Seconde géométrisation

, q ∈ 1, 2 (5.15) La connaissance de ces vecteurs permet de dénir une métrique : Gαβ = hbα, bβi. Si le système d'équations dans l'espace des mailles utilise des opé-rateurs d'impédances exprimés sous le formalisme de Laplace (de la forme Ri ou Lpi, etc.) ; les vecteurs de base sont alors homogènes à des impédances. La métrique ainsi dénie devient symétrique car hbα, bβi = hbβ, bαiet l'invariant donné par : Gαβxαxβ = ds2 est en V olts2, soit que la distance élémentaire est exprimée en Volt (les xq étant en ampère pour avoir xqb_q en volt). Chaque colonne q de la matrice Jacobienne du système est un vecteur de base bq. On retrouve l'équation du problème telle que l'on aurait pu l'obtenir classiquement par le formalisme de KRON en projetant un vecteur xisur la base et en écrivant son égalité avec le covecteur dual pj, déni dans la base duale :

       ∂ψ₁ ∂i₁ ∂ψ₂ ∂i1 ∂ψ₃ ∂i₁        x¹+        ∂ψ₁ ∂i₂ ∂ψ₂ ∂i2 ∂ψ₃ ∂i₂        x²=       p1 p₂ p₃       (5.16)

Mais nous allons voir que l'on peut dénir une seconde géométrisation de l'analyse tensorielle des réseaux [72] et obtenir une métrique symétrique.

5.8 Seconde géométrisation

Il a été beaucoup reproché à KRON de vouloir faire un parallèle entre son for-malisme et les outils développés avec la géométrie diérentielle de RIEMANN. Pourtant ce parallèle ne semble pas, au dire de mathématiciens d'aujourd'hui, contredire les fondements des principes riemanniens. Ils nécessitent par contre de les étendre pour embrasser la diversité des objets de KRON. Nous avons es-sayé de démontrer cette compatibilité [81]. Mais l'exercice reste délicat et suite à une discussion avec Alain BOSSAVIT, après une présentation invitée sur l'ap-plication de la méthode de KRON à la CEM à l'école normale de Cachan, il m'a semblé judicieux de tenter une autre approche : une projection depuis des fonctions non linéaires établies par la méthode de KRON vers une surface para-métrée. Exploitant pleinement les travaux de TROYANOV, le travail conduisit nalement vers une nouvelle compréhension de la métrique des réseaux sur la-quelle il reste encore beaucoup de choses à faire.

5.8.1 Mécanismes fondateurs

Repartant de l'équation (8.10)3on peut étudier le graphe sous la forme d'une courbe abstraite dans un repère mobile de base ba. A partir de là, le graphe n'est plus utile et que l'on travaille dans l'espace courbe ou non, les courants sont les coordonnées contravariantes d'un vecteur courant. On généralise les équations déduites des matrices du graphe exprimées dans l'espace des mailles sous la forme ψm(iq) = 0. Le système d'équations ainsi constitué peut être non linéaire. On en déduit les composantes des vecteurs de base d'un repère glissant de dimension N (m ∈ {1 . . . N}) par l'expression :

b_a= ∂ψm

∂i_a 

La matrice jacobienne W du vecteur de fonctions ψ a pour colonnes les composantes des vecteurs ba :

W =

b1 . . . bn ^ (5.17) Elle permet de chercher la déviation (p) d'ordre p dans une méthode de Newton avec :

^β(p)= −W_αβ^−1x^β(p)ψα



x^β(p) (5.18) Les vecteurs de base engendrent une métrique donnée par :

Guv= hbu, bvi (5.19) La métrique permet de calculer le produit scalaire de tout vecteur tangent à la surface paramétrée.

5.8.2 Signication de la métrique

Une courbe suivant la surface tangente S est donnée par les coordonnées qui respectent, pour un vecteur d'impulsion e :

e = x^βbβ (5.20)

Le covecteur e = eαc^∗α étant projeté sur les duaux c∗ des vecteurs de base b(sous cette hypothèse on construit la fonction ψ sans y inclure les sources).

La courbe tracée est révélatrice des comportements des ux. Entre autre en notant pour deux vecteurs ui, v^j (on exploite l'algèbre tensorielle où les

3. Pour rappel :        ∂ψ₁ ∂i₁ ∂ψ₂ ∂i₁ ∂ψ3 ∂i₁        x¹+        ∂ψ₁ ∂i₂ ∂ψ₂ ∂i₂ ∂ψ3 ∂i₂        x²=      p1 p2 p3     

vecteurs sont repérés par leurs composantes) : hu, vi = Gijuivj = G (u, v). On dénit pour une courbe paramétrée α(t) ∈ S une vitesse V (t) telle que : V (t) =pG( ˙α, ˙α).

Pour trouver la longueur L de la courbe, il sut alors d'intégrer sa vitesse : L = ˆ t₂ t₁ dt q Gijα˙iα˙j (5.21) La minimisation de la longueur de cette courbe est la solution du problème. On peut d'ailleurs approcher le problème d'une façon plus originale. Partant d'un système d'équations établi dans l'espace des mailles (on a pu démontrer le caractère particulier de cet espace à ce sujet [72]) sous la forme classique :

   e₁= ψ₁(i₁, . . . , i_n) . . . e_n= ψ₁(i₁, . . . , i_n) (5.22) que l'on résume sous l'écriture :

{[e_q− ψ_q(i₁, . . . , i_n)] = 0}_q (5.23) on peut voir l'égalité à zéro comme une recherche de minimum sous un critère de moindres carrés. Pour faire apparaître la métrique et son aspect tensorielle, on eectue le remplacement iq ↔ xq et on dénit le vecteur p = (e1, . . . , en). Notons A : Aq= ˆ t dtⁿeq− ψq x¹, . . . , x^n
2o q (5.24)

En développant on trouve que : X q ∂Aq ∂xm = 0 ⇒ ˆ t dtGmux^u= ˆ t dt (p · bm) (5.25) L'impulsion transmise produit scalaire les vecteurs de base du plan tangent T pS intégré dans le temps est égal à l'intégral dans le temps des composantes de la métrique dans les directions des vecteurs de base multipliées par les com-posantes de l'impulsion. C'est une façon plus originale d'approcher la moindre action.

5.8.3 Courbure

Lorsque l'on obtient les vecteurs de base à partir de la fonction ψ, il se peut qu'ils dépendent encore des paramètres iα. On peut alors calculer les dérivées du repère adapté :

bαβ= ^∂bα ∂i_β ⁼

∂2ψ

∂i_α∂i_β (5.26)

b_αβ= Γ¹_αβb₁+ Γ²_αβb₂+ h_αβn (5.27) Les Γk

αβ sont les coecients de Christoel et les hαβ les coecients de la seconde forme fondamentale. Par dénition :

Γk

αβ=c∗k, b_αβ

h_αβ= hb_αβ, ni (5.28) Les coecients de Christoel informent sur la géométrie tangentielle de la surface. La seconde forme fondamentale décrit la variation de la normale à la surface. On note h (u, v) = hαβu^αv^β.

La courbure normale d'une courbe α appartenant à la surface paramétrée est alors donnée par :

κ_n=^{h ( ˙α, ˙α)}

g ( ˙α, ˙α) (5.29) Elle se déduit de l'accélération normale fournie par : h ( ˙α, ˙α).

L'application ordinaire de ces concepts a été principalement la relativité gé-néralisée. Mais dans le cadre de l'analyse tensorielle des réseaux, ces concepts prennent une nouvelle dimension en renseignant sur la dépendance de la mé-trique avec les ux. Comme la mémé-trique est issue du produit scalaire des vecteurs de base, si ceux-ci dépendent du ux, la métrique en dépendra aussi. Le cas ty-pique auquel avait pensé Gabriel KRON était les matériaux tels les ferrites et les inductances ou mutuelles [23]. Il voulait faire l'analogie entre les inductances dans un circuit et le tenseur métrique d'EINSTEIN. L'idée était riche d'inspi-ration et l'on a pu montrer cette analogie jusque dans l'obtention d'un espace des réluctances courbes [38]. Ces approches sont d'autant plus intéressantes que l'on peut voir les lignes de champs électrostatique et magnétostatique comme les géodésiques - les supports des lignes de champ radiatif. Et si la courbure est dicile à voir sur le champ de gravitation, se passant à des échelles cos-miques, elle peut être plus facile à étudier dans le cadre de champs magnétiques [38]. La machine électrique est ainsi que le pensait KRON, un mini laboratoire des phénomènes einsteiniens. La méthode de KRON est un formidable terrain d'enseignement pour ces notions diciles. Comme le disait Félix ESCLANGON dans sa préface à l'ouvrage de DENIS-PAPIN et KAUFMANN [82] : Je regret-terai que les sujets traités aient encore une part si faible dans l'enseignement classique. Avait-il usé du futur et non du conditionnel par prédiction ?

Beaucoup de recherche reste à mener sur cette seconde géométrisation. Il faut reprendre l'idée de KRON de séparer l'étude dans l'espace des ux du graphe. Cette abstraction du graphe permet d'acquérir une compréhension très profonde du réseau, principalement en électromagnétisme où les aspects conduits ne reètent qu'une partie des échanges d'énergie. La géométrie permet de s'im-miscer un peu dans le monde des ondes y compris lumineuses qui nous est si opaque.