Modèle Boîte noire de FOISSAC, SCHANEN et VOLLAIRE 40

Le concept de boîte noire est dicile en CEM, car les interactions électro-magnétiques sont dicilement séparables. La notion de séparabilité inclut ici celle d'invariance d'une partie de graphe successivement à sa modication [38]. Cette notion de séparabilité est importante et peu considérée en CEM, mal-heureusement sans doute car elle est à la base de la démonstration du droit ou non d'user d'une approche légo régulièrement utilisée même dans le cadre de disposition normative, sans pour autant avoir démontré les périmètres de son

application. Cette démonstration est étroitement liée à la notion de diakoptic [39] inventée par KRON. Un exemple manipulé régulièrement est le transforma-teur. La séparation d'un transformateur est une opération délicate. L'absence de charge peut considérablement modier le circuit primaire. Si l'on veut de fait modéliser ce circuit primaire de façon susamment générique, il faut le faire pour des conditions de charges et sous des amplitudes diverses. On peut en général simplier certaines choses. Par exemple on peut considérer que le générateur qui alimente le transformateur n'est pas aecté par les variations du circuit primaire - hypothèse déjà non triviale. On doit ensuite principale-ment modéliser le matériau intervenant comme milieu de transport des lignes de champ magnétique. Dans le cas de matériaux complexes ou même d'acier on tombe là sur un sujet qui peut nécessiter à lui seul une thèse.

Le mot Diakoptic inventé par le Pr. Philip STANLEY du département de philosophie à l'Union College de New York vient du Grec kopto qui signie découper et diak, préxe qui renforce l'idée de partage. L'idée de KRON était de ne pas refaire un calcul déjà réalisé au préalable. Pouvoir réexploiter des données et les réinsérer dans une nouvelle problématique. Sa démarche a parfois été confondue avec celle de décomposition de domaines, plus récente, car elles partagent les mêmes techniques mais pas toujours les mêmes objectifs. L'idée de diakoptic de KRON incluait aussi celle de caractère intrinsèque ou non d'objets primitifs.

Considérons un transformateur. S'il ne comporte qu'un bobinage primaire, et si nous supposons qu'il est linéaire, on peut écrire pour le circuit primaire :

e1= (µS + R) i10 (3.1) La gure 3.1a montre le circuit considéré.

Figure 3.1a

De cette première expérience on tire facilement l'expression du courant pri-maire i10. µ est la perméabilité et S un coecient qui englobe plusieurs para-mètres liés au matériaux entre autre et l'opérateur de Laplace. Si maintenant on connecte un circuit secondaire (gure 3.1b), le circuit vu du primaire devient (on pose R = 0 pour simplier l'illustration) :

e₁= µSi₁− µαi₂ (3.2) On peut alors chercher non pas les courants mais pas exemple la déviation au courant primaire sous charge. En posant : i1 = i10+ ∆i1, on peut alors remplacer i10 par son expression obtenue lors de la première expérience pour obtenir : ∆i₁= ^α 2 SS0e₁  µS − µ^α 2 S0 −1 (3.3) Où S0 est l'équivalent de S pour le circuit secondaire. Ces remplacements se font aisément car les grandeurs sont linéaires. L'exemple précédent se dé-cline ainsi de moult façons. Imaginons maintenant que la perméabilité soit une fonction dépendant des deux courants :

µ = µr0µ0(i1, i2) (3.4) Le système d'équations associées au couplage primaire - secondaire est :

   e₁= µ_r0µ₀(i₁, i₂) [Si₁− αi₂] αi1= S⁰i2 (3.5) Sans secondaire on retrouve e1= µSi1. On doit donc trouver la fonction qui dépend simultanément des deux courants. On réalise pour cela un test avec un secondaire dont on fait varier les caractéristiques de façon à balayer les valeurs de courants secondaires et construire la fonction cherchée. Une fois cette fonction trouvée : ici la perméabilité, le primaire redeviendra séparable dès lors que l'on aura exploré susamment de valeurs, incluant la valeur particulière i2= 0.

Figure 3.1b

On peut ensuite résoudre par une méthode de Newton le système d'équations obtenu lorsqu'un secondaire est connecté au primaire.

Dans le modèle de boîte noire de Foissac, Schanen et Vollaire deux géné-rateurs de courants et trois impédances vont remplacer les commutateurs. Les tensions et courants de la cellule de commutation sont réglés pour diérentes valeurs d'impédances de charge. On obtient ainsi une collection de points de fonctionnements caractérisés par les conditions de charge et réglés par mesures. La démarche est similaire à la précédente, mais réalisée sur la base de mesures

et les auteurs soulèvent le problème lié à la robustesse du modèle lorsque les mesures sont entachées d'erreurs ou de manque de couverture des domaines possibles des paramètres inuents. Néanmoins les incertitudes ne sont pas na-lement plus importantes que pour les autres méthodes.

Cette démarche de caractérisation est assez lourde à la base mais riche pour les exploitations ultérieures. elle est cependant assez peu utilisée. L'un des points durs par exemple en CEM et le manque systématique d'information sur la sus-ceptibilité eective des composants. Dans le modèle boîte noire, les auteurs abordent un autre aspect intéressant : la problématique du report des impé-dances et contraintes sur les deux modes diérentiel et commun.

3.2.7 Graphe d'un hacheur type

C'est en tant que chercheur au centre commun de recherche d'EADS (actuel Airbus innovation group) que je commençais à développer des graphes abstraits. Je cherchais à me séparer de la représentation très concrète des circuits pour tendre vers une représentation plus abstraite et qui mette plus en évidence les échanges de ux. KRON le soulignait, peu importe le circuit, il n'est qu'une étape dans la compréhension de variations de courants, de champs. On s'habitue d'autant à théoriser le circuit que l'on fait abstraction de ses composants. Il faudra quelques années pour arriver aujourd'hui à maîtriser cette représentation, et plus que cela, à proposer un cadre rigoureux à une démarche symbolique et complexe [40].

On peut étudier les graphes en ne considérant que leur structure, sans dé-tailler les fonctions rattachées à chaque branche. Étudions ainsi quelques cas typiques. Nous protons de ces réexions pour détailler quelques techniques propres à l'analyse des graphes.

3.2.7.1 Graphes équivalents Observons la gure 3.2.

Figure 3.2

On pourrait trouver pour matrice impédance du graphe de gauche la matrice (les lettres représentent les fonctions) :

Z =  a + b −b −b b + c  (3.6)

On trouve la même matrice pour le graphe de droite. De même les caracté-ristiques des nombres de branches B, n÷uds N, mailles M et réseaux R sont liées dans un graphe par la relation fondamentale : M = B − N + R. On trouve la même caractéristique pour les deux graphes, à savoir 2 mailles. Ces deux graphes sont donc équivalents contrairement aux apparences.

3.2.7.2 Réduction du nombre de branches

De même considérons le cas présenté gure 3.3. Le graphe de gauche peut être réduit. On comprend facilement en tant qu'électronicien que les impédances des trois branches b, c et d peuvent être mises en parallèle et réduites à une seule b' telle que : b0 = (b)−1+ (c)⁻¹+ (d)^−1−1. On réduit ainsi le graphe d'une dimension 4 dans l'espace des branches à une dimension 2 dans le même espace. Bien sûr, le gain en dimension se paie d'un gain en complexité dans les fonctions impédances attachées aux branches.

Figure 3.3 3.2.7.3 Réduction du nombre de cordes

La réduction des dimensions des systèmes d'équations à partir de l'étude des matrices a été beaucoup étudiée par KRON. Regardons le graphe de la gure 3.4 où cette fois chaque point est une maille et non un n÷ud.

On voit que pour aller de la maille 1 à la maille 4 il y a 2 chemins possibles dont un passant par le couple de mailles (5,6). Le système d'équations associé a l'allure suivante (on suppose que seule la source e1existe) :

               e₁= z₁₁i₁+ z₁₂i₂ 0 = z₂₁i₁+ z₂₂i₂+ z₂₃i₃+ z₂₅i₅ 0 = z32i2+ z33i3+ z34i4+ z36i6 0 = z43i3+ z44i4 0 = z52i2+ z55i5+ z56i6 0 = z63i3+ z65i5+ z66i6 (3.7)

Tout d'abord on remarque qu'il est très simple d'établir le système d'équa-tions à la simple vue du graphe. Ensuite, lorsque l'on regarde les deux chemins possibles entre les n÷uds 2 et 3, on se dit qu'il doit être possible de réduire le système des quatre n÷uds (2, 3, 5, 6) à un système de deux n÷uds (2, 3) (-gure 3.5). Pourquoi supposer cela ? Parce que tout simplement, le système de couplage passant par les n÷uds 5 et 6 pourrait exister sans que l'on n'en ait conscience. La mesure prendrait bien en compte tous les couplages possibles, mais vu de l'extérieur, comme une boîte noire, on pourrait penser qu'il n'y a qu'un chemin de couplage. Pour cette raison, le système ici en dimension 6 doit être réductible à un système de dimension 4. Si l'on regarde les deux dernières équations sans sources, elles permettent d'exprimer i5et i6en fonction de i2 et i₃. On peut donc remplacer dans les équations 2 et 3, i5et i6par une fonction de i₂et i3et ainsi ramener le système à 4 équations à 4 inconnues : i1, i₂, i₃, i₄. On a appliqué ici une réduction de la dimension en nombre de mailles et cordes (-gure 3.5), deux mailles intervenant via des cordes dans le couplage entre d'autres mailles. De nombreuses possibilités permettent ainsi de réduire la dimension des systèmes ([23] page 242).

3.2.7.4 Comment déterminer les mailles ?

Des travaux ont déjà été menés [41] mais qui ne réalisaient pas la correspon-dance avec l'espace complet de KRON - mailles et paires de n÷uds. Finalement nous avons pu trouver une technique qui privilégie un type particulier d'arbre couvrant et engendre automatiquement les mailles. Cette technique de plus crée une matrice de connectivité strictement positive et constituée de deux parties bien distinctes. Je détaille ici cette technique.

Observons la gure 3.6. On a représenté en orange des branches que nous considérons comme appartenant à l'arbre couvrant. C'est une succession de branches qui permettent d'atteindre tous les n÷uds. C'est un réseau ouvert, non connexe. On choisit ensuite un n÷ud de référence, par exemple le n÷ud numéroté 1. La méthode suppose que l'on a au préalable numéroté les n÷uds du graphe suivant une séquence de pas d'incrément 1. On eectue ensuite un cheminement du n÷ud de référence vers le n÷ud suivant 2. A partir du n÷ud 2 on regarde s'il existe des branches permettant de retourner au n÷ud 1. Si oui, chacune de ces branches appelées branches de fermeture, constitue avec la branche de l'arbre couvrant utilisée pour aller de 1 à 2 une maille. Ici, seule la branche 2 répond au critère. On continue alors vers le n÷ud 3 et on recommence à chercher les branches permettant de retourner au n÷ud 1. Une fois qu'on a couvert ainsi tous les n÷uds du réseau dans le graphe, on prend comme n÷ud de référence le n÷ud 2. On réitère le processus précédent jusqu'à avoir atteint le dernier n÷ud comme n÷ud de référence.

Figure 3.6

Dans le cas du réseau présenté gure 3.6, cette méthode donne la connectivité Csuivante en associant aux branches de l'arbre couvrant les sources de courants de paires de n÷uds :

C =       1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0       (3.8) Pour obtenir cette connectivité, nous choisissons comme base les trois mailles engendrées kxet les deux sources de courants de paires de n÷uds attachées aux deux branches de l'arbre couvrant Jx dans l'ordre : k1, k2, k3, J1, J2. Détaillons l'obtention de cette matrice : pour obtenir la première maille k1 on parcourt la branche couvrante 1puis on revient au n÷ud 1 par la branche de fermeture 2. Pour la seconde maille k2 on parcourt les branches couvrantes 1 et 3 et on revient au n÷ud 1 par la branche de fermeture 4. La troisième maille k3 est identique mais en retournant au n÷ud 1 par la branche de fermeture 5. Enn les deux branches couvrantes sont connectées aux deux courants de paires de no÷uds J1 et J2.

Comme seules les branches de l'arbre couvrant sont reliées aux paires de n÷uds, la partie droite de la matrice C est l'image de cette application. Une relation unitaire est systématiquement obtenue entre les branches de fermeture et les mailles créées kx. On a pu, plus tard, programmer cet algorithme et ainsi créer un logiciel comparable à SPICE mais qui résout les circuits par la méthode de KRON. Mais détaillons un peu la technique précédente pour insister sur ses bases physiques.

En associant une source à une branche de l'arbre couvrant et en considérant la façon dont nous l'avons construit, on peut suivre le raisonnement suivant lequel l'énergie parcourt cette branche, s'écoule dans les branches liées et revient à la source. On trouve alors intuitivement les mailles données par la technique précédente et la majorité du temps, cette connectivité donnera lieu à une matrice impédance la mieux conditionnée. Si par contre une branche agissant en frontière entre deux mailles porte un élément de découplage, c'est à dire un ltre qui a été ajouté après réunion de deux branches, et que la dite branche distribue l'énergie qu'elle stocke et qui provient de la source, alors on fera en sorte que cette branche partagée le soit également au niveau de la connectivité. Pour ce cas, c'est le choix de connectivité qui engendrera de nouveau le meilleur conditionnement de la matrice impédance. Prenons un exemple, on modélise un câble blindé comme nous l'avons représenté gure 1.6. On peut choisir la résistance de masse comme élément commun et construire la matrice impédance suivante :

Z =  Rm+ ZT + Lp Rm+ Lp + ZT Rm+ Lp + ZT Rm+ Rf+ R1+ R2+ (Li + L)p  (3.9) Sous cette forme, le terme ZT étant très faible, il est complètement masqué par le terme Lp. Précédemment il apparaissait comme seul terme de couplage. De même un ltre RCR en T donnerait pour la méthode de l'arbre couvrant :

Z =  R +_Cp¹ R R 2R  (3.10)

Alors qu'en considérant la règle du découplage on a : Z =  R + 1 Cp − 1 Cp − 1 Cp R +_Cp¹  (3.11) où le terme de couplage apparaît clairement ainsi que la transmission d'éner-gie entre les deux mailles directement liée à ce terme.