Détermination des coecients de couplage et un exemple 65

V_i Ii  =  a b c d e f g h      θ₁ θ₂ θ3 θ4     (4.18) On pourrait se demander comment faire sachant que notre matrice de trans-mission n'est plus carrée. On utilise le pseudo-inverse. Soit deux relations, la première : (V, I)1 = Z1θi et la seconde : (V, I)2= Z2θi. A partir de la seconde on calcule : (V, I)2= Z2 ZT 2 ZT 2 θi (4.19) d'où : Z₂^T(V, I)₂= Z₂Z₂^T
θi (4.20) On obtient alors : θi= Z2Z₂^T
−1 Z₂^T(V, I)2 (4.21) et nalement : (V, I)1= Z1 Z2Z₂^T
−1 Z₂^T(V, I)2 (4.22) qui est la relation cherchée.

4.3.5 Modèles de COLLIN ou AUBERT/BAUDRAND

Dans leurs ouvrages, COLLIN [54] ou AUBERT et BAUDRAND [55] éla-bore des calculs donnant les valeurs d'impédances dans des schémas équivalents de guides et cavités. Il sut de reprendre et d'insérer ces calculs et schémas dans la matrice impédance de KRON pour pouvoir mener des calculs de sys-tèmes plus compliqués incorporant ces éléments. Ce pourra être particulièrement intéressant entre autre pour les couplages en hyperfréquences où l'on pourra ré-exploiter directement les nombreux exemples donnés par AUBERT et BAU-DRAND dans leur ouvrage l'électromagnétisme par les schémas équivalents.

4.3.6 Détermination des coecients de couplage et un

exemple

Le coecient de couplage se calcule suivant deux principes simples : 1. on doit calculer le produit scalaire entre les champs de chacun des circuits

2. on normalise éventuellement le coecient suivant la méthode de calcul utilisée pour ce produit scalaire.

Sans s'y arrêter, c'est le même processus que l'on exploite dans toutes les struc-tures d'ondes guidées. Ainsi lorsque l'on alimente une ligne coaxiale, la trans-mission d'énergie de la source vers le guide d'onde est réalisée par le produit scalaire des champs en sortie de source par ceux en entrée de guide. Ce pro-duit scalaire s'accompagne d'ailleurs d'une transmission de potentiel dans les conducteurs.

Pour illustrer la démarche nous allons prendre un exemple simple, mais pas trivial. La gure 4.4 montre une cavité enfermant 2 équipements, un émetteur et un récepteur. Nous avons tracé sur ce dessin les divers chemins que pouvait suivre une onde guidée dans le volume.

Figure 4.4

Les traits rouges montrent quelques uns des trajets possibles entre les deux antennes, incluant un trajet direct. Les trajets pointillés bleus montrent des émissions secondaires vers le récepteur issues des courants induits (ondes ram-pantes). Les trajets pointillés rouges montrent des interactions directes entre l'émetteur et les parois proches. Ces dernières interactions doivent être prises en compte pour considérer l'impact de l'enfermement sur l'émetteur. La réexion issue de ces parois va modier l'impédance eective de l'émetteur et donc son émission. Les interactions en bleu traduisent l'impact des courants induits sur les divers objets présents dans le volume. L'intégration de tous ces chemins se-rait très fastidieuse et l'oubli de quelques unes des réexions peut conduire à des résultats très imparfaits. Par contre, le tracé des trajets possibles est une aide précieuse à l'établissement des diérents modes qui peuvent s'installer dans le volume, pour un plan de polarisation donné. On appelle plan de polarisation, le plan contenant les champs perpendiculaires au champ électrique transverse propagé. Dans la représentation gure 4.4 on considère par exemple le champ électrique perpendiculaire au plan du dessin. On peut alors dessiner les contours

des structures d'ondes guidées qui sont créées par la présence des objets. La -gure 4.5 montre les quatre structures d'ondes guidées qui peuvent être reconnues dans le volume.

Figure 4.5

Les deux structures grisées sont des guides terminés par des circuits ouverts et interagissant avec les deux cavités ouvertes quasi carrées qui contiennent les antennes et sont aussi couplées entre elles. Les deux guides sont représentés par deux branins. On peut par ailleurs évaluer l'interaction entre les deux antennes par le volume central et entre les antennes et les coins de la cavité principale. Il reste alors à trouver les paramètres de ces structures et les coecients de couplages entre les structures.

Chaque interaction ainsi regroupée peut être associée à un branin ou trans-crite en paramètres Z, S ou T. C'est à l'ingénieur, suivant les modèles auxquels il est habitué ou qui lui semblent les plus pertinents, que revient de prendre la décision.

Si une antenne émet en espace libre. La relation fondamentale qui détermine sa résistance de rayonnement est :

R = ¹ η0i2 ω²A²
ˆ θ ˆ φ dθdφF (θ, φ) (4.23) η0 est l'impédance du vide, i le courant d'alimentation de l'antenne, ω la pulsation et A l'intensité crête du champ du potentiel vecteur créé par le cou-rant d'alimentation. F est la fonction qui décrit l'évolution de cette intensité sur la sphère de rayonnement de rayon R. Cette intégrale peut être séparée en plusieurs, chacune portant une partie de cette sphère. De telle sorte que la résistance de rayonnement devient le résultat de la mise en série de plusieurs résistances de rayonnement partielles. A iso-intensité de champ, la résistance de rayonnement est d'autant plus petite que le diagramme de rayonnement est

faible. Par ailleurs, dans une enceinte fermée, cette résistance est appelée à de-venir nulle, compensée par les ondes retours provenant des murs. Mais nous avons besoin de les connaître pour déterminer les impédances de consomma-tion des branins équivalents. C'est à dire l'impédance instantanée que voit une source lorsqu'elle doit dépenser de l'énergie pour créer un champ guidé dans une structure. Le volume précédent s'apparente à deux systèmes résonants pourvus d'une antenne centrée et couplés par plusieurs de leurs faces avec des guides ou leurs homologues. On commence par établir chacune des structures contenant les antennes. Si elles étaient complètement fermées, ces structures renverraient toute l'énergie aux antennes. Mais une partie est ouverte sur d'autres structures qui sont consommatrices. La gure 4.6 montre que l'on trouve 6 réexions an-gulaires de natures diérentes. Chacune va donner lieu à un branin avec une impédance propre diérente, et une condition d'extrémité diérente.

Figure 4.6

Par exemple le secteur (a) qui termine sur un mur a pour condition limite une charge qui est un court-circuit (aux pertes métalliques près, mais que l'on a intérêt à modéliser). Le secteur (f) débouche sur une entrée de guide, etc. Chaque guide est lui-même un branin. Les impédances des branins sont déterminées comme les portions de ce que serait l'impédance de rayonnement complète en espace libre.

On doit alors exprimer le coecient de couplage entre un secteur et un guide. Ce guide est lui-même un branin. On serait tenté de retenir une topologie comme celle présentée gure 4.7.

Figure 4.7

Mais cette organisation ne fonctionne pas. La première fois que la question s'est posée sur ce type de structure, c'était un doctorant de l'ESEO, Sjoerd Opt'Land [57] qui l'avait posée pour modéliser des pistes de circuits imprimés. Trouvant des résultats aberrants, nous nous sommes demandés d'où venait l'er-reur, et elle venait de la topologie ! Ce fut une expérience très enrichissante. Détaillons pourquoi. La structure précédente engendre les équations suivantes pour les sources reportées :

       e2= Vd− Zci²
e−τ1s e3= Vg+ Zci¹
e−τ1s e4= Vh− Z0 ci³
e−τ2s e5= Vd+ Z_c⁰i²
e−τ2s (4.24) Mais la tension Vddépend des deux sources e3et e4. Et e3dépend de Vg. On se retrouve à créer une corde entre la dernière maille et la première. Finalement ces équations conduisent à une topologie qui est donnée gure 4.8 et qui n'est pas celle que l'on désire mettre en ÷uvre !

Figure 4.8

Pour garder des équations indépendantes pour chaque structure de propaga-tion il faut ajouter un élément à l'endroit de la frontière où les deux structures sont connectées. Et cet ajout a du sens. On ne peut pas interrompre une pro-pagation, sauf à modier la géométrie, ajouter un objet, etc. Dans ce cas, cet ajout doit être matérialisé par une branche portant une impédance qui va tra-duire la perturbation apportée par l'ajout sur la propagation des champs. La bonne topologie est donc celle présentée gure 4.9 et la branche centrale porte les interactions de champs évanescents à l'entrée du guide.

Figure 4.9

Cette propriété essentielle des branins renvoie en bien des points au principe d'incertitude, rappelant que l'on ne peut pas intervenir sans conséquence sur la propagation d'une onde, quantique ou pas nalement. La gure 4.10 donne la topologie qui représente bien le problème : chaque cercle y correspond à une maille d'un branin. Ce type de technique a permis de trouver de bonnes cor-respondances avec les mesures [58]. La gure 4.11 montre la qualité de résultat que l'on peut obtenir par la dernière technique présentée.

Figure 4.11

Notons que des travaux que j'ai mené dans le cadre du groupe CAFCA sur la modélisation des chambres réverbérantes à brassage de modes [59] ont mis en évidence, par une modélisation théorique basée sur des branins couplés, qu'un élément d'absorption signicative dans le volume pouvait déformer les modes pour capter majoritairement l'énergie. Des constats similaires ont été exploités par Philippe BESNIER à l'INSA de Rennes [60] pour la caractérisation d'antennes en chambre réverbérante.

4.3.7 LIHA

Une autre application de l'approche modale du champ a été l'application d'une contrainte électromagnétique hyperfréquence sur un composant. Un moyen d'essai a été développé, ensuite breveté. L'idée était la suivante : à très hautes fréquences, on ne peut espérer appliquer un champ homogène sur une surface de la taille d'un microprocesseur. Des tentatives ont été faites pour insérer le com-posant dans des structures de strip-line. Mais à plusieurs gigahertz, il est illusoire de croire que l'on peut maîtriser la propagation d'une onde dès lors que cette propagation se trouve perturbée par la présence de géométries variables. Dans le moyen d'essai proposé appelé LIHA pour Local Injection Horn Antenna, un guide conduit l'énergie vers un cornet où le champ en extrémité s'établit suivant un mode. Ce mode vient illuminer un composant et est en partie déterminé par lui. En considérant que le composant constitue une surface majoritairement ré-exive, on peut estimer le mode qui peut s'installer au niveau du composant et de là calculer les forces électromotrices induites sur ses broches. La gure 4.12 montre le dispositif qui a été inventé.

Figure 4.12

Faire un brevet est une expérience intéressante et qui montre l'écart entre la description scientique, mathématique et sa traduction littérale pour le dépôt d'un brevet. Les équations susent pour parler physique précisément pour un physicien. Mais pour un juriste, la dénition de l'invention est tout autre. Et ce monde des brevets continue de suivre une description littérale comme on en voit plus depuis Newton. Ce mode est acceptable parce que les inventions sont encore d'un niveau d'abstraction faible. Ceci est cohérent avec l'obligation d'exploitation du brevet. La protection des innovations abstraites, des formules physiques remarquables passent par la publication d'articles. On note d'ailleurs qu'une idée publiée n'est plus brevetable.

4.4 Modélisation des câblages & interaction