Le modèle de BRANIN

Les lignes auront fait l'objet de très nombreux travaux, et ce depuis une époque reculée (Heaviside, 19°siècle). Le couplage entre lignes est d'ailleurs sans doute le premier cas de problème de compatibilité électromagnétique de l'his-toire. Malgré ces eorts, la modélisation des lignes réelles reste un sujet dicile. Parmi les modèles développés, 1 reste un modèle de référence car d'une part ex-trêmement puissant et d'autre part très proche du phénomène physique : c'est le modèle de BRANIN. BRANIN a été l'inventeur de nombreuses techniques pour le calcul des réseaux. Il a aussi participé à l'étude des techniques de KRON sous le jour de la topologie algébrique [51, 52].

Le modèle de BRANIN considère une ligne comme un élément que l'on ali-mente, donc consommateur d'énergie, puis guide de cette énergie jusqu'à une charge et éventuellement porteur d'ondes rééchies de la charge vers la source. On a beaucoup travaillé d'une part à l'insertion du modèle de BRANIN dans l'espace des mailles, d'autre part à l'ajout des interactions avec le champ au modèle de BRANIN. Il est intéressant de lire rapidement les deux analyses, le modèle de BRANIN étant riche d'enseignement sur les ondes en général. 4.3.2.1 Le modèle de BRANIN dans le formalisme de KRON

La gure 4.2 représente le modèle de base de BRANIN que nous avons déjà évoqué. On en rappelle ici le principe, mais vu plus sous l'angle des lignes.

Figure 4.2

Sur ce schéma, les grandeurs Zc, r représentent respectivement l'impédance caractéristique et le retard de propagation associés à la structure d'ondes gui-dées. Vg et Vd sont les diérences de potentiels mesurables à chaque extrémité de la ligne. eg et ed sont les forces électromotrices (fém) induites par les ondes incidentes et rééchies se propageant dans la structure. Les équations de BRA-NIN associées à ce schéma et aux courants dans les branches à gauche (Ig) et à droite (Id) sont [49] :    e_g= (V_d− Z_cI_d) e^−pr ed= (Vg+ ZcIg) e^−pr (4.2) L'impédance caractéristique représente la part d'énergie consommée pour exciter la ligne. Si ensuite une partie de cette énergie est restituée, l'impédance vue de l'entrée de la ligne va changer via la fém induite en retour. Ce modèle est extrêmement synthétique et puissant. Pourquoi ne l'enseigne-t-on pas aux ingénieurs, plutôt que de détailler les seuls télégraphistes ? Pour utiliser la ligne, on doit a minima brancher un générateur à l'entrée et une charge sur la sortie. Faisant cela les courants I1 et I2 deviennent les courants des mailles d'entrée - sortie et toutes les fém sont associées aux mailles. Si Rg et Rd sont les deux impédances du générateur et de la charge, on trouve [53] :

   e_g= (R_dI_d− ZcI_d) e−pr e_d= (E_g− R_gI_g+ Z_cI_g) e^−pr (4.3) E_g est la source du générateur. On fait apparaître les impédances de cou-plages toutes les fois qu'une fém peut être reliée à un courant. On reconnait ainsi :    z_gd= (R_d− Z_c) e^−pr zdg= (Zc− Rg) e^−pr (4.4) Mais une nouvelle source reportée apparaît sur la seconde maille : Ege^−pr. L'équation du système peut ainsi se réécrire sous la forme :

1 + D_µ^µ
eµ= zµνIν (4.5) La matrice D rajoute la source reportée dans le vecteur des sources d'origine. Pouvoir incorporer le modèle de BRANIN dans le formalisme de KRON sera source de nombreux développements : modèles de torons et harnais de câbles, modélisation des guides puis des cavités.

BRANIN a reconnu lui-même s'être trompé dans une première proposition de modélisation des lignes avec pertes. Dans le domaine des fréquences, il sut de remplacer l'opérateur purement imaginaire de Laplace p par une fonction complexe. On écrit : p = c (α + jβ)1avec :

       α²= ¹₂^hp(R2+ ω2L2) (g2+ ω2C2) + Rg − ω²LC
ⁱ β²= ¹₂^hp(R2+ ω2L2) (g2+ ω2C2) − Rg − ω²LC
ⁱ (4.6) Dans le domaine temporel la situation se complique un peu. Le terme en exp −k√

p
admet une primitive pour Laplace en k 2√ πt^e −^k2 4t 

Mais étant multiplié par le terme de déphasage, il va falloir réaliser une convolution dans le domaine temporel. Par exemple en prenant

α ≈ k0R = k√ p on obtient (avec p0= jω) : •e−(α+p0)r = •e^−k√pe^−p0r→ ^k 2√ πt^e −^k2 4t  ∗ δ_r/c 1. −r/cp → −r/c (α + jβ) c

Ceci dit nous avons réalisé cet exercice quelques fois, mais le problème pour l'expert en CEM n'est pas là. De nouveau beaucoup pourraient parler de modèle approximatif, non rigoureux. Mais de toute façon, comparativement à un sys-tème réel, tout modèle est approximatif. Dans le cas de la CEM, il vaut mieux garantir une certaine marge et dire que l'on est un peu pessimiste que vouloir trop approcher la réalité et donner un calcul d'amplitude inférieure à la mesure. 4.3.2.2 Guides et LIHA

On s'habitue petit à petit à travailler avec l'idée que le champ s'organise suivant des modes. Trouver ces modes est nalement assez compliqué dès que l'on s'éloigne des cavités canoniques. Une première application, déjà non tri-viale, est celle des ondes guidées. Dans ce cas, le champ dispose d'un degré de liberté et de deux degrés contraints. Nous verrons que nous avons là la base des modélisations de tout volume fermé. On choisit donc un plan de coupe qui constitue l'espace où s'établissent les modes transverses à la propagation. Dans ce plan supposé constant tout le long de la propagation, des modes s'établissent à partir d'une fréquence de coupure en-deçà de laquelle les modes de propagation ne peuvent s'établir. Ne subsiste alors que les modes évanescents dont la portée est très faible (de l'ordre de la largeur du guide). Dans le modèle de BRANIN, la propagation est régie par le terme de retard r. Le retard est exprimé par : xv_g⁻1. La vitesse de groupe vgest donnée par cp1 − (ωc/ω)2. Travailler avec les vitesses de groupe (vg) et de phase (vp) ou avec la dispersion est équivalent. On trouve souvent le second choix, mais le premier est plus proche de la physique. Il faut se rappeler une relation que l'on ne rencontre pas si souvent à savoir v_gv_p= c2.

en basses fréquences, avant la pulsation de coupure, la vitesse dans le guide devient innie et le champ ne se propage plus. Ce phénomène somme toute très logique puisque le retard n'existe pas dans le champ évanescent, n'est pas aussi facile à programmer que l'on pourrait croire. Dans les termes de couplage du BRANIN, si la vitesse de groupe tend vers l'inni en module, le retard tend vers zéro. Mais les termes s'ils ne sont pas retardés, n'en sont pas pour autant inexistants. On doit donc ajouter une fonction de dénition de domaine pour annuler ces termes lorsque l'on se retrouve en-deçà de la fréquence de coupure, et ce quelle que soit la distance. Si un couplage en champ proche doit exister du fait que l'on se trouve en-deçà de la distance d'évanescence, on doit le faire gurer dans le graphe par une branche capacitive ou une corde de réluctance. On prend par exemple comme fonction de domaine Ω :

Ω = ¹ 1 + ^ωc

ω

2 (4.7)

cela permet d'éviter des comportements singuliers de la dispersion en basses fréquences. Le branin engendre une impédance de couplage de la forme :

r s'exprimant par αx/c où α est un coecient de réduction donné par : α = c/v_g.

Pour complètement dénir le guide, il nous reste à dénir l'impédance ca-ractéristique du guide. Cette impédance traduit en fait l'énergie transmise au champ pour le créer et initier sa propagation. Lorsqu'un générateur est bien adapté avec un guide, cela signie qu'il transmet toute sa puissance sous forme de champ et de pertes dans les parois du guide [54]. Deux relations aident à calculer cette impédance caractéristique. La première donne le débit d'énergie :

0 ˆ a ˆ b dadbE²(a, b) vg

aet b étant les deux directions du plan d'onde. La seconde donne la puissance développée aux bornes de la structure d'onde guidée :

U²Re(Zc) |Zc|²

Comme la diérence de potentiel est l'intégrale du champ sur la géodésique considérée sur le plan d'onde, on trouve en combinant ces deux relations l'im-pédance caractéristique équivalente du guide, qui dépend de la pulsation.

Avec ces modications, le guide apparaît comme une ligne ordinaire et un schéma de BRANIN à peine modié. On ne peut même pas dire que le calcul des coecients de couplage est très diérent. Mais contrairement à ce que l'on croit, ce coecient de couplage pour des lignes en mode TEM n'est pas si évident à calculer précisément. En général on ne se soucie pas de sa valeur, et on suppose que le couplage est idéal, égal à 1. Dans la réalité il peut être plus ou moins dégradé suivant la connexion entre l'excitateur de la ligne et la ligne elle-même. 4.3.2.3 Cavités : suite des travaux de modélisation

Une cavité est un guide d'onde court-circuité : c'est le modèle le plus e-cient. Ce n'est pas pour autant le plus facile à déterminer. Il faut donc dans les structures réelles retrouver des formes proches des formes de guides canoniques. On peut ensuite considérer le volume en étude comme un assemblage de ces géométries de base. Il reste à trouver ensuite les couplages entre ces structures. Mais dispose-t-on d'une méthode pour faire cette construction ? Nous avons ni par trouver une certaine méthode qui s'applique pour un modèle réalisé à partir d'un assemblage de branins. Le principe est le suivant :

1. on détermine les lignes de champ statiques ou les portions de structures types entre les éléments et la cavité ;

2. on en déduit les lignes directrices de propagation ;

3. pour ces lignes on dénit les fonctions de champ adéquates ; 4. pour ces fonctions de champ on calcule la dispersion ;

5. on termine la détermination du système en calculant les coecients de couplages.

L'excitation d'un champ modal dans un volume est un point important pour prédire les congurations que pourra prendre le champ. Dans un volume on trouve dans l'espace complémentaire un guide ou plutôt souvent une succes-sion de guides. En dénissant Ω l'espace des points métalliques dans le volume considéré on peut ainsi trouver un espace complémentaire inclu dans Ω : Ω∗qui contient tout l'espace diélectrique entre ces points. Cet espace décrit un milieu de propagation guidée, par dénition. En tout point, la ligne de propagation coupe perpendiculairement les lignes de champ électrostatique qui relient les points métalliques entre eux. On peut développer le chemin ainsi parcouru par l'onde et décrire en toute abscisse les caractéristiques du plan d'onde lié. Les portions où ce plan d'onde est invariant géométriquement dénissent des por-tions de guides. L'exercice de détermination des chemins n'est pas trivial dans certaines géométries qui combinent formes rondes et rectangulaires. Mais dans la majorité des cas industriels, il s'avère pas si compliqué que cela, sous condition de négliger certains éléments comme les câblages, les détails des formes des com-posants sur les cartes, etc. Ceci étant, aux fréquences qui correspondraient aux modes pour ces plus petits objets, le facteur de qualité en général tend vers 1, et l'on peut prédire le risque CEM simplement en considérant les transmissions par les ouvertures et les couplages directs sur les pistes.