Réexion sur la nature instantanée du champ électrostatique 28

Nous sommes habitués dans le cadre des études classiques en électromagné-tisme à aborder et utiliser les champs électrique et magnétique. Nous allons

voir qu'une représentation du champ par les potentiels retardés dans la jauge de Coulomb sont très intéressants et nous permettent de justier certains des résultats précédents.

La solution des équations de Maxwell est le couple de potentiels (V, A). D'une manière générale d'ailleurs, le 4-champ relativiste F = ∂[µA_ν]1 est l'expression du champ électromagnétique la plus rigoureuse. Les champs issus des forces E et B (nous les appelons ainsi car historiquement, ces champs ont été déduits des forces électriques et magnétiques observées) se déduisent des potentiels par :

E = −^∂A_∂t − ∇V B = ∇ × A (2.8) Voyant ces équations, on comprend qu'une transformation dans l'expression des potentiels peut conduire aux mêmes solutions pour les champs issus des forces. Si χ est une fonction quelconque de l'espace et du temps, le couple (V0= V + ∂_tχ, A0= A + ∇χ) est aussi solution. On parle de transformations de jauge. En reportant dans les équations de Maxwell les expressions avec les potentiels on obtient le couple d'équations fondamental :

   ∂ ∂t(∇ · A) + ∇2V = −^ρe ₀ 1 c2 ∂² ∂t2A − ∇²A + ∇ ∇ · A + _c¹2 ∂V ∂t
= µ0J (2.9) ρe est la densité de particules de charge e, J la densité de courant. On s'intéresse à une jauge particulière pour laquelle ∇2χ = ∇ · A, ce qui conduit à ∇ · A = 0, appelée jauge de Coulomb. En utilisant ce résultat dans le système d'équations fondamental, on trouve :

   ∇2V = −^ρe 0 1 c2 ∂² ∂t2A − ∇2A = µ₀J − 1 c2 ∂∇V ∂t (2.10) La première équation exprime le potentiel de Coulomb :

V (x, t) = ¹ 4π0

ˆ

dy^{ρe(y, t)}

|x − y| (2.11)

En tout point de l'espace le potentiel varie instantanément. Et ce résultat n'est pas en contradiction avec la mécanique relativiste. Car si l'on désire faire une mesure du champ, on va obtenir un signal dynamique dont la transformée de Fourier va engendrer des composantes en harmoniques liées au potentiel vecteur retardé (le champ photonique est intrinsèquement en paquets d'ondes). Or dans la transformation de Fourier inverse qui donne le signal temporel mesuré, on peut ajouter a priori ou a postériori la composante continue sans rien changer au résultat. On ne peut ainsi jamais démontrer si le potentiel de Coulomb existe avant l'obtention du signal dynamique ou pas. On peut dire aussi que seul le champ électromagnétique est limité dans sa vitesse de propagation.

1. On exploite ici la notation utilisée par PENROSE, basée sur l'indice muet où les crochets pointent une alternance des indices.

Le second terme de la seconde équation engendre un courant transverse, lié au potentiel vecteur transverse retardé, d'où le nom de jauge transverse également donné à la jauge de Coulomb. La gure 2.6 montre l'orientation des diérentes composantes et la création de la composante transverse.

Figure 2.6

On peut ensuite décomposer le champ en parties longitudinale aL et trans-verse aT. Ces composantes sont dénies par :

∇ × aL= 0 ∇ · aT = 0 (2.12) Ces relations permettent de dire immédiatement que le potentiel vecteur dans la jauge de Coulomb, de par sa dénition, est transverse ; ce que l'on avait déduit aussi du second membre de la seconde équation du système d'équations fondamental. De ce résultat on déduit que le champ électrique issu de la force a une composante longitudinale et une composantes transverse :

E_L= −∇V E_T = −^∂A_∂t (2.13) Ce résultat est en parfaite adéquation avec les topologies que nous avons retenu pour les interactions électrostatique et rayonnée. La première est sans propagation, la seconde est propagée ; la première traduit une interaction longi-tudinale, la seconde transporte un champ transverse. La première se réduit à un réseau, la seconde comporte au moins deux réseaux. Notons que dans le cadre d'un article pour le congrès ICONIC, j'ai pu démontrer que la transformation de Lorentz appliquée à la jauge de Coulomb engendre la jauge de Lorentz [12].

2.2.5 Topologie des interactions en champs

Nous arrivons à ce stade dans l'idée que les interactions en champ électro-magnétique peuvent être découpées en leurs composantes de champs stockés et de champ radiatif. Si l'on peut généraliser cette idée cela permettra d'inclure un critère pour le champ magnétique pour lequel la jauge de Coulomb pas plus que d'autres jauges ne donnent d'indication. Car le champ magnétique issu de la force magnétique est invariant de jauge. En eet le champ B résulte du rotation-nel du potentiel vecteur. Comme le montre la gure 2.7, l'une ou l'autre jauge de Coulomb ou de Lorentz ne change rien au diérentiel dans une direction qui engendre le champ B.

Figure 2.7

On considère le développement harmonique du champ : E (x, t) = ReE(x)e−iωt = ¹

2E(x)e−iωt+ E^∗(x)e^iωt (2.14) Le champ comme la densité de courant sont des quantités complexes. S'il existe une distribution de champ et de courant, le débit de travail exécuté par le couplage du champ et des charges doit être donné par la partie réelle de :

1 2

ˆ

v

d³xJ^∗· E (2.15)

On calcule l'expression de cette intégrale :

1 2 ´ vd³xJ^∗· E = 1 2 ´ vE · [∇ × H^∗− iωD∗] d³x 1 2 ´ vd³xJ^∗· E = 1 2 ´ v[−∇ · (E · H^∗) − iω (E · D^∗− B · H∗)] d³x (2.16) On dénit alors le vecteur de Poynting S = 1/2 (E × H∗)et les densités volu-miques de champs électrique et magnétique issus des forces : ωe= 1/4 (E · D^∗), ωm= 1/4 (B · H^∗). L'équation (2.16) peut alors être écrite :

1 2 ˆ v d³xJ^∗· E + 2iω ˆ v d³x (ω_e− ω_m) + ˛ S daS · n = 0 (2.17)

Regardons maintenant le graphe de la gure 2.8 correspondant à une alimen-tation d'une antenne, où seule l'entrée du Branin est utile, dans la mesure où l'antenne émettant dans un espace libre inni, l'autre extrémité du Branin est rejetée à l'inni. On représente juste la corde pour symboliser le rayonnement attaché à l'impédance Rrradiative.

Figure 2.8

Dans ce circuit on reconnait un générateur et son impédance réelle R0 qui alimente l'antenne. La frontière entre ce générateur et le branchement de l'en-trée de l'antenne représentée par un condensateur et les circulations de champ magnétique de part et d'autre de cette frontière avec le couplage par réluctance M p. Les puissances développées dans ce circuit sont données par zabiaib où zab

est la matrice impédance : zab=  R0+ Lp +_Cp¹ −M p −M p 1 Cp + Lp + Rr  (2.18) En développant le produit bilinéaire on trouve les correspondances :              R0(ia)²→ 1