Application au couplage entre un champ et une ligne

Une cellule GTEM est une structure fermée constituant une ligne sous l'âme de laquelle on place un équipement sous test. Si l'équipement est assez petit on peut considérer la ligne adaptée et propageant un champ électrique et magné-tique de son entrée jusqu'à sa charge. Dans cette structure, on place une ligne de petite hauteur chargée à chaque extrémité et on vient mesurer la tension sur ces extrémités. La gure 5.2 présente un schéma de l'expérience.

Figure 5.2

La structure augmente en taille du point d'injection jusqu'aux charges d'ex-trémités en partie constituées d'absorbants assurant l'adaptation hautes fré-quences de la ligne, et ce malgré ses dimensions (typiquement 4 m de long par 1,5 m de hauteur côté charges et 1,5 m de largeur). Cette structure continû-ment croissante et sans changecontinû-ments abruptes de géométrie possède une bande passante élevée, d'où son intérêt. L'impédance caractéristique de la ligne est conservée car le taux d'accroissement en hauteur est accompagné d'un taux identique en largeur. Si l'on fait une coupe transversale de la GTEM à une abs-cisse quelconque du point d'injection, on voit une structure de ligne d'âme plate et de blindage rectangulaire. Si l'on ouvre cette structure, on trouve une ligne biplaque (gure 5.3).

Figure 5.3

L'impédance caractéristique de ce type de ligne est approximativement égale à : Zc = √

LC−1 = p(µ/)(xh/w)(h/xw) si x est la longueur de ligne, h la hauteur et w la largeur ; L son inductance linéique et C le condensateur linéique. Soit : Zc=pµ/.h/w. On voit que tant que l'on maintient le rapport h/w constant et que le milieu est invariant, l'impédance caractéristique de la structure est maintenue.

Par des raisonnements similaires, inspirés des modes de raisonnement de FEYNMAN, on peut ainsi évaluer les comportements physiques de nombreuses situations. La mesure conrmera cette analyse et on a pu la modéliser simple-ment par un modèle des télégraphistes. Il restait à modéliser le couplage entre le champ engendré sous le septum de la GTEM et la ligne qui y est disposée. Dans la mesure où l'impédance caractéristique de la ligne est conservée, chacune des deux lignes peut être modélisée par une succession de cellules des télégra-phistes identiques. Les couplages étant symétriques, il sut de savoir exprimer le couplage de la GTEM vers la ligne pour pouvoir prendre en compte l'action de la ligne sur la GTEM. Pour dessiner le graphe de ce problème on peut ex-ploiter une identité remarquable. Nous nous sommes aperçus que les matrices impédances dans l'espace des mailles des deux structures de réseaux présentées gure 5.4 sont identiques.

Figure 5.4

Une ligne devient une succession de mailles couplées par l'impédance pa-rallèle - le condensateur linéique. Les cordes entre ces mailles représentent le couplage par partage de cette branche capacitive. D'autres cordes sont créées pour représenter le couplage entre les deux lignes. Ce couplage est magnétique, le couplage électrique n'intervenant que sur les extrémités. En eet le courant induit par couplage électrique se compense et il sut de le reporter aux extré-mités. Le graphe gure 5.5 fait la synthèse des interactions identiées. Les deux

lignes sont reliées au même plan, ce que l'on modélise par un n÷ud unique en retour - ou une barre épaisse - rejoignant plusieurs n÷uds.

Une fois que l'on a dessiné ce graphe, les composants des lignes étant faciles à déterminer, il reste à calculer les couplages. Il s'agit bien ici du travail de la CEM : trouver, maîtriser, corriger les couplages. Dans notre cas ils sont plutôt volontaires ! Mais cela ne change rien à la démarche toujours identique.

Figure 5.5

Le couplage entre GTEM et ligne s'exprime comme le rapport entre la force électromotrice induite (fém) dans une cellule réceptrice et le courant qui lui a donné naissance sur le septum de la GTEM. Il y a de multiples façons de calculer la fém. Ici une expression intéressante est l'intégrale fermée du potentiel vecteur dans la jauge de Lorentz sur le contour de la cellule réceptrice, multipliée par la surface de cette cellule. Le rotationnel du potentiel vecteur en deux abscisses x₁ = s₁ et x2 = s₂ en un point s d'une cellule est donné approximativement2

par : ∇ × A = ^µVs∆x 4πZc e^−ys−Hc p ys− H ⁻ e^−yscp ys ! (5.6) y_s étant la hauteur sous septum, H la hauteur d'une cellule de la ligne, Zc

l'impédance caractéristique de la GTEM et ∆x sa longueur. On en déduit après quelques manipulations une impédance de couplage ZGLdonnée par :

2. L'approximation porte entre autre sur l'homogénéité du champ suivant la hauteur. En réalité le champ varie de par sa courbure et la répartition des courants sur la largeur du septum. Mais ces eets sont du second ordre et largement couverts par l'incertitude en mesure standard.

Z_GL= −p^{∆xH∇ × AZc} Vs = −p^µH∆x 2e^−yscp 4πys(ys− H)  y_s^e^Hcp − 1^+ He^Hcp^ (5.7) (p est l'opérateur de Laplace). Comme H est constant mais que ys= xstg (a) dépend de l'abscisse, l'impédance de couplage varie avec la longueur de ligne sous GTEM. Ceci est très embêtant car l'impédance caractéristique du système de lignes GTEM-ligne sous test étant non constante, des ondes stationnaires vont s'établir dans le système sous test et il va être très dicile de maîtriser la contrainte appliquée sous cette ligne. Mais on s'aperçoit que si l'on pose H = αys

avec α  1 alors : ZGL≈ −p^µα∆x 2e^−yscp 4πys  e^Hcp− 1^ (5.8) Le terme e−ys

cp est un terme de retard de dispersion k = tg (a) ω/c, et le couplage est constant en amplitude tout le long de la ligne. C'est ce que nous avons représenté gure 2.2, il faut incliner la ligne d'un angle b = a identique à l'inclinaison du septum. Nous avons écrit un article avec cette proposition. Nous n'avions pas été plus loin à l'époque car les essais en cellule GTEM étaient peu nombreux. Mais il me semble qu'il serait intéressant même encore aujourd'hui de proposer cette disposition aux instances normatives pour améliorer l'exploi-tation des résultats en cellule GTEM.

Nous constatons qu'ici la démarche de l'analyse tensorielle des réseaux per-met d'aborder le problème sous un jour nouveau. On aurait pu calculer l'induc-tion sur la ligne et voir que la fém couplée décroît avec la longueur sous septum. Mais en discutant autour de la valeur de l'impédance de couplage, notre ana-lyse va plus loin et porte sur l'ensemble du système couplé GTEM - ligne avec l'hypothèse : ZGL= ZLG. Vu la linéarité des phénomènes considérés ici, cette hypothèse semble raisonnable.

Ce n'était pas l'objet de détailler ici les concepts mathématiques sous-jacents à la notion de corde. Cette symbolisation d'interactions qui peut être compliquée voire complexe avait été déjà évoquée par des grands auteurs des mathématiques pour la physique [28] et passe par des concepts de catégorie et de foncteur qu'il faut encore préciser.