P v,sat = P réf Const

h_lv r_gT_{v ,sat}

e

(III-24)

Soit pour les deux sections précédentes :

P

_v,0

P

_v,1

⁼

h_lv r_g 1 T_v,1
1 T_{v ,0}      

e

(III-25)

Les équations (III-21),(III-22)et(III-25) ne sont évidemment pas compatibles car un écoulement ne peut pas être adiabatique réversible, régi par la loi des gaz parfaits et avoir une phase vapeur à l’état de saturation en tous points. Si l’on garde l’hypothèse d’un écoulement de gaz parfait dans un convergent, la vapeur n’est alors plus à l’état de saturation. De plus, sur les diagrammes de phases des fluides caloporteurs, une évolution isentropique à partir d’un point de la courbe de saturation conduit à un point se situant dans la phase liquide (Figure III-6). Toutefois, il est possible d’envisager une phase vapeur en état de sursaturation si l’on prend en compte l’absence de site de nucléation au sein de l’écoulement et malgré la présence de liquide aux parois si l’on émet l’hypothèse d’une couche limite non sursaturée limitant le rôle de site de nucléation de la phase liquide .

D’après Carey ([L4] chap. 5), l’état de sursaturation de la vapeur est possible mais une limite existe au delà de laquelle, une condensation spontanée en gouttelette apparaît. En se

basant sur une analyse cinétique de la possibilité de croissance des gouttes de liquide dans la phase vapeur et en comparant la théorie avec des résultats expérimentaux, Carey obtient les relations suivantes :

P

_v,ssl

( )T

_v

P

_sat

(T

_v

) ⁼

E^*
ln J^* 2 E^*+
ln J

(

^*

)

^{3 /2}        

e

(III-26) avec :

E

^*

= 16


³

3k

_B



_l

r

_g²

T

_v³ et :

J

^*

= J M 

_l

N

_A

M

2  N

_A

r

_g

T

_v

P

_sat

(T

_v

)





 ^



J =10

⁶

m

^-3

s

^-1

:

flux du nombre de gouttelettes par unité de volume

L’équation (III-26) permet de calculer la surpression maximale de sursaturation admissible dans la phase vapeur pour une température donnée Tv. Toutes les propriétés thermophysiques sont considérées à la température Tv et le coefficient J est obtenu par lissage de résultats expérimentaux.

Le Tableau III-3 donne des applications numériques permettant de situer les différents points de référence de l’évolution de la phase vapeur à l’évaporateur lorsque le nombre de Mach en fin d’évaporateur est égal à 1. On a ainsi une vitesse sonique au col.

Tableau III-3 : exemples numériques d’évolutions de la phase vapeur

Point initial “Col sonique” Saturation Sursaturation (III-26) fluide

T₀ P₀ T₁(III-22) P₁(III-21) T_sat(P₁) P_sat(T₁) -ln(J^*) E^* P_v,ssl(T₁)

Eau 40 7370 -12 3100 23 na na na na

Eau 60 19920 4,5 8300 42 840 55,8 103 3150 Méthanol 0 4050 -45,5 1690 -13 127 52,4 30,7 270

Sodium 427 95,1 310 40 377 4 42,0 3,05 5

températures en °C — pressions en Pa — J et E sont sans dimension — na : non applicable

De manière plus visuelle, on peut schématiser le positionnement relatif des différents points comme sur la Figure III-6. On constate que dans tous les cas, la pression au col est très largement supérieure à la pression maximale de sursaturation. L’apparition de gouttes de liquide dans la phase vapeur est donc inévitable lorsque la vitesse en sortie d’évaporateur est sonique.

Cette impossibilité de rester dans un état sursaturé pour la vapeur est renforcé par la présence de liquide à l’interface. Le liquide agissant comme un site de condensation, l’interface est obligatoirement très proche de l’état de saturation.

En corollaire des calculs précédents, il devient impossible de considérer la vapeur comme suivant parfaitement la loi des gaz parfaits. Il faut changer les hypothèses sur le comportement de la phase vapeur et bâtir un modèle approprié.

Figure III-6 : positionnement relatif des points de référence de la limite sonique

Dans un premier temps, si l’on considère que le flux d’injection de vapeur est uniforme et se produit à la température locale de vapeur, on obtient alors un écoulement diphasique de vapeur contenant un brouillard de gouttelettes liquides. Ce cas a été étudié indirectement par Busse[73] afin de comparer l’évolution de la masse volumique du mélange par rapport au cas isotherme. Dans les applications numériques qu’il a traitées, les écarts de masses volumiques sont de l’ordre de 4 à 6%. Levy [75] a réalisé une étude détaillée de cette situation en se basant sur un modèle monodimensionnel d’écoulement vapeur avec une injection constante de matière. Il obtient un système de 4 équations différentielles dont les variables sont la pression, la vitesse, la température (reliée à la pression par la relation de Clausius Clapeyron (II–7)) et le titre vapeur. Les résultats obtenus sur un cas test donnent des résultats légèrement inférieur à ceux du modèle d’écoulement isentropique avec une phase vapeur suivant la loi des gaz parfaits. Ainsi, malgré l’impossibilité physique d’obtention des hypothèses usuelles, l’erreur commise semble assez faible.

Cependant, l’interface liquide vapeur étant une zone privilégiée de condensation, et l’existence de gouttelettes liquides étant imposée dans les modèles de Busse ou de Levy par une densité uniforme d’injection de matière, la réalité physique de la présence de gouttelettes liquides dans la phase vapeur n’est pas évidente. Or cette hypothèse conduisant à des modèles assez complexes, et ne donnant au final que peu de différences avec les hypothèse usuelles, nous ne retiendrons pas cette approche.

Cependant afin de fournir un modèle physiquement acceptable, nous prendrons l’hypothèse originale d’un écoulement vapeur régi par la courbe de saturation. En d’autres termes, on considèrera une vapeur saturée sèche en tous points de l’écoulement.

A partir de cette hypothèse originale nous allons expliciter une nouvelle expression de la limite sonique basée sur un modèle monodimensionnel sans perte de charges visqueuses. Puis nous appliquerons un facteur correctif usuel afin de tenir compte partiellement des effets 2D et nous discuterons de l’effet éventuel des pertes de charges visqueuses dans notre approche.

Remarques : la relation entre les grandeurs thermodynamiques (P,T,) de la phase vapeur sur la courbe de saturation ne suit pas la loi des gaz parfaits. L'annexe A4 donne une illustration de la variation du rapport :

r

_g

(T

_sat

) = ^{P T}(

^Sat

)

T(

_Sat

)T

_Sat ^(III-27)

Toutefois, ce rapport varie peu pour des températures proches du point triple, et l'on peut considérer en première approximation qu'il est égal à la constante du gaz r_g. Il faut cependant garder à l'esprit que le comportement de la phase vapeur s'éloigne fortement du modèle des gaz parfaits lorsque la température augmente en suivant la courbe de saturation en raison de l'augmentation de la pression et des phénomènes irréversibles liés aux chocs moléculaires.

2.2.2.2 Modèle monodimensionnel proposé de limite sonique

En considérant un écoulement monodimensionnel, le flux maximal transférable s’exprime en fonction de la vitesse sonique Us par :

Q

_s

=

_v

U

_s

S

_v

h

_lv (III-28)

Or la vitesse sonique est une fonction de la température et s’exprime par :

U

_s

=
r

_g

T

_{v (III-29)}

En considérant le modèle d’écoulement vapeur adopté dans le paragraphe précédent, on obtient en première approximation une expression de la limite sonique puisque la température adiabatique est constante et égale à la température en sortie d’évaporateur si l’on néglige les pertes de charge visqueuses :

Q

_son

₌

4^D

^v

2

h

_lv,a

_

_v,a

_{ r}

_g

T

_{v,a (III-30)} Remarques :

Le modèle adopté suppose que des échanges thermiques existent et permettent à la phase vapeur de rester à la température de saturation sans apparition de gouttelettes.

Dans tous les cas pour un écoulement sans frottements visqueux, le rapport entre la pression statique sonique au col et la pression génératrice reste le même et vaut
+1. En effet, le rapport des pressions est obtenu en effectuant un bilan de quantité de mouvement entre l’entrée et la sortie de l’évaporateur sans aucune supposition sur le comportement de la

température du gaz (Deverall & al [74]). On considère comme point de comparaison la température adiabatique de référence indépendamment des pressions résultant des hypothèses faites.

En utilisant les relations (III-21),(III-22)et(III-24) on peut exprimer le rapport des limites soniques dans l’hypothèse d’un écoulement isentropique(Qisen) et dans notre hypothèse de vapeur saturante (Qsat) :

Q

_sat

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