5.3 Conclusions de l’analyse du comportement local du VER
5.3.1 Revue des r´esultats obtenus
Ce chapitre s’appuie sur la simulation d’un essai de D´eformation `a Vitesse Constante (DVC) sur un polycristal de dioxyde d’uranium. Les diff´erents paragraphes s’articulent autour des grandes ´etapes de la simulation :
– le paragraphe 5.1 pr´esente les principaux ´el´ements de pre-processing du calcul, depuis l’´ecriture des conditions aux limites jusqu’au choix du VER polycristallin ;
– le paragraphe 5.2 concerne le d´epouillement des r´esultats et plus particuli`erement la car- act´erisation des distributions de contraintes locales.
Ces r´esultats sont repris au paragraphe 5.3 sous forme de bilan. Cette derni`ere partie est l’occasion de souligner les limites de validit´e de cette premi`ere simulation, notamment en termes de stabilit´e num´erique du calcul, question qui sera trait´ee plus en d´etail au chapitre 6.
5.1
Pr´esentation de la simulation
5.1.1 Conditions du calcul
Les r´esultats pr´esent´es dans ce chapitre concernent la simulation d’un essai de compression uniaxiale `a vitesse impos´ee similaire `a ceux pr´esent´es au paragraphe 4.2. Avant de se pencher plus en d´etail sur l’analyse des ph´enom`enes de localisation dans l’agr´egat ce premier paragraphe s’applique `a d´ecrire les grandes lignes du calcul, en particulier en termes de choix du chargement et de caract´eristiques du VER retenu.
5.1.1.1 Donn´ees du chargement thermo-m´ecanique
Pour simuler un essai DVC en compression, un taux de d´eformation macroscopique constant ˙
Ezz est impos´e dans la direction (Oz) et toutes les composantes de la contrainte macroscopique sont impos´ees nulles `a l’exception de Σzz. Dans le cadre de l’homog´en´eisation p´eriodique, cette condition de d´eformation libre a ´et´e introduite par le biais de noeuds “fantˆomes”, comme d´ecrit en annexe C.
Les donn´ees du chargement sont inspir´ees d’essais DVC exp´erimentaux, et les valeurs num´eriques sont donn´ees au tableau 5.1.
Dur´ee de l’essai (s) Vitesse de d´eformation (s−1) Temperature (˚C)
Valeur 500 2.452e-5 1450
Table 5.1 – Param`etres du chargement thermo-m´ecanique
Les niveaux de d´eformation axiale Ezzmax atteints au cours d’essais exp´erimentaux, typiqueme- ment de l’ordre de 5-6%, sont bien sup´erieurs `a celui du chargement d´efini au tableau 5.1 (pour lequel Ezzmax≃ 1.2%). Malgr´e tout, la dur´ee de la simulation est suffisante pour atteindre le r´egime stationnaire qui suit le pic de contrainte, comme nous le verrons par la suite.
5.1.1.2 Choix du Volume Elementaire Repr´esentatif
Le calcul a ´et´e effectu´e sur un agr´egat 3D-p´eriodique `a 100 grains. L’orientation des grains a ´et´e tir´ee avec une densit´e de probabilit´e uniforme, comme expliqu´e en annexe B. Le maillage du Volume ´Elementaire Repr´esentatif est pr´esent´e `a la figure 5.1.
Les grains sont maill´es avec en moyenne 195 t´etra`edres quadratiques, soit environ 1000 points d’int´egration par grain. A titre de comparaison, [Barbe 01] propose une moyenne de 661 points
5.1. Pr´esentation de la simulation
Figure 5.1 – Maillage de l’agr´egat `a 100 grains utilis´e pour la simulation
de Gauss par grain pour l’int´egration d’une loi de plasticit´e cristalline similaire `a celle utilis´ee ici. Une fois encore, la question de la convergence num´erique des r´esultats par rapport `a la finesse du maillage sera abord´ee au chapitre 6 et les r´esultats pr´esent´es dans les paragraphes suivants ne seront pas analys´es de ce point de vue.
5.1.2 Origine des ph´enom`enes de localisation
Etant donn´ee la gamme de sollicitations, le m´ecanisme de fluage par mouvements de dislocations sera pr´epond´erant vis-`a-vis du fluage par diffusion de lacunes. Ceci signifie en particulier que les ph´enom`enes d’incompatibilit´e intergranulaire seront associ´es `a l’orientation cristalline respective des grains et non pas `a leur taille, laquelle intervient dans le cas du fluage-diffusion.
Rappelons en effet que la loi d’´ecoulement associ´e `a chaque syst`eme de glissement se met sous la forme suivante : ˙ γs= ˙γs0e −Qg RT ρsµ |τs| τis ¶m sgn(τs) (5.1)
L’activit´e d’un syst`eme dans un grain donn´e (caract´eris´e par les trois angles d’Euler (φ1, Φ, φ2) qui d´efinissent ses orientations cristallines) est pilot´ee par la cission r´esolue τs qu’il per¸coit. Pour une sollicitation uniaxiale telle que celle ´etudi´ee dans ce chapitre, nous rappelons la d´efinition du facteur de Schmid ms associ´e au syst`eme s :
ms(φ1, Φ, φ2) = τs
Σ (5.2)
o`u Σ est la contrainte effective per¸cue par le mat´eriau. Plus ce rapport est ´elev´e, plus l’activation du syst`eme sera favoris´ee. La d´eformation viscoplastique de chaque grain du polycristal d´epend donc de son orientation, ce qui g´en`ere une premi`ere h´et´erog´en´eit´e au sein du VER.
Cette h´et´erog´en´eit´e va augmenter au cours de la simulation sous l’effet de la multiplication des dislocations. Comme nous l’avons vu au chapitre 4, l’´equation de cin´etique des densit´es de dislocations (4.37) implique une augmentation de la densit´e de dislocations pour les syst`emes actifs jusqu’`a saturation. Du fait de la pr´esence du terme ρs dans l’´equation (5.1), le taux de cisaillement va aussi augmenter pour les syst`emes actifs.
L’analyse des r´esultats de la simulation sera l’occasion de revenir sur ces ph´enom`enes, comme nous allons maintenant le voir.
5.1.3 R´eponse effective de l’agr´egat
5.1.3.1 Evolution de la r´eponse macroscopique au cours du temps
Le paragraphe 4.2 a ´et´e l’occasion de longuement d´ecrire la r´eponse de la loi ld2 `a une sollic- itation de type d´eformation `a vitesse impos´ee constante. Comme l’illustre la figure 5.2, la courbe r´eponse Σ = f(t) du VER pr´esente un pic de contrainte suivi d’un adoucissement. Ce dernier est associ´e `a une augmentation brutale des densit´es de dislocations dont l’´evolution est pr´esent´ee figure 5.3. 0 100 200 300 400 500 t (s) 0 1e+07 2e+07 3e+07 4e+07 5e+07 6e+07 Σ zz (Pa) Σzz
Figure5.2 – Evolution de la contrainte effective Σzz au cours du temps
Figure5.3 – Evolution des densit´es de dislocations moyennes sur l’agr´egat des diff´erents syst`emes au cours du temps L’´evolution temporelle de la r´eponse macroscopique du polycristal met en ´evidence l’apparition d’un r´egime stationnaire `a la fin du calcul. Les figures 5.2 et 5.3 montrent respectivement que la contrainte effective est stabilis´ee et que les densit´es de dislocations sont proches de la saturation. D’apr`es les ´el´ements pr´esent´es au paragraphe pr´ec´edent, nous pouvons conclure que l’h´et´erog´en´eit´e des distributions de contraintes qui seront observ´ees par la suite est repr´esentative des ph´enom`enes de localisations observables pour cet agr´egat.
Il est par ailleurs int´eressant de noter que, d’apr`es la figure 5.3, l’activit´e des syst`emes des deux familles se distingue nettement : conform´ement aux valeurs de cissions critiques respectives, les syt`emes de la famille < 110 > {100} ont davantage contribu´e au glissement que ceux de la famille < 110 > {110}. Cette dissym´etrie dans l’activation des syst`emes de glissement met l’accent sur l’anisotropie du comportement individuel des grains : la d´eformation viscoplastique sera en premi`ere approximation pilot´ee par les facteurs de Schmid associ´es aux syst`emes de glissement de la premi`ere famille.
5.1.3.2 Premi`ere observation des effets de localisation intragranulaire
Il s’agit `a pr´esent de confirmer l’intuition issue de la premi`ere analyse des r´esultats et de mettre en ´evidence l’incompatibilit´e de d´eformation intergranulaire.
La figure 5.4 pr´esente la distribution de d´eformation εzz dans l’agr´egat `a la fin de la simulation. Il apparaˆıt clairement une forte dispersion des valeurs obtenues : l’´ecart-type pour la distribution de d´eformation εzzg moyenne par grain est de 17% de la valeur effective, et les fluctuations entre extrema locaux atteignent une amplitude ≃ 14.
5.2. Analyse des distributions de contraintes locales
Figure5.4 – Isovaleurs de d´eformation εzz `a la fin du calcul
A l’´echelle de l’agr´egat, des effets de voisinage se produisent entre grains orient´es diff´erements. Ces effets compliquent l’analyse du comportement local du VER et seront ´etudi´es par la suite. Le paragraphe suivant s’attache en effet `a d´ecrire ces ph´enom`enes de localisation en termes de distributions de contraintes de fa¸con `a obtenir une premi`ere estimation de l’effet de l’anisotropie m´ecanique intragranulaire sur le comportement des produits de fission gazeux.
5.2
Analyse des distributions de contraintes locales
Il s’agit dans ce paragraphe de d´ecrire quelques grandeurs caract´eristiques pour l’´etude des ph´enom`enes de concentrations de contraintes dans le polycristal. Deux aspects seront abord´es principalement : la distribution de contraintes intragranulaires et le comportement des joints de grains. Dans les deux cas, le lien sera fait entre ces grandeurs m´ecaniques et la mod´elisation de l’´evolution des populations de cavit´es d´ecrite au chapitre 2.
5.2.1 Localisation de la contrainte intragranulaire
5.2.1.1 Distribution de pression hydrostatique moyenne
L’influence de la pression hydrostatique intragranulaire sur l’´evolution des populations de cavit´es a fait l’objet d’un grand nombre d’´etudes [Noirot 06]. La mise en place du mod`ele poly- cristallin permet de mesurer l’effet de l’incompatibilit´e de d´eformation associ´ee `a l’anisotropie des grains sur l’ensemble de ces ph´enom`enes.
Nous nous int´eressons dans un premier temps aux valeurs de pression hydrostatique moyenne par grain, d´efinie sous la forme :
Phyd g = 1 Vg Z 1 3tr (σ) dV (5.3)
Figure 5.5 – distribution de pression hydrostatique moyenne par grain Phyd g
`a la fin de la simulation
La figure 5.5 repr´esente la distribution de pression hydrostatique moyenne par grain Phydg `a t = 500s. Cette distribution doit ˆetre compar´ee au comportement effectif de l’agr´egat, pour lequel Phyd= −16.7 MPa : l’´ecart-type atteint 31% de cette valeur.
Il s’av`ere que l’anisotropie du cristal d’UO2 induit une dispersion significative des valeurs de pression hydrostatique dans l’agr´egat. Le chapitre 9 sera l’occasion d’´etendre ces r´esultats au cas d’une sollicitation de type rampe de puissance en irradiation et de discuter plus longuement de l’effet de cette dispersion sur le comportement des cavit´es intragranulaires.
5.2.1.2 Localisation intragranulaire
L’approche `a champ complet retenue pour cette ´etude permet d’analyser les r´epartitions de contraintes `a l’int´erieur de chaque grain. L’apparition de gradients de pression intragranulaire, par exemple, pourrait affecter le transport des produits de fission en situation d’irradiation.
Les trac´es d’isovaleurs du champ de pression hydrostatique aux points de Gauss (voir figure 5.6- b.) obtenues `a la fin de la simulation montrent toutefois un effet “Checkerboard” bien connu pour les mat´eriaux incompressibles [Sani 81]. Deux m´ethodes ont ´et´e envisag´ees pour r´egulariser ce champ de contraintes :
– moyenner les valeurs des 5 points de Gauss de chaque ´el´ement pour obtenir un champ constant par ´el´ements, comme pr´esent´e figure 5.6- c. ;
– extrapoler les valeurs du champ aux noeuds du maillage par une m´ethode des moindres carr´es, lissant au passage la discontinuit´e inter-´el´ements.
La m´ethode d’extrapolation utilis´ee sera d´ecrite en d´etail au chapitre 7, qui traite des diff´erentes m´ethodes de calcul des contraintes aux joints de grains.
Afin de quantifier les gradients de pression intragranulaires, nous d´efinissons l’´ecart-type en pression hydrostatique par grain :
< Phyd>g= s 1 Vg Z · 1 3tr (σ) ¸2 dV −¡Phyd g¢2 (5.4) avec Phydg la valeur moyenne de pression hydrostatique dans le grain, d´efinie `a l’´equation 5.3.
La figure 5.7 pr´esente l’´ecart-type des pressions hydrostatiques par grain calcul´ees `a partir des champs de contraintes plus ou moins r´egularis´es. Logiquement, l’´ecart-type est plus faible pour les
5.2. Analyse des distributions de contraintes locales
Figure 5.6 – Isovaleurs de pression hydrostatique (Pa) `a la fin de la simulation, agr´egat complet (ligne du haut) et vue tronqu´ee (ligne du bas). a. maillage, b. champ aux points de Gauss, c.
champ moyenn´e par ´el´ement, d. champ extrapol´e aux noeuds
champs r´egularis´es que pour celui initialement obtenu aux points de Gauss.
Par ailleurs, il est important de noter que les valeurs d’´ecart-type obtenues dans ce dernier cas sont nettement sup´erieures aux valeurs de pression hydrostatique moyennes par grains, sans qu’il soit possible de d´eterminer si cette amplitude de variation a pour origine des ph´enom`enes physiques ou uniquement un artefact num´erique.
Les avantages et limites de ces diff´erentes m´ethodes de r´egularisation seront d´ebattues plus en d´etail au chapitre 6. De fa¸con g´en´erale, l’apparition de ces difficult´es num´eriques limite la port´ee physique des r´esultats de ce calcul. Ces aspects devront ˆetre trait´es par la suite avant de pouvoir livrer une analyse fine des contraintes locales dans le cas d’un agr´egat en situation d’irradiation en rampe de puissance.
5.2.2 Contraintes aux joints de grains
Un des principaux avantages de l’approche polycristalline r´eside dans la possibilit´e de mod´eliser finement l’interaction entre grains voisins. La bonne compr´ehension du comportement des joints de grains dans l’UO2 est d´ecisive `a double titre : d’une part les joints de grains, du fait de leurs propri´et´es de diffusion, jouent le rˆole de canaux privil´egi´es pour le transport des produits de fission (comme cela `a d´ej`a ´et´e pr´esent´e au chapitre 2) ; d’autre part, du strict point de vue m´ecanique, les ph´enom`enes de glissement et de d´ecoh´esion aux joints de grains ont ´et´e mis en ´evidence par des mesures exp´erimentales [Dherbey 02].
5.2.2.1 Aspects num´eriques
A ce stade, il convient de souligner que l’´etude des contraintes aux joints de grains n´ecessite `a minima de connaˆıtre les contraintes aux noeuds du maillage.
Figure 5.7 – Distribution de l’´ecart-type intragranulaire sur la pression hydrostatique < Phyd>g `a la fin de la simulation
Dans le cas des r´esultats pr´esent´es dans ce chapitre, ces valeurs ont ´et´e obtenues par extrapo- lation aux noeuds du champ de contraintes d´efini aux points de Gauss. Pourtant, cette m´ethode n’est pas enti`erement satisfaisante puisqu’en r´egularisant le champ de contrainte, en particulier `a l’interface de deux grains, les effets de l’incompatibilit´e intergranulaire sur le comportement des joints de grains se trouvent eux-mˆemes diminu´es.
Dans un premier temps, ces valeurs seront consid´er´ees comme suffisament pr´ecises pour analyser le comportement du VER d’un point de vue qualitatif. La question du calcul des contraintes aux joints de grains sera toutefois plus longuement abord´ee au chapitre 7, avant de passer `a l’´etude du comportement de l’agr´egat au cours d’une irradiation en rampe de puissance.
5.2.2.2 Contraintes normale et tangentielle aux joints de grains
Les distributions de contraintes normale et tangentielle ont respectivement ´et´e ´etudi´ees pour estimer la probabilit´e d’apparition de ph´enom`enes d’ouverture et de glissement aux joints de grains. L’analyse propos´ee ici est tr`es similaire `a celle r´ealis´ee par [Diard 01] pour la compr´ehension des ph´enom`enes d’endommagement intergranulaire dans la gaine des crayons combustibles.
Chaque joint de grain est d´efini comme l’interface entre deux grains, soit une portion de surface plane d’une cellule de Vorono¨ı du VER. Dans un premier temps, l’analyse se limite `a la r´epartition des contraintes normale σn et tangentielle σt moyennes, d´efinies pour chaque joint de grain comme suit : σn = 1 Sjdg Z n.σ.n dS (5.5) σt = 1 Sjdg Z ||σ.n − σnn|| dS (5.6)
La d´efinition de σt donn´ee ici correspond simplement `a la norme du vecteur classiquement utilis´e σt = σ.n − σnndont les deux composantes sont associ´ees aux deux degr´es de libert´e dans le plan de glissement.
5.2. Analyse des distributions de contraintes locales 5.2.2.3 Observations dans le cas d’un VER “homog`ene”
Il est int´eressant de noter que dans le cas d’un agr´egat homog`ene, dont tous les grains ont le mˆeme comportement et pour lequel σ = Σ, contrainte effective sur le VER, les ´equations 5.5 et 5.6 peuvent ˆetre r´e´ecrites dans le cas d’une sollicitation de type ´ecrouissage. En effet avec une contrainte constante sur l’agr´egat :
σ= σ = 0 0 0 0 0 0 0 0 Σzz on d´eduit : σn = n2zΣzz (5.7) σt = pσn2(1 − n2z) + n2z(Σzz − σn)2 (5.8) o`u Σzzest la contrainte macroscopique et nzla composante de la normale au joint de grain colin´eaire `a (Oz). Cette distribution “homog`ene” est int´eressante dans la mesure o`u, par comparaison, elle permet d’extraire une premi`ere quantification de l’effet d’incompatibilit´e intergranulaire sur le comportement des joints de grains.
5.2.2.4 Effet de l’anisotropie sur les contraintes aux joints de grains
Les figures 5.8 et 5.9 repr´esentent respectivement la distribution de contraintes normales et tangentielles en fonction de l’orientation du joint de grain par rapport `a l’axe de sollicitation. Les distributions “homog`enes” correspondantes sont trac´ees en pointill´es noirs `a titre de comparaison.
Figure 5.8 – Distribution de σn en fonction de l’orientation du joint de grain
Figure 5.9 – Distribution de σten fonction de l’orientation du joint de grain
Il apparait clairement que certaines propri´et´es de la distribution homog`ene sont conserv´ees lors de l’introduction de l’incompatibilit´e intergranulaire. En particulier, les valeurs maximales de la contrainte tangentielle sont observ´ees pour |nz| =
√ 2
2 = cos 45˚, c’est-`a-dire pour les joints de grains `a 45 ˚de l’axe de compression, tandis que les contraintes normales les plus importantes (en valeur absolue) sont observ´ees pour |nz| → 1, soit pour les joints de grains orthogonaux `a l’axe.
Malgr´e tout, l’anisotropie du comportement intragranulaire introduit une nouvelle fois une dis- persion significative des valeurs de contraintes autour de la valeur “homog`ene”. En particulier il est
int´eressant de noter que, mˆeme pour une sollicitation macroscopique de compression pure, certains joints de grains se trouvent sollicit´es en traction, situation qui peut conduire `a une fissuration intergranulaire du combustible.
5.2.2.5 Cas de la pression hydrostatique aux joints de grains
De la mˆeme mani`ere que pour le comportement intragranulaire, la pression hydrostatique aux joints de grains joue un rˆole significatif sur le comportement des cavit´es intergranulaires.
La figure 5.10 pr´esente la distribution de pression hydrostatique moyenne aux joints de grains en fin de calcul. Comme pr´ec´edemment, les r´esultats montrent une dispersion significative autour de la valeur de pression hydrostatique moyenne dans l’agr´egat.
Figure 5.10 – distribution de pression hydrostatique moyenne aux joints de grains Phydjdg `a la fin de la simulation
L’´ecart type obtenu ici est plus important que dans le cas de la pression hydrostatique intra- granulaire et atteint environ 70% de la pression hydrostatique effective.
Il faut malgr´e tout faire preuve de prudence quant `a la signification physique de ces r´esultats ´etant donn´e que les ph´enom`enes ´etudi´es ici sont encore plus localis´es que dans le cas du comporte- ment intragranulaire. D’un point de vue num´erique en particulier, rien n’assure `a ce stade que le nombre d’´el´ements utilis´es (entre 1 et 40 selon les joints de grains) soit suffisant pour mod´eliser de fa¸con satisfaisante le comportement des joints de grains.
5.3
Conclusions de l’analyse du comportement local du VER
Cette simulation a ´et´e l’occasion d’une premi`ere ´etude en profondeur des effets de localisation du comportement m´ecanique de l’agr´egat. Les r´esultats obtenus ont permis de soulever un certain nombre de ph´enom`enes qu’il sera important d’analyser plus en d´etail dans le cas d’une irradiation en rampe de puissance. Le calcul a aussi permis de soulever un certain nombre de difficult´es, en particulier num´eriques, qu’il convient de lever avant d’aller plus loin dans la simulation.
5.3.1 Revue des r´esultats obtenus
L’analyse des r´esultats a permis d’illustrer l’effet de l’incompatibilit´e intergranulaire sur le comportement local du polycristal.
5.3. Conclusions de l’analyse du comportement local du VER
Du point de vue des contraintes intragranulaires, ceci s’est traduit par l’´etalement de la distribu- tion des pressions hydrostatiques moyennes intragranulaires ; cette grandeur joue un rˆole significatif dans le comportement des produits de fissions puisqu’elle est utilis´ee par les codes de transport des produits de fission comme sollicitation m´ecanique des cavit´es intragranulaires.