Delaunay - est limit´ee aux voisins de second rang (en jaune sur la figure 3.14). Les triangles de la zone centrale (en vert) au voisinage direct du nouveau germe seront “d´etruits” par la modification de la triangulation de Delaunay tenant compte de ce germe et n’ont aucune influence sur la g´eom´etrie finale du diagramme.
Figure 3.14 – Zone d’influence d’un germe
La mise en place de ce second crit`ere g´eom´etrique a abouti `a l’impl´ementation d’un algorithme de tirage des germes sch´ematis´e en annexe A. Du point de vue des maillages obtenus, ce crit`ere a permis d’obtenir un ratio d’´el´ements finis par grains relativement faible pour des tailles d’agr´egat allant jusqu’`a 400 grains.
3.3
P´eriodicit´e
3.3.1 Homog´en´eisation p´eriodique
Une des finalit´es des calculs effectu´es sur le VER est de d´eterminer le comportement macro- scopique effectif du mat´eriau. Dans ce cadre, les milieux p´eriodiques offrent des propri´et´es int´eressantes vis-`a-vis des techniques d’homog´en´eisation permettant le changement d’´echelles entre le VER et la structure. Travailler sur une g´eom´etrie p´eriodique permet de mettre de cˆot´e les effets de bords ind´esirables g´en´er´es par le VER qui parasitent la r´eponse obtenue. [Kanit 03] a montr´e dans le cas d’un polycristal ´elastique biphas´e que les conditions de p´eriodicit´e permettaient d’at- teindre la convergence du comportement effectif pour des tailles de domaines plus r´eduites que des conditions de contraintes ou d´eformations homog`enes.
3.3.2 G´en´eration d’une mosa¨ıque de Vorono¨ı p´eriodique
La g´en´eration d’un mod`ele ´el´ements finis de polycristal p´eriodique n´ecessite a minima de pou- voir g´en´erer une mosa¨ıque de Vorono¨ı p´eriodique. Pour ceci, il suffit de translater les germes des cellules dans toutes les directions adjacentes `a la boˆıte initiale dans laquelle sont tir´es les germes comme illustr´e figure 3.15. Huit translations sont n´ecessaires dans le cas bidimensionnel, et 26 dans le cas tridimensionnel.
Du diagramme de Vorono¨ı g´en´er´e `a partir de l’ensemble de germes p´eriodique obtenu, il est possible d’extraire un motif satisfaisant les conditions de p´eriodicit´e.
La g´eom´etrie retenue peut ˆetre la partie centrale du d´ecoupage de la mosa¨ıque de Vorono¨ı par une grille r´eguli`ere en sous-domaines dont les dimensions horizontales et verticales sont les normes des vecteurs de p´eriodicit´e utilis´es pour les translations du tirage de germes initial. La g´eom´etrie
Figure3.15 – Construction d’un ensemble de germes p´eriodique [Fritzen 09]
obtenue, dite “r´eguli`ere”, est caract´eris´ee par ses fronti`eres rectilignes qui “tronquent” les grains situ´es en p´eriph´erie (voir figure 3.16 - a.).
Mais il est aussi possible de retenir comme p´eriode l’ensemble des cellules de Vorono¨ı associ´ees aux germes du tirage initial. Cette g´eom´etrie est dite “irr´eguli`ere” : ses bords ne sont plus rectilignes mais respectent les fronti`eres des grains. (voir figure 3.16 - b.).
Figure3.16 – Extraction d’un motif p´eriodique r´egulier (a) ou irr´egulier (b.)
Ces deux g´eom´etries sont ´equivalentes et devraient permettre d’aboutir aux mˆemes r´esultats dans le cadre de simulations m´ecaniques. Le choix de la g´eom´etrie retenue doit se faire en tenant compte des sp´ecificit´es offertes par ces deux approches.
S’il semble naturel de retenir le VER `a bords rectilignes, il convient de souligner ici les difficult´es induites par cette g´eom´etrie dans le cadre d’un calcul ´el´ements finis. En particulier, la mani`ere dont les grains sont “coup´es” aux fronti`eres du volume (voir figure 3.16) peut g´en´erer d’importantes difficult´es de maillage, puisque la taille des objets `a traiter perd de fait son uniformit´e : les grains
3.3. P´eriodicit´e
aux limites du VER se trouvent “dispers´es” en fragments qui constituent des objets de taille al´eatoire qu’il convient de mailler avec pr´ecaution. Outre le fait de perdre l’unicit´e grain / objet de maillage volumique, cette difficult´e, toute relative dans le cas bidimensionnel, devient ardue en 3D.
A l’inverse, une g´eom´etrie “irr´eguli`ere” permet de traiter des objets (les grains) de taille ho- mog`ene selon le tirage initial. Bien entendu, la difficult´e inh´erente `a cette optique est le choix des conditions aux limites `a consid´erer pour le calcul proprement dit.
Une ´etude a permis de d´emontrer la validit´e de l’´ecriture des conditions de p´eriodicit´e sur le VER irr´egulier [Pacull 09]. Une partie des calculs est pr´esent´ee en annexe C. A partir des conclusions de cette ´etude, la g´eom´etrie irr´eguli`ere a ´et´e retenue pour trois raisons principales :
– les donn´ees fournies par Qhull (sommets des arˆetes des grains) sont coh´erentes avec cette g´eom´etrie ;
– la bijection entre objets de maillage volumique et grains ;
– la non-n´ecessit´e de surmailler certaines zones du VER selon des motivations exclusivement g´eom´etriques (par opposition avec des arguments physiques li´es `a des ph´enom`enes de locali- sation).
3.3.2.1 P´eriodicit´e du maillage
Les relations de p´eriodicit´e sur le contour de l’agr´egat doivent ˆetre ´ecrites pour chaque couple de noeuds en vis-`a-vis. Il est donc n´ecessaire de respecter les propri´et´es de p´eriodicit´e du point de vue du maillage : il convient de s’assurer que les faces de grains correspondantes par p´eriodicit´e seront maill´ees de la mˆeme mani`ere, comme illustr´e figure 3.17.
Figure3.17 – Mise en ´evidence de la p´eriodicit´e du maillage de l’agr´egat
Pour y parvenir dans CAST3M, il suffit de s’assurer que les segments constituant le contour de deux faces en vis-`a-vis sont num´erot´es de la mˆeme mani`ere pour obtenir le mˆeme maillage surfacique. Dans le cas contraire, les maillages obtenus ne seront pas identiques et la condition de p´eriodicit´e ne sera pas respect´ee, comme le montre la figure 3.18.
Cette difficult´e est trait´ee lors de l’´etape de reconstruction des arˆetes des cellules de Vorono¨ı (voir fig. 3.10 b.) : les segments g´en´er´es sont regroup´es par joints de grains (ie. l’ensemble des segments formant un contour plan `a la surface d’une cellule) et chaque contour ainsi rep´er´e est compar´e `a ceux d´ej`a en m´emoire. Lorsque deux contours se correspondent par p´eriodicit´e, l’un des
deux est supprim´e et remplac´e par son vis-`a-vis (translat´e du vecteur de p´eriodicit´e correspondant) de fa¸con `a avoir le mˆeme rep´erage des segments et ult´erieurement le mˆeme maillage surfacique.
Figure 3.18 – Num´erotation du contour et maillage surfacique