R´esultats de la simulation

o`u ˜N , ∆li et l0 sont respectivement le nombre de lignes d’intercept, la somme des d´ecoh´esion sur la ligne n i et la dimension de l’´echantillon d´eform´e. Selon des consid´erations similaires, nous pouvons d´efinir une ouverture moyenne des joints de grains dans le VER selon une direction X avec : ∆l(X) =_pN3 g 1 Sj Z Sj ∆U .X dS (8.3)

avec Ngle nombre de grains dans l’agr´egat, Sj la surface de l’ensemble des joints de grains et ∆U le d´eplacement relatif entre les l`evres de la zone coh´esive. Par analogie avec la proc´edure exp´erimentale

3

pNg repr´esente le nombre moyen de joints de grains dans le VER selon une direction donn´ee et le terme int´egral correspond `a l’ouverture moyenne des joints dans la direction consid´er´ee. Par la suite nous nous int´eresserons uniquement aux directions (Ox, Oy) orthogonales `a l’axe de compression et pour lesquelles la d´ecoh´esion exp´erimentale a ´et´e observ´ee.

Selon le mˆeme principe nous pouvons identifier la dimension du polycristal d´eform´e :

l0(X) ≡ Lver(1 + EXX) (8.4)

o`u LV ER et E sont respectivement la longueur initiale et la d´eformation effective du VER. De mˆeme, il vient : l0(X) − ∆l(X) ≡ 1 L3 V ER Z Vg εg_XX dV (8.5)

avec Vg le volume de l’ensemble des grains et εg la d´eformation intragranulaire. En r´einjectant (8.3), (8.4) et (8.5) dans (8.2) nous pouvons donc d´efinir une d´eformation interganulaire moyenne sous la forme suivante :

εgbs(X) = 3 pNg_S1_j R Sj∆U .X dS 1 L3 V ER R Vgε g XX dV (8.6) A travers l’´equation (8.6) nous disposons d’un observable du rˆole de la d´ecoh´esion dans la d´eformation de l’agr´egat en coh´erence avec les mesures exp´erimentales. Tous les ´el´ements sont r´eunis pour analyser les r´esultats des simulations.

8.2.3 R´esultats de la simulation

Plusieurs simulations d’essais de fluage ont ´et´e r´ealis´ees en reprenant le charge- ment d´ecrit au paragraphe 8.2.1.1 et en prenant successivement le seuil de d´ecoh´esion σmax_{n = {10, 15, 17, 20} MPa. Dans un premier temps nous nous limitons `a des observations} qualitatives de la d´eformation intergranulaire, avant d’analyser de fa¸con plus d´etaill´ee les r´esultats obtenus.

8.2.3.1 Observations qualitatives et aper¸cu des r´esultats

Il apparaˆıt en premier lieu que du fait de probl`emes de convergence num´erique, aucune des simulations n’a pu ˆetre men´ee jusqu’`a son terme. La figure 8.6 pr´esente le temps atteint en fin de calcul pour les diff´erentes valeurs de σmax_n utilis´ee.

8.2. Simulation de l’essai 10 15 20 25 σ_nmax (MPa) 0 5000 10000 Temps final (s)

Figure 8.6 – Temps de fin du calcul en fonction de σmax n

L’explication la plus vraisemblable `a ce stade est que le fait d’augmenter le seuil de d´ecoh´esion limite l’ouverture des joints, et par cons´equent les difficult´es num´eriques. Cette intuition peut ˆetre v´erifi´ee en s’int´eressant au nombre de joints de grains compl`etement endommag´es (ie. pour lesquels β = 0) en fin de calcul. Dans le cas du calcul pour σmax_n = 10M P a il apparaˆıt que, sur les 301 joints de grains que compte le VER, 81 ont perdu toute rigidit´e. Ces joints de grains “rompus” sont repr´esent´es en rouge sur la vue en coupe de la figure 8.7.

Du fait de cette perte de rigidit´e il est plus que vraisemblable que des modes de corps rigides apparaissent dans le probl`eme ´el´ements finis et entraˆınent les probl`emes de convergence num´erique observ´es. Cette intuition est v´erifi´ee par l’analyse des profils de d´ecoh´esion pr´esent´es `a la figure 8.8 qui mettent en ´evidence la fragmentation du polycristal en plusieurs parties ind´ependantes.

Figure 8.7 – Agr´egat (a.) et repr´esentation des zones coh´esives enti`erement endommag´ees en fin de simulation (en rouge) sur une vue en coupe (b.). Cas du calcul pour σ_nmax= 10M P a En l’absence d’´el´ements de comparaison quantitatifs issus de mesures exp´erimentales, il est

difficile de valider les profils de d´ecoh´esion issus de la simulation. Notons toutefois que, mˆeme si le nombre de joints de grains rompus peut ˆetre ´elev´e (jusqu’`a un quart de l’ensemble des joints de grains pour la simulation σmax<sub>n</sub> = 10M P a), les niveaux d’ouverture restent tr`es faibles par rapport `a ceux observ´es sur les micrographies exp´erimentales.

Figure 8.8 – Analyse des profils de d´ecoh´esion et r´epartition de la contrainte ´equivalente de Von Mises sur une vue en coupe : d´eform´ee (amplification x 20) et σeq _{`a t = 200s (a., b.) et `a}

t = 715s (c., d.). Cas de la simulation avec un seuil de d´ecoh´esion σ_nmax= 10 MPa

La figure 8.8 met par ailleurs en ´evidence la redistribution des contraintes associ´ee au processus de fissuration. Cette redistribution permet d’expliquer l’initiation de la d´ecoh´esion aux joints triples selon un m´ecanisme similaire `a celui propos´e par [Kassner 03]. Ce type de m´ecanisme, illustr´e `a la figure 8.9, a ´et´e observ´e exp´erimentalement par [Dherbey 00] dans le cas de l’UO2.

Nous nous sommes limit´es jusqu’ici `a une analyse qualitative de la d´ecoh´esion. Le prochain paragraphe vise `a d´ecrire les r´esultats de simulations de mani`ere plus syst´ematique.

8.2.3.2 Analyse

La d´eformation g´en´er´ee par la d´ecoh´esion intergranulaire, dont nous avons donn´e une d´efinition via l’´equation (8.6), peut se d´ecomposer en deux facteurs :

– d’une part, le nombre de joints de grains effectivement rompus, qui est directement fonction du seuil de d´ecoh´esion ;

– d’autre part, l’ouverture des joints de grains rompus, qui d´epend aussi du comportement des ´el´ements coh´esifs en endommagement.

Ce paragraphe est consacr´e `a l’´etude successive de ces deux facteurs. Nous pourrons par la suite conclure sur la d´eformation par d´ecoh´esion aux joints de grains proprement dite.

8.2. Simulation de l’essai

Figure8.9 – Initiation de la d´ecoh´esion au joint triple : d´etail d’un plan de coupe pour le calcul avec un seuil de d´ecoh´esion σmax_n = 20M P a (a.) et repr´esentation sch´ematique [Kassner 03] (b.)

Afin de mieux comprendre le rˆole du seuil de d´ecoh´esion au cours du calcul, nous pr´esentons `a la figure 8.10 l’´evolution du nombre de joints de grains ouverts (pour lesquels u∗<sub>n≥ δ en tout point)</sub> au cours du temps. Comme nous l’avons vu au paragraphe 8.2.1.2, le maximum de contrainte en traction aux joints de grains est atteint pour ε ∈ [0.05; 0.15] %. La d´ecoh´esion, qui se produit selon un m´ecanisme de fissuration instantan´ee, est amor¸c´ee pour ces niveaux de d´eformation. Suite `a cette premi`ere phase, la propagation des fissures intergranulaires m`ene `a la rupture de nouveaux joints de grains. 0 0,005 0,01 0,015 0,02 E_zz 0 20 40 60 80

Nombre de joints ouverts

σ_nmax = 10 MPa σ_nmax = 11 MPa σ_nmax = 15 MPa σ_nmax = 17 MPa σ_nmax = 18 MPa σ_nmax = 20 MPa

Figure 8.10 – Nombre de joints de grains `a contrainte nulle en fonction du temps

De ce point de vue, le seuil de d´ecoh´esion affect´e aux ´el´ements coh´esifs pilote d’une part l’instant o`u d´ebute l’ouverture des joints de grains, et d’autre part le nombre de joints de grains ouverts.

Avant d’analyser les r´esultats en termes de d´eformation par d´ecoh´esion intergranulaire, nous nous int´eressons maintenant `a l’ouverture maximale aux joints, d´efinie comme suit :

umax_n (t) = max jdg à Z Sjdg ∆un dS ! (8.7) La figure 8.11 pr´esente l’´evolution temporelle de umax_n (t) pour les diff´erentes simulations. Il aparaˆıt imm´ediatement que la valeur du seuil de d´ecoh´esion retenue continue d’affecter le com- portement du joint de grain mˆeme apr`es le d´ebut de l’ouverture, c’est-`a-dire pour uµn≥ δc.

En r´ealit´e ce r´esultat n’est pas surprenant si nous revenons `a la d´efinition de l’´energie de fissuration wref donn´ee `a l’´equation (8.1) : en augmentant la valeur du seuil de d´ecoh´esion, et compte tenu de la forme de la loi de comportement des ´el´ements coh´esifs, nous augmentons l’´energie `a apporter `a l’´el´ement pour entraˆıner sa ruine. C’est pour cette raison que l’ouverture maximale des joints de grains umax_n (t) se trouve elle aussi ˆetre d´ependante du param`etre σ_nmax

0 0,005 0,01 0,015 0,02 E zz 5e-09 1e-08 1,5e-08 2e-08

Ouverture maximale au joint de grain

σ_nmax = 10 MPa σ_nmax = 11 MPa σ_nmax = 15 MPa σ_nmax = 17 MPa σ_nmax = 18 MPa σ_nmax = 20 MPa

Figure 8.11 – Ouverture maximale atteinte en fonction du temps

Nous avions d´ej`a abord´e la notion de double cons´equence associ´ee `a l’augmentation du seuil de d´ecoh´esion au paragraphe . Les r´esultats de simulations mettent en ´evidence les cons´equences de cet effet qui complique sensible l’identification des param`etres du mod`ele.

La comparaison avec les mesures exp´erimentales met en ´evidence les limites de l’approche propos´ee, comme illustr´e `a la figure 8.12. Seule l’utilisation d’un seuil de d´ecoh´esion tr`es faible permet de retrouver une contribution du glissement `a la d´eformation totale du polycristal r´ealiste (ε_εgbstot (σ_nmax= 10M P a) = 22.5% contre 25% exp´erimentalement), mais le niveau maximum de

d´eformation atteint avant rupture de l’agr´egat est tr`es faible (environ 0.3%) en comparaison des essais exp´erimentaux, pour lesquels la d´eformation axiale totale atteignait 5.9 %.

L’´ecart entre les donn´ees exp´erimentales et les r´esultats de simulation s’explique principale- ment par le choix de mod´eliser un m´ecanisme de fissuration instantan´e, pilot´e par un seuil en contrainte. L’une des faiblesses de ce type de mod`ele, d´ej`a mentionn´ee par [Diard 01] pour l’´etude des m´ecanismes de rupture de la gaine du crayon combustible, est son incapacit´e `a prendre en compte les ph´enom`enes d’endommagement progressif ou d’historique de chargement, ´etudi´es notamment par [Gaffard 05]. La prise en compte de l’endommagement diff´er´e des joints de grains par cavitation de cavit´es, faisant diminuer progressivement le seuil de d´ecoh´esion σmax_n , pourrait permettre de mieux rendre compte des essais exp´erimentaux en retardant la rupture intergranulaire. [Michel 04], notamment, a propos´e un mod`ele d’endommagement volumique par fluage associ´e `a ce type de m´ecanisme. D’autres travaux (voir notamment [Espinosa 00])