G´en´eration et maillage de l’agr´egat

Dans le paragraphe pr´ec´edent, diff´erents ´el´ements ont ´et´e pr´esent´es en vue de la g´en´eration du mod`ele de polycristal. L’objectif est `a pr´esent de r´eunir ces ´el´ements pour mettre en place un outil

3.2. Mosa¨ıque de Vorono¨ı

de g´en´eration automatis´e, dont les principaux constituants vont maintenant ˆetre d´ecrits.

Deux crit`eres g´eom´etriques sur le tirage des germes sont pr´esent´es plus en d´etail dans la derni`ere partie de cette section (voir paragraphe 3.2.4.4), l’un destin´e `a assurer la possibilit´e de maillage par ´el´ements finis du VER et l’autre `a mieux rendre compte de la morphologie r´eelle de l’agr´egat d’UO2.

3.2.4.1 Tirage des germes

La litt´erature (voir par exemple [Kanit 03]) pr´econise g´en´eralement de mettre en œuvre un processus de Poisson pour l’´etape de tirage des germes. Le mat´eriau est alors consid´er´e comme un milieu infini Ω de densit´e volumique moyenne de grains ρ. La probabilit´e que n points appartiennent `a un ensemble Z inclus dans un milieu infini est d´efinie par :

P [N (Z) = n] = (ρM (Z)) n

n! e

−ρM(Z) _(3.15)

avec :

⊲ N (Z) le nombre de points pr´esents dans Z. ⊲ M (Z) la mesure de Z.

Une fois les dimensions du VER fix´ees, le nombre de germes effectivement pr´esent est d´etermin´e `a l’aide du tirage de Poisson. De cette mani`ere, le tirage g´en´er´e correspond rigoureusement `a sous- domaine de l’ensemble Ω dont les propri´et´es sont suppos´ees connues, comme l’illustre la figure 3.8. Les coordonn´ees des germes sont quant `a elles obtenues par tirage de trois variables al´eatoires uniformes ind´ependantes, dont les valeurs sont born´ees par les dimensions du VER.

Ω

Z

Z1

2

Figure 3.8 – Mise en oeuvre sch´ematique d’un processus de Poisson : cas de deux sous-domaines Z1 et Z2 d’un domaine Ω

Dans notre cas, nous avons consid´er´e la densit´e de tirage comme uniforme, ce qui revient `a consid´erer que la densit´e moyenne ρ est v´erifi´ee syst´ematiquement sur chaque sous-domaine Zi. Cette approximation est motiv´ee par la mise en œuvre des crit`eres g´eom´etriques selon un principe test du crit`ere / ´elimination du germe (sur lequel nous reviendrons au paragraphe 3.2.4.4), qui modifie la densit´e Poissonienne3.

Le tirage des germes est r´ealis´e par un module programm´e en langage C. Comme annonc´e, deux crit`eres sur la position des germes obtenus sont pr´esent´es au paragraphe 3.2.4.4 et viennent compl´eter le processus de tirage. Les principales ´etapes de l’algorithme finalement retenu sont pr´esent´ees en annexe A.

3. En particulier, l’introduction de ce type de crit`ere impose que les points ne soient plus ind´ependants les uns des autres, contrairement `a un processus de Poisson classique.

Une fois l’´etape de tirage des germes r´ealis´ee, nous pouvons passer `a la g´en´eration du diagramme de Vorono¨ı proprement dit.

3.2.4.2 G´en´eration de la mosa¨ıque de Vorono¨ı

La g´en´eration proprement dite du diagramme de Vorono¨ı associ´e aux germes est r´ealis´ee par le logiciel Qhull [Barber 96]. Ce programme, largement cit´e dans la litt´erature [Nygards 02], [Fritzen 09] permet entre autres de g´en´erer le diagramme de Vorono¨ı d’un ensemble de points dans une dimension quelconque.

Le rˆole du logiciel est de cr´eer le diagramme de Vorono¨ı associ´e aux points g´en´er´es lors de l’´etape de tirage. Qhull offre un certain nombre de donn´ees de sortie, parmi lesquelles :

– les positions des sommets des arˆetes de la mosa¨ıque ;

– les relations de correspondance cellule de Vorono¨ı / sommets ; – les relations de voisinage entre sommets.

Ces donn´ees sont stock´ees dans un fichier de sortie et permettront de reconstuire le maillage par ´el´ements finis d’agr´egat polycristallin dans CAST3M.

3.2.4.3 Maillage

L’´etape de maillage est r´ealis´ee avec le code de calcul ´el´ements finis CAST3M. A ce stade, deux possibilit´es sont offertes : opter pour un maillage r´egl´e, pour lequel les ´el´ements sont dispos´es selon une grille r´eguli`ere, ou au contraire choisir un maillage libre dont les ´el´ements respectent les joints de grains, comme illustr´e `a la figure 3.9.

Figure3.9 – Maillage r´egl´e (a.) et maillage libre (b.) [Kanit 03].

Cette deuxi`eme m´ethode a l’avantage de respecter la g´eom´etrie des cellules de Vorono¨ı et de mod´eliser les joints de grains sous la forme de plans, contrairement au maillage r´egl´e pour lequel les joints de grains sont des surfaces cr´enel´ees. Les donn´ees fournies en sortie de Qhull ´etant par ailleurs parfaitement adapt´ees `a l’utilisation d’un maillage libre, c’est cette option qui a finalement ´et´e retenue ici.

La proc´edure se divise en deux parties distinctes : tout d’abord la reconstruction du diagramme de Vorono¨ı `a partir des donn´ees fournies par Qhull, puis le maillage proprement dit des grains. Les

3.2. Mosa¨ıque de Vorono¨ı

diff´erentes ´etapes du maillage ob´eissent `a un principe de reconstruction progressive de la g´eom´etrie : – lecture des points sommets des arˆetes de la mosa¨ıque (fig. 3.10 a.) ;

– reconstruction des arˆetes de chaque cellule de Vorono¨ı `a partir des tables de correpondances fournies par Qhull (fig. 3.10 b.) ;

– maillage des facettes de chaque grain avec des ´el´ements triangles (fig. 3.10 c.) ; – maillage volumique des grains avec des ´el´ements t´etra`edriques (fig. 3.10 d.).

Figure3.10 – Diff´erentes ´etapes de la proc´edure de maillage

3.2.4.4 Am´eliorations du mod`ele

Il est possible d’am´eliorer le module pr´esent´e dans les paragraphes pr´ec´edents en introduisant un certain nombre de crit`eres g´eom´etriques lors de la phase de tirage de germes de grains. L’objectif est double : se rapprocher de la r´ealit´e physique du polycristal et simplifier la mise en œuvre du mod`ele ´el´ement finis.

3.2.4.4.1 Noyau de r´epulsion Le noyau de r´epulsion est une distance minimum impos´ee entre les germes lors du tirage, qui permet de contrˆoler la distribution de tailles de grains dans le polycristal. Le crit`ere peut s’´ecrire sous la forme 3.16 :

||gj− gi|| > rmin (3.16)

Du point de vue du diagramme de Vorono¨ı, l’introduction de ce noyau de r´epulsion revient `a prendre en compte une taille initiale non nulle uniforme des germes. En jouant sur ce crit`ere il est possible de contrˆoler les distributions de tailles de grains (comme illustr´e `a la figure 3.11) pour se rapprocher de la r´ealit´e exp´erimentale.

3.2.4.4.2 Crit`ere d’arˆete minimum Les diagrammes de Vorono¨ı g´en´er´es par Qhull sont dans le cas g´en´eral des objets complexes du point de vue de la discr´etisation. En particulier la disparit´e de tailles des arˆetes d’une face de grain peut poser d’importantes difficult´es en termes de raffinement de maillage (cf. figure 3.12).

[De Bonni`eres 09] propose un crit`ere g´eom´etrique sur les positions des germes pour contourner cette difficult´e. Ce crit`ere repose sur la corr´elation entre la taille des arˆetes du diagramme de Vorono¨ı et la position des germes respectivement aux cercles circonscrits aux triangles de Delaunay voisins.

Pour un ensemble de points G germes des grains, nous d´efinissons S l’ensemble des sommets des arˆetes du diagramme de Vorono¨ı associ´e `a G et rj le rayon du cercle circonscrit au triangle de Delaunay associ´e au sommet sj. Le crit`ere impos´e peut s’´ecrire sous la forme 3.17 :

Figure 3.11 – Diagramme de Vorono¨ı sans (a.) ou avec (b.) noyau de r´epulsion

Figure 3.12 – Mise en ´evidence des difficult´es de maillage

|kgi− sjk − rj| ≥ ε, ∀gi ∈ G, sj ∈ S (3.17) Ce crit`ere est illustr´e visuellement dans le cas 2D `a la figure 3.13. Aux trois germes initiaux (fig. 3.13.a) est ajout´e un nouveau germe gi. Si ce germe est trop proche du cercle circonscrit au triangle de delaunay form´e par les trois germes initiaux alors une “petite” arˆete se forme (fig. 3.13.b). Dans le cas o`u la distance entre le nouveau germe et le cercle est grande (fig. 3.13.c) la g´eom´etrie g´en´er´ee est plus r´eguli`ere.

Figure3.13 – Illustration du crit`ere de taille d’arˆete minimum

Dans la pratique il n’est pas n´ecessaire de v´erifier cette relation pour tous les couples {gi, sj}. La zone d’influence de chaque germe - pour laquelle le germe consid´er´e va impacter le graphe de