6.2 Sensibilit´e au choix du maillage ´el´ements finis
6.2.3 Comportement intragranulaire
6.2.3.1 Premi`ere analyse de la pression hydrostatique dans les grains
Le rˆole de la pression hydrostatique intragranulaire sur le transport des produits de fission a d´ej`a ´et´e d´ecrit au chapitre 5. Il s’agit ici de d´eterminer le niveau de raffinement de maillage n´ecessaire pour estimer correctement cette grandeur.
1. Par d´efinition ρ =N1s Ns P s=1 1 V R VV ERρsdV
6.2. Sensibilit´e au choix du maillage ´el´ements finis
Les trac´es d’isovaleurs de pression hydrostatique dans les grains mettent malheureusement en ´evidence l’effet “checkerboard” observ´e pr´ec´edemment et d´ecrit plus en d´etail au paragraphe 6.1. La figure 6.12 repr´esente la pression hydrostatique dans un grain (rep´er´e en orange sur la figure) `a la fin de la simulation pour un maillage d’´el´ements lin´eaires (l5) et un maillage d’´el´ements quadra- tiques (q1). Comme pr´ec´edemment, sont pr´esent´es les diff´erents champs trac´es respectivementr aux points de Gauss (6.12a.), moyenn´e par ´el´ements (6.12.b.) ou extrapol´e aux noeuds (6.12.c.) via une m´ethode des moindres carr´es, qui sera d´ecrite au chapitre 7.
Figure 6.12 – Pression hydrostatique dans un grain `a la fin du calcul : champ de contraintes aux points de Gauss (a.), moyenn´e par ´el´ement (b.) et extrapol´e aux noeuds (c.). Cas des maillages
d’´el´ements lin´eaires (l5) et quadratiques (q1)
L’analyse des contraintes locales nous confronte au dilemme suivant : si le champ extrapol´e aux noeuds (6.12.c.) paraˆıt ˆetre le seul pertinent pour l’observation “visuelle” des effets de localisation intragranulaire, du point de vue num´erique il n’en reste pas moins le plus douteux `a la fois du fait de l’extrapolation proprement dite (r´ealis´ee via une m´ethode des moindres carr´es, qui introduit une incertitude suppl´ementaire) et du fait que les incompatibilit´es ont tendance `a ˆetre liss´ees par cette r´egularisation.
Par la suite, il conviendra de s’assurer que l’erreur introduite par ces diff´erentes m´ethodes d’extrapolation n’invalide pas l’analyse qui peut ˆetre faite de ces champs. C’est un des points auxquels les paragraphes suivants vont s’attacher `a r´epondre.
6.2.3.2 Pression hydrostatique moyenne dans les grains
Une premi`ere information concernant la r´epartition de pression hydrostatique dans l’agr´egat est la valeur moyenne par grain Phydg. Non seulement cette valeur quantifie en premi`ere approximation les effets de l’incompatibilit´e intergranulaire (due aux orientations diff´erentes des grains) sur la pression hydrostatique, mais de plus elle correspond `a la donn´ee d’entr´ee des codes de physico- chimie actuels.
La figure 6.13 pr´esente l’´evolution de la pression hydrostatique moyenne dans le grain rep´er´e en orange sur la figure 6.122 `a la fin de la simulation en fonction du niveau de raffinement du
maillage. Il apparaˆıt que la valeur de Phydg s’av`ere assez peu d´ependante au choix du maillage, les fluctuations ´etant typiquement de l’ordre de quelques pourcents de la valeur de r´ef´erence q3. Comme dans le cas du comportement macroscopique, les r´esultats obtenus avec les maillages d’´el´ements lin´eaires semblent converger vers la valeur de r´ef´erence q3 calcul´ee aux points de Gauss : cette tendance apparaˆıt de fa¸con plus nette `a travers les valeurs num´eriques du tableau r´ecapitulatif 6.4, pr´esent´e `a la fin de cette ´etude.
10 20 30 40 50 60 70 Nl 4,6e+07 4,8e+07 5e+07 P hyd (Pa)
Phydli aux points de Gauss Phydli aux noeuds Phydqi aux points de Gauss Phydqi aux noeuds
Figure6.13 – Pression hydrostatique moyenne dans un grain `a la fin du calcul en fonction du raffinement du maillage : champ de contraintes aux points de Gauss et extrapol´e aux noeuds
Le calcul de la pression hydrostatique moyenne par grain a aussi ´et´e effectu´e pour le champ de contraintes extrapol´e aux noeuds du maillage. L’accord avec le champ aux points de Gauss est satisfaisant et l’effet du raffinement du maillage est similaire. Ces r´esultats confortent `a priori la validit´e de l’analyse du champ de contraintes aux noeuds.
En termes de distributions les ´ecarts-type sur la pression hydrostatique moyenne par grain calcul´es pour les diff´erents maillages sont aussi tr`es proches : toutes les valeurs sont comprises dans l’intervalle [5; 7] MPa. Cette premi`ere analyse montre que, de fa¸con g´en´erale, quelques centaines de noeuds par grains paraissent suffisantes pour estimer correctement la pression hydrostatique moyenne intragranulaire, quel que soit le type d’´el´ement utilis´e.
6.2.3.3 Ecart-type sur la pression hydrostatique intragranulaire
Il reste maintenant `a analyser plus finement les effets de localisation intragranulaire. Comme au chapitre 5, l’´ecart-type sur la distribution de pression hydrostatique dans les grains est pris comme indicateur de cette localisation intragranulaire.
Comme le laissaient entrevoir les trac´es d’isovaleurs de la figure 6.12, il est difficile de mettre en ´evidence une convergence num´erique des valeurs de < Phyd >g, comme le montre la figure 6.14. Si dans le cas des ´el´ements lin´eaires, la valeur de l’´ecart-type se stabilise pour Nl ≥ 40, aucune corr´elation n’est possible avec les r´esultats obtenus dans le cas des maillages d’´el´ements quadratiques qi.
De la mˆeme mani`ere, les valeurs obtenues avec les champs r´egularis´es (moyenn´es par ´el´ements ou aux noeuds) sont tr`es inf´erieures `a celles issues du champ de contrainte aux points de Gauss. Ceci est bien ´evidemment dˆu au fait que les diff´erentes m´ethodes de r´egularisation tendent `a lisser les fortes discontinuit´es du champ, comme illustr´e `a la figure 6.12.
6.2. Sensibilit´e au choix du maillage ´el´ements finis 10 20 30 40 50 60 70 Nl 0 5e+07 1e+08 1,5e+08 < P hyd (Pa) > g P hyd l
i aux points de Gauss
P
hyd li
constant par élément P
hyd l
i aux noeuds
Phydqi aux points de Gauss
P
hyd q
i constant par élément
Phydqi aux noeuds
Figure 6.14 – Ecart-type sur la pression hydrostatique dans un grain < Phyd>g `a la fin du calcul en fonction du raffinement du maillage : champ de contraintes aux points de Gauss,
moyenn´e par ´el´ement et extrapol´e aux noeuds
Les difficult´es num´eriques rencontr´ees compliquent significativement l’analyse de la distribution intragranulaire de la pression hydrostatique. Le raffinement du maillage ne fait qu’accentuer les effets des modes de pressions associ´es `a l’effet checkerboard, d´ecrit au paragraphe 6.1.3. Ces con- statations sont v´erifi´ees par les valeurs num´eriques pr´esent´ees au tableau 6.4 : aucune convergence de < Phyd>g en fonction du raffinement du maillage n’a pu ˆetre mise en ´evidence.