Formulation auto-coh´erente

3.2 Mosa¨ıque de Vorono¨ı . . . 65

3.2.1 D´efinition . . . 65 3.2.2 Mod´elisation du polycristal . . . 66 3.2.3 Triangulation de Delaunay . . . 68 3.2.4 G´en´eration et maillage de l’agr´egat . . . 68 3.3 P´eriodicit´e . . . 73 3.3.1 Homog´en´eisation p´eriodique . . . 73 3.3.2 G´en´eration d’une mosa¨ıque de Vorono¨ı p´eriodique . . . 73 3.4 Microstructures g´en´er´ees . . . 76 3.4.1 Propri´et´es morphologiques du mod`ele polycristallin . . . 76 3.4.2 Propri´et´es du maillage par ´el´ements finis . . . 78

3.1

Un premier mod`ele de polycristal : l’approche `a champ moyen

Pour l’essentiel ce chapitre s’attache `a la description d’un Volume Elementaire Repr´esentatif polycristallin (VER) d’UO2. Le domaine g´en´er´e est une repr´esentation de la microstructure h´et´erog`ene al´eatoire du combustible, dont les propri´et´es morphologiques et thermom´ecaniques effectives sont constantes d’une r´ealisation `a l’autre et repr´esentatives du mat´eriau `a l’´echelle macroscopique.

Dans notre cas, l’h´et´erog´en´eit´e est constitu´ee par les distributions de tailles de grains dans le polycristal, sur lesquelles nous reviendrons `a la fin de ce chapitre, ainsi que par les orienta- tions cristallines respectives des grains. Ces orientations, comme nous le verrons au chapitre 4, caract´erisent en effet le comportement thermom´ecanique du monocristal d’UO2 et entraˆınent des h´et´erog´en´eit´es locales `a l’´echelle de l’agr´egat.

Plusieurs formulations ont d´ej`a ´et´e propos´ees dans la litt´erature pour d´ecrire un VER poly- cristallin, et peuvent ˆetre r´eunies en deux cat´egories :

– les approches `a champ moyen, pour lesquelles l’information sur chaque phase (ici un ensemble de grains de mˆeme orientation) est trait´ee uniquement en moyenne ;

– les mod`eles `a champ complet, o`u chaque grain est d´ecrit comme un volume individuel au sein duquel des ph´enom`enes de localisation peuvent ˆetre observ´es.

Bien entendu, chaque approche est caract´eris´ee par un ensemble d’hypoth`eses simplificatrices qui limite sa validit´e. Dans le cadre de notre ´etude, deux formulations ont ´et´e mises en œuvre et vont maintenant ˆetre d´ecrites : une approche auto-coh´erente (`a champ moyen) et une approche par ´el´ements finis (`a champ complet).

3.1.1 Formulation auto-coh´erente

3.1.1.1 Principe de l’approche auto-coh´erente

Les sch´emas auto-coh´erents ont largement ´et´e utilis´es pour la mod´elisation de polycristaux (voir par exemple [Pilvin 90]). Les grains, plutˆot que d’ˆetre consid´er´es individuellement, sont dans cette approche regroup´es en “phases” cristallographiques indic´ees g, chaque phase ´etant d´efinie par une orientation cristallographique commune `a tous les grains.

Du point de vue m´ecanique, chaque phase est trait´ee comme une inclusion ellipso¨ıdale au sens d’Eshelby dans un milieu homog`ene ´equivalent (MHE) reprenant l’ensemble des propri´et´es du polycristal, comme illustr´e `a la figure 3.1.

Figure3.1 – Principe de l’approche auto-coh´erente

Cette formulation est particuli`erement adapt´ee `a la mod´elisation des polycristaux pour laque- lle chaque “phase” est entour´ee d’un grand nombre de phases cristallines et per¸coit donc `a son voisinage le milieu effectif du VER [Masson 98].

3.1. Un premier mod`ele de polycristal : l’approche `a champ moyen

Pour un point x ∈ g `a l’instant t, les lois de changement d’´echelle associ´ees `a cette formulation peuvent se mettre sous la forme suivante :

εg(x) = Ag(x) : E (3.1) E(t) = Z V ε(t) dV (3.2) σg(x) = Bg(x) : Σ (3.3) Σ(t) = Z V σ(t) dV (3.4) avec (Ag, Bg) les tenseurs de localisation en d´eformation (respectivement en contrainte) associ´es `a la phase g et construits `a partir de la solution au probl`eme d’inclusion ellipso¨ıdale d’Eshelby, (εg(x), σg(x)) la d´eformation (resp. la contrainte) locale en tout point x de la phase g et(E, Σ) la d´eformation (resp. la contrainte) effective dans le VER. L’approche auto-coh´erente fait appel `a l’hypoth`ese simplificatrice d’uniformit´e des champs m´ecaniques dans chaque “grain” :

ε(x, t) = εg_{(t) ∀x ∈ g} (3.5)

σ(x, t) = σg_{(t) ∀x ∈ g} (3.6)

Ce type de sch´ema ne propose donc pas de description spatiale du polycristal1 : par nature, le sch´ema auto-coh´erent ne mod´elise les grains qu’`a travers le comportement de la phase `a laquelle ils appartiennent, et la localisation des contraintes se limite elle aussi `a l’´echelle de la phase cristal- lographique d’apr`es les ´equations (3.5) et (3.6).

Malgr´e tout, cette approche permet de traiter le comportement du polycristal d’une fa¸con moins on´ereuse en termes de temps de calcul qu’une m´ethode `a champ complet telle que les ´el´ements finis. Pour cette raison, elle a ´et´e principalement mise en œuvre pour l’identification des lois de comportement pr´esent´ees au chapitre 4 pour laquelle de nombreux calculs sont n´ecessaires et o`u les r´esultats pris en compte se limitent au comportement effectif du VER.

3.1.1.2 Formulation affine quasi-´elastique

L’une des difficult´es inh´erentes `a l’approche auto-coh´erente est la r´esolution du probl`eme d’in- clusion d’Eshelby dans le cas de mat´eriau non-lin´eaires. Si dans le domaine lin´eaire il existe des solutions analytiques connues `a ce probl`eme, la mise en œuvre de cette formulation pour des lois de comportement non-lin´eaires n´ecessite de faire appel `a une strat´egie de lin´earisation des ´equations constitutives.

C’est la formulation affine d´evelopp´ee par Masson et Zaoui [Masson 99] qui a ´et´e retenue pour la simulation du comportement du combustible et que nous allons d´ecrire bri`evement. Pour un mat´eriau visco´elastique dont la loi de comportement s’´ecrit pour tout couple (X,t) sous la forme g´en´erale 3.7 : ˙ ε(X, t) = 1 Le g ˙ σ(X, t) + g (σ(X, t)) (3.7)

Cette loi de comportement est valable pour chacune des phases g du milieu. Il est n´ecessaire de lin´eariser l’´equation (3.7) pour se ramener au probl`eme d’Eshelby classique. Pour ceci, la partie in´elastique du comportement g (σ(X, t)) peut ˆetre approch´ee par <sub>∂σ</sub>∂g (¯σg(t)) : σ(X, t) calcul´ee `a partir du tenseur de contraintes moyen ¯σg dans la phase consid´er´ee. On obtient donc :

˙ ε(X, t) = 1 Le g ˙ σ(X, t) + ∂g ∂σ(¯σg(t)) : σ(X, t) + ˙ε 0 g(t) (3.8)

1. En toute rigueur, la caract´erisation de l’ellipso¨ıde qui caract´erise une phase permet malgr´e tout de repr´esenter la distribution des grains constituant cette phase dans l’agr´egat

O`u ˙ε0<sub>g</sub>(t) = ˙ε0<sub>(X, t), ind´ependant de la contrainte, permet de prendre en compte l’historique de</sub> chargement subi par le mat´eriau. Il reste `a int´egrer l’´equation (3.8) pour connaitre le comportement de chaque phase sous la forme ε(σ). Pour cela il est possible de passer dans l’espace de Laplace- Carson par la transformation du mˆeme nom :

f∗(p) = p Z ∞

0

f (t)e−ptdt (3.9)

avec la propri´et´e remarquable ˙f∗ = pf∗. Ce qui nous permet d’´ecrire la loi de comportement de la phase g : ε∗_{(X, p) =}· 1 Le g +1 p ∂g ∂σ(¯σg(p)) ¸ σ∗_{(p) + ε}∗0_{(p) (3.10)}

L’´ecriture de la loi de comportement obtenue est donc lin´eaire en σ∗_{(p). Le comportement} macroscopique de l’agr´egat E (Σ) est d´etermin´e par le sch´ema auto-coh´erent caract´eris´e par les tenseurs de concentrations de contraintes B∗

g tels que ¯σ∗g = Bg∗Σ¯∗. Soit q∗ g(p) = 1 Le g + 1 p ∂g

∂σ(¯σg(p)) , on peut alors ´ecrire : ¯ E∗(p) = ¯Q∗(p) : ¯Σ∗_{(p) + ¯E}∗0_{(p) (3.11)} avec ¯Q∗(p) = q∗ gBg∗ et de mˆeme ¯E∗ 0 (p) = ε∗0 g (p)Bg∗.

Il reste encore `a repasser dans l’espace r´eel (x, t) en effectuant la transform´ee inverse de Laplace- Carson. La formulation affine quasi-´elastique propos´ee par [Brenner 02] se base sur la d´efinition de cette transform´ee, donn´ee `a l’´equation (3.9) et `a laquelle est appliqu´e le changement de variables suivant : ( f∗(p) = pR∞ −∞f ³ 10w p ´ e−ptg(w)dw g(w) = 10we−10wloge10 (3.12) La fonction g(w), presque nulle partout sauf au voisinage de w = 0, est remplac´ee en premi`ere approximation par une distribution de Dirac. Ceci permet d’aboutir `a la l’´equation (3.13) :

f (t) ≃ f∗(p)_p=10w0 t

(3.13) Diff´erentes valeurs de w0ont ´et´e propos´ees selon la forme de la fonction f (t). De fa¸con g´en´erale, il faut ici retenir que l’approximation sera d’autant plus pr´ecise que les variations de contraintes et d´eformations au cours du temps seront r´eguli`eres. Nous reviendrons sur ce point `a l’occasion des comparaisons entre approche auto-coh´erente et ´el´ements finis au paragraphe 4.2.

3.1.2 Mod´elisation de l’agr´egat d’UO2 : vers l’approche `a champ complet