Un revêtement caractéristique

Corollaire 2.6.9. SoitX₀une courbe surk₀. NotonsX =X₀×k0k. Si X vérifie l’une des propriétés de la proposition précédente alorsX₀ est unK(π,1)et unK(π,1)pro-`.

Démonstration. SoitF un faisceau lisse surX₀. L’isomorphisme canoniqueG₀-équivariant RΓ(π1(X),Fη¯)−^∼→RΓ(X,F |X)

induit un isomorphisme canonique

RΓ(π1(X0),F¯η) = RΓ(G0,RΓ(π1(X),Fη¯))−^∼→RΓ(G0,RΓ(X,F |X)) = RΓ(X0,F).

Lemme 2.7.2. Le morphismeφ:Y →X ainsi construit est isomorphe à X₂→X.

Démonstration. Vérifions par récurrence sur j ∈ {1, . . . , r} que Y_j → Y_j−1 est galoisien de groupe Λ. C’est vrai pour j = 1. Pour tout i∈ {1, . . . , j−1} l’extension k(Y_i) = k(Y_i−1)(√ⁿ

g_i)/k(Y_i−1)est galoisienne de groupe Λ par hypothèse de récurrence. La suite spectrale de Hochschild-Serre donne une suite exacte

0→H¹(Λ,Λ)→H¹(Y_i−1,Λ)→H¹(Yi,Λ).

Par conséquent, le noyau de φ^?_i: H¹(X,Λ) → H¹(Yi,Λ) est Λ[D1]⊕ · · · ⊕Λ[Di] ' Λⁱ, et [Dj] n’y appartient pas ; l’élément φ^?_i[Dj] est encore d’ordre n dans H¹(Yi, µn). Ainsi, Y → X est fini étale d’ordren^r. Le corps k étant algébriquement clos, l’extensionL/K est le corps de décomposition des polynômesTⁿ−g1, . . . , Tⁿ−gr, elle est donc galoisienne. Par la proposition2.1.9, le morphismeY →X est donc un revêtement galoisien. Un élément du groupeAut(Y|X)est un automorphisme défini par (√ⁿ

g1 7→ζ1ⁿ

√g1, . . . ,√ⁿ

gr 7→ ζrⁿ

√gr), où les ζi sont des racines n-ièmes de l’unité dansk; le groupe Aut(Y|X) est donc canoniquement isomorphe à Hom_Λ(H¹(X, µ_n), µ_n) = H¹(X,Λ)^∨. La proposition précédente assure queY est isomorphe àX₂.

Remarque 2.7.3. Si X est affine de compactification lisse X¯, alors il est possible pour tout point P ∈Z := ¯X−X de choisir les fonctions g1, . . . , gr de façon à ce qu’elles soient toutes de valuation positive enP. En effet, les éléments d’une base(Di, gi)de H¹( ¯X, µn)peuvent être choisis de façon à ce que le support deDi éviteZ (voir annexeC.3.4). Cette base peut être complétée en une base de H¹(X, µn)en ajoutant des antécédents de la base(Q−Q0)_Q∈Z deDiv⁰_Z(X)⊗Λpour unQ0∈Z− {P} fixé.

Lemme 2.7.4. Pour tout Λ-module de type fini F, le revêtement φ: X2 → X trivialise tous les F-torseurs surX.

Démonstration. Par construction, le revêtementX2→X trivialise lesΛ-torseurs surX. LeΛ-module de type finiF n’est qu’un produit deZ/n_iZ oùn_i divisen, etH¹(X,Z/n_iZ)⊂H¹(X,Λ). Par consé-quent, le morphismeH¹(X,Z/n_iZ)→H¹(X₂,Z/n_iZ)est nul, etH¹(X, F)→H¹(X₂, F)est nul.

Remarque 2.7.5. Dans le cas où X est une courbe projective lisse sur kde jacobienne J, le choix d’un pointP ∈X(k)détermine un plongementi_P:X →J. Considérons le revêtementY →X défini par le diagramme cartésien :

Y J

X J

[n]

iP

Le groupe d’automorphismes de l’isogénie[n]est isomorphe àJ[n] = H¹(X, µ_n). Le revêtementY →X, qui est de même degré que[n], est encore galoisien de groupe d’automorphismes isomorphe àH¹(X, µ_n). Remarque 2.7.6. La même construction s’applique au cas de la cohomologie des courbes sur les corps finis. Supposonsk₀fini. SoitX₀ une courbe projective lisse géométriquement connexe surk₀de corps des fonctionsK₀. Le morphismeH¹(X₀, µ_n)→H¹(X, µ_n)^G0 est surjectif ; le lemme C.3.5assure que tout classeG0-invariante dePic⁰(X)[n]contient un diviseurG0-invariantD, et il existe une fonction f ∈K0 telle quediv(f) =nD. Un algorithme permettant de déterminer ces élémentsG0-invariants, et donc de construire une base deH¹(X, µn)^G0, est donné dans la proposition C.3.9. Il suffit ensuite de compléter cette base par la classe d’un générateur de k^×₀, qui engendre le Λ-module k₀^×/(k^×₀)ⁿ, pour obtenir une famille génératrice(([D0], f0), . . . ,([Dr], fr))deH¹(X0, µn). Par la même preuve que ci-dessus, la normalisation deX0 dansK0(√ⁿ

f0, . . . ,√ⁿ

fr) est alors un revêtement galoisien deX0 de groupeH¹(X0,Λ)^∨.

II.7.1.2 Composition avec un autre revêtement

Considérons maintenant le cas d’un revêtement galoisien de courbes intègres lissesf:Y →X. Soit f¯: ¯Y →X¯ le morphisme fini entre les compactifications lisses induit parf. Alorsf¯⁻¹( ¯X−X) = ¯Y−Y, et en particulier, tout élémentτ∈Aut(Y|X)induit une permutation deY¯−Y. L’image de(Di, gi)∈ H¹(X, µn(k))parτ^? est donc simplement(τ^?Di, τ^?gi). Considérons le revêtement Y2 → Y construit précédemment.

Lemme 2.7.7. Le morphisme composéY2→Y →X est encore un revêtement galoisien.

Démonstration. Ceci découle directement du fait queπ₁(Y₂)est caractéristique dansπ₁(Y).

Lemme 2.7.8. Soit F un faisceau lisse de Λ-modules sur X trivialisé par Y. Alors le revêtement Y₂→X trivialise tous lesF-torseurs.

Démonstration. NotonsF = H⁰(Y,F). Le morphismeH¹(X,F)→H¹(Y₂, F)se factorise par la flèche H¹(Y, F)→H¹(Y2, F), qui est nulle par le lemme2.7.4.

II.7.1.3 Ramification

Soit X une courbe affine lisse sur k, de compactification lisse X¯ et de genre géométrique gX. Notons P₀, . . . , P_r les points de X¯ −X, et X₂ la compactification lisse du revêtement X₂ → X de groupeH¹(X,Λ)^∨. Le morphismeX₂→X¯ est fini [Har08, II, Prop. 6.8], et

X₂×X¯ ( ¯X−X) =X₂−X₂.

Étudions les antécédents desP_i dansX₂−X₂ et leur ramification. Rappelons que H¹( ¯X,Λ)^∨ est un quotient de H¹(X,Λ)^∨; la compactification lisse ( ¯X)2 du revêtement de X correspondant est étale au-dessus deX¯. Il suffit donc d’étudier le revêtementX2→( ¯X)2. UneΛ-base deDiv⁰X−X¯ ( ¯X)⊗Λest donnée parP1−P0, . . . , Pr−P0. Considérons des fonctionsg1, . . . , gr telles que

div(gi) =nDi+ (Pi−P0)

oùDi∈Div⁰(X− {P0, . . . , Pr}). Le revêtementX2→( ¯X)2a pour corps de fonctions k(( ¯X)2)(√ⁿ

g1, . . . ,√ⁿ gr).

Soiti∈ {1. . . r}. L’extension k(( ¯X)₂)(√ⁿ

g_j, j6=i)de k(( ¯X)₂)fournit un revêtementY_i →( ¯X)₂ non ramifié au-dessus dePipuisquevP_i(gj) = 0. Le revêtementX2→Yi y est, quant à lui, ramifié ; soitQi

l’un des points deYi au-dessus dePi. CommevQ_i(gi) = 1, la fibre(X2)Q_i est isomorphe àk[x]/(xⁿ), et l’indice de ramification estn. En résumé, il y a au-dessus de Pi exactement _n¹|H¹(X,Λ)|points de X2, tous d’indice de ramificationnau-dessus dePi. SoitRi un antécédent deQi dansX2.

Le sous-groupe d’inertie IR_i|Pi ⊂ Aut(X2|X) du point Ri au-dessus de X¯ s’insère dans la suite exacte

0→I_Ri|Qi →I_Ri|Pi→I_Qi|Pi →0

(voir [Stacks, 0BU7] pour la surjectivité). CommeI_Qi|Pi= 0, il y a des isomorphismes I_Ri|Pi=I_Ri|Qi = Aut(X₂|Y_i)'Λ.

X2 • •

R_i • • n^2gX+r−1points

Y_i • •

Qi

• • n^2gX+r−1points

( ¯X)₂ • • n^2gX points

X¯ •

P_i Λ

Λ^r

H¹( ¯X,Λ)

Figure II.3– Ramification à l’infini deX2→X

En tant que sous-groupe deAut(X2|X), le groupe I_Ri|Pi est celui engendré par √ⁿ

gi 7→ζ√ⁿ gi, où ζ est une racine n-ième primitive de l’unité. Tout ceci s’applique encore au point P0, qui avait été choisi arbitrairement au début. Avec les notations ci-dessus, le sous-groupeI_R0|P0 est engendré par (√ⁿ

g1, . . . ,√ⁿ

gr)7→(ζ√ⁿ

g1, . . . , ζ√ⁿ gr).

Lemme 2.7.9. Le genre géométrique deX₂ est donné par gX₂= 1 + 1

2n^2gX−1+r(n(2gX−2)−1).

Démonstration. L’application de la formule de Riemann-Hurwitz au revêtement ramifié de courbes projectives lissesX₂→X¯ fournit l’égalité

2gX₂−2 =|H¹(X,Λ)|(2gX¯ −2) + X

P∈X2−X2

(eP−1)

oùe_P désigne l’indice de ramification deX₂→X enP. Rappelons que|H¹(X,Λ)|=n^2gX+r. De plus, il y a au-dessus de chaque pointQ∈X¯−X exactementn^2gX−1+rpoints, tous d’indice de ramification n. Par conséquent,

2g_X2 = 2 +n^2gX+r(2g_X−2) + (n−1)n^2gX−1+r et le résultat s’en déduit immédiatement.

II.7.2 Un revêtement semblable défini sur k

₀

SoitY₀une courbe connexe (mais pas nécessairement géométriquement connexe) lisse surk₀. Notons Y = Y₀ ×_k0 k. Le but de cette section est de déterminer un revêtement galoisien caractéristique Y_2,0 → Y₀ tel que Y_2,0×_k0 k → Y trivialise tous les µ_n-torseurs sur Y. Soient X₀ une courbe lisse géométriquement connexe surk0, etf:Y0→X0un revêtement galoisien. Notons encoreX=X0×k₀k. Remarque 2.7.10. Considérons le cas particulier où Y0 possède unk0-point y0; dans ce cas, Y est connexe [Stacks, 04KV]. Soienty¯un point géométrique deY d’imagey0, et x¯ son image parf. Soit

¯

y2 un point géométrique deY2 d’imagey¯. Le groupe π1(Y,y¯2) est caractéristique dans π1(Y,y)¯ , qui est lui-même distingué dansπ₁(X,x)¯ . Ainsi, l’action deG₀ par automorphismes sur π₁(X,x)¯ induit encore une action surπ₁(Y₂,y¯₂), et par passage au quotient une action surAut(Y₂|X).

Cependant, la courbe Y n’est pas nécessairement connexe : soient Y⁽¹⁾, . . . , Y^(t) ses composantes connexes.

Résumé de l’idée Commençons par construire le revêtement Y₂⁽¹⁾ →Y⁽¹⁾ de groupe H¹(Y⁽¹⁾,Λ), puis le schémaW =`

σ(Y₂⁽¹⁾)^σ, où σparcourt les automorphismes d’une extension galoisienne suffi-samment grande dek0. Le revêtement W →Y provient d’un k0-revêtement Y2,0→Y0, qui vérifie la propriété recherchée.

Construction Soit k1 la clôture algébrique de k0 dans k0(Y0). C’est une extension séparable car Y0 → X0 est étale. Soit k2 l’extension minimale de k0 par laquelle se factorise l’action de G0 sur H¹(Y1, µn). Soit L la clôture galoisienne de la sous-extension de k engendrée par µn(k), k1, k2. Soit αun élément primitif de l’extension séparable L/k1, et m ∈ k1[t] son polynôme minimal. Écrivons k0(Y0) =k0(x)[y]/(f). Soient(D1, g1), . . . ,(Dr, gr)des couples diviseur-fonction qui forment une base deH¹(Y⁽¹⁾, µn). Écrivonsgi=g⁰_i(α, x, y)avecg_i⁰∈k0(x)[t, y]/(m(t), f(x, y)). Le morphismeY2,0→Y0

est alors défini par l’extension

k₀(Y_2,0) =k₀(α, x, y)(pⁿ

g⁰₁, . . . ,pⁿ g_r⁰)

dek0(Y0). La courbeY2,0×k₀kest alors isomorphe à l’orbite sousGal(L|k0)deY₂⁽¹⁾, et possède[L:k0] composantes connexes.

Lemme 2.7.11. Le degré deY2,0→X0 estn^r[L:k1] deg(Y0→X0).

Démonstration. Le degré deY_2,0→(Y₀×k1L)estn^r et le degré deY₀×k1L→Y₀est [L:k₁]. Calcul de Aut(Y_2,0|X₀) Le morphisme Y_2,0 → Y₀ est de degré n^r[L : k₁]. Posons z_i = pⁿ

g⁰_i avec les notations ci-dessus. Le groupe Aut(k₀(Y_2,0)|k₀(Y₀))est constitué des automorphismes définis par t 7→ σ(t), zi 7→ ζizi où σ ∈ Gal(L|k1) et ζi ∈ µn(L). Il y en a deg(Y2,0 → Y0) = n^r[L : k1] car µn(k)⊂L: le revêtement Y2,0→Y0 est donc galoisien. Calculons les automorphismes deY2,0→X0. Ce sont les

(t, x, y, z1, . . . , zr)7→(σ(t), x⁰, y⁰, z⁰₁, . . . , z⁰_r)

oùσ∈Gal(L|k0), où(x⁰, y⁰)est l’image de(x, y)par unX0-automorphisme deY0 induisant le même élément deGal(k1|k0)queσ, etz_i⁰∈k0(Y2,0)vérifiez⁰_iⁿ =φ(g_i⁰). Il y a comme attendudeg(Y2,0|X0) = n^r[L:k1] deg(Y0→X0)automorphismes deY2,0→X0, qui est donc un revêtement galoisien.

II.7.3 Adaptation aux courbes nodales

SoitX0 une courbe nodale sur k0. NotonsX =X0×k₀ k, et ν: ˜X →X sa normalisation. Soient P1, . . . , Pr les points nodaux de X. Notons s = |H¹( ˜X,Λ)|. Soit X˜2 → X˜ le revêtement galoisien de X˜ de groupe H¹( ˜X,Λ)^∨. Soit X⁰ → X le revêtement de X de groupe H¹( ˜X,Λ)^∨ obtenu par la construction de la sectionII.6.2.1. C’est une courbe qui arspoints nodaux. Considérons également le revêtementW →X non irréductible de groupe Λ^r construit dans la section II.6.2.2. Considérons la courbeZ :=W ×XX⁰. Le diagramme à carrés cartésiens ci-dessous, dont les flèches sont étiquetées par le degré des morphismes, résume la situation.

X˜₂ X⁰ Z

X˜ X W

s s

n^r s

n^r

Lemme 2.7.12. Le schémaZ est connexe.

Démonstration. Le morphismeX⁰→X étant lisse, le morphismeZ→W l’est encore ; d’après [Stacks, 07TD], la normalisation deZ est donc

Z˜ = ˜W ×W Z = ˜W×W W×XX⁰= ˜W ×XX⁰ = ( ˜X×Λ^r)×XX⁰ = ˜X₂×Λ^r.

Les points deX˜₂au-dessus deP⁽ⁱ⁾sontQ⁽ⁱ⁾₁ , . . . , Q⁽ⁱ⁾s , R⁽ⁱ⁾₁ , . . . , R⁽ⁱ⁾s . SoientP₁⁽ⁱ⁾, . . . , Ps⁽ⁱ⁾leurs images respectives dans X⁰. Notons T_j⁽ⁱ⁾_1,...,jr, où (j1, . . . , jr) ∈ Λ^r, les points de W au-dessus de P⁽ⁱ⁾. Les notations des antécédents de P⁽ⁱ⁾ dans X˜, X˜2, X⁰ et W sont résumées dans le tableau ci-après, où a∈ {1. . . s} et(j1, . . . , jr)∈Λ^r.

X˜2 X⁰ Z=X⁰×XW Z˜= ˜X2×Λ^r Q⁽ⁱ⁾a , R⁽ⁱ⁾a Pa⁽ⁱ⁾ (Pa⁽ⁱ⁾, T_j⁽ⁱ⁾

1,...,j_r) (Q⁽ⁱ⁾a , j₁, . . . , j_r),(R⁽ⁱ⁾a , j₁, . . . , j_r) Q⁽ⁱ⁾, R⁽ⁱ⁾ P⁽ⁱ⁾ T_j⁽ⁱ⁾_1,...,jr (Q⁽ⁱ⁾, j1, . . . , jr),(R⁽ⁱ⁾, j1, . . . , jr)

X˜ X W W˜ = ˜X×Λ^r

Souvenons-nous que le morphismeW˜ = ˜X×Λ^r →W associe au couple (Q⁽ⁱ⁾, j₁, . . . , j_r)le point T_j⁽ⁱ⁾

1,...,j_r et à(R⁽ⁱ⁾, j1, . . . , jr)le pointT_j⁽ⁱ⁾

1,...,j_i−1,...,jr. Le morphisme Z˜= ˜X2×XΛ^r→Z=X⁰×XW

associe aux points(Q⁽ⁱ⁾a , j1, . . . , jr)et(Ra⁽ⁱ⁾, j1, . . . , ji+ 1, . . . , jr)le couple(Pa⁽ⁱ⁾, T_j⁽ⁱ⁾

1,...,j_r). Les compo-santes irréductibles deZ sont les images desncomposantes connexes deZ˜, toutes isomorphes àX˜₂; le point(P₁⁽¹⁾, T_j⁽¹⁾

1,...,jr)appartient à l’image dansZ de la(j₁, . . . , j_r)-ième et de la(j₁, . . . , j_i+ 1, . . . , j_r) -ième composante deZ˜. Ainsi, deux composantes irréductiblesC, C⁰ deZ˜ sont toujours jointes par une suite

(C=C0, C1, . . . , Cm=C⁰) telle que pour touti, l’intersectionCi∩Ci+1 soit non vide.

Proposition 2.7.13. Le morphisme Z → X est un revêtement galoisien de groupe isomorphe à H¹(X,Λ)^∨.

Démonstration. Il est fini étale de degré n^rs car composée de morphismes finis étales de degrés res-pectifsn^r ets, et connexe d’après le lemme précédent. Comme Z =W ×XX⁰, il y a un morphisme Aut(W|X)×Aut(X⁰|X) = Λ^r×H¹( ˜X,Λ)^∨ → Aut(Z|X), qui est injectif car W → X et X⁰ → X sont surjectifs. Le groupe de gauche étant d’ordredeg(Z →X), ceci prouve queZ →X est galoisien.

Rappelons que le groupeH¹(X,Λ)est isomorphe àΛ^r×H¹( ˜X,Λ)^∨, ce qui conclut.

Corollaire 2.7.14. Le revêtementZ→X est caractéristique et trivialise tous lesΛ-torseurs surX. Démonstration. Le revêtement est caractéristique car son groupe est isomorphe à H¹(X,Λ)^∨ (voir proposition2.7.1). NotonsG= Aut(Z|X). La suite spectrale de Hochschild-Serre pourZ →X donne une suite exacte

0→H¹(G,Λ)→H¹(X,Λ)→H¹(Z,Λ).

Sachant que le groupeG 'H¹(X,Λ) est un Λ-module libre et que l’action de Gsur Λ est triviale, H¹(G,Λ) = HomΛ(G,Λ) = Λ^rgΛG = H¹(X,Λ). Par conséquent, le morphisme H¹(X,Λ) →H¹(Z,Λ) est nul.

Construction du revêtement défini sur k₀ Soitk⁰/k₀ l’extension minimale de k₀ sur laquelle sont définis les antécédents dansX˜ des points singuliers de X. Soit X₁ la normalisation deX₀ dans k₁(X₀). Considérons le revêtement galoisienZ˜₁→X˜₁de la sectionII.7.2. Construisons comme dans la sectionII.6.2.1le revêtement galoisienZ₁ deX₁ correspondant. De même, construisons le revêtement non irréductibleW deX1 de groupeΛ^rdéfini dans la sectionII.6.2.2. Posons enfinX2,0=Z1×X₁W. La connexité deX2,0se montre comme dans le lemme2.7.12. SiX0→Y0est un revêtement galoisien, le même argument que précédemment montre queAut(X2,0|Y0)est isomorphe à Λ^r×Aut(Z1|Y0); or Z1→Y0 est galoisien carZ˜1→Y˜0 l’est, doncX2,0→Y0 l’est encore.

II.7.4 Un exemple détaillé

Prenons n = 2. Supposons que −1 n’est pas un carré dans k₀. Notons V = P¹− {0,±1,∞} et U =P¹− {0,1,∞}. Considérons le revêtement étale de degré 2

f: V −→ U y 7−→ y²

de groupe d’automorphismes engendré parτ:y 7→ −y. Le faisceauF :=f?Λest un faisceau lisse sur U, trivialisé par le revêtementf:V →U puisquef^?f?Λ'Λ². Il correspond auAut(V|U)-moduleΛ², où l’élément non trivial deAut(V|U)intervertit les deux copies deΛ.

Calcul deV2 Le groupeH¹(V, µ2)'Λ³est engendré par les couples diviseur-fonction(0−∞, x),(1−

∞, x−1),(−1− ∞, x+ 1). Le revêtement V2 →V de groupeH¹(V,Λ)^∨ correspond à l’extension de corpsk(√

x,√

x−1,√

x+ 1)/k(x). Le revêtement deV¯ =P¹ correspondant est le morphisme Projk[y, z, t, h]/(z²−(y²−h²), t²−(y²+h²)) −→ Projk[y, h]

(y:z:t:h) 7−→ (y²:h²) ramifié au-dessus de0,±1,∞.

Calcul deAut(V2|U) Le groupe d’automorphismesG:= Aut(V2|U)est d’ordre 16 ; il suffit pour le déterminer entièrement d’y trouver un antécédent du générateurτ deAut(V|U). Un tel antécédent estγ: (y :z: t:h)7→(√

−1y :√

−1t :√

−1z :h). Notonsσ1:y 7→ −y, σ2:z 7→ −z, σ3:t7→ −t les générateurs évidents de Aut(V2|V)/ G. Alors γσ2 =σ3γ et γσ3 =σ3γ, ce qui implique que hσ2, σ3i est distingué dansG. On vérifie aisément que la composée

hγi →G→G/hσ2, σ3i est un isomorphisme ; par conséquent,

G=hσ2, σ3iohγi.

Ramification NotonsZ = ¯U−U et W = ¯V2−V2. Le tableau ci-dessous résume la situation.

Points deZ 0 1 ∞

Antécédents dansW Ramification

0 indice2

−1 indice 1

1 indice1

∞ indice2 Antécédents dansW⁰

Ramification 4 points

indice 4 4 points

indice 2 4 points

indice 2 4 points indice 4 Un antécédent dansW⁰

Son groupe d’inertie

P₀= (0,√

−1,1) hγσ₂i 'µ₄(k)

P−1= (√

−1,√

−2,0) hσ₃i 'µ₂(k)

P₁= (1,0,√ 2) hσ₂i 'µ₂(k)

P∞= (1 : 1 : 1 : 0) hγi 'µ4(k)

L’isomorphisme canoniqueI_P0 →µ₄(k)est obtenu explicitement de la façon suivante. Une unifor-misante deV¯₂ enP₀= (0,√

−1,1)esty. L’orbite dey sous l’action deI_P0 =hγσ₂iest{±y,±√

−1y}. L’ensemble des ^σ(y)_y (P0) oùσ parcourt IP₀ est donc exactement µ4(k). À un élément σ∈ IP₀, l’iso-morphismeI_P0 →µ₄(k)associe ^σ(y)_y (P₀).

Le générateur√

−1 de µ4(k)échange les deux copies de Λ dans M = Λ². Le Λ-module des mor-phismes croisés µ4(k) → M est isomorphe à Λ², et τ₆1RΓ(IP₀, M) est représenté par le complexe suivant.

Λ² → Λ² (a, b) 7→ √

−17→(a+b, a+b)

Le groupe F₀ = H⁰(I_P0, M) est engendré par (1,1), et H²₀(X, j_?F) = H¹(I_P0, M) est engendré par la classe de (0,1). Le calcul de τ₆₁RΓ(I_P∞, M) est très semblable. Le groupe I_P1 est, quant à lui, canoniquement isomorphe à µ₂(k), et agit trivialement sur M. Par conséquent, τ₆₁RΓ(I_P1, M) est représenté par le complexe suivant.

Λ² → Λ² (a, b) 7→ 0 Nous calculeronsRΓ(U,F)dans la sectionV.3.4.

CHAPITRE III

Algorithmique des faisceaux constructibles

Fixons un corpsk0, et une clôture algébrique kdek0. Soitnun entier naturel non nul. NotonsΛ l’anneauZ/nZ. Dans toute cette section, les faisceaux constructibles considérés seront des faisceaux deΛ-modules.

L’objectif de ce chapitre est de donner diverses représentations et opérations sur les faisceaux lisses sur les k₀-schémas de type fini, puis des faisceaux constructibles sur les courbes lisses sur k. Nous donnons dans le cas des courbes lisses des algorithmes permettant de passer d’une représentation à une autre, ainsi que des algorithmes permettant d’effectuer des opérations (images directes et réci-proques, noyaux et conoyaux de morphismes, Hom interne et produit tensoriel...) sur ces faisceaux.

Nous montrons également comment effectuer ces opérations dans le cas général des faisceaux construc-tibles après avoir décrit comment calculer les poussés en avant de faisceaux lisses par des morphismes entre variétés régulières de même dimension. Nous nous assurons que tous les algorithmes présentés sont de complexité élémentaire (voir annexeA.1) en les entrées. Les schémas sont décrits comme re-collement de schémas affines (voir annexeB.1.1). Pour cette représentation, il existe des algorithmes de complexité élémentaire calculant la normalisation ou la décomposition primaire d’une variété. Les courbes projectives lisses sont décrites par des produits de corps de fonctions (voir annexeC.1.2), et les courbes affines lisses comme un ouvert d’un modèle plan de leur compactification lisse.

III.1 Faisceaux lisses

III.1.1 Représentations des faisceaux lisses

SoitX un schéma intègre de type fini sur k₀. Soit F un faisceau lisse surX, correspondant à un π₁(X)-moduleM. Nous nous intéresserons à deux façons de définir explicitementF :

1. par unX-schéma en groupes fini étaleF qui le représente ;

2. par un revêtement galoisienY →X qui le trivialise ainsi que leAut(Y|X)-moduleM.

Passage de la première à la deuxième représentation SupposonsF défini par un morphisme fini étale T →X de degréd, ainsi qu’une application T ×X T →T définissant sa loi de groupe. Le

calcul d’un revêtement trivialisant, décrit par exemple dans [Fu15, Prop. 5.8.1.(i)], se fait de la façon suivante : trouver une composante connexeT⁰ deT telle que T⁰ →X soit de degré >1, et changer de base àT⁰. Recommencer cette opération avecT⁰×_XT →T⁰ (toujours de degréd), jusqu’à obtenir un schémaY avecdcomposantes connexes.

Remarquons qu’à chaque étape, le nombre de composantes connexes deT, et donc le nombre d’élé-ments deF(T), augmente. Il y a dans cet algorithme au plusd−1appels récursifs ; commeF est un faisceau de groupes abéliens, c’est mêmelog₂(d)puisqu’à chaque étape,F(T)est un sous-groupe strict deF(T⁰). Chacune de ces étapes consiste en une décomposition primaire, puis le calcul d’un produit fibré.

Une fois cette opération effectuée, il reste à calculer la clôture galoisienneZ →X deY →X, qui est une composante connexe deY ×X· · · ×XY. Celle-ci se calcule d’une façon semblable à la clôture galoisienne d’une extension de corps [HL17, §2]. L’action de σ∈Aut(Z|X)surF(Z)est donnée par la permutation des composantes connexes deT ×XZ' t^dZ induite par

T ×XZ−−−→^id×σ T×XZ.

Rappelons que le degré deZ→X est majoré pardeg(Y →X)!. Le cardinal deF(Z)est, quant à lui, égal au degré deT →X.

Passage de la deuxième à la première représentation SupposonsF défini par un revêtement galoisienf:Y → X de groupe G, et leG-moduleM = H⁰(Y, f^?F). Rappelons que F = (f?f^?F)^G. Le faisceauf?f^?F est représenté par la restriction de Weil R :=RY→X(M ×Y), et est encore muni d’une action de G qui permute ses composantes connexes. Le faisceau (f_?f^?F)^G est représenté par l’intersection schématiqueT

g∈Gker(g−id_R).

Calcul du revêtement trivialisant minimal Une fois calculé un revêtement galoisien Z → X qui trivialise F, un revêtement minimal est donné par Z/H, où H est le noyau de Aut(Z|X) → Aut(H⁰(Z,F)). Le degré de Z/H→X est le cardinal du groupe de monodromie, image deAut(Z|X) dansAut(H⁰(Z,F)).

Simplifications dans le cas des courbes intègres lisses SoitX une courbe intègre lisse surk0. Un revêtementY deX est simplement défini par l’extensionL/Kde corps de fonctions correspondante.

Le groupeAut(Y|X)estG= Aut(L|K), et si le revêtement est galoisien, le faisceau lisseF n’est rien d’autre qu’un Λ[G]-module F. Le revêtement minimal est alors donné par L^H, où H = ker(G → AutΛ(M)); c’est un simple calcul d’algèbre linéaire sur leK-espace vectoriel L.

Complexité du calcul d’un revêtement trivialisant Tous nos algorithmes utiliseront la repré-sentation par fibre générique et revêtement trivialisant. SoitX une courbe intègre lisse sur k₀. Soit F un faisceau lisse sur X, représenté par un schéma en groupes F = Fr

i=1F_i → X où les F_i sont connexes et étales surX. SupposonsX et lesF_i décrites par un modèle plan (voir annexeC.1.2). Pour chaque i ∈ {1. . . r}, notons d_i le degré de F_i et f_i le degré de F_i → X. Notons f = f₁+· · ·+f_r le degré deF → X, c’est-à-dire le cardinal de la fibre générique de F. Soit d = max(d1, . . . , dr, f). D’après l’annexeC.2, le calcul deFi×XFj nécessited^4d_i ⁱf_j^8fj opérations, et la courbe obtenue est de degréO(dif_j²). L’algorithme peut commencer par la composante deFcorrespondant à la section nulle : quitte à la remplacer parX, son degré est celui deX. Comme il y a au pluslog₂f étapes de récursion, le degré de la courbe trouvée à la fin estO(d^1+f). Le nombre de calculs à effectuer estO(d^{13f d1+f}).

III.1.2 Morphismes, noyaux et conoyaux

Soient F,F⁰ deux faisceaux lisses de Λ-modules sur un schéma intègre X. Soit Y → X un re-vêtement galoisien de groupe G et de degré d qui trivialise F. Définissons de même Y⁰, G⁰, d⁰ pour F⁰. Un revêtement galoisienW deX ayant pour corps de fonctions la composée de ceux deY et Y⁰ trivialise F. Son degré est borné par dd⁰. Soit H = Aut(W|X). Notons M et M⁰ les Λ[H]-modules H⁰(W, f^?F)et H⁰(W, f^?F⁰). Le revêtement W est l’une des composantes connexes de Y ×XY⁰ (qui est encore galoisienne surX). Dans le cas général, le calcul deW est donc de complexité élémentaire en les entrées (voir annexeB.2). Dans le cas des courbes, le produit fibréY×XY⁰ se détermine comme décrit dans l’annexeC.2.

Un morphisme α: F → F⁰ peut être représenté par un morphisme de X-schémas en groupes T →T⁰, ou par un morphisme deΛ[H]-modulesM →M⁰. Le faisceaucokerαest encore lisse puisque φ^?cokerα = coker(φ^?α) est le conoyau d’un morphisme de faisceaux constants et est donc constant [Stacks, 093J]. Le noyau et le conoyau de α se calculent alors dans la catégorie Mod_Λ[H]. Soient m, m⁰ les nombres de générateurs donnés deM etM⁰. Les calculs dekerαet cokerαse font donc en O(max(m, m⁰)³)opérations une fois queW est construit.

III.1.3 Faisceaux lisses sur les courbes nodales

Voici comment seront représentés les faisceaux lisses sur les courbes nodales. SoientX une courbe intègre nodale, X˜ sa normalisée, F un faisceau lisse sur X, et Y → X un revêtement trivialisant de F. La courbe X est représentée par la donnée d’un modèle plan X˜_P de X˜ dont les singularités sont au-dessus de points réguliers deX, et des couples(x, y)∈X˜_P(k)²de points marqués qui sont les antécédents des points nodaux deX. L’utilité de distinguer les points deX˜ au-dessus des points nodaux deX deviendra claire dans la sectionIII.6; un tel modèle s’obtient par transformation quadratique à partir d’un modèle plan deX en éclatant les points nodaux. La courbeY est décrite par sa normalisée Y˜ = Y ×X X˜, qui n’est peut-être pas connexe : c’est une réunion disjointe Y˜P de courbes planes (dont les points singuliers ne sont pas au-dessus de points singuliers deY) avec des couples de points marqués (n’appartenant pas nécessairement à une même composante connexe). Le faisceauFest donné parY˜P →X˜P et le Aut( ˜Y|X)˜ -moduleF = H⁰(Y,F).

Dans le document École doctorale de Sciences Mathématiques de Paris Centre. Thèse de doctorat. Discipline : Mathématiques. présentée par. (Page 59-69)