Opérations sur les faisceaux dans la représentation (t)

• un morphisme de faisceaux lissesα:L1→L2;

• un morphismeβ:F1,Z→ F2,Z défini sur les fibres en lesz∈Z;

• un morphismeγ:i^?j?L1→i^?j?L2 vérifiantγ◦φ1=φ2◦β.

Pour qu’une telle donnée définisse correctement un morphisme, il faut et il suffit queγ=i^?j_?α. Noyau Par exactitude à gauche dei^?,j^? etj?, le noyau d’un tel morphisme est défini par le triplet (kerα,kerβ, φ|kerβ).

Conoyau De même, l’exactitude à droite dei^?et j^? montre que cokerα=j^?cokerf et cokerβ =i^?cokerf.

Enfin, la flèchej?j^?F2→j?j^?coker(f)se factorise parcoker(j?j^?f); la flèche composée F2→j?j^?F2→cokerj?j^?f −→^u j?j^?coker(f)

passe au quotient en

cokerf →coker(j_?j^?F1)−→^u j_?j^?coker(f).

On en déduit que la flèche de recollementi^?coker(f)→i^?j?j^?coker(f)est la composée du morphisme coker(β)→coker(γ)(induit par la flèche de recollementφ2) suivi dei^?u: cokerγ→i^?j?j^?coker(f). Remarquons que la dernière flèche se décrit explicitement. Soitz ∈Z(k). SoientF1, F2 les fibres des faisceaux lissesL1,L2, et notonsfη¯:F1→F2le morphisme induit parf. NotonsIzle groupe d’inertie enz. Alors la flècheu_z est simplementF₂^Iz/f_η¯(F₁^Iz)→(F₂/f_η¯(F₁))^Iz.

Somme directe De même, la somme directe de F1 et F2 est simplement définie sur (X, U, Z)par (L1⊕L2,F1,Z⊕ F2,Z, φ1⊕φ2).

III.4.3 Produit tensoriel et Hom interne

Lemme 3.4.1. Soit Y un schéma. Soit j:U → Y un morphisme étale. Alors pour tous faisceaux F,F⁰ de groupes abéliens sur Y, il y a des isomorphismes canoniques j^?F ⊗j^?F^{0 ∼}−→j^?(F ⊗ F⁰)et j^?Hom(F,F⁰)−^∼→Hom(j^?F, j^?F⁰).

Démonstration. Le foncteur j^? étant simplement la restriction du site étale de X à celui deU, l’as-sertion pour le Hom interne est claire, puisque les deux faisceaux en question ont pour sections sur V →U le groupeHom(F |_V,F⁰|_V). Quant au produit tensoriel, les isomorphismes canoniques suivants, valables pour tout faisceauG de groupes abéliens surX, permettent de conclure.

Hom(j^?F ⊗j^?F⁰,G) = Hom(j^?F,Hom(j^?F⁰,G)) [Mil80, 3.19]

= Hom(F, j?Hom(j^?F⁰,G))

= Hom(F,Hom(F⁰, j?G)) [Mil80, 3.22.a)]

= Hom(F ⊗ F⁰, j_?G)

= Hom(j^?(F ⊗ F⁰),G).

SoitU un ouvert deX, de complémentaire réduitZ. Soient F etF⁰ deux faisceaux constructibles deΛ-modules sur X lisses surU, définis par recollement par les données (L,FZ, φ) et (L⁰,F_Z⁰, φ⁰). NotonsF, F⁰ les fibres respectives des faisceaux lisses L,L⁰.

Produit tensoriel Comme le produit tensoriel commute au tiré en arrière,j^?(F ⊗ F⁰) =L ⊗L⁰; le faisceau L ⊗L⁰ est encore un faisceau lisse sur U [Stacks, 093V]. Notons M = H⁰(V,L) et M⁰ = H⁰(V,L⁰). Soit V →U un revêtement qui trivialise L et L⁰. Pour z ∈Z, notons I_z le sous-groupe des éléments deAut(V|U)fixant un même antécédent dez dans la compactification lisseV¯ de V. La fibre deF ⊗ F⁰ en un pointzdeZ est encoreFz⊗ F_z⁰. Il reste à décrire les fibres en les points deZ du morphisme F ⊗ F⁰ → j?j^?(F ⊗ F⁰), qui provient par adjonction des foncteurs j^? et j? du morphisme identité deF ⊗ F⁰. Notonsg:F ⊗ F⁰→j?j^?F ⊗j?j^?F⁰ le morphisme déduit deid→j?j^?. Le diagramme commutatif

j^?(F ⊗ F⁰) j^?(F ⊗ F⁰)

j^?(j?j^?F ⊗j?j^?F⁰)

id

j^?g ∼

(j^?g)⁻¹

produit par adjonction le diagramme commutatif

F ⊗ F⁰ j?j^?(F ⊗ F⁰)

j_?j^?F ⊗j_?j^?F⁰

g

qui montre que le morphisme de recollementi^?(F ⊗ F⁰)→i^?j_?j^?(F ⊗ F⁰)est la composée FZ⊗ F_Z⁰ →i^?j?L ⊗i^?j?L⁰=i^?(j?L ⊗j?L⁰)→i^?j?(L ⊗L⁰).

Sa fibre enz est la composée

Fz⊗ F_z^{0 φz⊗φ}

0

−−−−→z M^Iz⊗M^0Iz →(M⊗M⁰)^Iz.

Hom interne Comme vu dans le lemme3.4.1,j^?Hom(F,F⁰)est le faisceau lisseHom(L,L⁰)dont la fibre estHomΛ(F, F⁰).

Proposition 3.4.2. Soitzun point de Z. SoitV →U un revêtement galoisien trivialisantF et F⁰. NotonsI /Aut(V|U)le sous-groupe distingué engendré par les groupes d’inertie en tous les points de V¯ au-dessus deZ. Alors

Hom(F,F⁰)z={(α, β)∈HomΛ(F, F⁰)^I×HomΛ(Fz,F_z⁰)|αφF=φF⁰β}.

Démonstration. Soit V → U un revêtement galoisien trivialisant les faisceaux L et L⁰. Soit V₁ le sous-revêtement de V de groupe Aut(V₁|U) = G/I. Notons X⁰ = X −(Z− {z}). Soient V⁰ et V₁⁰ les normalisées respectives de X⁰ dans V et V₁. Le morphisme V₁⁰ →X⁰ est étale, puisque G/I agit librement sur(V₁⁰)_z; c’est le sous-revêtement non ramifié maximal deV⁰→X⁰. Par définition,

Hom(F,F⁰)z= colim_(Y,y)Hom(F |Y,F⁰|Y)

où les couples(Y, y)sont des voisinages étales de(X, z). La sous-catégorie des voisinages étales(Y, y) vérifiant :

• Y est connexe

• Yzest réduit à un point

• Y →X se factorise parV₁⁰

• k(Y)/k(X)est galoisienne

est cofinale dans celle des voisinages étales de (X, z). Considérons un tel f: (Y, y) → (X, z) et le diagramme cartésien suivant.

Y_U Y y

V₁⁰

U ^j X⁰ z

Montrons queHom(F |Y,F⁰|Y)est le groupe décrit dans l’énoncé. Par recollement,

Hom(F |_Y,F⁰|_Y) ={(α, β)∈Hom(F |_YU,F⁰|_YU)×Hom_Λ(F_z,F_z⁰)|αφ_F=φ_F⁰β}.

Il suffit désormais de montrer que Hom(F |Y_U,F⁰|Y_U) est égal à HomΛ(F, F⁰)^I. C’est le groupe des sections surYU du faisceau lisse Hom(L,L⁰) sur U de fibreHom(F, F⁰). Par conséquent, il est ca-noniquement isomorphe àHom(F, F⁰)^π1(YU). Or l’action de π1(YU) surHom(F, F⁰)se factorise de la façon suivante :

π1(YU) π1(V1) π1(U)

I G Aut_Λ(Hom(F, F⁰))

NotonsJ l’image deπ₁(Y_U)dansI. Le morphisme Y_U →V₁ se factorise par le sous-revêtementW de V →V₁défini parAut(V|W) =J; par conséquent,Y →V₁⁰se factorise encore par la normalisationW⁰ deV₁⁰ dansW. Commek(Y)/k(X)est galoisienne,Y →X se factorise alors par la clôture galoisienne de W⁰ → X, qui ne saurait être étale en aucun point au-dessus de z, sauf si W⁰ =V₁⁰, c’est-à-dire J=I. L’étalitude deY →X entraîne donc la surjectivité deπ1(YU)→I. Par conséquent,

HomΛ(F, F⁰)^π1(YU)= HomΛ(F, F⁰)^I.

Enfin, le morphisme de recollement Hom(F,F⁰)z → (j?Hom(L,F_U⁰ ))z se calcule en considérant les sections sur chaqueY →X; c’est simplement la projection

Hom(F,F⁰)_z⊆Hom_Λ(F, F⁰)^I ×Hom_Λ(Fz,F_z⁰)→Hom_Λ(F, F⁰)^Iz oùI_z est le groupe d’inertie d’un point deV⁰ au-dessus deZ.

III.4.4 Tiré en arrière

Soitf:Y →X un morphisme de courbes intègres lisses surk. Comme vu enIII.2, f se factorise enY −→^s Y⁰−→^ν X, oùsest une immersion ouverte etν est un morphisme fini localement libre. Il suffit donc de traiter séparément le cas oùf est une immersion ouverte, et le cas oùf est fini.

SoitF un faisceau constructible sur X, défini par un ouvert de lissité j: U →X, le fermé réduit complémentairei: Z→X, le faisceau lisseL =j^?FsurU, le faisceauFZ =i^?FsurZet le morphisme de recollementφ:i_?F_Z →i_?i^?j_?L.

Le cas d’une immersion ouverte Supposons quef: Y →X soit une immersion ouverte. Notons V =U∩Y, W =Z∩Y. Alors f^?F est clairement lisse sur V, les fibres def^?F en les points deW sont égales à celles deF en leurs images dansZ, et le morphisme de recollement def^?F relativement àV, W est simplement la restriction à W de celui deF.

Le cas d’un morphisme fini Supposons quef:Y →Xsoit fini. Considérons le diagramme suivant, dont les carrés sont cartésiens.

V Y W

U X Z

j⁰

p f

i⁰ q

j i

Le faisceauj^0?f^?F =p^?j^?F est lisse surV. De plus, la commutativité du carré de droite permet de calculer simplement les fibres def^?F en les points deW. Déterminons le morphisme d’adjonction i^0?f^?F → i^0?j_?⁰j^0?f^?F = i^0?j⁰_?p^?L. La flèche i^?F → i^?j?j^?F est connue ; en lui appliquant q^?, on obtient i^0?f^?F → i^0?f^?j?j^?F. Reste à calculer la flèche de comparaison f^?j?j^?F → j⁰_?j^0?f^?F = j_?⁰p^?j^?F. Notons quef^?j_?j^?Fest représenté par un schéma étale surY qui se calcule explicitement par une normalisation puis un produit fibré. Il en est de même du morphisme de schémas qui représente la flèche d’adjonctionj^?F →p_?p^?j^?F, ainsi que celui représentantf^?j_?j^?F →f^?j_?p_?p^?j^?F. Remarquons que le faisceau de droite est canoniquement isomorphe à f^?f_?j_?⁰p^?j^?F; il suffit maintenant de lui appliquer l’unité d’adjonction f^?f_? → id (pour sa description, voir l’annexe B.5) pour obtenir la composée f^?j_?j^?F → j_?⁰p^?j^?F. En résumé, il s’agit de calculer les fibres en les points de W de la composée :

f^?F →f^?j?j^?F →f^?j?p?p^?j^?F−^∼→f^?f?j_?⁰p^?j^?F →j_?⁰p^?j^?F −^∼→j_?⁰j^0?f^?F.

Remarque 3.4.3. Les représentations (!)et (?) sont conceptuellement bien mieux adaptées à cette tâche, car le foncteur f^?, qui se calcule sur les schémas par un simple produit fibré, commute aux noyaux et conoyaux. L’avantage de la méthode décrite ci-dessus est de ne pas avoir recours au calcul possiblement coûteux de l’une de ces deux représentations.

III.4.5 Poussé en avant

Soit f: Y → X un morphisme de courbes intègres lisses sur k. Nous allons montrer comment calculer les foncteurs Rⁱf?, i > 0. La notation f? seule désignera toujours le foncteur non dérivé.

Lorsquef est fini, l’exactitude def? assure queRⁱf?= 0dès quei>0.

Le cas d’une immersion ouverte Soit j:U → X une immersion ouverte de courbes intègres lisses surk. SoitZ le fermé réduit complémentaire deU dansX. SoitF un faisceau constructible de Λ-modules surU, lisse sur un ouvertV deU, de fibre générique géométrique M. Commej^?j?F → F est un isomorphisme, le faisceauj_?F est encore lisse surV. De plus, pour tout point géométriquez de Z, la proposition1.5.11assure que

(Rj_?F)_z = RΓ(U×_XX_(¯z),F)

= RΓ(V ×_XX_(¯z),F)

= RΓ(ηz,F)

= RΓ(Iz, M)

oùη_z est le point générique de l’anneau local strictement hensélienX_¯z= SpecO_X,z^sh , le pointη¯_zest un point générique géométrique deX_(¯z)et I= Gal(¯η_z|η_z). Le morphisme de recollementj_?F →j_?j^?j_?F est un isomorphisme. D’autre part,

j^?R¹j_?= R¹(j^?j_?) = 0

puisque j^?j_? est un isomorphisme. Le faisceauR¹j_?F est donc supporté sur Z, et j_?j^?R¹j_?F = 0. Comme la cohomologie deRΓ(I, M)est concentrée en degrés 0 et 1, le foncteurRⁱj_? est nul pour tout i>2.

Le cas d’un morphisme fini Soit f:Y → X un morphisme fini de courbes intègres lisses. Soit F un faisceau constructible deΛ-modules surY défini par recollement relativement à V −→^j Y ←−ⁱ W, où V est un ouvert de Y tel que F |V soit lisse, trivialisé par un revêtement étale T → V. Notons φ: i^?F → i^?j?j^?F le morphisme de recollement. Décrivons par recollement le faisceau f?F, qui est encore constructible d’après [SGA43, IX, Prop. 2.14.(i)]. Quitte à remplacer f par sa complétion pro-jective lisse et les faisceaux en question par leur prolongement par zéro, nous pouvons supposer X et Y projectives. Si la caractéristique de k est nulle, le morphisme f est génériquement étale. Si la caractéristique dekestp >0, le morphismef se factorise en composée d’une succession de Frobenius relatifs suivi d’un morphisme génériquement étale [Stacks, 0CD2]. Il suffit donc de traiter séparément les cas du Frobenius et d’un morphisme génériquement étale.

Le morphisme de Frobenius relatifφ:Y →Y^(p) étant un homéomorphisme universel, le théorème 1.5.5assure que le foncteurφ^?, dontφ? est l’adjoint à droite, est une équivalence de catégories. Voici comment la donnée de recollement deφ?Fse déduit de celle deF. Le faisceauφ?F est lisse sur l’ouvert V^(p)deY^(p). Son fermé complémentaire réduitZ a autant de points fermés queW, et étant donné un point ferméwdeW, la fibre du faisceauφ?F enφ(w)estFwcarφest radiciel. La description deφ?F surX est donc la suivante : il est lisse sur l’ouvert V^(p), de même fibre générique géométrique queF et trivialisé parT^(p). Ses fibres sur Z sont les mêmes que surW. En notantj⁰ l’inclusion deU dans X, la finitude deφassure quej_?⁰j^0?φ?F=φ?j_?⁰j^0?F a les mêmes fibres quej?j^?F, et le morphisme de recollement deφ?F est le même que celui deF.

Supposons désormaisfgénériquement étale. SoitZ un fermé réduit deXcontenantf(W)ainsi que tous les points deX au-dessus desquelsf n’est pas étale. SoitU l’ouvert complémentaire. Considérons le diagramme suivant, dont les deux carrés sont cartésiens :

V⁰ Y W⁰

U X Z

j⁰

p f

i⁰ q

j i

Comme V⁰ ⊂ V, le faisceau j^0?F est lisse ; le morphisme p étant fini étale, p?j^0?F est lisse sur U. Il est représenté par le U-schéma fini étale RV⁰→U(j^0?F). Par finitude de f, les morphismes de changement de base des deux carrés de ce diagramme sont des isomorphismes [Fu15, Corollary 5.3.9].

Par conséquent, le faisceau i^?f?F est isomorphe à q?i^0?F, qui se calcule explicitement comme un ensemble de Λ-modules indexé par les points de Z. Le morphisme φ: i^0?F → i^0?j⁰_?j^0?F est connu.

Alors commej?j^?f?F =j?p?j^0?F =f?j_?⁰j^0?F, la flècheq?φest un morphismei^?f?F →i^?j?j^?f?F. Il s’agit du morphisme d’adjonctionf?F →j?f^?f?F, défini pour toutX-schéma étaleT par le morphisme F(T×XY)→ F(T×XV⁰)obtenu par fonctorialité à partir de l’inclusionT ×XV⁰→T×XY. Remarque 3.4.4. Au moins pour le cas d’un morphisme fini, les représentations (?)et (!)se prêtent conceptuellement mieux au calcul def?, qui s’effectue alors par restriction de Weil.