Recherche de points

Soitkun corps algébriquement clos. Le but de cette section est le suivant : étant donné une variété X plongée dans Pⁿk, trouver au moins un point fermé deX¯k dans chaque composante irréductible de X. Le fait de ne pas se préoccuper des multiplicités rend cette tâche plus facile que la décomposition primaire. Dans un premier temps, voyons comment trouver les points fermés des composantes zéro-dimensionnelles deX, appelés points isolés.

B.4.1 Trouver des points isolés

Lemme B.4.1. [Ier89, Lem. 3.1] Soitkun corps algébriquement clos. Soientf1, . . . , fmdes polynômes homogènes dek[x0, . . . , xn]de degré inférieur àd. Alors pour touts6n, le ferméV(f1, . . . , fs)dePⁿ a au plus d^s composantes irréductibles de codimension inférieure à s. En particulier, il a au plus dⁿ composantes irréductibles.

Supposons X défini par m polynômes homogènes f1, . . . , fm ∈ k[x0, . . . , xn] de degrés respec-tifs d₁, . . . , d_m 6 d. Quitte à ajouter des équations redondantes si m < n, ou à agrandir X en ou-bliant certaines équations si m > n, nous pouvons supposer n = m. Notons L_x(u) = Pn

i=0x^d_iu_i ∈ k[x0, . . . , xn, u0, . . . , un]et fˆi(x, t) =tx^d_iⁱ+ (1−t)fi(x)∈k[x0, . . . , xn, t]. SoitX ,ˆ →Pⁿ×A¹le fermé défini par lesfˆi.

Proposition B.4.2. [Ier89, Lem. 2.3] NotonsX¯ = ˆX∩D(t)l’adhérence dansPⁿ×A¹de l’intersection deXˆ avec l’ouvert principal D(t)(où A¹ = Speck[t]), et X¯0 l’intersection de X¯ avec le fermé V(t). (En bref :X¯0= lim_t→0Xˆt) AlorsX¯0est de dimension zéro et contient tous les points fermés isolés de X.

La procédure est décrite dans [Ier89, §2.2]. Elle consiste à construire un polynômeR(u0, . . . , un) dont les zéros sont les mêmes que ceux deQ

x∈X¯₀Lx(u0, . . . , un). CeR∈k[u0, . . . , un]est un résultant multivarié qui se calcule en tempsO(dⁿ)[Ier89, Prop. 2.5].

Il suffit ensuite de poserRi(t) =R(t,0, . . . ,0,−1,0, . . . ,0) et de factoriserRi(t)pour connaître la (puissanced-ième de la) projection sur lei-ième axe de coordonnées des points deX¯0. Ceci fournitd² coordonnées possibles sur chaque axe, et il suffit de tester lesd²ⁿ combinaisons possibles pour savoir si elles définissent un point fermé deX.

B.4.2 Trouver des points dans toutes les composantes

B.4.2.1 Pour un fermé de l’espace projectif

Soit X ( Pⁿ donné par des équations homogènes. La stratégie pour trouver au moins un point dans chaque composante irréductible deX consiste à se ramener au cas précédent en intersectant X avec une succession d’hyperplans.

Considéronsn hyperplans H₁, . . . , H_n en position générale (voir définition B.3.1) ; par exemple ceux définis parx₁, . . . , x_n. Notons, pouri >0,L_i =H₁∩ · · · ∩H_i. Notons encoreL₀=Pⁿ.

Lemme B.4.3. SoitC une composante irréductible deX. Alors il existei∈ {0, . . . , n}tel queC∩L_i soit non vide et de dimension nulle.

Démonstration. La suite dim(C∩Li) est décroissante. De plus, dim(C∩Li) 6 dim(Li) = n−i et dim(C∩Li)>dim(C∩L_i−1)−1. C’est donc une suite décroissante, qui décroît par pas de 0 ou 1, et qui stationne à 0. Soitile plus petit indice tel que C∩Li soit de dimension nulle. Si i= 0, alors C∩Li=C est non vide et de dimension nulle. Sii >0, cela signifie quedim(C∩L_i−1) = 1. D’après le théorèmeB.3.2, l’intersectionC∩Li est non vide.

Ceci suggère l’algorithme suivant pour trouver au moins un point de chaque composante irréductible deX : déterminer, pour chaque i∈ {0, . . . , n}, les points isolés deX ∩H1∩ · · · ∩Hi. La complexité est doncnfois celle de la recherche de points isolés.

B.4.2.2 Pour une partie constructible d’un espace projectif

Lemme B.4.4. Soient H1, . . . , Hs des hyperplans en position générale dans Pⁿ. Soit C un fermé de Pⁿ. AlorsCest contenu dans au pluscodim(C)des hyperplansHi.

Démonstration. La dimension de l’intersection decodim(C) + 1de ces hyperplans, qui sont en position générale, est strictement inférieure àdim(C).

Lemme B.4.5. SoitC un fermé irréductible dePⁿ. Soit H un hyperplan dePⁿ. Alors soitC ⊆H, soitdim(C∩H) = dim(C)−1.

Démonstration. Si C n’est pas inclus dans H alors C ∩H est un fermé strict de C. Prenons-en une composante irréductible de dimension maximale C⁰. D’une part, dim(C⁰) > dim(C)−1 par la propositionB.3.2 appliquée à l’intersection de C et H. D’autre part, dim(C⁰)<dim(C)puisque C⁰ est un fermé irréductible strict deC.

Corollaire B.4.6. Si C est un fermé dePⁿ de dimensiond, et siH1, . . . , Hs sont des hyperplans en position générale avecs >dimC, alors il existei1, . . . , idtels que l’intersection deCavecHi₁∩· · ·∩Hi_d

soit de dimension nulle.

Démonstration. Il y a au pluscodimChyperplansHicontenantC. Il reste donc au moins un hyperplan ne le contenant pas : prenons-en un et notons-le Hi₁. Alors C∩Hi₁ est inclus dans au plus n des hyperplansHi, dont ceux qui contiennentC. Il y a donc au moins un hyperplanHi₂ qui ne le contient pas, etdim(C∩Hi₁∩Hi₂) = dim(C)−2. Une récurrence immédiate conclut.

Lemme B.4.7. Si C est un fermé dePⁿ de dimensiond, et si H₁, . . . , H_n−d sont des hyperplans en position générale contenantC, alorsC=H₁∩ · · · ∩H_n−d.

Démonstration. L’intersection est irréductible, de même dimension queCet contientC qui en est un fermé.

Adaptons l’algorithme précédent au cas d’une partie constructible d’un espace projectif. Considé-rons donc un fermé réduitY dePⁿdéfini par les équations homogènesf₁= 0, . . . , f_m= 0, et un ouvert X deY défini par des inéquations homogènesg₁6= 0, . . . , g_s6= 0. Notons, pour chaquei∈ {1. . . s},V_i le fermé dePⁿ défini parg_i. Soitd_X un majorant des degrés desf_i et desg_j. Construisons d’abord un ensembleS={H1, . . . , HD} d’hyperplans dePⁿ en position générale, avecD=sndⁿ_X+ 1.

Commençons par calculer les points isolés deY (dont font partie les points isolés deX). Ensuite, intersectonsY avec chacun des hyperplansHi. Les lemmes suivants montrent qu’alors toute compo-sante de dimension 1 deX intersecte au moins l’un desHi en un nombre fini non nul de points isolés, et que toute composante de dimension supérieure a une intersection non nulle avec au moins l’un desHi. Pour chaquei, la même procédure s’applique ensuite récursivement àY∩Hi. Elle s’arrête après une profondeur de récursion den. Au total, elle nécessite le calcul deO((sdⁿ_X)ⁿ) =O(sⁿdⁿ_X²)intersections, et pour chacune de ces intersections, la détermination des points isolés du fermé de Pⁿ défini par O(m+n) équations de degré O(dX). Chaque calcul d’intersection nécessite alors O((m+n)d^O(n)_X ) opérations dansk. La complexité totale du calcul est donc demsⁿd^O(n

2)

X opérations dansk.

Lemme B.4.8. SoitC une composante irréductible deX de dimension 1. Si S est un ensemble de sndⁿ_X+ 1 hyperplans en position générale alors il existeH ∈S tel queC∩H soit de dimension nulle et non vide.

Démonstration. NotonsC¯l’adhérence deCdansY : c’est un fermé dePⁿ. Pour touti, commeCn’est pas inclus dansVi, l’intersection deC¯ avecViest de dimension nulle. En particulier,C∩Viami 6dⁿ_X points, et le nombre de points deC∩(S

iVi)estm6sdⁿ_X. Comme les hyperplansHisont en position générale, chacun desmi points deC∩Vi est contenu dans au plus nd’entre eux. Par conséquent, en prenantnm+ 16nsdⁿ_X+ 1hyperplans de S, au moins l’un d’entre eux intersecteC¯ en un point qui n’est pas à l’infini.

Lemme B.4.9. SoitC une composante irréductible deX. NotonsdX = dim(X). SoitS un ensemble desndⁿ_X+ 1hyperplans en position générale. Il existeH1, . . . , Hd∈S tels queC∩H1∩ · · · ∩Hd soit de dimension nulle et non vide.

Démonstration. NotonsC¯ l’adhérence deCdansY. Pour chaque indicei∈ {1, . . . , s}, le lemmeB.4.1 assure que C¯ ∩V_i a au plus dⁿ_X composantes irréductibles. Il existe donc au plus sndⁿ_X hyperplans deS contenant l’une des composantes irréductibles de l’un desC¯∩V_i. Prenons-en un qui ne contient aucunC¯∩V_i, et notons-le H₁; en particulier, pour touti, la dimension de H₁∩C¯ estdim( ¯C)−1, et celle deH₁∩C¯∩V_i est égale àdim( ¯C)−2. Par conséquent,H₁∩C¯ contient un point deC. Il existe alors au plusnsdⁿ_X hyperplans deS contenant l’un desC¯∩H₁∩V_i; leur ensemble contient celui des hyperplans précédemment écartés contenant l’un desC¯∩Vi. Ceci fournitH2 qui ne contient aucune de ces intersections. Continuons ainsi jusqu’à obtenirH1, . . . , H_d−1. Le lemme B.4.8 permet alors de construireHd tel que tels queC⁰ := ¯C∩H1∩ · · · ∩Hd soit de dimension nulle, et contienne un point qui n’est dans aucun desVi, c’est-à-dire un point deC. Le nombre d’hyperplans en position générale à éviter est majoré parnsdⁿ_X; tout ensemble densdⁿ_X+ 1hyperplans en position générale contient donc un élément convenable.

Par conséquent, il suffit de construireO(nsdⁿ_X)hyperplans en position générale dans Pⁿ. Ceci se fait en temps(nsdⁿ_X)^O(n2)avec l’algorithme décrit dans la sectionB.3.1.

B.4.3 Le cas équidimensionnel

Cette méthode, bien plus élégante que celle présentée ci-avant, est décrite dans [Jin20, Alg. 8.5]. Soit X = Speck[x1, . . . , xn]/(f1, . . . , fm) un schéma affine de type fini surk dont toutes les composantes irréductibles sont de même dimensionr. Soitν:X →A^rk une normalisation de Noether deX. Lemme B.4.10. La restriction deν à toute composante irréductible deX est encore surjective.

Démonstration. SiCest une composante irréductible deX alorsν|C est encore un morphisme fini, et doncdim(ν(C)) = dim(C) = dim(X) =rpar équidimensionnalité deX. De plus, encore par finitude, ν(C)est un fermé deA^rk de dimensionr, il est donc égal àA^rk.

La fibreν⁻¹(0) = : SpecRintersecte donc chaque composante irréductible deX. Une décomposition primaire deR (présenté par générateurs et relations), qui est unek-algèbre finie, fournit pour chaque composante primaireCune base de Gröbner de son réduit. Ceci permet d’obtenir par factorisation une liste dek¯-points, qui contient au moins un élément de chaque composante irréductible. L’algorithme est donc composé de 4 étapes : un calcul de normalisation de Noether, une décomposition primaire, des calculs de bases de Gröbner d’idéaux zéro-dimensionnels puis des factorisations.

Nous n’avons pas précisé, dans la section sur les bases de Gröbner, la complexité des différents algorithmes ; cependant, la complexité de la normalisation de Noether décrite dans [Dic+91, Alg. 1.13]

est déjà, pour un idéal dek[x1, . . . , xn] engendré par m équations de degré maximal d, de l’ordre de m³d^O(n2). Il n’y a donc pas de gain de complexité notable par rapport à la méthode par recherche de points isolés d’intersections avec des hyperplans présentée dans la sectionB.4.2.2.