Alors∆˜ →∆ est un fibré projectif, et le cup-produit par la classe de O∆˜(1) dansH2( ˜∆, µn) définit pour tout entier natureliun morphisme surjectif
Hi(∆,Λ)→Hi+2( ˜∆, µn) de noyau l’image de
g?: Hi(∆, µn)→Hi( ˜∆, µn).
Le morphismeHi(X, µn)→Hi( ˜X, µn)est injectif, car il admet un inverse à gauche : le morphisme de Gysin
f?: Hi( ˜X, µn)→Hi(X, µn).
De plus, pour tout entier natureli, le morphisme˜i?: Hi( ˜X, µn)→Hi( ˜∆, µn)induit un isomorphisme Hi( ˜X, µn)
f?Hi(X, µn)
−∼→ Hi( ˜∆, µn) g?Hi(∆, µn). Le diagramme commutatif à lignes exactes
0 Hi(X, µn) Hi( ˜X, µn) Hi∆(X, µn) 0
0 Hi(∆, µn) Hi( ˜∆, µn) Hi−2(∆,Λ) 0
f?
˜i? ∼
g? g?
montre alors qu’il y a un isomorphisme :
f?⊕˜i?: H2( ˜X, µn)−∼→H2(X, µn)⊕H2( ˜∆, µn) d’inversef?⊕˜i?. En particulier,
H2(X, µn) = ker(H2( ˜X, µn) ˜i
?
−→H2( ˜∆, µn)) et pour touti6= 2,
Hi(X, µn) = Hi( ˜X, µn).
5. En déduire lesHi( ˜X, µn)à l’aide du théorème6.3.1.
Le calcul précis de la complexité de cet algorithme est encore à effectuer. Voici quelques indications en ce sens. NotonsU l’ouvert maximal de lissité deF. Le revêtement minimal V →U qui le trivialise est de degré|H1(Xη¯, µn)|=nO(2g) oùg est le genre de Xη¯. Il est modérément ramifié au-dessus de S = P1−U. Les fibres singulières X¯s sont des courbes nodales de genre géométrique g−1. Afin d’étudier précisément la complexité de l’algorithme, il conviendrait de déterminer d’une part le genre géométrique deY (qui dépend en particulier du cardinal deSet de la ramification à l’infini deY →U), et d’autre part la complexité des algorithmes calculant lan-torsion de la jacobienne d’une courbe définie surFq(t)sans hypothèse supplémentaire.
CHAPITRE VII
Problèmes ouverts
Pour finir, nous évoquons ici quelques questions restant sans réponse à l’issue de ce travail. Si cer-taines n’ont simplement pas pu être abordées par manque de temps, d’autres contiennent des difficultés réelles.
Faisceaux constructibles en dimension supérieure
Comme esquissé à la fin du chapitreIII, les représentations que nous avons données des faisceaux constructibles sur les courbes s’adaptent immédiatement à des variétés de dimension supérieure. Par contre, notre description des opérations effectuées sur ces faisceaux ne se généralise pas aussi facilement ; en particulier, il faudrait se passer du fait que le complémentaire de l’ouvert de lissité soit zéro-dimensionnel, qui a énormément facilité notre travail.
Cohomologie des faisceaux constructibles sur les surfaces
La question principale laissée en suspens par ce travail est le calcul de la cohomologie d’un faisceau constructible sur une surface lisse. Soit X une surface intègre lisse, munie d’un morphisme propre π: X → P1 admettant une section. Les méthodes du chapitre VI, qui utilisent une section de la fibration pour induire des scindages dans les suites exactes déduites de la suite spectrale de Leray, ne donnent des suites exactes courtes scindées que dans le cas des faisceaux constants. Afin de calculer la cohomologie d’un faisceau constructibleFquelconque surX, il conviendrait de calculer un complexe de faisceaux constructibles surP1représentantRπ?F. Une piste serait d’exploiter la forme des complexes de cohomologieRΓ(X¯s,F)des fibres deπcalculés dans la section V.3.1.
Cohomologie des faisceaux sur les courbes singulières
Nous avons montré comment calculer la cohomologie d’un faisceau constructible sur une courbe lisse ou nodale. Le calcul de la cohomologie d’une courbeX avec des singularités quelconques serait un prolongement naturel de ce travail. Il y aurait essentiellement deux difficultés à surmonter : la
première est la représentation des faisceaux constructibles sur une telle courbe, et la seconde est le calcul du revêtementX2 →X qui trivialise les Λ-torseurs sur X. Nos méthodes devraient s’adapter sans obstacle aux courbes à singularités ordinaires ; pour les autres, la construction de ce revêtement paraît en outre difficile.
Calcul de cup-produits
La description explicite de l’accouplement de Weil pour les courbes lisses sur les corps finis a été réalisée par Bleher et Chinburg (voir sectionII.4.4.2). D’autre part, nous avons montré comment calculer les cup-produits
H1×H1−→∪ H2
dans la cohomologie des faisceaux lisses sur les courbes projectives lisses ou nodales sur les corps finis ou algébriquement clos. Il reste à étudier ce calcul dans le cadre plus large des faisceaux constructibles.
En particulier, étant donné un faisceau lisseF sur ouvertU d’une courbe projective lisseX, il serait intéressant d’obtenir un calcul explicite de la dualité de Poincaré
H1c(U,F)×H1(U,F∨(1))−→∪ H2(X, µn)
à partir des complexes représentantRΓ(X, j!F)etRΓ(U,F∨(1))déterminés dans le chapitreV. Notre méthode utilisant la cohomologie des groupes ne peut pas s’y appliquer immédiatement, puisquej!F n’est pas localement constant. La difficulté de ce problème est encore difficile à évaluer.
Calcul de la n-torsion de la jacobienne sur les corps infinis
Le seul algorithme dont nous disposons actuellement pour déterminer lan-torsion de la jacobienne d’une courbe projective lisse sur un corps infini est celui de Huang et Ierardi. Un premier travail serait d’étudier sa complexité dans le cas des corps de fonctions, ce qui paraît fastidieux mais tout à fait faisable. S’il paraît difficile de mettre au point un algorithme plus efficace pour un corps quelconque, il serait tout de même intéressant de traiter le cas d’un corps de base fixé, par exempleQouFq(t). Le cas deFq(t)revêt une importance particulière, puisqu’il est le cas de base indispensable pour le calcul de la cohomologie des surfaces surFq, et donc pour le comptage de points sur ces surfaces.
Six opérations
L’objectif de calculer les 6 opérations dans Dcb(X,Λ), où X est une courbe intègre lisse sur k, paraît pour l’instant hors de portée. Toutefois, certaines opérations semblent plus simples à calculer.
Par exemple, pour un morphismef entre courbes lisses, les foncteurs Rif? se déterminent aisément comme décrit dans la sectionIII.4.5, et le calcul explicite du foncteurRf? paraît accessible. Le calcul deRf! devrait s’en déduire. Nous n’avons pas eu le temps de nous intéresser au calcul des foncteurs f!,RHomet⊗L, qui paraît difficile.
ANNEXE A
Corps calculables
A.1 Corps calculables et complexité
Calculabilité et classes de complexité Par fonction calculable, nous entendons toujours une fonction récursive au sens de [Odi89a, Def. I.1.7], c’est-à-dire une fonction calculable par une machine de Turing [Odi89a, Th. I.4.3]. Le mot algorithme désignera une machine de Turing qui s’arrête pour toute entrée.
La classe des fonctions primitivement récursives [Odi89a, Def. I.1.6] est la plus petite classe contenant la fonction nulle, la fonctionn7→n+1, les projectionsNr→N, et stable par composition et récursion. De façon informelle, les algorithmes primitivement récursifs sont ceux qui s’écrivent avec une successions de boucles "for" : ils ne font pas usage de recherches non bornées. La classe des fonctions élémentaires [Odi89b, Def. VIII.7.1] est la plus petite classe contenant la fonction nulle, la fonctionn7→n+ 1, la soustraction(x, y)7→max(0, x−y)et stable par composition, somme bornée et produit borné. Toute fonction élémentaire est primitivement récursive. Une fonction est élémentaire (resp. primitivement récursive) si et seulement si elle est calculable en un nombre d’opérations donné par une fonction élémentaire (resp. primitivement récursive) [Odi89b, Th. VIII.7.6, VIII.8.8]. Intuitivement, la différence principale entre ces deux classes est la suivante : les fonctions exponentielles à nombre d’étages borné indépendamment des entrées sont élémentaires, mais la tétration(n, x)7→x↑↑nne l’est pas.
Corps calculables Nous supposons que tous les corps rencontrés sont calculables et munis d’un algorithme de factorisation. Cela signifie que l’on dispose d’une représentation des éléments de k, d’algorithmes calculant la somme, l’opposé, le produit et l’inverse d’éléments dans k, ainsi que d’un algorithme calculant, étant donnéf ∈k[t], la décomposition def en produit de facteurs irréductibles.
Sikest calculable et muni d’un algorithme de factorisation, il en est de même de tout corps de fonctions rationnelles à coefficients dansk et de toute extension finie séparable de k [FJ08, Lem. 19.2.2]. Sik est calculable de caractéristiquep >0et est muni d’unep-base explicite (c’est-à-dire d’unekp-base de k) et d’un algorithme de factorisation, il en est de même pour toute extension finie dek[MO15, Prop.
12.5]. Comme les corpsQetFpvérifient ces hypothèses (voir sectionA.2.1pour la factorisation), tous les corps globaux sont calculables et disposent d’un algorithme de factorisation.
Complexité et opérations élémentaires Nous indiquerons les complexités en termes soit d’opé-rations binaires, soit d’opéd’opé-rations dansZen mentionnant la taille des entiers utilisés, soit d’opérations dans un anneau fixé. L’addition de deux entiers de longueur binairen nécessiteO(n)opérations bi-naires. L’algorithme de multiplication de Harvey et van Der Hoeven, basé sur la transformée de Fourier discrète, multiplie deux entiers de longueur binairenenO(nlogn)opérations binaires [Hv21, Th. 1.1].
Une addition, multiplication ou inversion d’un élément deZ/dZrequièrentO(log2d)opérations dansZ.
Une telle opération dans un quotientk[t]/(f)nécessiteO(log2degf)opérations dans le corpsk. Étant donné un entiermet un élémentxd’un anneau A, le calcul dexmnécessiteO(logm)multiplications dansA.
Algorithmes probabilistes Nous avons parfois recours à des algorithmes probabilistes. Il en existe deux grandes familles :
1. Les algorithmes de type Las Vegas renvoient toujours une réponse correcte, quitte à effectuer si nécessaire un grand nombre de tirages aléatoires ; nous indiquerons toujours leur complexité moyenne.
2. Les algorithmes de type Monte-Carlo font un nombre fixe de tirages aléatoires, et renvoient une réponse qui est correcte avec une certaine probabilité ; nous indiquerons toujours leur complexité dans le pire cas ainsi que la probabilité que la valeur renvoyée soit correcte.
A.1.1 Algèbre linéaire
A.1.1.1 Sur un corps
Définition A.1.1. La constante de l’algèbre linéaire, notée ω, est la borne inférieure de l’ensemble des réelsτ tels que pour tout anneauA, il existe un algorithme de multiplication de deux matrices de Matn×n(A)nécessitantO(nτ)opérations dansA.
Soitk un corps. Soit M ∈Matn×n(k). Les opérations suivantes s’effectuent encore avec la même complexité que la multiplication dansMn×n(k):
• calculer le déterminant deM [BCS97, Th. 16.7] ;
• calculer l’inverse deM si elle est inversible [BCS97, Prop. 16.6] ;
• échelonnerM [BCS97, Prop. 16.10].
Il est clair que ω > 2, puisque la matrice à calculer a n2 coefficients. D’autre part, l’algorithme de multiplication naïf nécessite O(n3) opérations dans k; nous utilisons cette majoration dans le manuscrit. Les algorithmes les plus efficaces sont des raffinements de l’algorithme de Coppersmith-Winograd présenté dans [CW90], et il est connu queω∈[2,2.3729[[VW12]. Les mêmes bornes (pour la multiplication et l’échelonnement) s’appliquent à des matrices rectangulaires M ∈ Mata×b(k) en prenant n = max(a, b) : il suffit d’ajouter des lignes/colonnes nulles pour se ramener au cas d’une matrice carrée.
Lemme A.1.2. [Zis21, §4.3.1, 4.3.2] Soientkun corps etk(t)le corps des fonctions rationnelles surk. SoitM ∈Matn×n(k(x))une matrice dont les entrées sont des quotients de deux polynômes de degrés au plusd. Alors le calcul de toutes les opérations citées ci-dessus se fait en O(n˜ 4d)opérations dansk, où la notationO(f˜ (n))signifieO(f(n) logβf(n))pour unβ >0.
A.1.1.2 Sur Z/dZ
SoitΛun anneau. La complexitéO(nω)de la multiplication des matrices est la même que dans le cas des corps. Il n’est cependant pas évident que cette complexité soit encore celle du calcul de noyaux
de morphismes deA-modules libres ou de la résolution de systèmes linéaires surA. Dans le cas où tous les idéaux deΛsont principaux, la forme normale de Smith permet de réaliser cette opération ; il existe des algorithmes pour la calculer dans le cas où Λ = Z [Sto96, §4] ou Z/dZ [Sto96, §3]. Cependant, ces algorithmes calculent seulement la forme normaleN d’une matriceM, et le calcul des matrices de transformationP, Q telles queM =P N Q est plus coûteux. Lorsque Λ =Z/dZ, la forme normale de Howell se prête particulièrement bien à la tâche. À chaque matriceM ∈Matn×m(Λ), on peut associer une unique matriceH(M)∈Matn×m(Λ)échelonnée vérifiant certaines conditions décrites dans [SM98,
§3] et une unique matriceP ∈GLn(Λ) telle queP M =H(M). En particulier,H(M) =H(N)si et seulement siker(M) = ker(N).
Proposition A.1.3. [SM98, Th. 4] Soientn, m, ddes entiers naturels non nuls. NotonsΛ =Z/dZ. Il existe un algorithme qui, étant donnéM ∈Matn×m(Λ), calcule sa forme normale de HowellH(M)et une matriceP ∈GLn(Λ)telle queP M =H(M)enO(max(n, m)ω)opérations dansΛ.
Cet algorithme permet en particulier de calculer le noyau d’une matrice, une famille génératrice de la réunion ou de l’intersection de sous-modules [SM98, §5, Tasks 1-3] avec cette complexité. Un Λ-module engendré par des éléments v1, . . . , vn vérifiant les relations linéaires a1, . . . , am sera décrit par la matriceM ∈Matn×m(Λ)dont il est le conoyau. La description des morphismes et le calcul des noyaux et conoyaux se fait exactement comme dans [MO15, 13.2]. Remarquons également que comme tout idéal de Λ est principal, un sous-module deΛn est toujours engendré par une famille d’au plus néléments qui se détermine simplement, ce qui fait que le nombre de relations entre les générateurs d’unΛ-module n’entre pas en compte dans le calcul de la complexité.