Nous allons maintenant décrire trois représentations différentes des faisceaux constructibles deΛ -modules sur une courbe intègre lisse surk. Tout d’abord, un faisceau constructible peut toujours être exprimé comme conoyau d’un morphisme de la formef!Λ→g!Λ, où f et g sont étales. De même, il peut être exprimé comme noyau d’un morphismep?M →q?N, où pet q sont finis etM, N sont des Λ-modules de type fini. Enfin, il peut être défini par recollement relativement à un ouvert sur lequel il est lisse.
III.3.1 Représentation comme conoyau "(!)"
Proposition 3.3.1. [SGA43, IX, Prop. 2.7] SoitAun anneau noethérien. SoientX un schéma quasi-compact et quasi-séparé etF un faisceau deA-modules surX. Pour queF soit constructible, il faut et il suffit qu’il soit isomorphe au conoyau d’un morphismef!A→g!A, oùf:X1→X et g:X2→X sont deux morphismes étales de présentation finie.
La preuve classique de cette proposition consiste à considérer pour chaque point x∈X un point géométrique x¯ d’image x, et chaque s∈ Fx¯ un schéma affine φ¯x,s:Tx,s¯ →X tel que s appartienne à l’image deF(T¯x,s)→ F¯x; cela signifie qu’il y a un morphisme(φx,s¯ )!Λ→ F dont l’image contient s. La constructibilité du faisceau permet alors d’appliquer un argument de noethérianité àL
¯ x,sφ¯x,s. En particulier, siX est une courbe intègre surk, cet argument de finitude peut être rendu explicite : siU est un ouvert de lissité de F, il suffit de considérer la fibre générique de U, ainsi que les fibres en les points du complémentaire zéro-dimensionnel deU. Pour la fibre générique, si φ:V →U est un revêtement trivialisant, le morphismeF(V)→ Fη¯ est un isomorphisme.
La représentation (!) Soit X une courbe intègre sur k. Un faisceau constructible F sur X sera représenté par deux morphismes étalesf:X1→X etg:X2→X ainsi que d’un morphismeu: f!Λ→ g!Λtel que F= coker(u); ce morphisme sera décrit explicitement de l’une des deux façons suivantes.
Représentation d’un morphismef!Λ→g!Λ Soientf:X1→X etg: X2→X deux morphismes étales. Les faisceauxf!Λ etg!Λsont représentables, et nous savons d’aprèsIII.2déterminer explicite-ment des schémas en groupesY1, Y2qui les représentent. Un morphismef!Λ→g!Λest alors simplement un morphisme de schémas en groupes Y1 → Y2. Un tel morphisme peut également être représenté de façon plus succincte : par adjonction, il est défini par la donnée d’un morphisme Λ → f?g!Λ, c’est-à-dire d’une section globale de f?g!Λ pour chaque composante connexe de X1. Comme f est étale, cela revient à se donner un élément de g!Λ(X1). Or [Fu15, p209] g!Λ(X1) est l’ensemble des s∈ Λ(X1×XX2) = Λπ0(X1×XX2) de support propre sur X1. Le support d’une telle section est une réunion de composantes connexes deX1×XX2 : il suffit de déterminer quelles composantes connexes sont propres (c’est-à-dire finies puisquef est étale, voir [Stacks, 02OG]) surX1.
Calcul du morphisme f!Λ→ F associé à une section de f?F Soitf:Y →X un morphisme étale. Il se décompose enf = gj, où j:Y → X0 est une immersion ouverte et g: X0 → X est fini localement libre. SoitF un faisceau lisse surX, représenté par un schéma en groupes fini étaleF →X. Soits∈H0(Y, f?F), qui correspond à un morphisme deY-schémas en groupes`
ΛY →F×XY. Par adjonction,s définit un morphisme j!Λ → g?F. Le faisceau j!Λ est représenté par X0t`
Λ−{0}Y. Lesn−1 morphismes Y →F×XX0 sont simplement les composées Y →F×XY →F×XX0. Le morphismeX0→F×XX0 est la section nulle, déduite de la section nulleX→F par changement de base. Ce morphismej!Λ→g?F donne à nouveau par adjonction un morphismef!Λ =g?j!Λ→ F, qui se calcule explicitement puisqueg?j!Λest la restriction de Weil RX0→X(j!Λ).
III.3.2 Représentation comme noyau "(?)"
Proposition 3.3.2. [SGA43, IX, Prop. 2.14.(ii)] Soit X un schéma de type fini sur un corps ou sur Z. SoitA un anneau noethérien. SoitF un faisceau constructible deA-modules sur X. Il existe des schémas noethériens intègresXi, i= 1, . . . , m, des morphismes finis pi:Xi →X et des A-modules de type finiMi tels qu’il y ait un monomorphisme
F ,→
m
M
i=1
pi?Mi.
La preuve classique de cette proposition consiste (dans le cas irréductible) à considérer une dé-compositionX = S
iUi en parties localement fermées telles que chaqueF |Ui soit lisse. Il existe des morphismes finis étalesUi0 →Uitels que chaqueF |U0
i soit constant. La normalisationXideUi0 fournit le morphismepi:Xi →X recherché. Notons que siX est normal, lesXi le sont aussi.
Description d’un morphismep?M →q?N SoitX une courbe intègre surk. Soientp:Y →X et q: Z→X des morphismes finis, avecY, Z intègres. SoientM, N deux groupes abéliens finis. Montrons, selon les dimensions deY etZ, comment décrire un morphismep?M →q?N, c’est-à-dire par adjonction un morphismeq?p?M →N.
1. SiY etZ sont deux courbes,p?M →q?N est un morphisme deX-schémas entre les restrictions de WeilRp(Y ×M)→Rq(Z×N).
2. SiZ est un point fermé deX,q?p?M est le faisceau de fibre(p?M)q=L
YqM sur le point. Un morphismeq?p?M →N est donc simplement un morphisme deΛ-modulesL
YqM →N. 3. SiY est un point fermé etZ est une courbe, montrons que le seul morphisme p?M →q?N est
le morphisme nul. Notonsjl’inclusion d’un ouvert deX ne contenant pasY. La transformation naturelleid→j?j? fournit un diagramme commutatif :
p?M j?j?p?M
q?N j?j?q?N
D’une part,j?j?p?M = 0. D’autre part, notonsq0: Z×XU →U et j0: Z×XU →Z. Le mor-phismeq?N →j?j?q?N est un isomorphisme, car il s’identifie via les isomorphismes canoniques j?q?N −∼→q0?j0?N etN −∼→j?0j0?N au morphisme identité deq?N. Par conséquent, le morphisme p?M →q?N est nul.
La représentation(?) Reprenons les notations de la proposition3.3.2, en supposant queX est une courbe intègre sur k. En appliquant la proposition au conoyau G de F → L
ipi?Mi, le faisceau F s’exprime comme le noyau d’un morphismeL
ipi?Mi →L
jqj ?Nj. La représentation(?)deF est la donnée de ces morphismespi?Mi→qj ?Nj, décrits explicitement comme dans le paragraphe précédent.
III.3.3 Représentation par recollement "(t)"
Soient X une courbe intègre sur k et F un faisceau constructible sur X. Soit U un ouvert de X sur lequel F est localement constant. Notons Z le fermé réduit complémentaire. Notons j: U → X, i:Z→X les inclusions, etz1, . . . , zrles points fermés deZ. Par recollement (voir sectionI.2.6),F est uniquement déterminé par les données suivantes :
• le faisceau lisseL =j?F;
• le faisceauFZ=i?F, défini par les groupes abéliens finisFz1, . . . ,Fzr;
• le morphisme de recollementφ:FZ →i?j?L.
Nous appellerons représentation par recollement ou représentation(t) de F par rapport à(U, Z) la donnée du triplet(L,FZ, φ). Toute donnée de cette forme définit un faisceau constructible surX. Le carré suivant, où les flèches non étiquetées désignent les unités d’adjonction, est alors cartésien.
F i?FZ
j?L i?i?j?L
i?φ c
SoitY →X étale. Le diagramme cartésien ci-dessus montre que
F(Y) ={(s, t)∈i?FZ(Y)×j?L(Y)|i?φ(s) =c(t)}.
D’une part,
i?FZ(Y) =FZ(Y|Z) =
r
M
i=1
M
y∈Yzi(k)
Fzi.
D’autre part,j?L(Y) =L(Y|U)et le morphisme j?L(Y)→i?i?j?L(Y) =
r
M
i=1
M
y∈Yzi(k)
(j?L)zi
envoie une sections∈L(Y)sur(szi)i∈{1...r},y∈Yzi(k). En résumé :
F(Y) ={(s, t)∈(
r
M
i=1
M
y∈Yzi(k)
Fzi)×j?L(Y)| ∀i∈ {1. . . r},∀y∈Yzi(k), φ(szi,y) =tzi}.
Remarque 3.3.3. Nous disposons de deux moyens pour déterminer la fibre en chaque zi de j?L. D’une part, siL est donné comme un U-schéma en groupes fini étale, le schémaF représentantj?L se calcule comme décrit en3.2.2, et la fibre dej?L enzi est simplementF×Xzi. Afin de déterminer cette fibre explicitement comme groupe fini, il est nécessaire de déterminer ses points. D’autre part, siX est lisse etL est donné par un revêtement trivialisantX0 →X et une action deAut(X0|X)sur F:=F(X0), alors(j?L)zi=FIzi , oùIzi⊂Aut(X0|X)désigne le stabilisateur dansAut(X0|X)d’un antécédent dezi. Il suffit donc de déterminer ces groupes d’inertie.
Remarque 3.3.4. Le faisceau constructible défini par(L,FZ, φ) est lisse si et seulement si la fibre M deL est invariante sous les groupes d’inertie Iz, z∈Z et le morphismeφest un isomorphisme.
III.3.4 Représentation (t) d’un faisceau constructible représentable
SoitX une courbe intègre surk. SoitF un faisceau constructible surX représenté par un schéma étaleF →X. Montrons comment représenterF par recollement. Commef est étale, il est quasi-fini.
Soitj:U →X un ouvert tel queF0 :=F×XU, qui représente alorsj?F, soit fini surU. NotonsX0 le normalisé deX dans F, qui est encore le normalisé de X dans l’ouvertF0 deF : la situation est résumée par le diagramme commutatif suivant.
F0 F X0
U X
CommeF→Xest étale,F est inclus dans le lieu étale deX0 →X, qui représentej?j?F. Ceci fournit directement la flèche injectiveF →j?j?F, qui sur les fibres en les points deX−U donne le morphisme de recollement.
Un morphismef: F→Gde schémas finis étales surX, peut également être représenté par recollement, en choisissant pourU un ouvert sur lequel les deux schémas sont finis. Le morphisme de faisceaux lisses f|U surU est alors simplement un morphisme de schémas en groupes, et le morphisme sur la fibre en un pointz: Speck→X−U est simplementFz→Gz.
III.3.5 Équivalence entre (?) et (t)
SoitX une courbe intègre lisse surk. SoitF un faisceau constructible surX.
(?) → (t) Voici comment donner une représentation par recollement d’un faisceau défini par une représentation(?). Dans cette représentation, le faisceau est somme directe de noyaux de morphismes de la formep?M →q?Noùp, qsont des morphismes finis de cibleX. Il suffit donc de savoir représenter par recollement un faisceau de la forme p?M avecp:Y →X fini, ainsi que les morphismes entre de tels faisceaux. Il y a deux cas à considérer :
1. SiY est une courbe lisse,p?M est la restriction de WeilRp(Y ×M), qui est étale surX [Sch94, Prop. 4.9]. Nous avons décrit dans la section III.3.4 comment représenter par recollement les (morphismes de)X-schémas étales.
2. SiY est l’inclusion d’un point fermé deX, le faisceaup?M est constant surX−Y de valeur 0, a pour fibreM enY, et son morphisme de recollement est nul.
(t) → (?) Supposons F représenté par recollement relativement à un ouvert de lissité j: U → X et son fermé réduit complémentaire i:Z → X. Soit V un revêtement galoisien de U trivialisant le faisceau lissej?F de fibreM. Nous avons décrit dans la sectionIII.1.1comment calculer unU-schéma F représentantj?F. La normalisationp:V0 →X deX dansV fournit un premier morphisme fini ; les inclusionsz: Speck→X des points de Z fournissent les autres. Décrivons par recollement l’injection
φ:F −→p?M ⊕M
z∈Z
Fz.
SurU, c’est le morphisme
j?F −→j?p?M =j?p?p?F=p|U ?p|U
?j?F
obtenu en appliquant l’unité d’adjonctionid→p|U ?p|?U au faisceau lissej?F. En termes de schémas, c’est le morphismeF→RY→X(F×UV)qui est calculable explicitement (voir annexeB.5). Surz∈Z, le morphismeφest l’injection0⊕ Fz→MIz⊕ Fz. Cette description deφpar recollement permet de calculercokerφ, et d’obtenir par la même procédure une injection
cokerφ→q?N⊕ M
w∈W
w?Nw
oùqest la normalisation deX dans un schéma étale surX, etW est un fermé zéro-dimensionnel de X. Le morphisme
p?M ⊕M
z
z?Fz→q?N⊕M
w
w?Nw
qui s’en déduit a pour noyau F. Ce morphisme est représenté de la façon suivante. Le morphisme p?M →q?N est la composée
p?M −→j?cokerφ−→q?N.
Il est décrit par le morphisme correspondant entre restrictions de Weil. Les morphismes p?M⊕M
z
z?Fz→M
w
w?Nw
sont décrits fibre à fibre.
III.3.6 Équivalence entre (!) et (t)
SoitX une courbe intègre lisse surk. SoitF un faisceau constructible surX.
(!)→(t) Étant donné une représentation de F commecoker(u:f!Λ→g!Λ), oùf estg sont étales de type fini, il est possible de calculer explicitement le morphisme deX-schémas étales représenté par u. Nous avons décrit dans la sectionIII.3.4 comment donner une représentation par recollement d’un tel morphisme.
(t)→(!) SupposonsF défini par recollement relativement à un couple ouvert-fermé
U j X i Z
par la donnée d’un faisceau lisseL sur U trivialisé par un revêtement étale V, des fibresFz en les points deZ et un morphismeφ:i?F →i?j?L. Remarquons que la preuve de la proposition3.3.1est constructive, mis à part pour la détermination, pourz∈Zets∈ Fz, d’un morphisme étalef:T →X tel que l’image deF(T)→ Fz contiennes.
Soient doncz∈Z ets∈ Fz. Rappelons que F=j?L ×i?i?j?L i?i?F. Par conséquent, l’image de F(T)→ Fz contientssi et seulement si l’image de spar le morphisme de recollementφT:i?F(T) = L
zFz →i?j?L(T) =L
z(j?L)z a un antécédent par j?L(T) →L
z(j?L)z. Notons G le schéma représentantL. Le faisceauF0:=j?L est représentable par un schéma étaleF surX et la fibreFz0 est simplementF×Xz. Le diagramme commutatif suivant résume les notations.
G F Fz
U X z
Dans le cas où F est lisse sur X, l’algorithme classique consiste à construire par changements de base successifs un revêtement étaleY →X qui trivialise F; le morphisme F(Y)→ Fz est alors un isomorphisme. L’algorithme suivant, qui s’inspire de celui-ci, permettra d’obtenir le schéma souhaité pour les faisceaux constructibles.
Posons U0 = U, X0 = X, F0 = F, G0 = G et z0 = z. L’algorithme construit une suite (Xi, Ui, Fi, Gi, zi)i>0 de la façon suivante. Soit i ∈ N. Soit C une composante connexe de Gi. No-tonsY le lieu étale de la normalisation deXi dansC.
• Sideg(C→Ui)>1et la fibreYziest non vide, soitzi+1∈Yzi. Posons alorsUi+1 =C,Xi+1 =Y, Gi+1=Gi×UiC etFi+1=Fi×XiY.
• Sinon, on revient au choix deC; si pour toute composante connexeC deGi,deg(C→Ui)>1 ouYzi est vide, l’algorithme s’arrête et renvoieYf :=Xi.
Cet algorithme s’arrête au bout d’un nombre fini d’opérations : en effet, pour chaque entier i ∈ {0. . . if−1},Gi+1a strictement plus de composantes connexes queGialors quedeg(Gi+1→Ui+1) = deg(G→U). Notonsif la valeur de l’indice i lorsque l’algorithme termine. Nous allons prouver que F(Yf)→ Fz est surjectif.
Lemme 3.3.5. Pour tout entieri∈ {0. . . if}, ji,?(Gi) =Fi.
Démonstration. Montrons-le par récurrence sur l’entieri. L’assertion concernantF0 vient directement de sa définition. Soit désormaisi tel queji,?(Gi) =Fi. SoientC la composante connexe deGi choisie
etY la normalisation deXi dansC. Il y a un diagramme commutatif :
Gi+1 Fi+1
Gi Fi
C Y
Ui ji Xi
Nous savons que ji+1,?(Gi+1) est le lieu étale de la normalisation Y˜ de Y dans Gi. De plus, par hypothèse de récurrence,ji,?Gi =Fi est le lieu étale de la normalisation X˜i de Xi dansGi. Comme le morphismeY →Xi est lisse, le changement de base− ×XiY commute à la normalisation [Stacks, 03GV] etY˜ = ˜Xi×XiY. Enfin, commeY est plat surXi etX˜i→Xi est de présentation finie, le lieu étale deX˜i×XiY →Y est le changement de base àY du lieu étale deX˜i→Xi [Stacks, 0476]. Cela signifie que le lieu étale deY˜ →Y, qui représenteji+1,?(Gi+1), est Fi+1.
Lemme 3.3.6(3.3.6.0.2). Si, pour toute composante connexeC deGi telle quedeg(Ci→Ui)>1, le lieu étale de la normalisation deXidansCne contient aucun point au-dessus dezi, alors le morphisme Fi(Xi)→Fi,zi est un isomorphisme.
Démonstration. Écrivons Gi = F
αCα. Alors ji,?Gi est représenté par Fi = F
αXi,α, où Xi,α est le lieu étale de la normalisation deXi dansCα. La normalisation deXi dansUiétantXi,
ji,?Gi= a
deg(Cα→Ui)=1
Xt a
deg(Cα→Ui)>1
Xi,α.
Par conséquent, l’hypothèse assure que
|Fi,zi|=|{α|deg(Cα→Ui) = 1}|=:d.
De plus, pour toutT →Xi voisinage étale dezi, Fi(T) =Gi(T ×XU)contient au moinsdéléments (les flèchesT ×XiUi →Cα avecdeg(Cα →U) = 1), qui sont préservés par les flèches de restriction Fi(T) → Fi(T0) et sont donc encore distincts dans Fi,zi = colim(T ,t)→(Y,z)Fi(T). Enfin, Fi(Xi) = Gi(Ui) contient exactementd éléments, puisque commeGi →Ui est fini étale, les sections Ui → Gi
sont en bijection avec les composantes connexes deGi de degré 1 surUi. Proposition 3.3.7. Le morphismeF(Yf)→ Fz est un isomorphisme.
Démonstration. À chaque étape de la boucle,Fi,zi =Fz et commeFi→F est étale,Fi(Xi) =F(Xi). Par conséquent, lorsque l’algorithme s’est arrêté,F(Xi) → Fz est un isomorphisme. Choisissons un ouvertY0 deYf ne contenant qu’un seul point au-dessus deZ, d’imagez. AlorsF(Y0) =F(Yf)et le morphismeF(Y0)→Fz est encore un isomorphisme. Rappelons que
Fz = colimT→(X,z)[F |Z(T ×XZ)×F(T×XZ)F(T)]
et que la catégorie des voisinages étales connexesT de(X, z)n’ayant au-dessus deZ qu’un seul point d’imagez est cofinale dans celle des voisinages étale de(X, z). Par conséquent, Fz = colimTFz×Fz
F(T). Le morphismeF(Y0)→Fzétant bijectif, le morphismeF(Y0)→ Fzl’est encore. Par conséquent, le morphismeF(Yf)→ Fz l’est aussi.