RESPONSABILITE ET COMPETENCE DANS L’EXERCICE PHARMACEUTIQUE :

Nesta secção, parte-se do trabalho de Anna Sfard, e pretende-se traçar um quadro teórico que permite investigar a forma como podemos conceber os conceitos matemáticos, usando uma visão ontológico-psicológica. A partir da análise de diferentes representações e definições matemáticas pode concluir-se que as noções abstractas podem ser concebidas de duas formas fundamentalmente diferentes: estruturalmente, como objectos, e operacionalmente, como processos (Sfard, 1987, 1991, 1992; Sfard e Linchevki, 1994). Estas duas abordagens embora ostensivamente incompatíveis, são complementares. Vai ser possível mostrar que os processos de aprendizagem podem ser explicados com base numa inter-relação entre as concepções operacional e estrutural das mesmas noções. Com base em exemplos históricos e à luz de algumas teorias cognitivas Sfard vai mostrar que a concepção operacional é normalmente o primeiro passo na aquisição de novas noções matemáticas. Através da análise dos estádios da formação dos conceitos conclui que a transição do modo operacional para os objectos abstractos é um processo longo e difícil composto pelas fases de interiorização, condensação e reificação que serão abordadas em pormenor mais adiante.

O ponto de partida para o desenvolvimento desta perspectiva parece prender-se com preocupações de natureza educacional onde há uma tomada de consciência das dificuldades dos alunos em lidar com o processo de abstracção dos conceitos matemáticos (Sfard, 1987, 1989, 1991, 1992; Sfard e Linchevski, 1994). Reflectindo sobre estas dificuldades, Sfard admite que elas possam estar relacionadas com a génese dos próprios objectos matemáticos, comentando que pela sua inacessibilidade a Matemática parece ultrapassar todas as outras disciplinas científicas e portanto tem que haver algo de especial e único envolvido neste tipo de pensamento (Sfard, 1991). Para compreender este fenómeno ela considera que há uma questão fundamental que deve ser colocada: “como é que a abstracção matemática difere dos outros tipos de abstracção na sua natureza, na forma como se desenvolve e nas suas funções e aplicações?”.

Na tentativa de responder a esta questão a autora avança no sentido de uma teoria que envolva em simultâneo a Filosofia e a Psicologia da Matemática, que dê a mesma atenção à matemática em pensamento e à matemática pensada, ambas como processo e produto. Para

isso ela vai procurar “um insight filosófico sobre a natureza dos conceitos matemáticos” (Sfard, 1991, p. 2), analisando os discursos dos matemáticos na viragem dos séculos XIX-XX relativos aos problemas fundamentais sobre a natureza do pensamento matemático e “compreender com profundidade os processos psicológicos no seio dos quais tais processos emergem” (p. 2) usando para tal a epistemologia genética piagetiana. É neste contexto que a autora considera estar perante uma perspectiva ontológico-psicológica, pois tenta abordar em simultâneo a natureza das entidades matemáticas – aspecto ontológico – a forma como estas são compreendidas pelo indivíduo – aspecto psicológico.

O facto de se usar as duas perspectivas anteriores permite conduzir a constructos matemáticos que podem ser referidos por palavras diferentes consoante a perspectiva assumida num dado momento. Assim, segundo Sfard, a palavra conceito (concept) – por vezes substituída por noção (notion) – deve ser usada sempre que se pretende expressar a sua forma “oficial” – como um constructo teórico no universo do conhecimento ideal, enquanto que a palavra concepção (conception) representa o grupo completo de representações e associações evocadas pelo conceito – sendo o duplicado dos conceitos no universo interno e subjectivo do conhecer humano.

Se olharmos para o mundo da matemática tal como ele se expressa através das suas representações e descrições formais, ele aparece povoado por certos objectos matemáticos que têm traços bem determinados e estão sujeitos a processos governados por leis bem definidas. Os matemáticos descrevem propriedades de conjuntos e números, tal como um cientista apresenta a estrutura das moléculas ou dos cristais. Sfard (1991) considera no entanto que, ao contrário do cientista, os constructos matemáticos avançados são totalmente inacessíveis aos nossos sentidos (apenas podem ser vistos pelos olhos da mente). Assim, quando desenhamos uma função ou escrevemos um número estamos a realçar que o signo no papel não é mais do que uma das muitas representações possíveis daquela entidade abstracta que por si só não pode ser vista nem tocada. A possibilidade de alguém ser capaz de ver estes objectos invisíveis parece ser uma componente essencial da capacidade matemática, enquanto que a falta desta capacidade pode ser uma das principais razões para que a matemática pareça praticamente impermeável para muitas “mentes bem formadas” (Sfard, 1991, p. 3). Este tipo de concepção, que parece prevalecer na matemática actual, é designada pela autora como concepção estrutural e assenta na capacidade de ver uma entidade matemática como um objecto, o que significa ser capaz de o referir como se ele fosse uma coisa real – uma estrutura estática que existe algures no espaço e no tempo. Ela pode ser, também, caracterizada pelo

facto de permitir reconhecer a ideia num ápice e de a manipular como um todo, sem entrar em detalhes.

Esta não é no entanto a única forma de conceber as noções matemáticas. Por vezes, é possível encontrar definições em livros de texto que revelam uma abordagem bastante diferente. Por exemplo, em vez de definir uma função como um conjunto de pares ordenados, ela aparece ligada a um certo processo computacional ou como um método de obter um sistema de outro. Este tipo de abordagem refere-se essencialmente a processos, algoritmos e acções reflectindo uma concepção operacional da noção (Sfard, 1991). Assim, interpretar a noção como um processo implica olhá-la como uma entidade potencial que se manifesta através de uma sequência de acções. Temos assim que, enquanto a concepção estrutural é estática, instantânea e integrativa, a operacional é dinâmica, sequencial e detalhada. Apesar das diferenças entre as duas concepções a autora considera que elas não são mutuamente exclusivas. Embora ostensivamente incompatíveis, elas são de facto complementares e indispensáveis para uma compreensão profunda da Matemática.

São vários os exemplos de noções matemáticas onde é possível verificar a coexistência das duas concepções, como se pode ver no quadro 2.1.

Quadro 2.1. Exemplos de noções matemáticas do tipo estrutural e operacional. Tópico matemático Concepção estrutural Concepção operacional

Função Conjunto de pares ordenados (à la Bourbaki)

Processo computacional ou

um método bem definido de obter um sistema a partir de um outro

(Skemp, 1971) Simetria Propriedade de uma figura

geométrica

Transformação de uma figura geométrica

Número natural Propriedade de um conjunto ou

a classe de todos os conjuntos com a mesma cardinalidade finita

0 (zero) ou qualquer número que resulte da adição de um com um número natural

(contar) Número racional Par de inteiros

(um elemento de um conjunto de pares especialmente definido)

Divisão de inteiros

Circunferência O conjunto de todos os pontos equidistantes de um dado ponto

Rotação de um compasso em torno de um ponto fixo

Nota: Adaptado de Sfard (1991, p. 5).

Esta dualidade das noções matemáticas pode ser vista não apenas nas descrições verbais, mas sobretudo através dos vários tipos de representações simbólicas, onde algumas parecem ser mais susceptíveis de interpretação estrutural que outras. Tomando como exemplo a função

4 3x

y= (figura 2.8) podemos ver que três representações distintas podem conduzir a abordagens bastante diferentes. O programa de computador corresponde a uma concepção operacional uma vez que apresenta a função como um processo computacional.

Gráfico Expressão algébrica Programa de computador

4

3x

y

=

10 INPUT X 20 Y = 1 30 FOR I = 1 TO 4 40 Y = Y * X 50 NEXT I 60 Y = 3 * Y

Figura 2.8. Diferentes representações de uma função (adaptado de Sfard, 1991, p. 6).

A representação gráfica parece corresponder a uma abordagem estrutural, pois há uma infinidade de componentes da função que aparecem combinadas numa linha regular podendo ser interpretadas como um todo integrado. A representação algébrica pode ser interpretada de ambas as formas, como operacional pelo facto de poder descrever de forma concisa determinados cálculos ou como estrutural se pensarmos numa relação estática entre duas magnitudes.

Comparando estas duas concepções com outras utilizadas por autores como por exemplo Clements, Bishop, Eisenberg ou Dreyfus (onde o processamento mental do conhecimento pode levar a que os conceitos matemáticos, nalgumas ocasiões sejam entendidos com base em imagens mentais, enquanto que noutras as mesmas ideias são manejadas com base na sua representação verbal), Sfard considera que, por exemplo, a abordagem dos conceitos com base em imagens mentais apresenta uma estrutura próxima da concepção estrutural. Estas imagens são de alguma forma compactas e integrativas e podem ser manipuladas como objectos reais. Elas preservam a sua identidade e significado mesmo quando observadas de diferentes pontos de vista e em contextos diferentes. Já no que se refere às representações verbais elas devem ser processadas de forma sequencial sendo mais apropriadas para representar procedimentos computacionais. Assim as representações internas não pictoriais parecem ser mais pertinentes para um modo de pensamento operacional.

Segundo Sfard (1991) é possível encontrar na literatura um vasto conjunto de dicotomias na caracterização do universo matemático: para Halamos a matemática pode ser abstracta ou algorítmica, para Anderson pode ser declarativa ou processual, para Henrici é dialéctica ou

Y

algorítmica, Piaget faz distinção entre figurativa e operativa, Skemp distingue entre instrumental e relacional, etc. A divisão entre estrutural e operacional feita por Sfard apresenta duas características que a distinguem das anteriores: a sua natureza ontológico- psicológica combinada e a sua complementaridade. Assim, as vantagens desta abordagem estão (a) no facto de ela se focar na natureza das entidades matemáticas (resultado ontológico) tal como são percebidas pelo indivíduo (perspectiva psicológica) e (b) contrariamente às distinções feitas pelos outros autores, em vez de decompor o conhecimento em componentes separadas, tenta uma abordagem onde prevalece a complementaridade das duas perspectivas. É neste sentido que Sfard prefere falar de dualidade em vez de dicotomia, quando se refere às concepções estrutural e operacional.

Quando falamos sobre objectos matemáticos devemos ser capazes de lidar com produtos de alguns processos sem estarmos preocupados com os próprios processos. Esta capacidade parece apontar no sentido de que a abordagem estrutural deve ser vista como um estado mais avançado do desenvolvimento dos conceitos. É a partir da análise histórica da formação de alguns conceitos matemáticos que Sfard vai defender a conjectura de que a concepção operacional deve preceder a estrutural. Tomando como exemplo a noção de número, a autora mostra a existência da concepção operacional muito antes da sua concepção estrutural ter sido estabelecida. A figura 2.9 sintetiza a evolução histórica da noção de número como um processo cíclico em que a mesma sequência de acontecimentos pode ser observada repetidas vezes, dando origem a um novo tipo de número. Os segmentos recorrentes representam um processo mais ou menos lento que é composto de três fases (Sfard, 1991):

(1) um estádio pré-conceptual onde os matemáticos estão a usar certas operações sobre os números já conhecidos, onde as manipulações rotineiras são apenas tratadas como processos;

(2) um longo período com uma abordagem predominantemente operacional, durante a qual um novo tipo de número começa a emergir fora dos processos familiares. Neste estádio é introduzido um nome para o novo número, que não passa de um nome fictício para realizar certas operações em vez de ter o significado de um objecto “real”;

(3) a fase estrutural, quando o número em questão é eventualmente aceite como um objecto matemático acabado.

Figura 2.9. Desenvolvimento do conceito de número segundo Sfard (1991, p. 13).

Em resumo, a história dos números pode ser interpretada como uma cadeia de transições das concepções operacionais para as estruturais. Os processos realizados sobre determinados objectos abstractos vão-se convertendo num todo compacto, (ou reificados como veremos adiante), para se tornarem num novo tipo de constructos estáticos independentes. Para Sfard este tipo de modelo pode ser aplicado a muitas outras ideias matemáticas.

Não obstante esta tendência para conceber os objectos matemáticos a autora faz uma ressalva para o caso da Geometria. Aqui as representações gráficas estáticas aparecem de uma forma mais natural que qualquer outra representação, podendo provavelmente ser concebidas estruturalmente mesmo antes de tomar consciência de descrições processuais alternativas. Tomando como exemplo o caso da circunferência, ela pode ser inicialmente introduzida com base em formas aproximadamente redondas, no entanto, Sfard considera que a partir do momento em há uma lei para esta forma (o algoritmo para obter a circunferência) na mente, o indivíduo é capaz de expressar a propriedade de uma nova forma. Embora este cenário seja menos favorável, historicamente a maioria dos conceitos matemáticos parece seguir o modelo de uma concepção operacional a anteceder a sua concepção estrutural.

A partir da perspectiva histórica parece destacar-se o facto de a formação da concepção estrutural ser um processo lento e bastante difícil, pelo que devem ser analisadas as fontes de tais dificuldades. Assim deve também ter-se em atenção o ponto de vista psicológico, ou seja, se quando uma pessoa se familiariza com uma nova noção matemática a concepção operacional continua a ser a primeira a ser desenvolvida. Sfard considera que aquilo que é possível observar através da perspectiva histórica também pode ser usado para descrever o processo de aprendizagem.

Esta abordagem pode, no entanto, levantar algumas objecções que, segundo Sfard (1991), devem ser esclarecidas antes de apresentar a perspectiva psicológica do modelo de formação dos conceitos. A primeira objecção prende-se com o facto de, com base na perspectiva histórica, parecer haver um curso natural de acontecimentos nos processos que dificilmente pode ser entendido como espontâneo. A aprendizagem da Matemática, sobretudo nos níveis mais avançados, parece ter lugar a partir da intervenção externa (do professor, do livro) e por isso ser dependente deste tipo de estímulos. Assim, do ponto de vista psicológico considerar que o operacional deve vir antes do estrutural pode ser entendido como uma mera prescrição para o ensino. Sfard considera no entanto que o modelo que propõe se baseia na suposição de que no processo de aprendizagem podem ser identificadas algumas características constantes que são mais ou menos imunes aos estímulos externos. A precedência da concepção operacional sobre a estrutural é vista como uma dessas invariantes. A segunda objecção que pode ser feita está relacionada com o facto de o modelo de aquisição dos conceitos poder ser visto como uma mera projecção da história sobre a psicologia. São no entanto vários os autores que defendem a origem operacional das noções matemáticas sem qualquer referência à história. Por outro lado, considerando que a abordagem estrutural é mais abstracta que a operacional, e se, do ponto de vista filosófico, os números não são basicamente mais do que processos ou se fazer coisas é a única forma de alguém “estar em contacto” com constructos abstractos, então devemos esperar que para chegar a uma concepção estrutural é necessário previamente ter uma compreensão operacional.

O processo da formação dos conceitos, baseado na perspectiva do desenvolvimento histórico, surge assim composto por três estádios que correspondem a três graus de estruturação crescente: interiorização, condensação e reificação, como esquematizado na figura 2.10 (Sfard, 1991).

No estádio de interiorização o indivíduo familiariza-se com os processos que eventualmente vão dar origem a um novo conceito. Por exemplo podemos considerar o processo de contar que conduz aos números naturais, a subtracção como forma de levar aos números negativos ou a manipulação algébrica que pode levar às funções. Estes processos e

operações são realizados sobre objectos matemáticos de nível inferior e gradualmente o indivíduo vai ficando perito na sua realização. No caso dos números negativos será o estádio em que o indivíduo realiza subtracções com destreza. No caso dos números complexos será quando ele conseguir adquirir uma alta competência no uso de raízes quadradas.

Figura 2.10. Modelo de formação dos conceitos (Sfard, 1991, p. 22).

A fase da condensação é um período de compressão de longas sequências de operações em unidades mais fáceis de manejar. Os indivíduos mostram-se cada vez mais capazes de pensar sobre um dado processo como um todo sem sentirem necessidade de entrar em detalhes. É nesta fase que podemos considerar que nascem os novos conceitos. Graças à condensação podemos considerar que a combinação entre vários processos, a realização de comparações e a generalização se tornam muito mais fáceis. O progresso neste estádio pode

manifestar-se por vezes na facilidade em alternar entre as diferentes representações do conceito. No caso dos números negativos a condensação pode ser manifestada por exemplo na habilidade dos alunos em realizarem manipulações aritméticas tais como adicionar ou multiplicar números negativos e positivos.

A fase da condensação dura enquanto a nova entidade permanecer firmemente ligada a um determinado processo. Apenas quando a pessoa for capaz de conceber a noção como um objecto acabado é que podemos dizer que o conceito foi reificado. A reificação refere-se à súbita capacidade para ver algo familiar de uma forma totalmente nova. O indivíduo consegue subitamente ver uma nova entidade matemática como um objecto completo e autónomo com significado próprio. Assim, enquanto a interiorização e a condensação são mudanças graduais e quantitativas a reificação é um salto instantâneo: o processo solidifica num objecto, numa estrutura estática. A nova entidade é rapidamente desligada do processo que lhe deu origem e começa a adquirir o seu significado pelo facto de pertencer a uma determinada categoria. Este estádio é também o ponto onde começa a interiorização de conceitos de nível superior. Por exemplo no caso dos números negativos a reificação reside no facto de o indivíduo ser capaz de os tratar como um subconjunto do anel dos inteiros (sem necessariamente ter consciência da definição formal de anel). No caso das funções a reificação pode ser evidenciada pela capacidade em resolver equações em que as incógnitas são funções (equações diferenciais, equações com parâmetros), pela disponibilidade em falar sobre propriedades gerais de diferentes processos que podem ser realizados sobre funções (composição, inversão) ou admitir que o cálculo não é uma característica necessária dos conjuntos de pares ordenados que são vistos como funções. Pela forma como o modelo é apresentado deve ser entendido como uma hierarquia, o que implica que um estádio não pode ser atingido antes de todos os passos anteriores serem dados (figura 2.10).

O desenvolvimento deste modelo é influenciado pelo ensino. De entre as várias condições que possam advir desse processo, há uma que Sfard considera como essencial, que é o papel potencial dos nomes, símbolos, gráficos e outras representações nas fases da condensação e reificação. Por exemplo a introdução da recta real pode ser vista como fulcral para a reificação dos números negativos ou a utilização do plano de Argand pode ser vista como um passo decisivo para tornar os números complexos em objectos matemáticos legítimos (Sfard, 1991).

Uma questão importante que se coloca, quer na identificação dos vários estádios propostos no modelo de Sfard, quer na utilização do mesmo para analisar dados empíricos prende-se com o facto de estarmos a lidar com as crenças implícitas dos alunos sobre a natureza dos objectos matemáticos. Como não podemos investigar o problema de forma

directa, será necessário recorrer às características externas manifestadas pelos comportamentos, atitudes e capacidades dos alunos. O resultado desta abordagem pode assim servir como uma ferramenta de diagnóstico ou mesmo de medida da habilidade dos alunos para pensarem estruturalmente sobre um dado conceito (Sfard, 1991, 1992).

O modelo de formação dos conceitos acima descrito implica que certas noções matemáticas devem ser consideradas como completamente desenvolvidas apenas quando puderem ser concebidas quer operacional quer estruturalmente. No entanto, é possível manipular e apresentar todas as noções matemáticas, teoremas e demonstrações de uma forma puramente operacional. Assim sendo, parece legítimo colocar a questão se de facto há necessidade de recorrer a uma concepção estrutural.

Uma das maneiras de abordar esta questão pode ser com base na forma como a informação matemática é processada na mente. Como já foi referido anteriormente a complementaridade das duas concepções é importante. Na resolução de um problema

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